《解析幾何》教案

1、解析幾何教案授課時間 第 13 次課授課章節(jié)3.4 空間直線的方程任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求：1 掌握空間直線的點向式方程、兩點式方程的求法。2 會空間直線的標準方程、一般方程的互化教學重點、難點：重點：空間直線的各種方程的求法難點：空間直線的標準方程、一般方程的互化教學內(nèi)容：3.4 空間直線的方程一直線的點向式方程（由直線上一點與直線的方向所決定的直線方程）1.直線的方向矢量： 且注.顯然，任何一個與直線平行的非零矢量都

2、為的方向矢量 .一條直線由它過的一點和它的一個方向矢量完全唯一確定。 .直線的方向矢量的坐標或與它成比例的一組數(shù)稱為直線的方向數(shù)，也稱為的方向。由于的方向數(shù)與的方向矢量的坐標成比例，故我們將同表以為方向矢量的直線的方向數(shù)。2.點向式方程設為一空間直線，為的一個方向矢量。取標架. 設，為上的任意點，。與共線故由空間曲線的向量式參數(shù)方程的定義知 （3.4-1）為的矢量式參數(shù)方程。其中為參數(shù)，它可取任意實數(shù)。注意為以所過點為終點的徑矢。為的方向矢量。設，則，再設，則由（3.4-1）得： （3.4-2）. 稱其為的坐標式參數(shù)方程。由（3.4-2）消去參數(shù)，則得 （3.4-3），稱其為的標準方程或?qū)ΨQ式

3、方程。（3.4-1）（3.4-3）都稱為的點向式方程。注.若已知直線過，方向矢量為，可立即寫出的方程（3.4-2）和（3.4-3）。注.在直角坐標系下，直線的方向矢量常取單位矢量，此時的參數(shù)方程為： （3.4-7）或 （3.4-8）的對稱方程為： （3.4-9）此時參數(shù)的幾何意義為：，即為和的距離。注.在直角坐標系下，設為直線的方向矢量，的方向角稱為的方向角。的方向余弦稱為的方向余弦。由于也是的方向矢量，而的方向角為，故也可看作的方向角；也可看作的方向余弦。設為直線的方向數(shù)，則或為的方向矢量，由定義或的方向余弦即為的方向余弦。故的方向余弦與方向數(shù)之間有以下關(guān)系： （th1.7.6）或二直線的兩

4、點式方程顯然直線完全由它通過的兩點唯一確定。設直線過兩點，求的方程。令，取為的方向矢量. 以所過點為終點的向量為.故由直線的點向式方程：得的矢量式參數(shù)方程： （3.4-4）的坐標式參數(shù)方程為： （3.4-5）的對稱式方程為： （3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-6）都叫做的兩點式方程。三直線的一般方程1. 概念：任意一條直線可看成某兩個相交平面的交線。設 （3.4-11）（在仿射坐標系下的方程）由于相交，故這里滿足方程組可用方程組（3.4-11）表示，稱其為的一般方程。四直線的射影式方程設： （3.4-3）（在仿射坐標系下的方程）則不全為零（為的方向矢量，它非零）不妨設.將（3.4-3）

5、改寫為 ， 令，則 （3.4-12）（顯然這是一種特殊的一般方程）注. 由以上討論可見（3.4-3）表示的直線可看作（3.4-12）中兩個方程表示的兩個平面的交線。這兩個平面通過該交線且分別平行與軸和軸，在直角坐標系下，平面與平面垂直（），平面與平面垂直。故稱（3.4-12）為的射影式方程。由以上討論可知如何將的標準方程化為射影式方程。五化直線的一般方程為標準方程的方法直線的一般方程（3.4-11）也總可化成標準方程（3.4-4）的形式，下面證明之。設的一般方程為： （3.4-11） 則因此，不全為零，否則，由得，即.由得，即.故，即，與矛盾。不失一般性，設（為的系數(shù)行列式，那么由（3.4-1

