線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

1、線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)實驗指導(dǎo)書嵇啟春西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院第一章 課程簡介，實驗內(nèi)容及學(xué)時安排一、課程簡介線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)是自動化類專業(yè)的主要專業(yè)理論課，是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。它將使學(xué)生們系統(tǒng)地學(xué)習(xí)并掌握現(xiàn)代控制理論的基本分析和設(shè)計方法，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握現(xiàn)代控制基本理論，能運用所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)建模、性能分析和綜合設(shè)計。線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)實驗是線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)課程的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，是自動化類專業(yè)學(xué)生必須掌握的教學(xué)內(nèi)容。其目的主要是使學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握控制系統(tǒng)基本的分析、設(shè)計方法，加深理解線性系統(tǒng)理論的基本知識和原理，增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生

2、的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，為學(xué)生今后從事該領(lǐng)域的科學(xué)研究和技術(shù)開發(fā)工作打下扎實的基礎(chǔ)。二、實驗內(nèi)容及學(xué)時安排本課程的實踐環(huán)節(jié)由必作和選作兩類實驗構(gòu)成，對能力較強的學(xué)生指導(dǎo)他們課外進(jìn)行選作實驗。目前實驗主要基于matlab仿真軟件進(jìn)行仿真實驗。必作實驗為三個，每個實驗2學(xué)時。要求學(xué)生一人一機(jī)，獨立完成必作的實驗，由此使學(xué)生得到較全面的基礎(chǔ)訓(xùn)練。通過該課程的實驗訓(xùn)練，應(yīng)達(dá)到下列要求：1. 使學(xué)生了解matlab仿真軟件的使用方法，重點掌握matlab控制工具箱的使用方法；2. 通過實驗加強對所學(xué)理論知識的理解和應(yīng)用；3. 實驗前預(yù)習(xí)，實驗后按要求撰寫實驗報告。序號實 驗 內(nèi) 容實驗類型開出要

3、求實驗學(xué)時1matlab控制工具箱的應(yīng)用及線性系統(tǒng)的運動分析驗證必作22系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性分析驗證必作23狀態(tài)反饋極點配置方法的研究設(shè)計必作24全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計設(shè)計必作25直線倒立擺控制系統(tǒng)演示選作2第二章 線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)課程實驗實驗一 matlab控制工具箱的應(yīng)用及線性系統(tǒng)的運動分析一、實驗?zāi)康?、學(xué)習(xí)掌握matlab控制工具箱中的基本命令的操作方法；2、掌握線性系統(tǒng)的運動分析方法。二、實驗原理、內(nèi)容及步驟1、學(xué)習(xí)掌握matlab控制工具箱中基本命令的操作設(shè)系統(tǒng)的模型如式(1-1)所示： (1-1)其中a為nn維系數(shù)矩陣；b為nm維輸入矩陣；c為pn維輸出矩陣；d為pm維傳

4、遞矩陣，一般情況下為0。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣和狀態(tài)空間表達(dá)式之間的關(guān)系如式(1-2)所示： (1-2)式(1-2)中，表示傳遞函數(shù)陣的分子陣，其維數(shù)是pm；表示傳遞函數(shù)陣的分母多項式，按s降冪排列的后，各項系數(shù)用向量表示。例1.1 已知siso系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(1-3)式，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 (1-3)程序:%首先給a、b、c陣賦值；a=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2;b=1;3;-6;c=1 0 0;d=0;%狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)陣的格式為num,den=ss2tf(a,b,c,d,u)num,den=ss2tf(a,b,c,d,1) 程序運行結(jié)果:num = 0 1.0

5、000 5.0000 3.0000den = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000從程序運行結(jié)果得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： (1-4)例1.2 從系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(1-4)式求狀態(tài)空間表達(dá)式。程序:num =1 5 3;den =1 2 3 4;a,b,c,d=tf2ss(num,den)程序運行結(jié)果:a = b = -2 -3 -4 1 1 0 0 0 0 1 0 0c = d =1 5 3 0由于一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式并不唯一, 例1.2程序運行結(jié)果雖然不等于式(1-3)中的a、b、c陣，但該結(jié)果與式(1-3)是等效的。不妨對上述結(jié)果進(jìn)行驗證。例1.3 對上述結(jié)果進(jìn)行驗證編程

