高等數(shù)學(xué)：6-03全微分

1、 全全 微微 分分 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè) ),(yyxxP 為為 這這 鄰鄰 域域 內(nèi)內(nèi) 的的 任任 意意 一一 點(diǎn)點(diǎn) ， 則則 稱稱 這這 兩兩 點(diǎn)點(diǎn) 的的 函函 數(shù)數(shù) 值值 之之 差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)P對對應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 一一 般般 來來 講講 ， 全全 增增 量量z 與與yx ,的的 相相 依依 關(guān)關(guān) 系系 是是 比比 較較 復(fù)復(fù) 雜雜 的的 ， 因因 此此 我我 們們 希希 望望能能象

2、象一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分那那樣樣，用用yx ,的的 線線 性性 函函 數(shù)數(shù)yBxA 來來 近近 似似 表表 示示，并并給給出出誤誤差差估估計(jì)計(jì)。由由此此引引出出如如下下定定義義： 全微分的定義全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為 )( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于 yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)， 22 )()(yx ， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分， yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的 全微分全微分

3、，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . . 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分， 則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, 則則 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 事實(shí)上事實(shí)上 ),( oyBxAz , 0lim 0 z ),(lim 0 0 yyxxf y x ),(lim 0 zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù). 二、可微的條件二、可微的條件 定定理理 1 1（必必要要條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn) ),(yx

4、可可微微分分，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) x z 、 y z 必必存存在在，且且函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的全全微微分分 為為 y y z x x z dz 證證 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz 總成立總成立, 當(dāng)當(dāng)0 y時時，上上式式仍仍成成立立， 此時此時| x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A x yxfyxxf x ),(),( lim 0 , x z 同理可得同理可得. y z B 一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)

5、數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在 例如例如 . 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有處有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如如果果考考慮慮點(diǎn)點(diǎn)),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(， 則則 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時時 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfz yx 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(處不

6、可微處不可微. 說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在， 定理定理（充分條件）如果函數(shù)（充分條件）如果函數(shù)),(yxfz 的偏的偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) x z 、 y z 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx 可微分可微分 證證 ),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 在在第第一一個個方方括括號號內(nèi)內(nèi)，應(yīng)應(yīng)用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ),(),(yyxfyyxxf xyyxxf x ),( 1 )10( 1 xxyxf x 1 ),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

7、）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性） 其中其中 1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù), 且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時時，0 1 . 同理同理 ),(),(yxfyyxf ,),( 2 yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時，時，0 2 , z xxyxf x 1 ),( yyyxf y 2 ),( 21 21 yx , 0 0 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微. 習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為 .dy y z dx x z dz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) .dz z u dy y u dx x u du 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也

8、適用于二元以上函數(shù)的情況 例例 1 1 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù) xy ez 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(處處的的全全微微分分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z 所求全微分所求全微分.2 22 dyedxedz 例例2 2 求求函函數(shù)數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)當(dāng) 4 x， y， 4 dx， dy時時的的全全微微分分. 解解 ),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x z dz ), 4 ( ), 4 ( ), 4 ( ).74( 8 2 例例 3 3 計(jì)計(jì)算

9、算函函數(shù)數(shù) yz e y xu 2 sin的的全全微微分分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 函數(shù)可微函數(shù)可微 函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo) 二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 設(shè)函數(shù)),(yxfz 在),( yxP點(diǎn)可微，則函數(shù)在),( yxP點(diǎn)的全增量為 ),() ,( yxfyyxxfz =)(),(),( yyxfxyxf yx 其中 )( , 0 )( lim 22 0 0 yx y x 當(dāng)yx ,很小時，就得到函數(shù)在),( yxP附近的近似值 ),() ,( yxfyyxxfz dzyyxfxyxf yx ),(),( 還可以表示為： ),(yxf=) ,(yyxxf =yyxfxyxf yx ),(),( +),( yxf 例例 求 99. 0 )98. 0(的近似值 解解 在解決這類問題時，首先是要作出一個相應(yīng)的二元函數(shù)，然后才能求解。 設(shè)函數(shù) y xyxf),(，并取01. 0 ,02. 0, 1 , 1yxyx 又因?yàn)?xxyx