6、1）可分別消去得到的射影式方程）將（3.4-11）寫成 （*）由克萊姆法則解出得：以上為的射影式方程，令，則得的標準方程： （*）注.由的標準方程（*）可知，若的一般方程為（3.4-11），則，即為的一個方向向量的坐標，即為的一組方向數(shù)。注.以上的證明給出了化直線的一般方程為射影式方程和標準方程的方法。哪兩個變量的系數(shù)行列式不為零，分別消去這兩個變量即得的射影式方程，再由射影式方程得標準方程。也可如下求的標準方程：不妨設，在方程（*）中取為任意指定的值（特別地可取）。解（*）得，那么為方程組（3.4-11）的一個解。點在上。再由注得一組方向數(shù)。于是由直線的點向式方程（3.4-3）得的標準方程為

7、：。例.化直線的一般方程 為射影式方程和標準方程。解法一. 的方向數(shù)為的系數(shù)行列式 （取為自由未知量）取得 ，解得故為上一點。故的標準方程為：由 得。由 得。為的射影式方程。解法二.（2）+3（1）：（消去），（1）-（2）：（消去）為的射影式方程?；虻南禂?shù)行列式，為的射影式方程（既是對面又是對面的射影標面，故只有一個射影式方程）由 得 由 得 ，可寫為故為的標準方程。4在直角坐標系下化一般方程為標準方程的方法設直線在直角坐標系下的一般方程為：則的一個法矢量為 的一個法矢量為，又，故可取為的方向矢量，再求得的一個點，即可得的標準方程。例 在直角坐標系下，求直線的標準方程.解：， .取為的方向矢

8、量取得 ， 解得 那么故的標準方程為：復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題3.4：1（2）（4），2，3（2）（4），4（1）（3），5作業(yè)題：習題3.4：1（1）（3）（5），3（1）（3），4（2）下次課預習要點1 直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定2 直線與平面的夾角公式3點到直線的距離公式及其推導實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 14 次課授課章節(jié)3.5 直線與平面的相關(guān)位置3.6 空間直線與點的相關(guān)位置任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出

9、版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求：3 掌握直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定4 掌握直線與平面的夾角公式5 掌握點到直線的距離公式及其推導教學重點、難點：重點：直線與平面的相關(guān)位置的分類及其判定難點：直線與平面的夾角公式教學內(nèi)容：3.5 直線與平面的相關(guān)位置一（直線與平面相關(guān)位置的）種類1. 相交：有唯一交點2. 平行： 無交點3.直線在平面上：有無窮多個交點。二判定條件設 （*）由定義，討論與的相互位置關(guān)系即討論與的交點的存在性和唯一性，亦即討論方程組（*）的解的存在性和唯一性，以下討論之。由（1）得 （3）將（3）代入（2）得： （4）驗證易見 為（4）的解為（*）

10、的解 （）（設為（4）的一個解，將代入（3）得，此為方程組（*）的一個解。反之，設為（*）的一個解，將其代入（2）即得，即為（4）的解）另外，設是（*）的解，則是（1）的解。因此，則，即（*）的解具有的形式（）1. 與相交與有唯一交點（*）有唯一解（4）有唯一解。2. 與無交點（*）無解（4）3. 與有無數(shù)交點（*）有無數(shù)解（4）有無數(shù)解 綜上，我們已證明了如下定理：th3.5.1.(p124) 直線（1）與平面（2）的相互位置。三（以下證明一下）在直角坐標系下判定直線與平面相互位置關(guān)系的條件的幾何意義。注. 為的一個方向矢量，而在直角坐標系下，的一個法矢量為，故在直角坐標系下，與相交與不垂直

11、。與平行不在平面上。在上 且，上的點在上。四直線與平面的交角我們在直角坐標系下討論的交角的求法。用表示的交角，當或時，；當時，；否則，定義為和在上的射影所構(gòu)成的銳角（見圖）可由的方向矢量和的法矢量來決定。設則因此，注：或 3.6 空間直線與點的相關(guān)位置一相關(guān)位置的相關(guān)位置的坐標滿足的方程二點到直線的距離定義3.6.1（p124）注：（p124，倒11行倒9行）在空間直角坐標系下，給頂空間一點和直線，為上一點，如圖.， 復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題3.5：1（2）（4），4，6（2）2作業(yè)題：習題3.5：1（1）（3），2，3，5，6；習題3.6：2下次課預習要點1 空間兩直線的相關(guān)位置的