6、。%將例1.2上述結(jié)果賦值給a、b、c、d陣；a =-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0;b =1;0;0;c =1 5 3;d=0；num,den=ss2tf(a，b，c，d,1)程序運行結(jié)果與例1.1完全相同。例1.4 給定系統(tǒng)，求系統(tǒng)的零極點增益模型和狀態(tài)空間模型，并求其單位脈沖響應(yīng)及單位階躍響應(yīng)。解：num=1 2 1 3;den=1 0.5 2 1;sys=tf(num,den) %系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型 transfer function: s3 + 2 s2 + s + 3-s3 + 0.5 s2 + 2 s + 1sys1=tf2zp(num,den)%系統(tǒng)的零極點增益模型s

7、ys1 = -2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713isys2=tf2ss(sys) %系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型模型；或用a,b,c,d=tf2ss(num,den)形式a = -0.5000 -2.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0b = 1 0 0c = 1.5000 -1.0000 2.0000d = 1impulse(sys2) %系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 圖2-1 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)step(sys2) %系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 圖2-2 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2、實驗內(nèi)容（1）自選控制對象模型，應(yīng)用以下命令，并寫出結(jié)果。1）

8、step, damp, pzmap, rlocus, rlocfind, bode, margin, nyquist；2） tf2ss, ss2tf, tf2zp, zp2ss；3） ss2ss, jordan, canon, eig。（2）掌握線性系統(tǒng)的運動分析方法1)已知 ，求。(用三種方法求解)2) 利用matlab求解書上例2.8題，并畫出狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)曲線，求解時域性能指標(biāo)。(加圖標(biāo)題、坐標(biāo)軸標(biāo)注及圖標(biāo))3) 利用matlab求解書上例2.12題，并畫出狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)曲線。(加圖標(biāo)題、坐標(biāo)軸標(biāo)注及圖標(biāo))4) p36 1.4-2 1.5-3；p56 2.3-3三、 實驗設(shè)備及注

9、意事項1、計算機(jī)120臺；2、matlab6.x軟件1套。注意不同版本matlab軟件的異同。四、 實驗報告要求按照預(yù)習(xí)報告中的程序進(jìn)行驗證實驗，并按實驗記錄完成報告。五、 預(yù)習(xí)要求及思考題預(yù)習(xí)相關(guān)的理論知識。實驗二 系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性分析及實現(xiàn)一、實驗?zāi)康募由罾斫饽苡^測性、能控性、穩(wěn)定性、最小實現(xiàn)等觀念。掌握如何使用matlab進(jìn)行以下分析和實現(xiàn)。1、系統(tǒng)的能觀測性、能控性分析；2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；3、系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。二、實驗原理、內(nèi)容及步驟1、系統(tǒng)能控性、能觀性分析設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如（1-1）所示。系統(tǒng)的能控性、能觀測性分析是多變量系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)，包括能控性、能觀測性的

10、定義和判別。系統(tǒng)狀態(tài)能控性定義的核心是：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)（1-1）,若存在一個分段連續(xù)的輸入函數(shù)u(t)，在有限的時間（t1-t0）內(nèi)，能把任一給定的初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至預(yù)期的終端x(t1)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)所有的狀態(tài)都是能控的，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。能控性判別分為狀態(tài)能控性判別和輸出能控性判別。狀態(tài)能控性分為一般判別和直接判別法，后者是針對系統(tǒng)的系數(shù)陣a是對角標(biāo)準(zhǔn)形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，狀態(tài)能控性判別時不用計算，應(yīng)用公式直接判斷，是一種直接簡易法；前者狀態(tài)能控性分為一般判別是應(yīng)用最廣泛的一種判別法。輸出能控性判別式為： （2-1）狀態(tài)能控性判別式為： （2-2）系統(tǒng)狀態(tài)能觀

