2.1函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)ppt課件

1、14.2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 1. Taylor級(jí)數(shù) 則有Taylor公式和Maclaurin公式 . Taylor公式：公式： ( )f x ( ) 0 0 0 () ()( ) ! k n k n k fx xxRx k ( ) 0 0000 () ()()()() ! n n fx f xfxxxxx n ( ) n Rx Peano型余項(xiàng)：型余項(xiàng)： 0 ( )(), n n R xoxx Lagrange型余項(xiàng)型余項(xiàng): (1) 1 00 ( ) ( )(), . (1)! n n n f R xxxxx n 在 與 之間 (1) 001 0 ()

2、 ( )(), (1)! n n n fxxx R xxx n 或01 0 (),xx 0 (1) 1 ( )( )() ! x nn n x Rxftxtdt n 在上述積分型余項(xiàng)的條件下，有 Cauchy余項(xiàng)：余項(xiàng)： (1)1 000 1 ( )() (1) (), ! nnn n Rxfxxxxx n 01 (1) 1 ( )( )(), ! nn n Rxfxx n 0.x在 與 之間 Taylor公式僅有有限項(xiàng)，是用多項(xiàng)式逼近函 數(shù)。項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí)，得 Taylor級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： ( ) 0 0000 () ()()()() ! n n fx f xfxxxxx n ( ) 0 0 0

3、 () () , ! n n n fx xx n Taylor級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。 Maclaurin級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)， 定義定義 ( ) 0 0 0 () ( ) ?() ! n n n fx f xxx n 函數(shù) f(x)與其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢？ 不一定不一定. 自然會(huì)有以下問(wèn)題 2函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系 求得 ( ) 1 ! ( ), (1) n n n fx x ( 1 ),x ( ) (0)!. n fn 其Taylor級(jí)數(shù)為 2 1 n xxx 0 . n n x 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?( 1 , 1) 而在其他點(diǎn)并不相等，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散。 那么，在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，是否必有

4、f (x) 和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢？回答也是否定的。 2 1 ,0 ( ) 0 2 ,0 x ex f x x 例 ( ) (0)0(0,1,2,) n fn且 0 ( )0 n n f xTaylorx 的級(jí)數(shù)為 (,)( )0.s x 該級(jí)數(shù)在內(nèi)和函數(shù)可見(jiàn) 0,( )( ).xf xTaylorf x除外的級(jí)數(shù)處處不收斂于 在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo), 另一方面，由本章1和函數(shù)的性質(zhì)知： 綜上，我們有如下結(jié)論: 完全相同的Taylor級(jí)數(shù)。 Taylor級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。 3函數(shù)的Taylor展開(kāi)式 開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開(kāi)區(qū)間)。 Taylor展開(kāi)式或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。展開(kāi)式或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

5、。 通常多考慮的是Maclaurin展開(kāi)式。 4.可展條件 |( )( )| |( )| , nn f xSxRx ,( ),f x所以能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù) lim( )0. n n R x ( )lim( ), n n f xSx ( ) 0 0 0 () ( )()( ) ! in i n i fx f xxxRx i 證：利用Lagrange型余項(xiàng)，設(shè) ( ) |( )| () n fxM常數(shù) 則有 |( )| n Rx (1) 1 0 ( ) () (1)! n n f xx n 1 0 | (1)! n xx M n 00 (,),xxR xR 有 1 0 0 (,), (1)! n n

6、 xx n 在收斂 1 0 lim0, (1)! n n xx n lim( )0, n n Rx 故 0 .x可展成點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù) ),( 00 RxRxx 二. 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式才是其本質(zhì)上的 解析表達(dá)式. 為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，或直接為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，或直接 展開(kāi)，或間接展開(kāi)。展開(kāi)，或間接展開(kāi)。 1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) ) 步驟: ( ) 0 () (1); ! n n fx a n 求 ( ) (2)lim0( ), n n n RfxM 討論或 ( ).f x則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 斂于 :解 (0)32 23

7、 ,fxxx (0) (0)3,f (0) (1)1 ;f 2 341 ,fxx (0)1, f ( 1)8;f 64,fx (0)4, f ( 1)10;f 6,f (0)6, f ( 1)6;f (4)( ) 0 n ff ,( ) i所以 23 (0)(0) ( )(0)(0) 2!3! ff f xffxxx 23 32xxx 就是其本身。 ( )ii ( )( 1)( 1)(1)f xffx 23 ( 1)( 1) (1)(1) 2!3! ff xx 23 18(1)5(1)(1)xxx 0 . , ( , 1 ) ! n x n x ex n 解 ( ) ( ), nx fxe (

8、 ) (0)1.(0,1,2,) n fn 2 11 :1 2! xn eTaylorxxx n 的級(jí)數(shù)為 0,M,M M在上 ( ) ( ) nx fxe M e (0,1,2,)n 2 11 1 2! xn exxx n 由于M的任意性, 即得 2 11 1(,) 2! xn exxxx n x a lnxa e 0 ln , ! nn n xa n |.x 解 ( ) ( )sin(), 2 n n fxx ( ) (0)sin, 2 n n f (2 ) (0)0, n f (21) (0)( 1) , nn f (0,1,2,)n ( ) ( ) n fx且sin() 2 n x 1

