高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修4

1、高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教a版必修4高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教a版必修4年級(jí)：姓名：2.4 平面向量的數(shù)量積（第2課時(shí)）2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、教學(xué)分析平面向量的數(shù)量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中,首先研究平面向量所成的角,其次,介紹了向量數(shù)量積的定義,最后研究了向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則和基本結(jié)論;在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中,在平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上,利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面向量所成角的計(jì)算方式,得到了兩向量垂直的判定

2、方法,本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分.前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積,以及平面向量的坐標(biāo)表示.那么在有了平面向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)和引進(jìn)平面向量的數(shù)量積后,就順其自然地要考慮到平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的問(wèn)題.另一方面,由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角,因此在實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái).利用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示.教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.通過(guò)例題分析、課堂訓(xùn)練,讓學(xué)生總結(jié)歸納出對(duì)于向量的坐標(biāo)、數(shù)量

3、積、向量所成角及模等幾個(gè)因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的,這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識(shí)和方法基礎(chǔ).二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。2過(guò)程與方法通過(guò)用坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，揭示幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形有機(jī)結(jié)合的學(xué)科。3情感態(tài)度與價(jià)值觀能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問(wèn)題。三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn):向量

4、數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法,向量的表示形式不同,對(duì)其運(yùn)算的表示方式也會(huì)改變.向量的坐標(biāo)表示,為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來(lái)了極大的方便.上一節(jié),我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積,那么向量的坐標(biāo)表示,對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來(lái)哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題.思路2.在平面直角坐標(biāo)系中,平面向量可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示,兩個(gè)平面向量共線的條件也可以用坐標(biāo)運(yùn)算的形式刻畫(huà)出來(lái),那么學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積之后,它能否用坐標(biāo)來(lái)表示？若能,如何通過(guò)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會(huì)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)嗎？同時(shí),平面向量的模、夾角又該如何

5、用坐標(biāo)來(lái)表示呢？通過(guò)回顧兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標(biāo)表示,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)、探索平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題平面向量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示?已知兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示ab呢?怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？你能否根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式？活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo)和探究.前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實(shí)數(shù)與向量積的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來(lái)表示.兩個(gè)向量共線時(shí)它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)也具備某種關(guān)系

6、,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運(yùn)算關(guān)系,這種運(yùn)算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來(lái)表示呢？教師提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書(shū)推導(dǎo)過(guò)程,教師給予必要的提示和補(bǔ)充.推導(dǎo)過(guò)程如下:a=x1+y1j,b=x2+y2j,ab=(x1+y1j)(x2+y2j)=x1x22+x1y2j+x2y1j+y1y2j2.又=1,jj=1,j=j=0,ab=x1x2+y1y2.教師給出結(jié)論性的總結(jié),由此可歸納如下:1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+

7、y1y2.2向量模的坐標(biāo)表示若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=.如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=3兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0.4兩向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a與b的夾角,根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示,可得cos=討論結(jié)果:略.（三）應(yīng)用示例例1 已知a(1,2),b(2,3),c(-2,5),試判斷abc的形狀,并給出證明.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

8、來(lái)解決平面圖形的形狀問(wèn)題.判斷平面圖形的形狀,特別是三角形的形狀時(shí)主要看邊長(zhǎng)是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進(jìn)行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關(guān);若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法.解:在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出a(1,2),b(2,3),c(-2,5)三點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)abc是直角三角形.下面給出證明.=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),=1(-3)+13=0.abc是直角三

9、角形.點(diǎn)評(píng):本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用,利用向量垂直的條件和模長(zhǎng)公式來(lái)判斷三角形的形狀.當(dāng)給出要判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),首先要作出草圖,得到直觀判定,然后對(duì)你的結(jié)論給出充分的證明.變式訓(xùn)練在abc中,=(2,3),=(1,k),且abc的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k的值.解:由于題設(shè)中未指明哪一個(gè)角為直角,故需分別討論.若a=90,則,所以=0.于是21+3k=0.故k=.同理可求,若b=90時(shí),k的值為;若c=90時(shí),k的值為.故所求k的值為或或.例2 (1)已知三點(diǎn)a(2,-2),b(5,1),c(1,4),求bac的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角.活動(dòng):教師讓

10、學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數(shù)量積ab=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的積,其比值就是這兩個(gè)向量夾角的余弦值,即cos=.當(dāng)求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時(shí),需注意兩向量夾角的范圍是0.學(xué)生在解這方面的題目時(shí)需要把向量的坐標(biāo)表示清楚,以免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),=3(-1)+36=15.又|=3,|=,cosbac=(2)ab=3(-5)+05=-15,|a|=3,|b|=52.設(shè)a與b的夾角為,則cos=又0,=.點(diǎn)評(píng):本題考查的是利用向

11、量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩向量的夾角.利用基本公式進(jìn)行運(yùn)算與求解主要是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與提高.變式訓(xùn)練設(shè)a=(5,-7),b=(-6,-4),求ab及a、b間的夾角.(精確到1)解:ab=5(-6)+(-7)(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由計(jì)算器得cos=-0.03.利用計(jì)算器中得92.例3 已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個(gè)問(wèn)題:(1)若ab,求a;(2)若ab,求a.活動(dòng):對(duì)平面中的兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),要讓學(xué)生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性,向量垂直的坐標(biāo)表示x1x2+y1y2=0與向量共線的坐標(biāo)表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,應(yīng)仔細(xì)比

12、較并熟記,當(dāng)難以區(qū)分時(shí),要從意義上鑒別,兩向量垂直是ab=0,而共線是方向相同或相反.教師可多加強(qiáng)反例練習(xí),多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練.解:(1)設(shè)a=(x,y),由|a|=3且ab,得解得a=a=(2)設(shè)a=(x,y),由|a|=3且ab,得解得或a=a=.點(diǎn)評(píng):本題主要考查學(xué)生對(duì)公式的掌握情況,學(xué)生能熟練運(yùn)用兩向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)判斷垂直或者共線,也能熟練地進(jìn)行公式的逆用,利用已知關(guān)系來(lái)求向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線l1)與一次函數(shù)y=x的圖象(直線l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點(diǎn)a(1,-1),b(2,1).同理,在直線l2上取兩點(diǎn)c(-2,1),d(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,