11、測性的定義：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)（2-1）,如果對t0時刻存在ta，t0ta0flagz=1;endenddisp(系統(tǒng)的零極點模型為);z,p,k系統(tǒng)的零極點模型為z = -2.7306 + 2.8531i -2.7306 - 2.8531i -1.5388 p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1.0000if flagz=1disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定);else disp(系統(tǒng)是穩(wěn)定的);end運行結(jié)果為:系統(tǒng)是穩(wěn)定的step(a,b,c,d); 圖2-1 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)2、實驗內(nèi)容（1）能控性、能觀測性及系統(tǒng)實現(xiàn)（a）了解以下命令的功能；自選對象模型，

12、進(jìn)行運算，并寫出結(jié)果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral；（b）已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，當(dāng)a 分別取-1，0，1時，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；（c）已知系統(tǒng)矩陣為，判別系統(tǒng)的能控性與能觀測性；（d）求系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。（2）穩(wěn)定性（a）代數(shù)法穩(wěn)定性判據(jù)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試對系統(tǒng)閉環(huán)判別其穩(wěn)定性（b）根軌跡法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知一個單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試在系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖上選擇一點，求出該點的增益及其系統(tǒng)的閉環(huán)極點位置，并判斷在該點系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。（c）bode 圖法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性已知兩個單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開

13、環(huán)傳遞函數(shù)分別為用bode 圖法判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。（d）判斷下列系統(tǒng)是否狀態(tài)漸近穩(wěn)定、是否bibo穩(wěn)定。三、 實驗設(shè)備及注意事項1、計算機(jī)120臺；2、matlab6.x軟件1套。注意不同版本matlab軟件的異同。四、 實驗報告要求按照預(yù)習(xí)報告中的程序進(jìn)行驗證實驗，并按實驗記錄完成報告。五、 預(yù)習(xí)要求及思考題利用所學(xué)知識，編寫實驗內(nèi)容中的相應(yīng)程序，并寫在預(yù)習(xí)報告上。實驗三 狀態(tài)反饋極點配置方法的研究一、實驗?zāi)康?1掌握狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置； 2研究不同配置對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。二、實驗原理、內(nèi)容及步驟（1）實驗原理 一個受控系統(tǒng)只要其狀態(tài)是完全能控的，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點可以任意配置。極點

14、配置有兩種方法：采用變換矩陣t，將狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成可控標(biāo)準(zhǔn)型，然后將期望的特征方程和加入狀態(tài)反饋增益矩陣k后的特征方程比較，令對應(yīng)項的系數(shù)相等，從而決定狀態(tài)反饋增益矩陣k；基于carlay-hamilton理論，它指出矩陣狀態(tài)矩陣a滿足自身的特征方程，改變矩陣特征多項式的值，可以推出增益矩陣k，這種方法推出增益矩陣k的方程式叫ackermann公式。例4.1 某控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如下：通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在p=-30，-1.2,-2.44i位置上,求出狀態(tài)反饋陣k,并繪制出配置后系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線。解： a=-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0

15、1 0;b=1;0;0;0;c=1 7 24 24;d=0;disp(原系統(tǒng)的極點為);p=eig(a)運算結(jié)果為：原極點的極點為p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000p=-30;-1.2;-2.4+sqrt(-16);-2.4-sqrt(-16);k=place(a,b,p)k = 26.0000 172.5200 801.7120 759.3600disp(配置后系統(tǒng)的極點為)配置后系統(tǒng)的極點為p=eig(a-b*k)p =-30.0000 -2.4000 - 4.0000i -2.4000 + 4.0000i -1.2000disp(極點配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為

16、)%極點配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為sysnew=ss(a-b*k,b,c,d)step(sysnew/dcgain(sysnew)%極點配置后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)a = x1 x2 x3 x4 x1 -36 -207.5 -851.7 -783.4 x2 1 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 7 24 24 d = u1 y1 0 continuous-time model. 圖3-1 極點配置后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（2）實驗內(nèi)容原系統(tǒng)如圖3-2所示。圖中，x1和x2是可以測量的狀態(tài)變量。圖3-2