9、(,)x 21 35 11 sin( 1) 3!5!(21)! n n x xxxx n (,)x 21 0 . sin( 1) ( ,). (21)! 2 n n n x xx n cosx 2 0 ( 1), (2 )! n n n x n ( , ).x 同理同理 其自身由例3）； (1) m x 2 (1) 1 2! m m mxx (1)(2)(1) ! n m mmmn x n 對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng). :(1)證明法( )(1) , m f xx記則 ( ) ( )(1)(1)(1), nm n fxm mmnx 1,2,n ( ) (0)(1)(1), n fm m

10、mn1,2,n ( )f xMaclaurin的級(jí)數(shù)為 (1)(1) 1 ! n m mmn mxx n ( ) ( )1,R的收斂半徑為( 1,1),收斂區(qū)間為 ( 1,1)Cauchy在內(nèi)的余項(xiàng)為 ( ) n Rx 11 (1)()1 (1) !1 n nm m mmn xx nx 01 ( ) n Rx 11 (1)()1 (1) !1 n nm m mmn xx nx 01 1x 當(dāng)時(shí),( ), 1 (1)() ! n m mmn x n 0,()n 1,x 由 11,x 1 01, 1x 1 1, 1 n x 1,x當(dāng)0時(shí)11x 1, x 10,x 當(dāng)時(shí)11xx 1, 1 1 (1)

11、11. m m xx 總是介于兩個(gè)正數(shù) 與之間 綜上所述,1x 當(dāng)時(shí),lim ( )0. n n Rx / ( 1,1) ,在內(nèi)若 (1)(1) ( )1 ! n m mmn s xmxx n 1 (1)(1) ( )(1) (1)! n m mmn s xmm mxx n 2 (1)(1) ( )(1) (1)! n m mmn xs xmxm mxx n (1)(1)(1)()(1)(1) (1)! mmnmmnm mmn nnn 利用 (法2) (1) ( )x s x 2 221 (1)(1)(1) 2! n m mmmmn mm xxx n ( )ms x ( ) , ( )1 s

12、xm s xx (0)1.s且 兩邊積分 00 ( ) , ( )1 xx s xm dxdx s xx ( 1,1)x 得 ln ( )ln (0)ln(1),s xsmx 即ln ( )ln(1) , m s xx ( )(1) , m s xx ( 1,1)x 2 (1) (1)(1)(1) 1 2! m n x m mm mmn mxxx n ( 1,1)x 牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式 注意:1.xm 在處收斂性與 的取值有關(guān) 1( 1,1);m 收斂域?yàn)?10( 1,1;m 收斂域?yàn)?0 1,1.m 收斂域?yàn)?參閱菲赫金哥爾茨 微積分學(xué)教程 第二卷第二分冊(cè) 1 1, 2 m 例如,當(dāng)時(shí) 有 2

13、3 1 1( 1)( 1,1) 1 nn xxxx x 23 111 3(23)! 11( 1) 22 42 4 6(2 )! 1,1 nn n xxxxx n 23 111 31 3 5(21)! 1( 1) 22 42 4 6(2 )! 1 1,1 nn n xxxx n x 雙階乘雙階乘 2.2.間接法間接法 利用已知展開(kāi)式，進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算 以及逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分運(yùn)算，可得到一些函 數(shù)的展開(kāi)式。 利用逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分運(yùn)算時(shí)，要求一致 收斂，而冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂， 總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻。例如： 22 11 11 xx xx 以與分別代入與的展開(kāi)式,得 242 2

14、1( 1), ( 1,1) 1 nn xxxx x 246 2 111 31 3 5 1 22 42 4 6 1 xxx x ( 1,1)x 23 1 . ln(1)( 1) 23 4 n n xxx xx n 1 1 ( 1) n n n x n ( 1 , 1 x 就有 ln(1)x 0 1 x dt t 0 0 ( 1) x nn n t dt 1 0 ( 1) 1 n n n x n 1 1 ( 1) n n n x n ( 1 , 1)x 357 7 5. 35 xxx arctgxx 21 0 ( 1 ), 21 n n n x n 1 , 1 .x 2 2 0 1 ( 1 ),

15、1 nn n x x 由( 1 , 1 )x ,:兩端積分 有 arctgx 2 0 1 x dt t 2 0 0 ( 1) x nn n tdt 2 0 0 ( 1) x nn n t dt 21 0 ( 1 ), 21 n n n x n :解( )f x 131 2 131xx 1 00 1 3 2 nnn nn xx 1 0 1 ( 31 ) , 2 nn n x 1 | | . 3 x 1 11 1 !(1)! n n x nn 1 1 1 ! n n n x n 0 1 , ! n n n x n |x :解 ( )f x xx exe 1 00 ! nn nn xx nn 01 !(1)! nn nn xx nn 11 1 !(1)! nn nn xx nn :解 2 ,: x xex以代替展開(kāi)式中的得 2 x e 2462 ( 1) 1 1!2!3! nn xxxx n x ,逐項(xiàng)積分( ),F x 得在內(nèi)的展開(kāi)式 2 0 ( ) x t F xedt 35721 111( 1) . 1! 32! 53! 7!21 nn xxxx x nn / 例7 1 ( )1 4 x f xx x 將在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) 解 ( ) (1)(1). n xf展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù) 并求 11 43(1)