第5章立體的切割及截交線畫(huà)法

1、第5章 立體的切割及截交線畫(huà)法 截平面截平面 截切截切立體立體的平面。的平面。 截交線截交線 截平面與截平面與立體立體表面的交線。表面的交線。 截?cái)嗝娼財(cái)嗝?截交線圍成的平面圖形截交線圍成的平面圖形。 一、相關(guān)概念：一、相關(guān)概念： 二、截交線的性質(zhì)：二、截交線的性質(zhì)： 封閉性：封閉性：截交線是截交線是 一般為一般為封閉的平面圖形封閉的平面圖形。 共有性：共有性：截交線是截交線是截平面截平面與與立體表面立體表面的的共有線共有線。 注：注：求求截交線的實(shí)質(zhì)就是求截交線的實(shí)質(zhì)就是求截平面截平面與與立體立體 表面表面上一系列上一系列共有點(diǎn)共有點(diǎn)。 5.1 5.1 平面體的截切平面體的截切 求截交線的兩

2、種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對(duì)位置截平面與體的相對(duì)位置 截平面與投影面的相對(duì)位置截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定截交線 的投影特性的投影特性 確定截交確定截交 線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影 分別求出截平面與棱線、棱面的交分別求出截平面與棱線、棱面的交 點(diǎn)和交線，并連接成多邊形。點(diǎn)和交線，并連接成多邊形。 截交線各邊：是截交線各邊：是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。

3、 截交線截交線: :是由直線組成的是由直線組成的封閉平面多邊形封閉平面多邊形。 例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 2 2 4 4 3 3 1 1 2 2 4 4 空間分析空間分析 3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢尤其注意檢 查截交線投影的類(lèi)似性查截交線投影的類(lèi)似性 注：截交線的頂點(diǎn)是各棱線與截平面的交點(diǎn)。注：截交線的頂點(diǎn)是各棱線與截平面的交點(diǎn)。 例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 1 1

4、 2 2 1 1 (2(2 ) ) 、兩點(diǎn)分別同兩點(diǎn)分別同 時(shí)位于三個(gè)面上。時(shí)位于三個(gè)面上。 三面共點(diǎn)：三面共點(diǎn)： 2 2 1 1 注：注：兩個(gè)截切平面相交必有交線。兩個(gè)截切平面相交必有交線。 例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。 P P 截交線的形狀？截交線的形狀？ 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影 特性？特性？ 2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交線求截交線 1 1 5 5 4 4 7 7 6 6 3 3 2 2 8 8 分析棱線的分析棱線的 投影投影 檢查截交檢

5、查截交 線的投影線的投影 例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。 截交線：是封閉的截交線：是封閉的曲線圖形曲線圖形或由或由曲線曲線與與直直 線組成的圖形線組成的圖形。 5.2 5.2 回轉(zhuǎn)體的截切回轉(zhuǎn)體的截切 求作回轉(zhuǎn)體截交線的方法與步驟求作回轉(zhuǎn)體截交線的方法與步驟 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀確定截

6、交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確明確截交截交 線的投影特性線的投影特性，如積聚性、類(lèi)似性等。，如積聚性、類(lèi)似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，預(yù)見(jiàn)未知預(yù)見(jiàn)未知投影。投影。 求作截交線的投影求作截交線的投影 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為： 光滑連接光滑連接各點(diǎn)各點(diǎn)，并判斷截交線的，并判斷截交線的可見(jiàn)性?？梢?jiàn)性。 先求特殊點(diǎn)；先求特殊點(diǎn)； 再求一般點(diǎn)；再求一般點(diǎn)； 求截交線的方法：求截交線的方法： 求截平面與回轉(zhuǎn)體表面的求截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)。 2. 2. 求截交線的步

