2021屆山東高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第章　第講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第3章第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含解析第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考綱解讀1。熟練掌握正弦、余弦及正切函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象得出三角函數(shù)的性質(zhì)（重點(diǎn)）2掌握正弦、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等）,并理解正切函數(shù)在上的單調(diào)性（重點(diǎn)、難點(diǎn)）考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容預(yù)測(cè)2021年會(huì)與三角恒等變換結(jié)合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，尤其是周期性、單調(diào)性及最值問(wèn)題，同時(shí)也要注意對(duì)稱軸及對(duì)稱中心的應(yīng)用題型常以客觀題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)于解答題中，難度屬中、低檔題型.1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)

2、和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù)ysinx，x0，2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0，0)，(，0），（2，0)余弦函數(shù)ycosx,x0，2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，(，1），（2,1）2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域rrxr，且xk，kz值域1,11,1r最值當(dāng)x2k（kz）時(shí)，ymax1;當(dāng)x2k（kz）時(shí)，ymin1當(dāng)x2k（kz）時(shí)，ymax1；當(dāng)x2k（kz）時(shí),ymin1x，kz,無(wú)最大值，也無(wú)最小值周期2k2kk奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在（kz）上遞增;在（kz)上遞減在2k，2k(kz)上遞增；在2k，2k(kz）上遞減

3、在(kz)上遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心,對(duì)稱軸直線xk，kz直線xk，kz無(wú)對(duì)稱軸1概念辨析(1)ytanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù)（）(2）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期()（3）函數(shù)f（x)sin的最小正周期為2。（）(4）sin20sin70sin120.（）（5)三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yasinx或yatanx的形式，偶函數(shù)一般可化為yacosxb的形式()答案(1)(2)（3)（4)（5）2小題熱身(1）函數(shù)ytan2x的定義域是()ax bxcx dx答案d解析由2xk，kz，得x,kz，所以ytan2x的定義域是x。(2)下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

4、的函數(shù)是(）aycos bysincytan2x dysin答案a解析對(duì)于a，ycossin2x，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于b,ysincos2x的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于c，ytan2x的周期是；對(duì)于d，ysin的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(3）函數(shù)y12cosx的單調(diào)遞減區(qū)間是_答案2k，2k（kz）解析y12cosx的單調(diào)遞減區(qū)間就是ycosx的單調(diào)遞增區(qū)間，即2k，2k（kz)（4）函數(shù)y32sin的最大值為_(kāi)，此時(shí)x_.答案52k（kz)解析函數(shù)y32sin的最大值為325，此時(shí)x2k（kz），即x2k（kz)題型一三角函數(shù)的定義域和值域1函數(shù)ylg (sin2x）的定義域?yàn)開(kāi)答案

5、解析由解得所以3x或0x.所以函數(shù)的定義域?yàn)椤?(2017全國(guó)卷）函數(shù)f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析f（x）1cos2xcosx21.x,cosx0，1,當(dāng)cosx時(shí)，f（x)取得最大值，最大值為1。3(2019長(zhǎng)沙質(zhì)檢）函數(shù)ysinxcosxsinxcosx的值域?yàn)開(kāi)答案解析令tsinxcosx，則tsin，由（sinxcosx）212sinxcosx得sinxcosx(1t2），所以yt(1t2），t，的值域即為所求因?yàn)閥t（1t2)(t1）21，當(dāng)t時(shí)，ymin，當(dāng)t1時(shí)，ymax1，所以原函數(shù)的值域?yàn)?1。三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不

6、等式（組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解如舉例說(shuō)明1。2.三角函數(shù)最值或值域的三種求法直接法直接利用sinx和cosx的值域求解化一法把所給三角函數(shù)化為yasin（x)k(或yacos（x)k)的形式，由正弦(或余弦)函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域換元法把sinx，cosx,sinxcosx或sinxcosx換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題求解如舉例說(shuō)明2,31.函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)答案x解析由得所以2kx0)在0，內(nèi)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是_答案解析當(dāng)x0，時(shí)，x，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x)的值域?yàn)?，所以可?解得.題型二三角函數(shù)的單調(diào)性1。（2019全國(guó)卷）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增

7、的是(）a。f（x）|cos2x| bf（x）sin2x|c.f（x）cos|x| df(x)sinx|答案a解析作出函數(shù)f(x)|cos2x|的圖象，如圖由圖象可知f（x）|cos2x的周期為,在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可得f(x)sin2x|的周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，f（x)cosx的周期為2。f(x)sinx不是周期函數(shù)，排除b，c,d.故選a.2.已知為函數(shù)f（x)sin（2x）的零點(diǎn),則函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）a。(kz）b.（kz)c.(kz)d.（kz）答案c解析由于為函數(shù)f(x）sin(2x）的零點(diǎn)，則f0，所以sin0，解得，故f(x）sin，令2k2x2k（kz)，解得

