均值不等式課件

1、問題問題1 一個花園的面積為一個花園的面積為100m2，問這個，問這個 花園圍欄的長、寬各為多少時，花園的圍花園圍欄的長、寬各為多少時，花園的圍 欄最短？欄最短？ 問題問題2 已知花園圍欄的長是已知花園圍欄的長是36m，問這，問這 個花園的圍欄長、寬各為多少時，花園的個花園的圍欄長、寬各為多少時，花園的 面積最大？面積最大？ 花園花園100m2花園圍欄花園圍欄36m 問題問題1 問題問題2 均值不等式是每年高考的熱點(diǎn)，但均值不等式是每年高考的熱點(diǎn)，但 嚴(yán)格限制在兩個上，對于文科主要嚴(yán)格限制在兩個上，對于文科主要 考查命題的判斷，以及求最值等問考查命題的判斷，以及求最值等問 題題 如果如果a，b

2、R， 那么那么a2+b22ab （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”） 重要不等式：重要不等式： 均值不等式：均值不等式： 如果如果a, bR+，那么，那么 ab ba 2 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，式中等號成立）時，式中等號成立） 一基礎(chǔ)知識一基礎(chǔ)知識 語言表述：語言表述：兩個正數(shù)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 不小于不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。 稱稱 2 ab 為為a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)， 稱稱ab 的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a，b 2 ab 為為a，b 的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)， ab為為a，b的等比中項(xiàng)，的等比中項(xiàng)， 兩個正數(shù)兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)的等

3、差中項(xiàng) 不小于不小于它們的等比它們的等比 中項(xiàng)。中項(xiàng)。 二.均值不等式的幾種變形公式 )Rb, a( 2 ba 2 ba ab 22 ）（Rb,a 2 ba 2 ba ab 22 2 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b 時取時取“=”=”） （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a a= =b b時取時取“=”=”） ba ab2 )Rb, a( 2 ba 2 ba ab 22 2 ba ab 2 ba 2 ba 22 2 ba ab 22 和和 積積 和和 平方和平方和 積積 平方和平方和 三三.利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值 設(shè)設(shè)x0,y0 如果如果xy=P(定定 值值)那么當(dāng)那么當(dāng)x=y時，時，x

4、+y有最小值有最小值p2 如果如果x+y=s(定定 值值)那么當(dāng)那么當(dāng)x=y時，時，xy有最大值有最大值 4 S2 積定和最小，和定積最大積定和最小，和定積最大 如果如果a, bR+，那么，那么 ab ba 2 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，式中等號成立）時，式中等號成立） 四四.利用均值不等式求最值需注意的問題利用均值不等式求最值需注意的問題 下面幾道題的解答可能下面幾道題的解答可能有錯有錯，如果，如果錯了錯了， 那么那么錯錯在哪里？在哪里？ 已知函數(shù)已知函數(shù) ，求函數(shù)的，求函數(shù)的 最小值和此時最小值和此時x的取值的取值 x xxf 1 )( 運(yùn)用均值不等式的過程中，忽略了運(yùn)用均值不等式的過

5、程中，忽略了“正數(shù)正數(shù)” 這個條件這個條件 21x x 1 x 2 x 1 x2 x 1 x)x(f 時時函函數(shù)數(shù)取取到到最最小小值值既既當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 解解： 已知函數(shù)，已知函數(shù)， 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值 )2( 2 3 )( x x xxf 用均值不等式求最值，必須滿足用均值不等式求最值，必須滿足“定值定值”這這 個條件個條件 63x 2x 3 x 2x 2x 3 x2 2x 3 xf(x) 時，函數(shù)的最小值是既當(dāng)且 僅且 解： 的最小值。 ，（其中求函數(shù) 2 0 sin 4 sin 3 y 。函數(shù)的最小值為 解： 4, 4 sin 4 sin2 sin 4 sin y 用均值不等

6、式求最值用均值不等式求最值,必須注意必須注意 “相等相等” 的條的條 件件. 如果取等的條件不成立如果取等的條件不成立,則不能取到該最值則不能取到該最值. 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值， 并說明此時并說明此時x,y的值的值 4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求 的最小值的最小值 y 1 x 1 u 2 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 當(dāng)當(dāng)x=6,y=4時時,最小值為最小值為48 最小值為最小值為8 2 2 2 ( )f xx x 3.已知已知x0，y0，所以，所以， 2 xy xy 因此，即因此，

7、即2(x+y)40。 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，式中等號成立，時，式中等號成立， 此時此時x=y=10。 因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是10m時，時， 它的周長最短，最短周長是它的周長最短，最短周長是40m. （2）設(shè)矩形的長、寬分別為）設(shè)矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)， 依題意有依題意有2(x+y)=36，即，即x+y=18， 因?yàn)橐驗(yàn)閤0，y0，所以，所以， 2 xy xy 因此因此 xy 9 將這個正值不等式的兩邊平方，得將這個正值不等式的兩邊平方，得xy81, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，式中等號成立，時，式中等號成立， 此時此時x=y=9， 因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是9m時，時， 它的面積最大，最大值是它的面積最大，最大值是81m2。 規(guī)律：規(guī)律： 兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有 最小值；最小值； 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有 最大值。最大值。 1（2004重慶） 若x,y0且x+y=4則xy的最大值為_ 2