7、驟：求截交線的步驟： 圓柱體表面的截交線圓柱體表面的截交線 截平面與圓柱面交線的形狀取決于截平面與圓柱截平面與圓柱面交線的形狀取決于截平面與圓柱 軸線軸線的相對(duì)位置。的相對(duì)位置。 垂直垂直: :圓圓平行平行: :兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜: :橢圓橢圓 2 1 43 例例1 ：求圓柱截交線解題步驟 1分析 截交線的 水平投影為直線和 部分圓，側(cè)面投影 為矩形； 2求出截交線上的 特殊點(diǎn)、 、； 3順次地連接各點(diǎn) ，作出截交線并判 別可見(jiàn)性； 4整理輪廓線。 1（2） 1（3） 3（4） 2（4） 12 34 例例2 ：求圓柱截交線 解題步驟 1.分析 截交線的水平 投影為直線和部分圓， 側(cè)面

8、投影為矩形； 2.求截交線上的特殊點(diǎn) 、； 3.順次連接各點(diǎn),作出 截交線并判別可見(jiàn)性； 4. 整理輪廓線。 1 （2 ) 3（4） 1(3) 2(4) 例例3 3：補(bǔ)畫(huà)出立體的左視圖：補(bǔ)畫(huà)出立體的左視圖 作左切面上的投影作左切面上的投影; ; 作圓柱的左視圖作圓柱的左視圖; ; 作下部通槽的投影作下部通槽的投影; ; 判別可見(jiàn)性。判別可見(jiàn)性。 擦除多余圖線擦除多余圖線, ,整理整理完成作圖。完成作圖。 例例4 4：求左視圖：求左視圖 空間及投影分析空間及投影分析 求截交線求截交線 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影 截交線的形狀截交線的形狀 截交線的投影特性截交線的投影特性 解

9、題步驟：解題步驟： 注注: : 同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截 平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。 例例4 4：求左視圖：求左視圖 空間及投影分析空間及投影分析 求截交線求截交線 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影 截交線的形狀截交線的形狀 截交線的投影特性截交線的投影特性 解題步驟：解題步驟： 例例5 5：求左視圖：求左視圖 例例5 5：求左視圖：求左視圖 分析、比較分析、比較 例例6：想象出物體及其側(cè)面投影的形狀。 例例7 7：求俯視圖：求俯視圖 例例7 7：求俯視圖：求俯視圖 例例8 8：求俯視圖：求俯視圖 例例8 8

10、：求俯視圖：求俯視圖 分析、比較分析、比較 截交線的已知投影？截交線的已知投影？ 例例9 9：求左視圖：求左視圖 求作特殊點(diǎn)求作特殊點(diǎn) 求作一般點(diǎn)求作一般點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn) 分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 截交線的側(cè)面投影是什么形狀？截交線的側(cè)面投影是什么形狀？ 例例9 9：求左視圖：求左視圖 求作特殊點(diǎn)求作特殊點(diǎn) 求作一般點(diǎn)求作一般點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn) 分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 橢圓的長(zhǎng)、橢圓的長(zhǎng)、 短軸隨截平面與短軸隨截平面與 圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的 變化而改變。變化而改變。 4545 什么情況下什么情況下 投影為圓呢？投影為圓呢？ 截平面與圓柱截

11、平面與圓柱 軸線成軸線成4545時(shí)。時(shí)。 例例9 9：求左視圖：求左視圖 例例1010：求左視圖：求左視圖 例例11：求圓柱截交線 1 11 5 4 8 8 8 3 2 5 4 45 2 3 2 3 解題步驟 1分析 截平面為正垂 面，截交線的側(cè)面投影為 圓，水平投影為橢圓； 2求出截交線上的特殊 點(diǎn)、 、 ； 3求出若干個(gè)一般點(diǎn) 、 、； 4光滑且順次地連接各 點(diǎn)，作出截交線，并且判 別可見(jiàn)性； 5整理輪廓線。 7 6 6 7 6 7 例例12： 求圓柱截交線 解題步驟 1分析側(cè)面投影為圓的 一部分，截交線的水平投 影為橢圓的一部分； 2求出截交線上的特殊 點(diǎn)、 ； 3求出若干個(gè)一般點(diǎn) 、

