2.1D定積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第五章 定 積 分 積分學(xué)積分學(xué) 不定積分不定積分 定積分定積分 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第一節(jié) 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例 二、二、 定積分的定義定積分的定義 定積分的概念及性質(zhì) 第五章 三、三、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面

2、積 設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線 )0)()(xfxfy ，軸及x 以及兩直線 bxax, 所圍成 , 求其面積 A . ?A )(xfy 矩形面積a h ha a h b 梯形面積)( 2 ba h y O x a b 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 1 x i x 1i xxa b y O 解決步驟解決步驟 : 1) 大化小大化小. bxxxxxa nn 1210 , 1iii xx 用直線 i xx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形; 2) 常代變常代變. 作以, 1ii xx 為底 ,)( i f 為高的小矩形, 并以

3、此小 矩形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積, i A得 )()( 1 iiiiii xxxxfA ),2, 1,ni i 在區(qū)間 a , b 中 插入 n 1 個分點任意 在第i 個窄曲邊梯形上任取 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 3) 近似和近似和. n i i AA 1 n i ii xf 1 )( 4) 取極限取極限. 令, max 1 i ni x 則曲邊梯形面積 n i i AA 1 0 lim n i ii xf 1 0 )(lim 1 x i x 1i xxa b y O i 第五章第五章 定積分定積分 高

4、等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 2. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程 設(shè)某物體作直線運動, ,)( 21 TTCtvv且 ,0)(tv 求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s. 解決步驟解決步驟: 1) 大化小大化小. , , 1iii tt 任取 將它分成 , ),2, 1(, 1 nitt ii 在每個小段上物體經(jīng) 2) 常代變常代變. ,)(代替變速以 i v 得 iii tvs)( ,1, 21 個分點中任意插入在nTT ),2, 1(nis i ), 2, 1(ni 已知速度 n 個小段 過的路程為 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高

5、等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 3) 近似和近似和. i n i i tvs 1 )( 4) 取極限取極限 . i n i i tvs 1 0 )(lim )max( 1 i ni t 上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 : “大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限 i n i i tvs 1 0 )(lim n i ii xfA 1 0 )(lim 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) O ab x 二、定積分定義二、定積分定義

6、 ,)(上有界在設(shè)函數(shù)baxf的若對,ba , 210 bxxxxa n , 1 iii xxx令任取一點 , , 1 iii xx i 時只要0max 1 i ni x i n i i xf 1 )( 總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間 ,ba 1 x i x 1i x ,d)( b a xxf即 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 記作 任意一種分法 上的 ,定積分定積分 此時稱 f ( x ) 在 a , b 上 .可積可積 (P194 ) 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分

7、的概念與性質(zhì) b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim 積分上限 積分下限 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積分和 稱為積分區(qū)間,ba 定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分 變量用什么字母表示無關(guān) , 即 b a xxfd)( b a ttfd)( b a uufd)( 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 定積分的幾何意義定積分的幾何意義: Axxfxf b a d)(,0)(曲邊梯形面積 b a xxfxfd)(,0)( 曲邊梯形面積的負(fù)值 a b y x 1 A 2 A 3 A 4 A 5

8、 A 54321 d)(AAAAAxxf b a 各部分面積的代數(shù)和 A O 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) O 1 x y n i 可積的充分條件可積的充分條件: n i x 1 , n i i 取),2, 1(ni 定理定理1 上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf 定理定理2 ,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點 (證明略) 例例1.d 1 0 2 xx 解解 將 0,1 n 等分, 分點為 n i i x ), 1 ,0(ni .,)(可積在baxf 2 xy iiii xxf 2 )(則 3

9、2 n i 利用定義計算定積分 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) ii n i xf )( 1 n i i n 1 2 3 1 ) 12)(1( 6 11 3 nnn n ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn i n i i xxx 1 2 0 1 0 2 limd n lim 3 1 ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn O 1 x y n i 2 xy 當(dāng)n 較大時, 此值可作 為的近似值 xx d 1 0 2 注： 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的

10、概念與性質(zhì) 注注 利用利用,133) 1( 233 nnnn得 133) 1( 233 nnnn 1) 1( 3) 1( 3) 1( 233 nnnn 1131312 233 兩端分別相加, 得 1) 1( 3 n)21 ( 3nn 即nnn33 23 n i i 1 2 33 2 ) 1( nn n n i i 1 2 6 1 ) 12)(1(nnn )21 ( 3 222 n 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 1 21 lim)2( p ppp n n n n n i p n 1 lim 1 n i xx p d 1

