熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后作業(yè)講稿ppt

1、1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù)試求理想氣體的體脹系數(shù)a a，壓力系數(shù)，壓力系數(shù)b b和等溫壓縮系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)k kT。 TnRT nR p nR Vp nRT TVT V V p p 1111 a TnRT nR V nR pV nRT TpT p p V V 1111 b pVp RT p nRT Vp nRT pVp V V T T T 1111 22 k 解：由理想氣體的狀態(tài)方程pV=nRT和a，b和kT的定義式可得： (1) (2) (3) 證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T，p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由 實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系

2、數(shù)a a及等溫壓縮系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)k kT，根據(jù)下述積分求得：，根據(jù)下述積分求得： )(dpkdTInV T a ， T 1 a p kT 1 如果如果，試求物態(tài)方程。，試求物態(tài)方程。 1.8 滿足滿足pVn=C的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證，理想氣名為多方指數(shù)。試證，理想氣 體在多方過(guò)程中的熱容量體在多方過(guò)程中的熱容量Cn為為 Vn C n n C 1 1.12 設(shè)理想氣體的設(shè)理想氣體的Cp和和CV之比之比 是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和和V 的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系式中要

3、用到一個(gè)函數(shù)F(T)，其表達(dá)式為，其表達(dá)式為 T dT TInF ) 1( )( 1.14 根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交 解：用反證法來(lái)證明。解：用反證法來(lái)證明。 兩條絕熱線交于一點(diǎn)兩條絕熱線交于一點(diǎn)C，一條等溫線，一條等溫線T與兩條絕熱線分別交于與兩條絕熱線分別交于A和和B兩點(diǎn)兩點(diǎn) （這樣的等溫線總能找到，因?yàn)榈葴鼐€的斜率總是比絕熱線的斜率（這樣的等溫線總能找到，因?yàn)榈葴鼐€的斜率總是比絕熱線的斜率 小）。把?。０袮BCA認(rèn)為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過(guò)程中系認(rèn)為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過(guò)程中系 統(tǒng)吸收熱量統(tǒng)吸收熱量Q，系統(tǒng)對(duì)外作

4、功的量值等于面積，系統(tǒng)對(duì)外作功的量值等于面積ABC。因此在循環(huán)過(guò)程中，。因此在循環(huán)過(guò)程中， 系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這 違背了熱二定律的開氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。違背了熱二定律的開氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。 此外還有很多種證明的方法。此外還有很多種證明的方法。 p V A B C 1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量。在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量。在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中， 熱源的最高溫度為熱源的最高溫度為T1，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源

5、的最低溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T2. 試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò) 1 2 1 T T 物體的初溫物體的初溫T1高于熱源的溫度高于熱源的溫度T2。有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將。有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將 物體的溫度降低到物體的溫度降低到T2為止。若熱機(jī)從物體吸取的熱量為為止。若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理，試根據(jù)熵增加原理 證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為 其中其中S1-S2是物體的熵減少量。是物體的熵減少量。 )( 212max SSTQW 1.23 簡(jiǎn)

6、單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量，如果以簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量，如果以T，S為獨(dú)立參量，可以縱坐標(biāo)表示溫度為獨(dú)立參量，可以縱坐標(biāo)表示溫度 T，橫坐標(biāo)表示熵，橫坐標(biāo)表示熵S，構(gòu)成，構(gòu)成T-S圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)、一條曲線圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)、一條曲線 與一個(gè)可逆過(guò)程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用與一個(gè)可逆過(guò)程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用T-S圖圖 求卡諾循環(huán)的效率。求卡諾循環(huán)的效率。 解：分析，在T-S圖上，可逆等溫過(guò)程是平行于橫縱的曲線，而可逆絕熱過(guò) 程由于熵不變，因此是平行于縱軸的曲線。T-S圖上的卡諾循環(huán)曲線為 S T T1 T2 12 3