12、分類及其判定2 空間兩直線的夾角公式3 兩異面直線間的距離與公垂線的方程實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 15 次課授課章節(jié)空間兩直線的相關(guān)位置任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求：4 掌握空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定5 掌握空間兩直線的夾角公式6 掌握兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程教學重點、難點：重點：空間兩直線的相關(guān)位置的分類及其判定難點：兩異面直線間的距離公式與公垂線的方程

13、教學內(nèi)容：3.7 空間兩直線的相關(guān)位置一分類 空間兩直線的相關(guān)位置二判定條件設 則，為的一個方向矢量， ，為的一個方向矢量（1）與異面 不共面 （2）與共面（3）與相交與共面且與不平行 （4）/與共線且與不共線 （5）與重合三者共線 綜上得：th3.7.1. 設直線與的方程分別為，令， 則（1） 與異面（2） 與共面（3） 與相交（4） /（5） 與重合例 求通過點且與兩直線 都相交的直線程。解： 設所求直線的一個方向矢量為，又因為，那么與相交，且，為的一個方向矢量， 且 即 且 與相交，且，為的一個方向矢量， 且 即 且 這樣，與都相交 且 解之得：故為所求。解法二. 設所求直線為，由題意，

14、設決定的平面為，則，且不平行，又，故，即 設決定的平面為，則，且不平行，又，故，即 ，與相交為相交平面的交線因此為所求（此方程為的一般方程）。二空間兩直線的夾角設分別為空間直線的方向向量的夾角 或注意：這里為空間中任意兩條直線，它們不一定相交。th3.7.2. 在直角坐標系下，空間兩直線，夾角的余弦為證：。推論：兩直線，垂直三兩異面直線間的距離與公垂線方程1.兩直線間的距離：兩直線上點的最短距離注. 顯然，兩相交或重合的直線之間的距離為零。兩平行直線間的距離等于其中一條直線上任一點到另一直線的距離（點到直線的距離在下一節(jié)討論）。2. 兩異面直線的公垂線與公垂線的長：與兩條異面直線都垂直相交的直

15、線；兩個交點間的線段長叫公垂線的長。注：異面直線的公垂線存在唯一。th3.7.3. 兩異面直線間的距離等于它們的公垂線的長。證：設異面直線的公垂線與的交點分別為。設上任一點，。分別為的方向矢量，為的一個方向矢量，為上的射影，則，因此故為上的點之間的最短距離，從而。3. 兩異面直線間的距離公式（在直角坐標系下討論）th3.7.4. 設異面直線 則直線與之間的距離，其中的一個方向向量，.證：設與它們的公垂線分別交于，則間的距離 （由th3.7.3的證明知）而 （據(jù)（1.7-2）故 4. 異面直線的公垂線方程設有異面直線，令為由與它們的公垂線決定的平面，則為的方位矢量，且。令為由與它們的公垂線決定的

16、平面，則為的方位矢量，且。顯然，。異面，相交（否則，重合，這樣共面，這同異面矛盾）于是，為的交線，故： 其中，即為的方向矢量。例2 已知兩直線，試證明為異面直線，并求間的距離與它們的公垂線。解：（1）為的一個方向矢量，為的一個方向矢量，.，為異面直線。（2）（3）公垂線的方程為： 即，亦即 （它為軸）補例 （習題3，7，9（1）復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題3.7：2（2），3（3），5（1），9（2）作業(yè)題：習題3.7：2（1），3（1）（2），4，5（2），6，7，8，9（2），10下次課預習要點1 有軸平面束的概念及其方程2 平行平面束的概念及其方程實施情況及教學效果分析學院審核意見

17、 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 16 次課授課章節(jié)3.8 平面束任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求：3 掌握有軸平面束的概念及其方程4 掌握平行平面束的概念及其方程5 會靈活運用平面束的觀點建立平面的方程教學重點、難點：重點：有軸平面束和平行平面束的方程難點：運用平面束的觀點建立平面的方程教學內(nèi)容：3.8 平面束一有軸平面束1. 定義 空間中通過同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束。那條直線叫做平面束的軸。2. 有軸平

