剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動

1、第第5章章 剛體力學剛體力學 陳信義編陳信義編 2012.1 5.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動 5.2 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 平行軸定理平行軸定理 垂直軸定理垂直軸定理 5.3 用剛體轉(zhuǎn)動定理解題用剛體轉(zhuǎn)動定理解題 5.4 剛體轉(zhuǎn)動的功和能剛體轉(zhuǎn)動的功和能 5.5 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒 5.6 進動和陀螺儀進動和陀螺儀 【演示實驗演示實驗】角速度的矢量性，轉(zhuǎn)動定理的定性演角速度的矢量性，轉(zhuǎn)動定理的定性演 示示 ，質(zhì)心運動（杠桿），茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅（和車，質(zhì)心運動（杠桿），茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅（和車 輪），直升飛機，車輪進動，陀螺儀的定

2、軸性輪），直升飛機，車輪進動，陀螺儀的定軸性 剛體：剛體：在運動和受力過程中，形狀不發(fā)生變在運動和受力過程中，形狀不發(fā)生變 化的物體。化的物體。 把剛體想象地分割成許多質(zhì)元，剛體可看成把剛體想象地分割成許多質(zhì)元，剛體可看成 是由這些質(zhì)元組成的質(zhì)點系是由這些質(zhì)元組成的質(zhì)點系 剛體的運動規(guī)律，可通過把牛頓運動定律應(yīng)剛體的運動規(guī)律，可通過把牛頓運動定律應(yīng) 用到這種特殊的質(zhì)點系上得到。用到這種特殊的質(zhì)點系上得到。 剛體只是一個物理模型，實際上不存在。剛體只是一個物理模型，實際上不存在。 在整個運動和在整個運動和 受力過程中，這種質(zhì)點系中任何兩個質(zhì)點之間受力過程中，這種質(zhì)點系中任何兩個質(zhì)點之間 的距離都

3、保持不變。的距離都保持不變。 5.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動 5.1.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 5.1.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 5.1.3 剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動 5.1.1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體的運動：平動、轉(zhuǎn)動剛體的運動：平動、轉(zhuǎn)動 平動：平動：剛體中任意兩個質(zhì)點的連線在運動中剛體中任意兩個質(zhì)點的連線在運動中 始終保持平行。始終保持平行。 剛體平動時各個質(zhì)元的運動情況剛體平動時各個質(zhì)元的運動情況 完全相同完全相同 可以用剛體質(zhì)心的運動來表達剛可以用剛體質(zhì)心的運動來表達剛 體的平動體的平動

4、除 轉(zhuǎn) 軸 上 的除 轉(zhuǎn) 軸 上 的 質(zhì)元之外，質(zhì)元之外，剛體各個質(zhì)元都在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓剛體各個質(zhì)元都在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓 周運動周運動 定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動： 垂直于轉(zhuǎn)軸的平面；垂直于轉(zhuǎn)軸的平面； ii r v ii ra 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 轉(zhuǎn)動平面：轉(zhuǎn)動平面： 應(yīng)預先規(guī)定轉(zhuǎn)軸的正方向應(yīng)預先規(guī)定轉(zhuǎn)軸的正方向 垂直紙面垂直紙面 向外為正向外為正 【演示實驗演示實驗】角速度的矢量性角速度的矢量性 5.1.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 對慣性系中固定轉(zhuǎn)軸對慣性系中固定轉(zhuǎn)軸 z 上的任意一點，剛體上的任意一點，剛體 這一質(zhì)點系的角動量變化定理可表示為這一質(zhì)點系的角動量變

5、化定理可表示為 t L M d d ：剛體所受對該點的合外力矩剛體所受對該點的合外力矩M 等于剛體所有質(zhì)等于剛體所有質(zhì) 元對該點角動量的矢量和。元對該點角動量的矢量和。 L ：剛體對該點的角動量，剛體對該點的角動量， ，等于剛體所有質(zhì)等于剛體所有質(zhì) 元繞元繞 z 軸作圓周運動的角動量之和：軸作圓周運動的角動量之和： t L M d d 向向 z 軸作投影：軸作投影： t L M z z d d Mz ：剛體所受對剛體所受對 z 軸的合外力矩軸的合外力矩 Lz ：剛體繞剛體繞 z 軸的角動量軸的角動量 i iiz rmL 2 I i iir m 2 i iir mI 2 mrId 2 剛體繞剛體