7、 4 0 H p S 0 U V S 2.3 求證：(a) ; (b) 0 T V U 0 T p U 2.4 已知，求證 2.5 試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中的熵隨體積的增減試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中的熵隨體積的增減 取決于等壓下溫度隨體積的增減。取決于等壓下溫度隨體積的增減。 VT C T C V T V V T T S T V T V T T S T T V T S V T T S V S p p p p p p p p ppp aa 1 1 1 VT C T C V T V V T T S T V T V T T S T T V T S pT pV pT pS pV

8、pS V S p p p p p p p p p aa 1 1 1 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 符號(hào)一致。和對(duì)于均勻物體 pp T V V S VT , 0, 0 ， pT p V T V T V T p C T p T V C 2 2 2 2 , , 0 2 2 0 V V V VV dV T p TCC p p p pp dp T V TCC 0 2 2 0 2.8 證明證明 并由此導(dǎo)出并由此導(dǎo)出 根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫 度度T的函數(shù)。的函數(shù)。 2.12 一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力一彈簧在

9、恒溫下的恢復(fù)力X與伸長(zhǎng)與伸長(zhǎng)x成正比，即成正比，即X=-Ax，比，比 例系數(shù)例系數(shù)A是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自 由能由能F，熵，熵S和內(nèi)能和內(nèi)能U的表達(dá)式分別是：的表達(dá)式分別是： , 2 1 )0 ,(),( 2 AxTFxTF, 2 )0 ,(),( 2 dT dAx TSxTS ).( 2 )0 ,(),( 2 dT dA TA x TUxTU AxdxSdTdF - 7.16 已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為 bxaxppp m zyx 2222 2 1 其中，其

10、中，a, b是常量，求粒子的平均能量。是常量，求粒子的平均能量。 將能量表達(dá)式進(jìn)行配方，將能量表達(dá)式進(jìn)行配方， a b a b xappp m zyx 422 1 2 2 222 a b a b xappp m zyx 422 1 2 2 222 共含共含4個(gè)平方項(xiàng)個(gè)平方項(xiàng) 由能量均分定理得，由能量均分定理得， a b kT 42 1 4 2 8.8 證明: (1) 根據(jù)普朗克公式，可知平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布： d e c dTu kT 1 1 ),( 3 32 再根據(jù) c2 可得， d c d 2 2 代入，可得 平衡輻射內(nèi)能密度按波長(zhǎng)的分布： 1 8 ),( 5 kT hc e dhc

11、 dTu (2) 令 ，式變?yōu)椋?kT hc x 1 8 ),( 5 44 55 x e x ch Tk Tu 則，使u(,T)取極大值的波長(zhǎng)m由下式確定： 由于上式數(shù)值解為x=4.9651, 則，代入 ，有 kT hc x k hc T m 9651. 4 0 1 5 x e x dx d 解得， 55 xe x 8.14 求絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率求絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率 解：根據(jù)絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知T=0K時(shí)時(shí) 一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)：一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)： )0(, 0 )0(, 1 f

12、 f 考慮到 ，可將上式改為用動(dòng)量表示的形式：mp2 2 )0(, 0 )0(, 1 ppf ppf 其中p(0)為費(fèi)米動(dòng)量，是0K下電子具有的最大動(dòng)量。且p(0)2=2m 由于在體積V內(nèi)，T=0K，能量在pp+dp內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為： dpp h V 2 3 8 則，電子的平均動(dòng)量為： )0( 4 3 )0( 3 1 )0( 4 1 8 8 3 4 )0( 0 2 3 )0( 0 3 3 p p p dpp h V dpp h V p p p 因此，電子的平均速率為： m p m p v )0( 4 3 8.18 求極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在求極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量、時(shí)的費(fèi)米能量、 內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。 解：已知極端相對(duì)論條件下的能量動(dòng)量關(guān)系：=cp 由于在體積V內(nèi)，+d的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)： d ch V dD 2 3 8 )( (此處考慮的電子自旋的影響) 絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體一個(gè)量子態(tài)上的平均