11、0 i i x 例例2 n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( 1 21 lim)2( p ppp n n n 解解 n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( nn i n i n 1 1lim 1 i i x xxd1 1 0 O x 1 n i 1 n i 用定積分表示下列極限: 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在設(shè)所列定積分都存在) a b b a xxfxxfd)(d)() 10d)( )2 a a xxf b a xd. 1 xxfkxxf

12、k b a b a d)(d)(. 2 ( k 為常數(shù)) b a b a b a xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 3 證證 iii n i xgf )()(lim 1 0 左端 ii n i ii n i xgxf )(lim)(lim 1 0 1 0 = 右端 ab 規(guī)定規(guī)定 定積分的 線性性質(zhì) 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 證證bca時, 因)(xf在,ba上可積 , 所以在分割區(qū)間時, 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點 , 于是 , )( ba ii xf , )( ca ii xf , )( bc ii

13、xf 0令 b a xxfd)( c a xxfd)( b c xxfd)( a b c 當(dāng) b c c a b a xxfxxfxxfd)(d)(d)(. 4 積分對積分區(qū)積分對積分區(qū) 間具有可加性間具有可加性 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) a b c 當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如,cba 則有 c a xxfd)( b a xxfd)( c b xxfd)( c a xxfd)( b a xxfd)( c b xxfd)( c a xxfd)( b c xxfd)( 綜上可得, 對任意位置的 c

14、 ，都有 b c c a b a xxfxxfxxfd)(d)(d)( 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 5. 0)( 1 ii n i xf 那么.0d)( xxf b a 證證 ,0)(xf b a xxfd)( 0)(lim 1 0 ii n i xf 推論推論1, )()(xgxf那 么 xxf b a d)( xxg b a d)( 若在 a , b 上 若在 a , b 上 證證 )( xf)(xf)(xf 推論推論2 xxf b a d)( xxf b a d)( )(ba xxfxxfxxf b a b a

15、 b a d)(d)(d)( 即xxfxxf b a b a d)(d)( 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 例例3 證證)(xf, sin x x 則在),0( 2 上, 有 )(xf 2 sincos x xxx )tan(xx 2 cos x x 0 )0()()( fxff 2 即 2 , 1)(xf), 0(x 2 故xxxfxd1d)(d 2 2 2 000 2 即 2 d sin 1 2 0 x x x . 2 d sin 1 2 0 x x x 試證: 設(shè) 6. , )(min, )(max , xfmxf

16、M baba 那么 )(d)()(abMxxfabm b a )(ba 設(shè) 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 7. 積分中值定理積分中值定理 , ,)(baCxf若則至少存在一點 , ,ba 使 )(d)(abfxxf b a 證證 ,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè) 則由性質(zhì)6 可得 Mxxf ab m b a d)( 1 根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba , ,ba點使 xxf ab f b a d)( 1 )( 因此定理成立. 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)

17、第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) Oxba y )(xfy 說明說明: .都成立或baba 可把 )( d)( f ab xxf b a .,)(上的平均值在理解為baxf 故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對 ab xxf b a d)( 因 n ab f ab n i i n )(lim 1 1 )( 1 lim 1 n i i n f n 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 例例4 計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自由落體的平均 速度. 解解 tgv 故所求平均速度 v 2 2 11 Tg

18、T 2 Tg T ttg 0 d 0 1 T O tgv v Tt 2 2 1 TgS 已知自由落體速度為 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 定積分的定義定積分的定義 乘積和式的極限 2. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 3. 積分中值定理積分中值定理 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式 b a xxfd)( i n i i xf 1 0 )(lim )( d)( f ab xxf b a 線性性質(zhì) 不等式性質(zhì) 積分對區(qū)間的可加性 測度性質(zhì) 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定

19、積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) O x O1 x n 1 n 2 n n 1 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 用定積分表示下述極限 : n n nnn I n ) 1( sin 2 sin sin 1 lim 解解 1 0 sinlim n k nn k I 1 n 0 dsin 1 xx n n 2 n n) 1( 或 )(sinlim 1 0 n k nn k I n 1 1 0 dsinxx 第五章第五章 定積分定積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上） 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 考慮考慮: 如何用定積分表示下述極限 n n n n nn I n ) 1( sin sin