18、面束的方程th3.8.1. 若兩個平面 交于一直線，則以為軸的有軸平面束的方程是： （3.8-1）其中，是不全為零的任意實數(shù)。注.th3.8.1的意思是（3.8-1）表示以為軸的有軸平面束的中的全體平面。證：（1）證明對任意一對取定的不全為零的實數(shù)， （*）表示以為軸的有軸平面束的一個平面。將（*）改寫為： （*）相交， 因此(*)中的系數(shù),不全為零(否則與矛盾)，從而(*)是一個關(guān)于的一次方程,故它表示一個平面.因（*）與（*）同解，故（*）表示一個平面。（再證（*）表示以為軸的有軸平面束中的一個平面）為的交線上的點的坐標同時滿足方程，從而也滿足（*）那么，即（亦即為以為軸的平面束中的一個平

19、面），這樣，（*）表示以為軸的有軸平面束中的任意一個平面。（）證明對以為軸的平面束中的任意一個平面，我們都能確定，使的方程為（3.8-1）的形式.取。先證在（3.8-1）表示的平面的集合中有一個平面過。存在不全為零的，使不全為零的，使，則，不全為零（否則，與矛盾）不全為零的，使，從而存在，（再證的方程具有（3.8-1）的形式）由（1）的證明可知的平面過，這樣都過過的平面是唯一的因此的方程為：，具有（3.8-1）的形式。例1求通過直線且與平面垂直的平面方程.解.設所求平面方程為：即.所求平面與平面垂直，從而兩者的法矢垂直，即，取得所求平面方程為：，即 .例3試證兩直線在同一平面上的充要條件是.證

20、：共面于過且過為以為軸的平面束中的一個平面，同時也是以為軸的平面束中的一個平面存在不全為零的，使的方程為： （）存在不全為零的，使的方程為： （）存在不全為零的與，使平面（）與（）重合存在不全為零的與，使（）與（）中的的系數(shù)及常數(shù)項對應成比例，設比為，即） （） 存在非零解二平行平面束1. 定義 空間中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束2. 平行平面束的方程th3.8.2. 若兩個平面，為平行平面（），則方程： 表示平行平面束，平面束里任何一個平面都和平行，其中是不全為零的任意實數(shù)，且。此定理的證明方法與th3.8.1的證明類似，故略推論 由平面決定的平面束（即與平面平行的全體平面）

21、的方程為：，其中是任意實數(shù)（當取定一個值時，就表示與平行的一個平面）例2. 求與平面平行且在軸上的截距等于-2的平面方程.解.所求平面與平面平行（即為由平面所決定的平行平面束中的一個平面）可設的方程為：，為實數(shù).在軸上的截距等于-2，過點.由此得： ，故的方程為：.復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題.：1，作業(yè)題：習題.：1（2），3，4，6，下次課預習要點 柱面的概念 柱面方程的求法 空間曲線的射影柱面實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 次課授課章節(jié)4.1 柱面任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等

22、編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求： 掌握柱面的概念和柱面方程的求法 空間曲線的射影柱面的概念教學重點、難點：重點：柱面方程的求法難點：柱面方程的推導教學內(nèi)容：4.1 柱面1. 定義 由平行于某一定方向的動直線,沿空間一條定曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面.定曲線叫做柱面的準線, 動直線的每個位置叫做柱面的母線.注: 顯然，柱面的準線不唯一。2. 方程取。設柱面的準線的方程為，母線的方向數(shù)為.設為的準線上任一點，則的過的母線方程為：，且 ，由的任意性知（*） 表示的任意母線。因此，當取遍上全部點時，（*）表示的全部母線，即

23、表示。這里為參數(shù)。設將（*）中的參數(shù)消去后所得方程為： （*），則（*）也表示，也就是說，為的方程。由以上討論，我們得到求柱面方程的一般方法，即：在已知柱面的母線方向和準線方程的情況下，按以上步驟即可求得柱面方程。例1 已知一個柱面的準線方程為，其母線的方向數(shù)是-1，0，1，求該柱面的方程。解. 設是準線上的點，過的母線為： 且有 由得， 將代入和得， +（-2）得， 將代入（或）得所求柱面方程為：，即.例2 已知圓柱面的軸為，點在此柱面上，求這個圓柱面的方程。解法一. 的母線平行于其軸， 的母線的方向數(shù)為1，-2，-2.若能求出圓柱面的準線（可取為一個圓周），那么再運用例1的解法問題就解決了

