2.1函數的冪級數展開ppt課件

1、14.2 函數的冪級數展開 一、函數的冪級數展開一、函數的冪級數展開 1. Taylor級數 則有Taylor公式和Maclaurin公式 . Taylor公式：公式： ( )f x ( ) 0 0 0 () ()( ) ! k n k n k fx xxRx k ( ) 0 0000 () ()()()() ! n n fx f xfxxxxx n ( ) n Rx Peano型余項：型余項： 0 ( )(), n n R xoxx Lagrange型余項型余項: (1) 1 00 ( ) ( )(), . (1)! n n n f R xxxxx n 在 與 之間 (1) 001 0 ()

2、 ( )(), (1)! n n n fxxx R xxx n 或01 0 (),xx 0 (1) 1 ( )( )() ! x nn n x Rxftxtdt n 在上述積分型余項的條件下，有 Cauchy余項：余項： (1)1 000 1 ( )() (1) (), ! nnn n Rxfxxxxx n 01 (1) 1 ( )( )(), ! nn n Rxfxx n 0.x在 與 之間 Taylor公式僅有有限項，是用多項式逼近函 數。項數無限增多時，得 Taylor級數：級數： ( ) 0 0000 () ()()()() ! n n fx f xfxxxxx n ( ) 0 0 0

3、 () () , ! n n n fx xx n Taylor級數。級數。 Maclaurin級數，級數， 定義定義 ( ) 0 0 0 () ( ) ?() ! n n n fx f xxx n 函數 f(x)與其Taylor級數是否相等呢？ 不一定不一定. 自然會有以下問題 2函數與其Taylor級數的關系 求得 ( ) 1 ! ( ), (1) n n n fx x ( 1 ),x ( ) (0)!. n fn 其Taylor級數為 2 1 n xxx 0 . n n x 該冪級數的收斂域為 ( 1 , 1) 而在其他點并不相等，因為級數發(fā)散。 那么，在Taylor級數的收斂點，是否必有

4、f (x) 和其Taylor級數相等呢？回答也是否定的。 2 1 ,0 ( ) 0 2 ,0 x ex f x x 例 ( ) (0)0(0,1,2,) n fn且 0 ( )0 n n f xTaylorx 的級數為 (,)( )0.s x 該級數在內和函數可見 0,( )( ).xf xTaylorf x除外的級數處處不收斂于 在x=0點任意可導, 另一方面，由本章1和函數的性質知： 綜上，我們有如下結論: 完全相同的Taylor級數。 Taylor級數。級數。 3函數的Taylor展開式 開成Taylor級數(自然要附帶展開區(qū)間)。 Taylor展開式或冪級數展開式。展開式或冪級數展開式

5、。 通常多考慮的是Maclaurin展開式。 4.可展條件 |( )( )| |( )| , nn f xSxRx ,( ),f x所以能展開為泰勒級數 lim( )0. n n R x ( )lim( ), n n f xSx ( ) 0 0 0 () ( )()( ) ! in i n i fx f xxxRx i 證：利用Lagrange型余項，設 ( ) |( )| () n fxM常數 則有 |( )| n Rx (1) 1 0 ( ) () (1)! n n f xx n 1 0 | (1)! n xx M n 00 (,),xxR xR 有 1 0 0 (,), (1)! n n

6、 xx n 在收斂 1 0 lim0, (1)! n n xx n lim( )0, n n Rx 故 0 .x可展成點 的泰勒級數 ),( 00 RxRxx 二. 初等函數的冪級數展開式 初等函數的冪級數展開式才是其本質上的 解析表達式. 為得到初等函數的冪級數展開式，或直接為得到初等函數的冪級數展開式，或直接 展開，或間接展開。展開，或間接展開。 1.1.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) ) 步驟: ( ) 0 () (1); ! n n fx a n 求 ( ) (2)lim0( ), n n n RfxM 討論或 ( ).f x則級數在收斂區(qū)間內收 斂于 :解 (0)32 23

7、 ,fxxx (0) (0)3,f (0) (1)1 ;f 2 341 ,fxx (0)1, f ( 1)8;f 64,fx (0)4, f ( 1)10;f 6,f (0)6, f ( 1)6;f (4)( ) 0 n ff ,( ) i所以 23 (0)(0) ( )(0)(0) 2!3! ff f xffxxx 23 32xxx 就是其本身。 ( )ii ( )( 1)( 1)(1)f xffx 23 ( 1)( 1) (1)(1) 2!3! ff xx 23 18(1)5(1)(1)xxx 0 . , ( , 1 ) ! n x n x ex n 解 ( ) ( ), nx fxe (

8、 ) (0)1.(0,1,2,) n fn 2 11 :1 2! xn eTaylorxxx n 的級數為 0,M,M M在上 ( ) ( ) nx fxe M e (0,1,2,)n 2 11 1 2! xn exxx n 由于M的任意性, 即得 2 11 1(,) 2! xn exxxx n x a lnxa e 0 ln , ! nn n xa n |.x 解 ( ) ( )sin(), 2 n n fxx ( ) (0)sin, 2 n n f (2 ) (0)0, n f (21) (0)( 1) , nn f (0,1,2,)n ( ) ( ) n fx且sin() 2 n x 1