8、kxk(kz),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（kz）條件探究將本例中的函數(shù)的定義域改為0，則其單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)答案和解析記ax，b0，觀察數(shù)軸可知ab，所以函數(shù)yf(x），x0，的單調(diào)遞增區(qū)間為和。3。若已知0，函數(shù)f(x)cos在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是_答案解析函數(shù)ycosx的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，kz.則kz，解得4k2k,kz，又由4k0，kz,且4k0,kz,得k1，所以。求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)復(fù)合函數(shù)法(2）圖象法畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間如舉例說(shuō)明1。1。（2019中山模擬)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為()a。，kzb。，kzc。

9、，kzd.,kz答案b解析由kk，kz,得2kx2k，kz。所以函數(shù)f(x）tan的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz。2.已知函數(shù)f(x）x2cosx，則f(0.6)，f（0)，f(0。5)的大小關(guān)系是(）a。f（0）f（0。6）f(0.5)b.f(0)f（0。5)f（0.6）c。f（0。6）f(0.5)f（0）d。f(0.5）f（0)f（0.6)答案b解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x)x2cosx是偶函數(shù)，且在（0，)上是增函數(shù)，所以f(0)f（0。5）f（0.5)0）的周期為求解如舉例說(shuō)明1。2.函數(shù)具有奇偶性的充要條件函數(shù)yasin（x）(xr)是奇函數(shù)k(kz)；函數(shù)yasin(x）（xr）是偶函數(shù)k(kz）;

10、函數(shù)yacos(x）(xr）是奇函數(shù)k（kz）如舉例說(shuō)明2;函數(shù)yacos（x）(xr）是偶函數(shù)k(kz）3.與三角函數(shù)有關(guān)的圖象的對(duì)稱性問(wèn)題對(duì)于函數(shù)yasin(x),其圖象的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線xx0或點(diǎn)（x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f（x0)的值進(jìn)行判斷如舉例說(shuō)明3。1.(2019全國(guó)卷）若x1，x2是函數(shù)f（x）sinx(0）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則（）a.2 b. c1 d。答案a解析由題意及函數(shù)f（x）sinx(0）的圖象與性質(zhì)可知，t，t，2.故選a.2。(2019北京中關(guān)村中學(xué)月考）下列函數(shù)中,對(duì)任意

11、的xr，同時(shí)滿足條件f（x）f（x)和f(x)f(x)的函數(shù)是()a。f（x）sinx bf(x）sinxcosxc。f（x）cosx df(x)cos2xsin2x答案d解析由f（x)f(x）可知函數(shù)是偶函數(shù),且f（x)f(x），則函數(shù)的周期為.a項(xiàng)中的函數(shù)是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤;b項(xiàng)中f（x）sinxcosxsin2x，為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；c項(xiàng)中的函數(shù)為偶函數(shù)，但是該函數(shù)的周期為2，故錯(cuò)誤；d項(xiàng)中f(x）cos2xsin2xcos2x,該函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，故選d。3。關(guān)于函數(shù)ytan，下列說(shuō)法正確的是（）a.是奇函數(shù)b.在區(qū)間上單調(diào)遞減c。為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心d.最小正周期為答案c解析yta

12、n是非奇非偶函數(shù),a錯(cuò)誤；ytan在區(qū)間上單調(diào)遞增,b錯(cuò)誤；由2x得x(kz）,得函數(shù)ytan的對(duì)稱中心為，kz,故c正確;函數(shù)ytan的最小正周期為,d錯(cuò)誤。組基礎(chǔ)關(guān)1。函數(shù)ycos是(）a。周期為的奇函數(shù) b周期為的偶函數(shù)c。周期為2的奇函數(shù) d周期為2的偶函數(shù)答案a解析因?yàn)閥coscossin2x,故選a.2.設(shè)acos，bsin，ccos，則（）a。acb bcba ccab dbca答案a解析sinsinsinsincos，coscoscoscos，因?yàn)閥cosx在上是減函數(shù)，所以coscoscos，即acb.3.函數(shù)ytanxsinxtanxsinx在區(qū)間內(nèi)的圖象是(）答案d解析y