24、，而空間中的圓周，總可看成某一球面與某一平面的交線。由軸的方程知其過，.以為球心，以為半徑的球面方程為：.過且垂直與軸的平面的方程為：， 即 .=： 為的準線 .設為上的點，則 的過的母線為： 由得， 將代入可得：由上式得 將代入得： 將代入并整理得 ：.注：圓柱面是一種特殊的柱面，在特殊的情況下，除了用一般的解法外，往往還有其它特殊的解法. 若將圓柱面看成動點到軸線等距離點的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 軸的方向矢量為，在軸上，在上，點到的距離 （見點到直線的距離公式的推導，p133-134） .到軸的距離為 （*）故的方程為（*）。3. 母線平行于

25、坐標軸的柱面方程th4.1.1 在空間直角坐標系中（或在空間仿射坐標系中），只含兩個元（坐標）的三元方程所表示的曲面是一個柱面，它的母線平行于所缺元（坐標）的同名坐標軸。證： 下證表示母線平行于軸的柱面.取由曲面與面的交線.考慮以為母線，軸的方向為0：0：1為母線方向的柱面的方程.設為上任一點，過的母線的為： 且 由得，將其代入消參數(shù)得 ：，即表示。又的母線平行于軸，故表示母線平行于軸的柱面.同理可證。例3. 空間曲線的射影柱面1 概念：設為空間曲線，過作母線平行于軸的柱面：.過作母線平行于軸的柱面：過作母線平行于軸的柱面：稱為對面射影的射影柱面，稱為在面上的射影曲線。稱為對面射影的射影柱面，

26、稱為在面上的射影曲線。稱為對面射影的射影柱面，稱為在面上的射影曲線。因是，的交線，故 為的方程.因是，的交線，故 為的方程.因是，的交線，故 為的方程.方程（8），都稱為的射影式方程.即的射影式方程是由的對兩個坐標面的射影柱面的方程聯(lián)立而成的方程組。2 空間曲線與坐標面射影的射影柱面的求法及空間曲線的射影式方程的求法。設的一般方程為：由消去變量可得： 由定理知表曲線平行于軸的柱面.以下說明為對面射影的射影柱面的方程，由于為母線平行于軸的柱面的方程。故只需說明柱面通過，即只要說明上的任一點在柱面上。 設為上任一點，則滿足，又由于是由消去得到，故滿足。故在柱面上。由定義知為對面射影的射影柱面。同理

27、由消去變量所得方程為對面射影的射影柱面方程.同理由消去變量所得方程為對面射影的射影柱面方程.由定義，將對三個坐標面的射影柱面方程的任兩個聯(lián)立即得的射影式方程。例：求曲線： 對坐標面的射影柱面及其的射影式方程.解：得： 即 此為對面的射影柱面。得： 即 此為對面的射影柱面。得： 即 此為對面的射影柱面。的射影式方程為或 或注：利用空間曲線的射影式方程有利于認識空間曲線的形狀。例如 由為的射影式方程知 是以下兩個柱面的交線。一個是準線為面上的圓，母線平行于軸的圓柱面。另一個是準線為面上的拋物線，母線平行于軸的拋物柱面。故可知的形狀如圖所示。復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題4.1：1，3，5，6，

28、7，9作業(yè)題：習題4.1：1（2），2，4，8（1）（4），下次課預習要點 錐面的概念 錐面的方程實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 18 次課授課章節(jié)4.2 錐面任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求： 掌握錐面的概念 會求錐面的方程教學重點、難點：重點：錐面方程的求法難點：教學內(nèi)容：4.2 錐面 1. 定義 設為一空間定曲線，頂點，通過的動直線沿移動所產(chǎn)生的曲面稱為錐面。動直線的每個位置叫做