12、； 4光滑且順次地連接各 點(diǎn)，作出截交線，并且判 別可見(jiàn)性； 5 整理輪廓線。 3 4 5 33 45 5 4 12 2 1 1 2 =90=90 90900 0 圓錐體表面的截交線圓錐體表面的截交線 過(guò)錐頂過(guò)錐頂 兩相交直線兩相交直線圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線 根據(jù)截平面與軸線相對(duì)位置的不同，圓錐面截根據(jù)截平面與軸線相對(duì)位置的不同，圓錐面截 交線有五種形狀。交線有五種形狀。 平面與圓錐體相交所得截交線形狀 圓圓 橢圓橢圓 三角形三角形 雙曲線加直線段雙曲線加直線段拋物線加直線段拋物線加直線段 e c a d b 例例1:1:圓錐被正平面截切，補(bǔ)全主視圖和左視圖。圓錐被正平面截切，補(bǔ)

13、全主視圖和左視圖。 E D C A B b a 截交線的空間形狀？截交線的空間形狀？ 截交線的投影特性？截交線的投影特性？ d c e e c (d ) a (b ) 例例1:1:圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線并完成三視圖。截交線并完成三視圖。 找特殊點(diǎn)找特殊點(diǎn) 補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn) 分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影 截交線的空間截交線的空間 形狀？形狀？ 截交線的投影截交線的投影 特性？特性？ 橢圓另一根軸橢圓另一根軸 的端點(diǎn)？的端點(diǎn)？ 例例1:1:圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線并完成三視圖。截交線并完成三視圖。 找特殊點(diǎn)找特殊

14、點(diǎn) 補(bǔ)充中間點(diǎn)補(bǔ)充中間點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn)光滑連接各點(diǎn) 分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影 例例3 3：求圓錐截交線 解題步驟 1分析 截平面為正 垂面?zhèn)绕矫?，截交線 為部分橢圓和梯形的 組合；其水平投影為 部分橢圓和直線的組 合，側(cè)面投影為部分 橢圓和梯形的組合； 2求截交線上的特 殊點(diǎn)、 、 ； 3求一般點(diǎn)、 ； 4光滑且順次地連 接各點(diǎn)，作出截交線 ，并且判別可見(jiàn)性； 5整理輪廓線。 a 2 3 1 45 1 1 a 2 3 2 3 5 4 45 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓。 球體的截切球體的截切 球體截交線的投影 根據(jù)截平面與投影面相對(duì)位置的不同，

15、根據(jù)截平面與投影面相對(duì)位置的不同，其其截截 交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。 水平面截圓球的截交線的投影，水平面截圓球的截交線的投影， 在俯視圖上為部分圓弧，在左視在俯視圖上為部分圓弧，在左視 圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。 兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的 投影，在左視圖上為部分圓弧，投影，在左視圖上為部分圓弧， 在俯視圖上積聚為直線。在俯視圖上積聚為直線。 例例1: 1: 求半球體截切后的俯視圖和左視圖。求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 例例1:1:求半球體截切后的俯視圖和左視圖。求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 2

16、2 1 例例2 2: 求圓球截交線 解題步驟 1分析 截平 面為兩個(gè)側(cè)平面 和一個(gè)水平面， 截交線為圓弧和 直線的組合；截 交線的水平投影 和側(cè)面投影均為 圓弧和直線的組 合； 2求出截交線 上的特殊點(diǎn)、 ； 3求出各段圓 弧； 4判別可見(jiàn)性 ，整理輪廓線。 3 33 1 2 復(fù)合回轉(zhuǎn)體表面的截交線復(fù)合回轉(zhuǎn)體表面的截交線 分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體的分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體的組成組成以及它們的以及它們的連接關(guān)系連接關(guān)系； 分別求各基本回轉(zhuǎn)體分別求各基本回轉(zhuǎn)體截交線截交線的投影；的投影； 注意兩相交注意兩相交截平面交線截平面交線和立體和立體輪廓線輪廓線的投影。的投影。 例：求作頂尖的俯視圖例：求作頂尖的俯視圖 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要要先先 找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接，最后光滑連接 各點(diǎn)。各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓 素線的投影。素線的投影。 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì) 位置，以位置，以確定截交線的投影特性確定截交線的投影特性。 求截交線求截交線 空間及投影分析空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以分析截平面與被截立體的相對(duì)位置