6、繞 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 ： I t L M z z d d 剛體繞剛體繞 z 軸的角動量：軸的角動量： ILz t I d d IMz 剛體繞慣性系中固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角剛體繞慣性系中固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角 加速度與所受對該軸的合外力矩成正比，與剛加速度與所受對該軸的合外力矩成正比，與剛 體繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比體繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比 剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動定理： 在同樣力矩的作用下，轉(zhuǎn)動慣量越大，剛體在同樣力矩的作用下，轉(zhuǎn)動慣量越大，剛體 轉(zhuǎn)動的角加速度就越小，角速度就越不容易改轉(zhuǎn)動的角加速度就越小，角速度就越不容易改 變。變。 轉(zhuǎn)動慣量表示剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小轉(zhuǎn)動慣

7、量表示剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小 【演示實驗演示實驗】轉(zhuǎn)動定理的定性演示轉(zhuǎn)動定理的定性演示 對軸的力矩的計算：對軸的力矩的計算： 把外力分解成轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力和垂直于轉(zhuǎn)把外力分解成轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力和垂直于轉(zhuǎn) 動平面的分力。動平面的分力。 外力對轉(zhuǎn)軸的力矩，就外力對轉(zhuǎn)軸的力矩，就 是轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對該是轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對該 轉(zhuǎn)軸的力矩：轉(zhuǎn)軸的力矩： 垂直分力與轉(zhuǎn)軸平行，對垂直分力與轉(zhuǎn)軸平行，對O點力點力 矩垂直于轉(zhuǎn)軸，則對轉(zhuǎn)軸力矩為零。矩垂直于轉(zhuǎn)軸，則對轉(zhuǎn)軸力矩為零。 sinfrMz 【思考思考】如何確定力矩的正、負號？如何確定力矩的正、負號？ hffr 過質(zhì)心軸：過質(zhì)心軸：通過剛體質(zhì)心的直線通過剛體

8、質(zhì)心的直線 證明：證明：重力對過質(zhì)心軸的合力矩等于零重力對過質(zhì)心軸的合力矩等于零 gmrM i i i mrmr i iiC gmrM C 剛體各個質(zhì)元所受重力對剛體各個質(zhì)元所受重力對O點的合力矩，等點的合力矩，等 于整個剛體的重力作用于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。于整個剛體的重力作用于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩。 如果如果O為質(zhì)心為質(zhì)心，rC0，M=0，即證。，即證。 grm i ii 剛體各個質(zhì)元所受重力對任剛體各個質(zhì)元所受重力對任 意一點意一點 O 的合力矩：的合力矩： mg 5.1.3 剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動 剛體在運動中，所有質(zhì)元的剛體在運動中，所有質(zhì)元的 運動都平行于某一平面。運動都平行

9、于某一平面。 平面平行運動平面平行運動 = 質(zhì)心運動質(zhì)心運動 + 繞垂直于運動平繞垂直于運動平 面的過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動面的過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動 CC IM 剛體質(zhì)心運動服從質(zhì)心運動定理剛體質(zhì)心運動服從質(zhì)心運動定理 平面平行運動：平面平行運動： 剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理與定軸轉(zhuǎn)動定理的剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理與定軸轉(zhuǎn)動定理的 形式相同：形式相同： 剛體的角速度剛體的角速度 （與轉(zhuǎn)軸的選取無關(guān)）（與轉(zhuǎn)軸的選取無關(guān)） 證明：證明： 過質(zhì)心軸沒有加速度，相對剛體質(zhì)心靜止的參過質(zhì)心軸沒有加速度，相對剛體質(zhì)心靜止的參 考系是慣性系，考系是慣性系，MC = IC 成立。成立。 CC IM 結(jié)論：結(jié)論：無論過質(zhì)心軸是否有加速度，剛體繞無論過質(zhì)心軸是否有加速度，剛體繞 過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理與定軸轉(zhuǎn)動形式相同，為過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理與定軸轉(zhuǎn)動形式相同，為 過質(zhì)心軸有加速度過質(zhì)心軸有加速度aC，還要考慮慣性力力矩。，還要考慮慣性力力矩。 質(zhì)元質(zhì)元 mi所受慣性力所受慣性力 mi ( aC)，與重力的形式，與重力的形式 相同。相同。 因此，因此，加速度加速度aC引起的慣性