29、錐面的母線，定點叫做錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。注：由此定義，若給定了錐面的準線和頂點，錐面就完全確定了。但錐面的準線不唯一。實際上，和一切母線都相交的每一曲線都可作為該錐面的準線。2. 方程取，設錐面的準線：，頂點為.在的某一條母線上 使在的過的母線上 （*） 故（*）為的方程，為參數(shù).將（*）中的參數(shù)消去，得的方程：例1. 求以原點為頂點，為準線的錐面方程.解. 設為上任意點，則過的母線為：，即 且有 將代入得： 代入得：為所求注：如圖，稱為二次錐面。例2. 已知一圓錐面（以圓為一條母線的錐面）的頂點為，其軸垂直于平面，母線與軸組成角，試求該圓錐面的方程.解.（因用一般方法先求錐面的

30、一條母線比較麻煩，這里用特殊方法求解，即利用已知條件和曲面的方程的定義求解）設為所求曲面上任一點，令為的一個方向向量（在直角坐標系下）. .故即為所求。注： 因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種解圓錐面的特殊方法，至于先求出圓錐面的準線，再利用頂點與準線求該圓錐面的一般方法，請同學們?nèi)ネ瓿伞＃ㄌ崾荆合惹蟮降木嚯x，作以為球心，半徑的球面以與的交線為的準線）3. 關(guān)于錐面的一個定理（1）三元次齊次函數(shù)： 設為實數(shù)，對函數(shù)，若有，（這里的取值應使有確定的意義。例如當是，）則稱為三元次齊次函數(shù).例如 為三元2次齊次函數(shù).（2）三元次齊次方程：，其中為三元次齊次函數(shù)。注. 以上兩個概念可推廣到個變

31、量的情形.（3）三元齊次方程的意義th4.2.1 一個關(guān)于的齊次方程總表示頂點在坐標原點的錐面。證： 由齊次方程的定義有.當時有，故曲面：過原點設為上非原點的任意點，則（滿足即）.直線的方程為 （直線過原點，為其方向數(shù)），代入得，即直線上的所有點的坐標滿足曲面的方程.因此直線在曲面：上，故曲面：是由這種通過坐標原點的直線組成，即它是以原點為頂點的錐面。注. 在特殊情況下，關(guān)于的齊次方程可能只表示原點。例如。這樣的曲面，長稱為有實頂點的虛錐面。推論. 關(guān)于的齊次方程 （*）表示頂點在的錐面。證. 作坐標變換，則（*）化為 為齊次方程，故表示以為頂點的錐面。從而表示頂點在的錐面。復習思考題、作業(yè)題

32、復習思考題：習題1.3：1，4作業(yè)題：習題4.2：2，3，5，6下次課預習要點 旋轉(zhuǎn)曲面的概念及其方程 橢球面的定義、幾何性質(zhì)、形狀實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 19 次課授課章節(jié)4.3 旋轉(zhuǎn)曲面4.4 橢球面任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求： 掌握旋轉(zhuǎn)曲面的概念及其方程的求法 掌握橢球面的定義、幾何性質(zhì)、形狀 學會平行截割法教學重點、難點：重點：旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法；橢球面的形狀；

33、平行截割法難點：旋轉(zhuǎn)曲面的方程的求法教學內(nèi)容：4.3 旋轉(zhuǎn)曲面一.有關(guān)概念1. 旋轉(zhuǎn)曲面及其母線與軸 在空間，一條曲線繞一定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。叫做的母線，稱為的的旋轉(zhuǎn)軸，簡稱為軸。例如，球面可視為半圓周繞直徑旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。另外，圓錐面，圓柱面都為旋轉(zhuǎn)曲面。2.緯圓與經(jīng)線： 設為旋轉(zhuǎn)曲面的母線上的任一點，在繞軸旋轉(zhuǎn)時，也繞旋轉(zhuǎn)而形成一個圓，稱其為的緯圓或緯線。以為邊界的半平面與的交線稱為的經(jīng)線注. 的緯圓實際上是過母線上的點且垂直于軸的平面與的交線。的所有緯圓構(gòu)成整個。 的所有經(jīng)線的形狀相同，且都可以作為的母線。而母線不一定是經(jīng)線，這里因為母線不一定為平面曲線，而經(jīng)線為平

