高考真題——數(shù)學(xué)文（廣東卷）答案解析版

1、絕密啟用前 試卷類型：b2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)a. b. c. d. 1. d. .2. 設(shè)集合，則a. b. c. d. 2. a. .3. 若向量，則a. b. c. d. 3. a. .4. 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是a. b. c. d. 4. d. 選項(xiàng)a 、b為奇函數(shù)，選項(xiàng)c為非奇非偶函數(shù). 5. 已知變量，滿足約束條件，則的最小值為a. b. c. d. 5. c. 不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，可化為直線

2、，則當(dāng)該直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，.6. 在中，若，則a. b. c. d. 6. b. 根據(jù)正弦定理，則.圖1正視圖俯視圖側(cè)視圖556355637. 某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為a. b. c. d. 7. c. 該幾何體是圓錐和半球體的組合體，則它的體積.8. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于a. b. c. d . 8. b. 圓心到直線的距離，則，即.輸入開(kāi)始輸出結(jié)束是否圖29. 執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入的值為6，則輸出的值為a. 105 b. 16 c. 15 d. 19. c. 10. 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義. 若兩個(gè)非零的平面向量，

3、滿足與的夾角，且和都在集合中，則a. b. c. 1 d. 10. d. ，同理有和都在集合中，即和是整數(shù)，取，則和是整數(shù)，則，則.二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題（11 13題）11. 函數(shù)的定義域?yàn)?.11. . ，即函數(shù)的定義域?yàn)?12. 若等比數(shù)列滿足，則 .12. . ，則13. 由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)和中位數(shù)都是，且標(biāo)準(zhǔn)差等于，則這組數(shù)據(jù)為 .（從小到大排列）13. . 不妨設(shè)，依題意得，即，所以則只能，則這組數(shù)據(jù)為（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參

4、數(shù)方程分別為（為參數(shù)，）和（為參數(shù)），則曲線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .14. . 曲線的方程為（），曲線的方程為圖3 或（舍去），則曲線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.15.（幾何證明選講選做題）如圖3所示，直線與圓相切于點(diǎn)，是弦上的點(diǎn)，. 若，則 .15. . 由弦切角定理得，則，則，即.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且（1）求的值；（2）設(shè)，求的值.16. 解：（1），解得（2），即，即 因?yàn)?，所以?所以圖405060 70 80 90 100 成績(jī)17.（本小題滿分13分）某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所

5、示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：，. （1）求圖中的值； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分；（3）若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù).分?jǐn)?shù)段17. 解：（1）依題意得，解得（2）這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為：（分）（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為： 所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為：18.（本小題滿分13分）圖5如圖5所示，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.18. 解

6、：（1）證明：因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)闉橹羞吷系母咚?因?yàn)?所以平面（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié) 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以 因?yàn)槠矫嫠云矫鎰t （3）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)所以因?yàn)樗运运倪呅问瞧叫兴倪呅嗡砸驗(yàn)?所以因?yàn)槠矫妫?所以 因?yàn)樗云矫嫠云矫?9. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19. 解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，求得?）當(dāng)時(shí)， 所以 所以 得 所以，即 求得，則所以是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 所以 所以，20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方

7、程；（2）設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程.20. 解：（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，點(diǎn)代入橢圓，得，即，所以所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，消去并整理得因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以整理得 ，消去并整理得因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以整理得 綜合，解得或所以直線的方程為或21.（本小題滿分14分）設(shè)，集合，.（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn).21. 解：（1）令 當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為，所以的解集為因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，則恒成立，所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）， 令，得或 當(dāng)時(shí)，由（1）知因?yàn)?，所以，所以隨的變化情況如下表：0極大值所以的極大值點(diǎn)為，沒(méi)有極小