17、 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖試設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣,使系統(tǒng)加入狀態(tài)反饋后其動態(tài)性能指標(biāo)滿足給定的要求: (1) 已知：k=10，t=1秒，要求加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為： %20%，ts1秒。(12) 已知：k=1，t=0.05秒，要求加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為： %5%，ts0.5秒。 狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)，如圖3-3所示：圖3-3 狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分別觀測狀態(tài)反饋前后兩個系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，并檢驗系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計要求。三、 實驗設(shè)備及注意事項1、計算機(jī)120臺；2、matlab6.x軟件1套。注意不同版本matlab軟件的異同。四、 實驗報告要求1. 原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和性能指標(biāo)；2

18、寫出原系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示式，設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣并繪出系統(tǒng)的模擬電路圖；3狀態(tài)反饋前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，并求出%、tp及ts等動態(tài)性能指標(biāo)。4. 回答思考題。五、 預(yù)習(xí)要求及思考題實驗預(yù)習(xí)要求：1. 復(fù)習(xí)與實驗有關(guān)的理論知識，掌握狀態(tài)反饋的極點配置方法；2. 會使用matlab語言中與極點配置的有關(guān)命令。實驗思考題： 1輸出反饋能使系統(tǒng)極點任意配置嗎？ 2若系統(tǒng)的某個狀態(tài)不能直接測量，能用什么辦法構(gòu)成全狀態(tài)反饋？實驗四 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計一、實驗?zāi)康?1. 學(xué)習(xí)用狀態(tài)觀測器獲取系統(tǒng)狀態(tài)估計值的方法； 2. 了解全維狀態(tài)觀測器的實現(xiàn)；3. 了解全維狀態(tài)觀測器的極點對狀態(tài)的估計誤差的影響，促進(jìn)狀態(tài)

19、觀測器理論的學(xué)習(xí)。二、實驗原理、內(nèi)容及步驟（1）實驗原理 利用狀態(tài)反饋可以使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在所希望的位置上，其條件是必須對全部狀態(tài)變量都能進(jìn)行測量，但在實際系統(tǒng)中，并不是所有狀態(tài)變量都能測量的，這就給狀態(tài)反饋的實現(xiàn)造成了困難。因此要設(shè)法利用已知的信息(輸出量y和輸入量x)，通過一個模型重新構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)以對狀態(tài)變量進(jìn)行估計。該模型就稱為狀態(tài)觀測器。若狀態(tài)觀測器的階次與系統(tǒng)的階次是相同的，這樣的狀態(tài)觀測器就稱為全維狀態(tài)觀測器或全階觀測器。設(shè)系統(tǒng)完全可觀，則可構(gòu)造如圖4-1所示的狀態(tài)觀測器圖4-1 全維狀態(tài)觀測器為求出狀態(tài)觀測器的反饋ke增益，與極點配置類似，也可有兩種方法：方法一：構(gòu)造變換矩陣

20、q，使系統(tǒng)變成標(biāo)準(zhǔn)能觀型，然后根據(jù)特征方程求出ke ；方法二：是可采用ackermann公式： ，其中為可觀性矩陣。 利用對偶原理，可使設(shè)計問題大為簡化。首先構(gòu)造對偶系統(tǒng) 然后可由變換法或ackermann公式求出極點配置的反饋k增益，這也可由matlab的place和acker函數(shù)得到；最后求出狀態(tài)觀測器的反饋增益。（2）實驗內(nèi)容開環(huán)系統(tǒng)，其中 設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為 ，并求其傳遞函數(shù)及系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。三、 實驗設(shè)備及注意事項1、計算機(jī)120臺；2、matlab6.x軟件1套。注意不同版本matlab軟件的異同。四、 實驗報告要求1. 畫出原系統(tǒng)的方框圖；2. 用mat