34、面曲線。二. 方程在直角坐標系下，設旋轉(zhuǎn)曲面的母線為，的軸為，這里為上一點，為的方向數(shù)。在的某個緯圓上 ，使在的過的緯圓上 的過的緯圓可看成：過且垂直于的平面：與以為心，為半徑的球面：的交線。故有，使 且 （由到消去參數(shù)）故為的方程。例1 求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解. 設，旋轉(zhuǎn)軸過.過的緯圓方程為： 在母線上， （*）由（*）得 （3）將（3）代入（1）得：，即 （）將（）代入（）得：（）將（）代入（）得：即：.三特殊情形下的方程為方便起見，取旋轉(zhuǎn)曲面的某一條經(jīng)線（顯然為平面曲線）作為的母線。取直角坐標系：把母線所在的平面取作坐標面，而旋轉(zhuǎn)軸取做坐標軸。這時的方程具有特殊的形式。

35、設旋轉(zhuǎn)曲面的母線，旋轉(zhuǎn)軸為：，設，則過的緯圓為：且由（），（），（）得：（）將（）代入（）得：即母線為，旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：類似地，母線為，旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：.對于其它坐標面上的曲線，繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可類似求出。這樣，我們就得到如下規(guī)律：當坐標平面上的曲線繞此坐標平面的一個坐標軸旋轉(zhuǎn)時，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程可如下得到：將曲線在坐標面里的方程中的與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標保持不變，而以其它兩個坐標的平方和的平方根來代替方程中的另一坐標。例如，為由面上的繞軸所得，則的方程為：。例.例.4.4 橢球面1. 定義 在直角坐標系下，由方程 （4.4-1）所表示的曲面叫橢球面

36、，或稱橢圓面。方程（4.4-1）叫做橢球面的標準方程。其中為任意的正常數(shù)。通常假設。2.幾何性質(zhì)（1）對稱性 若點滿足（4.4-1），則關(guān)于面的對稱點也滿足（4.4-1）。因此橢球面（4.4-1）關(guān)于面對稱。同理橢球面（4.4-1）關(guān)于面和面都對稱。橢球面的對稱平面稱為它的主平面。若點滿足（4.4-1），則的關(guān)于軸的對稱點也滿足（4.4-1）。故橢球面（4.4-1）關(guān)于軸對稱。同理，橢球面（4.4-1）關(guān)于軸和軸也對稱。橢球面的對稱軸稱為它的主軸。若點滿足（4.4-1），則它的關(guān)于坐標原點的對稱點也滿足（4.4-1）。因此橢球面（4.4-1）關(guān)于坐標原點對稱。橢球面的對稱中心稱為它的中心。（2

37、）頂點，軸及半軸（p159，正2行p159，正15行）橢球面與軸的交點為：（3）范圍：（p159，正16行正19行）（4）形狀：（利用所謂平行截割法討論）（p159倒7行p160）3. 參數(shù)方程（*） ，其中為參數(shù)證：對，截線方程為：表為 令，則 當時，分取故得橢球面（4.4-1）的參數(shù)方程（*）例（p161）復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題4.3：1（2）（3），3；習題4.4：5作業(yè)題：習題4.3：（）（4），2；習題4.4：2，3，4，6下次課預習要點 單葉雙曲面的性質(zhì)及圖形 雙葉雙曲面的性質(zhì)及圖形實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 20 次課授

38、課章節(jié)4.5 雙曲面任課教師及職稱許新齋 教授教學方法與手段課堂講授課時安排2使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求： 掌握單葉雙曲面的標準方程、性質(zhì)及圖形。 掌握雙葉雙曲面的標準方程、性質(zhì)及圖形。教學重點、難點：重點：單葉雙曲面、雙葉雙曲面的標準方程、性質(zhì)及圖形難點：單葉雙曲面、雙葉雙曲面的圖形的討論教學內(nèi)容：4.5 單葉雙曲面一單葉雙曲面1. 定義 在下，由方程 （4.5-1）（為任意正常數(shù)）表示的曲面叫做單葉雙曲面。方程（4.5-1）叫做單葉雙曲面的標準方程。注. 當時，單葉雙曲面（4