9、(,)x 21 35 11 sin( 1) 3!5!(21)! n n x xxxx n (,)x 21 0 . sin( 1) ( ,). (21)! 2 n n n x xx n cosx 2 0 ( 1), (2 )! n n n x n ( , ).x 同理同理 其自身由例3）； (1) m x 2 (1) 1 2! m m mxx (1)(2)(1) ! n m mmmn x n 對余項的討論可利用Cauchy余項. :(1)證明法( )(1) , m f xx記則 ( ) ( )(1)(1)(1), nm n fxm mmnx 1,2,n ( ) (0)(1)(1), n fm m

10、mn1,2,n ( )f xMaclaurin的級數為 (1)(1) 1 ! n m mmn mxx n ( ) ( )1,R的收斂半徑為( 1,1),收斂區(qū)間為 ( 1,1)Cauchy在內的余項為 ( ) n Rx 11 (1)()1 (1) !1 n nm m mmn xx nx 01 ( ) n Rx 11 (1)()1 (1) !1 n nm m mmn xx nx 01 1x 當時,( ), 1 (1)() ! n m mmn x n 0,()n 1,x 由 11,x 1 01, 1x 1 1, 1 n x 1,x當0時11x 1, x 10,x 當時11xx 1, 1 1 (1)

11、11. m m xx 總是介于兩個正數 與之間 綜上所述,1x 當時,lim ( )0. n n Rx / ( 1,1) ,在內若 (1)(1) ( )1 ! n m mmn s xmxx n 1 (1)(1) ( )(1) (1)! n m mmn s xmm mxx n 2 (1)(1) ( )(1) (1)! n m mmn xs xmxm mxx n (1)(1)(1)()(1)(1) (1)! mmnmmnm mmn nnn 利用 (法2) (1) ( )x s x 2 221 (1)(1)(1) 2! n m mmmmn mm xxx n ( )ms x ( ) , ( )1 s

12、xm s xx (0)1.s且 兩邊積分 00 ( ) , ( )1 xx s xm dxdx s xx ( 1,1)x 得 ln ( )ln (0)ln(1),s xsmx 即ln ( )ln(1) , m s xx ( )(1) , m s xx ( 1,1)x 2 (1) (1)(1)(1) 1 2! m n x m mm mmn mxxx n ( 1,1)x 牛頓二項式展開式 注意:1.xm 在處收斂性與 的取值有關 1( 1,1);m 收斂域為 10( 1,1;m 收斂域為 0 1,1.m 收斂域為 參閱菲赫金哥爾茨 微積分學教程 第二卷第二分冊 1 1, 2 m 例如,當時 有 2

13、3 1 1( 1)( 1,1) 1 nn xxxx x 23 111 3(23)! 11( 1) 22 42 4 6(2 )! 1,1 nn n xxxxx n 23 111 31 3 5(21)! 1( 1) 22 42 4 6(2 )! 1 1,1 nn n xxxx n x 雙階乘雙階乘 2.2.間接法間接法 利用已知展開式，進行變量代換、四則運算 以及逐項微分、逐項積分運算，可得到一些函 數的展開式。 利用逐項微分、逐項積分運算時，要求一致 收斂，而冪級數在其收斂區(qū)間內閉一致收斂， 總可保證這些運算暢通無阻。例如： 22 11 11 xx xx 以與分別代入與的展開式,得 242 2

14、1( 1), ( 1,1) 1 nn xxxx x 246 2 111 31 3 5 1 22 42 4 6 1 xxx x ( 1,1)x 23 1 . ln(1)( 1) 23 4 n n xxx xx n 1 1 ( 1) n n n x n ( 1 , 1 x 就有 ln(1)x 0 1 x dt t 0 0 ( 1) x nn n t dt 1 0 ( 1) 1 n n n x n 1 1 ( 1) n n n x n ( 1 , 1)x 357 7 5. 35 xxx arctgxx 21 0 ( 1 ), 21 n n n x n 1 , 1 .x 2 2 0 1 ( 1 ),

15、1 nn n x x 由( 1 , 1 )x ,:兩端積分 有 arctgx 2 0 1 x dt t 2 0 0 ( 1) x nn n tdt 2 0 0 ( 1) x nn n t dt 21 0 ( 1 ), 21 n n n x n :解( )f x 131 2 131xx 1 00 1 3 2 nnn nn xx 1 0 1 ( 31 ) , 2 nn n x 1 | | . 3 x 1 11 1 !(1)! n n x nn 1 1 1 ! n n n x n 0 1 , ! n n n x n |x :解 ( )f x xx exe 1 00 ! nn nn xx nn 01 !(1)! nn nn xx nn 11 1 !(1)! nn nn xx nn :解 2 ,: x xex以代替展開式中的得 2 x e 2462 ( 1) 1 1!2!3! nn xxxx n x ,逐項積分( ),F x 得在內的展開式 2 0 ( ) x t F xedt 35721 111( 1) . 1! 32! 53! 7!21 nn xxxx x nn / 例7 1 ( )1 4 x f xx x 將在處展開成泰勒級數 解 ( ) (1)(1). n xf展開成的冪級數 并求 11 43(1)