21、lab語言編程求出其全階觀測器的反饋增益；3. 設(shè)計全階觀測器，根據(jù)傳遞函數(shù)求出%、tp及ts等動態(tài)性能指標(biāo)及繪制階躍響應(yīng)曲線，并畫出帶有全階觀測器的方框圖。4. 回答思考題。五、 預(yù)習(xí)要求及思考題實驗預(yù)習(xí)要求：復(fù)習(xí)有關(guān)全階觀測器的內(nèi)容，運用全階觀測器的設(shè)計方法及步驟，用matlab命令計算出全階觀測器的反饋增益。實驗思考題：1、 根據(jù)實驗內(nèi)容，改用降階觀測器重新設(shè)計，試用matlab語言編制其程序，并求出其傳遞函數(shù)及系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線；2、 考慮帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如何設(shè)計？實驗五 直線倒立擺控制系統(tǒng)倒立擺是進(jìn)行控制理論研究的典型實驗平臺。由于倒立擺系統(tǒng)的控制策略和雜技運動員頂桿平衡

22、表演的技巧有異曲同工之處，極富趣味性，而且許多抽象的控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性和系統(tǒng)抗干擾能力等等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)實驗直觀的表現(xiàn)出來，它已成為必備的控制理論教學(xué)實驗設(shè)備。一、 實驗?zāi)康?通過倒立擺系統(tǒng)實驗給學(xué)生學(xué)習(xí)線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ)課程一個非常直觀、簡潔的觀念，能對所學(xué)課程有一個基本的認(rèn)識。對有能力的學(xué)生，鼓勵他們在學(xué)完本門課程的主要內(nèi)容后，能利用倒立擺控制系統(tǒng)來驗證所學(xué)的控制理論和算法，在輕松的實驗中對所學(xué)課程加深了理解。二、 實驗原理、內(nèi)容及步驟電機(jī)基座擺桿角編碼器同步帶帶輪小車限位開關(guān)滑桿圖5-1 倒立擺(直線)本體圖倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計算機(jī)控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)

23、的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個典型的控制對象對其進(jìn)行研究。直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺， 直線倒立擺本體圖如圖5-1所示。電控箱控制平臺倒立擺本體圖5-2 倒立擺硬件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，需要給系統(tǒng)設(shè)計控制器，目前典型的控制器設(shè)計理論有：pid控制、根軌跡以及頻率響應(yīng)法、狀態(tài)空間法、最優(yōu)控制理論、模糊控制理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、

24、擬人智能控制、魯棒控制方法、自適應(yīng)控制，以及這些控制理論的相互結(jié)合組成更加強大的控制算法。圖5-2所示為倒立擺硬件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。以小車加速度作為輸入的直線一級倒立擺系統(tǒng)線性化狀態(tài)方程為其中：為擺桿與垂直向上方向的夾角，x為小車位置。利用matlab對系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析clear;a= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b= 0 1 0 3;c= 1 0 0 0;0 1 0 0;d= 0 0 ;cona=b a*b a2*b a3*b;cona2=c*b c*a*b c*a2*b c*a3*b d;rank(cona)rank(cona2)或直接利用計算可控性矩陣

25、的ctrb 命令和計算可觀性的矩陣obsv 命令來計算：圖5-3 直線一級倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真uc=ctrb(a,b);vo=obsv(a,c);rank(uc)rank(vo)ans =4ans =2系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析clear;a= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b= 0 1 0 3; c= 1 0 0 0;0 1 0 0;d= 0 0 ;step(a, b ,c ,d)圖5-4 直線一級倒立擺極點配置原理圖仿真直線一級倒立擺單位階躍響曲線如圖5-3所示。可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。由于系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等

26、于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可以對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點配置法設(shè)計控制器。直線一級倒立擺極點配置原理如圖5-4所示。前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺以小車加速度作為輸入的狀態(tài)空間模型，直線一級倒立擺的極點配置轉(zhuǎn)化為：對于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間（約3秒）和合適的阻尼（阻尼比）。 按極點配置步驟進(jìn)行計算。1) 檢驗系統(tǒng)可控性，由系統(tǒng)可控性分析可以得到，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控。2) 計算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設(shè)調(diào)整時間為2 秒），我們選取期望的閉環(huán)極點 ，因此期望的特征方程為：由系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的反饋增益矩陣為3