39、.5-1）就成為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面（4.3-3）2.幾何性質(zhì)（1）對稱性（2）頂點（3）形狀（p163 正8行p165）注：方程與也都是單葉雙曲面。例（p167）二雙葉雙曲面1定義2幾何性質(zhì)（1）對稱性（2）頂點（3）范圍：（4）形狀注：p164，倒2行p165正3行復習思考題、作業(yè)題復習思考題：習題4.5：1，2，6，7作業(yè)題：習題4.5：3，4，5下次課預習要點 橢圓拋物面的標準方程、性質(zhì)、圖形 雙曲拋物面的標準方程、性質(zhì)、圖形實施情況及教學效果分析學院審核意見 學院負責人簽字 年 月 日授課時間 第 21 次課授課章節(jié)1.3 數(shù)量乘向量1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解任課教師及職稱許新齋

40、教授教學方法與手段課堂講授課時安排3使用教材和主要參考書解析幾何呂林根等編，高等教育出版社；解析幾何吳光磊等編，人民教育出版社； 解解析幾何丘維聲編，北京大學出版社教學目的與要求：1 掌握橢圓拋物面的標準方程、性質(zhì)、圖形。2 掌握雙曲拋物面的標準方程、性質(zhì)、圖形。教學重點、難點：重點：橢圓拋物面、雙曲拋物面的圖形難點：雙曲拋物面的圖形教學內(nèi)容：4.6 拋物面一橢圓拋物面1. 定義 ： （4-16），其中為任意的正常數(shù) 2. 幾何性質(zhì)（1）對稱性 對稱平面：面，面對稱軸：軸無對稱中心（2）頂點：（3）范圍（4）形狀注：在方程（4-16）中，若，則方程變?yōu)椋?.5-3）即，此為旋轉(zhuǎn)拋物面。二雙曲拋

41、物面1. 定義 在直角坐標系下，由方程 （4.6-2）所表示的曲面叫做雙曲拋物面。方程（4.6-2）叫做雙曲拋物面的標準方程。其中，為任意正常數(shù)。2. 幾何性質(zhì)（1）對稱性對稱平面：面，面對稱軸：軸無對稱中心（2）頂點：（曲面與對稱軸的交點）（3）形狀與面的交線：，即與為一對相交于原點的直線與面的交線：，為面上的開口向下的拋物線 與面的交線：，為面上的開口向上的拋物線 與叫做雙曲拋物面（4.6-2）的主拋物線與平面的交線：， 即 為面上的開口向下的拋物線 與平面的交線： 為雙曲線 當時，此雙曲線的實軸平行于軸，虛軸平行與軸，頂點為，在主拋物線上 當時，此雙曲線的實軸平行于軸，虛軸平行與軸，頂點

42、為，在主拋物線上 由以上討論可見，雙曲拋物面（4.6-2）被面分成上下兩部分，上半部沿軸的兩個方向上升。下半部沿軸的兩個方向下降。曲面在原點附近的形狀象一只馬鞍子。故雙曲拋物面（4.6-2）也叫馬鞍面。為進一步明確雙曲拋物面的結(jié)構(gòu)，再觀察用截割雙曲拋物面（4.6-2）所得的截線，此時截線為拋物線： 不論取何實數(shù)，所截得的拋物線總與主拋物線是全等的（），且所在平面平行與這個主拋物線所在的平面，而它的頂點則在另一主拋物線上。于是得到下面的結(jié)論：雙曲拋物面（4.6-2）可看作拋物線的頂點沿著拋物線滑動時，拋物線隨之平行移動而形成的軌跡。注：橢圓拋物面與雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面。它們都沒有對稱中心，故又

43、叫無心二次曲面。例1 作出球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線。解. （1）-（2）：由（2）知. 取，將代入（1）： 這是平面上的一個圓，圓心為，半徑為2。它的圖形如圖。例2. 作出曲面：與平面，以及三坐標面所圍成的立體在第一卦限部分的主體圖形。解. 為拋物柱面，起母線平行與軸。面上的拋物線為其一準線，該拋物線的頂點為，取參數(shù)，開口方向與軸的方向相反，與軸的交點為。在第一卦限的部分如圖所示為以面上的直線為準線，母線平行于軸的柱面。該準線過為了畫出所要求的主體圖，關(guān)鍵是要畫出與的交線。畫法如下：在拋物線弧上任取一點，過作的母線，再作軸，交軸于，過作軸，叫于，再作軸，交于。則既在的母線上，又在的母線上，故在與的交