13、tanxsinxtanxsinx|結(jié)合選項(xiàng)圖形知,d正確.4.已知函數(shù)f（x）tan2x，則下列說(shuō)法不正確的是（）a。yf（x)的最小正周期是b.yf（x)在上單調(diào)遞增c。yf（x)是奇函數(shù)d。yf（x)的對(duì)稱中心是（kz)答案a解析函數(shù)yf（x）的最小正周期是,故a錯(cuò)誤當(dāng)x時(shí)，2x,此時(shí)函數(shù)f(x)tan2x為增函數(shù),故b正確因?yàn)閒（x)tan2(x)tan2xf(x),所以f(x）tan2x是奇函數(shù)，故c正確由2x，kz,得x，kz，所以f（x)tan2x的對(duì)稱中心是，kz，故d正確。5。(2019福建六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x）2sin（x)對(duì)任意x都有ff(x)，則f（）a。2或0 b0c

14、。2或0 d2或2答案d解析因?yàn)閒f(x）對(duì)任意xr都成立，所以函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸是直線x,所以f2.6.已知函數(shù)f（x）cos（x）,f是奇函數(shù),則（）a.f(x)在上單調(diào)遞減b。f(x）在上單調(diào)遞減c。f(x)在上單調(diào)遞增d。f（x)在上單調(diào)遞增答案b解析因?yàn)閒（x）cos（x)，所以fcos，又因?yàn)閒是奇函數(shù),所以k，kz，所以k，kz，又0，所以，f(x)cos,當(dāng)x時(shí)，x,f(x）單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，x，f（x）先減后增,故選b.7。（2019衡水聯(lián)考)函數(shù)f(x）sin在區(qū)間（0，）內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為(）a. b. c. d。答案c解析設(shè)t2x，則由x（0，)，得t。由f

15、(x）0得sint,結(jié)合函數(shù)ysint的圖象可知此方程有兩個(gè)實(shí)根t1和t2，且t1t23,所以函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2，且2x12x23，所以x1x2。8。函數(shù)f(x）tan的定義域是_答案x解析由得所以0x2且x，所以函數(shù)f（x)的定義域?yàn)閤。9.若函數(shù)f(x)(0)的最小正周期為,則f_。答案解析由題設(shè)及周期公式得t，所以1，即f(x）,所以f.10。函數(shù)f(x)2020sin(0x2）的值域是_答案1010,2020解析因?yàn)?x2，所以x.所以sin1，所以函數(shù)f（x）2020sin的值域?yàn)?010,2020。組能力關(guān)1.(2020湖南衡陽(yáng)八中月考）定義運(yùn)算：a*b例

16、如1()a. b1，1c。 d.答案d解析畫(huà)出函數(shù)f（x)的圖象(如圖中實(shí)線所示）根據(jù)三角函數(shù)的周期性，只看一個(gè)最小正周期（即2)的情況即可觀察圖象可知函數(shù)f(x）的值域?yàn)?2。（2019遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)cos2xsinx,那么下列命題中的假命題是（)a.f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)b.f(x)在，0上恰有一個(gè)零點(diǎn)c。f（x)是周期函數(shù)d。f（x)在上是增函數(shù)答案b解析因?yàn)閒（x）cos2xsinx,所以f（x)cos2xsinx。故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)所以a是真命題；令f(x）cos2xsinx0，得1sin2xsinx0,解得sinx。此時(shí)x有兩個(gè)值所以

17、f（x)在，0內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)所以b是假命題；因?yàn)閒（x）cos2xsinx1sin2xsinx2.顯然f（x）是周期函數(shù),所以c是真命題；對(duì)于f(x)2,令usinx在上單調(diào)遞減,則y2在上單調(diào)遞減，所以d是真命題。3。（2020贛州摸底）已知函數(shù)f（x)sin,0,xr，且f（），f(）。若|的最小值為,則f_，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)答案，kz解析函數(shù)f（x）sin,0，xr，由f（）,f（），且|的最小值為，得,即t3，所以。所以f（x)sin.則fsin.由2kx2k，kz，得3kx3k,kz，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz.4.已知函數(shù)f（x)sin。（1)求f(x）的最

18、小正周期；（2)求證:當(dāng)x時(shí)，f(x）.解（1)f（x）的最小正周期t。（2）證明：因?yàn)閤，所以2x，所以sinsin，所以當(dāng)x時(shí)，f（x）.組素養(yǎng)關(guān)1。已知函數(shù)f(x）sin(0)的最小正周期為。（1）求函數(shù)yf（x）圖象的對(duì)稱軸方程;(2）討論函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性解(1）f(x)sin的最小正周期為，2，f（x)sin.令2xk（kz），得x(kz),即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x（kz)(2）令2k2x2k(kz)，得函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（kz）注意到x,所以令k0，得函數(shù)f(x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；令2k2x2k（kz)，得函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（kz）,令k0，得f（x）在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.2.已知函數(shù)f（x)2sin2cos2x1，xr。(1)求f(x）的最小正周期；(2）若h（x）f（xt)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且t