復(fù)變函數(shù)與積分變換公式匯總

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點（一）復(fù)數(shù)的概念i.復(fù)數(shù)的概念：z x iy , x，y 是實數(shù)，x rez,y im z .i2i注：一般兩個復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小2.復(fù)數(shù)的表示i）模：z y2；2）幅角：在z 0時，矢量與“由正向的夾角，記為arg z （多值函數(shù)）；主彳t arg z是位于（ 中的幅角。3)argyz arctan 一與 x之間的關(guān)系如下:4)5)0,y arg z arctan 一x .0,argz0,0,argz三角表木:指數(shù)表示：z cos,y arctan x,y arctan xi sinargz；注：中間一定是“ +”號。zei,其中argz。（二）復(fù)數(shù)的運算

2、1.加減法：若zixiiyi, z2x2iy2則zixix2i yiy22 .乘除法:i)若 zixiiyi, z2x2iy2 ,則x1x2vlv2i x2%ky2 .zz2x1x2iyiiy2xiiyix2iy2x2iy2x2iy2x1x2yy222x2v2i y/2丫2為2x22v2o2)若 z1z2 eizi|z2eizz2ziiez23 .乘哥與方根苦 z z (cos石isinz einz (cosni sinn)znein若 z z (cosisinz einz1z n cos2k2ki sinn(k 0,1,2l n 1)(有n個相異的值)（三）復(fù)變函數(shù)1 .復(fù)變函數(shù)：w f z

3、，在幾何上可以看作把 z平面上的一個點集 d變到w平面上的一個點集 的映射.2 .復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù):cosy 1smy ,在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且、 z -注：e是以2 i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）對數(shù)函數(shù)：lnz 1nz i(argz 2k ) (k 0, 1, 2l )(多值函數(shù))；主值：1nz 1nlz iapz。（單值函數(shù)）lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnzz；注：負復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。 （與實函數(shù)不同）b blnab blnz3)乘哥與哥函數(shù)：a e (a 0)； z e(z 0)b注：在除去原點及負實軸的 z平面內(nèi)處處解

4、析，且 zb 1bzoiz iziz ize ee esin z ；,cos z , t gz4)三角函數(shù)：2i2sin z , cosz ,ctgzcosz sin zsin z,cosz在 z 平面內(nèi)解析，且 sin zcosz, cosz sin z注：有界性sinz 1, 8sz 1不再成立；（與實函數(shù)不同）z ze eshz , chz雙曲函數(shù)2shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析，且shzchz, chzshzo（四）解析函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)點可導(dǎo)：f z0f limz 0z0z f z02）區(qū)域可導(dǎo)： f z在區(qū)域內(nèi)點點可導(dǎo)。3 .解析函數(shù)的概念1）

5、點解析：f z在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱f z在z0點解析;2）區(qū)域解析:在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱在區(qū)域內(nèi)解析;3）若f （z）在z0點不解析，稱z0為f z的奇點;4 .解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù) 的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1,函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f z u x,y iv x,y在z x iy可導(dǎo)u x，y和v x，y在x，y可微，且在x,y處滿足c d條件:f u . v f z i 此時，有xx。2,函數(shù)解析的充要條件：f z u x，y iv x,y在區(qū)域內(nèi)解析uvuvux,y和vx,y在x，v在d

6、內(nèi)可微，且滿足c d條件：xy，yx；f z此時u . vi x x o注意：若u x,y ,v x, y在區(qū)域d具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則u x,y ,v x,y在區(qū)域d內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u，v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足c r條件時，函數(shù)f（z） u iv 一定是可導(dǎo)或解析的。5 .函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題 1）2)利用充要條件（函數(shù)以f zx,y ivx,y形式給出，如第二章習(xí)題 2）3)利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)f是以z的形式給出，如第二章習(xí)題 3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)復(fù)變函數(shù)積分的概念:f z dz

7、climnzkc是光滑曲線。注：復(fù)變函數(shù)的積分實際是復(fù)平面上的線積分。 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)f z dzcc 1f z dz1（c與c的方向相反）c f zg z dzz dz g z dz,3)3.若曲線c由c1與c2連接而成，則cf z 復(fù)變函數(shù)積分的一般計算法dz f z dzcic2f z dzo1)f z dz udx vdy化為線積分：ccvdx udy ,“c7 ；(常用于理論證明)2)參數(shù)方法：設(shè)曲線c： z z t ( t),其中 對應(yīng)曲線c的起點，對應(yīng)曲線c的終點,f z dz fz t z(t)dtco(七)關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論 1 .柯西一古薩基本定理：設(shè) f

8、 z在單連域b內(nèi)解析，c為b內(nèi)任一閉曲線，則?f z dz 0c2,復(fù)合閉路定理：設(shè)f z在多連域d內(nèi)解析，c為d內(nèi)任意一條簡單閉曲線，ci,c2,l cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以ci，c2，l cn為邊界的區(qū)域全含于 d內(nèi)，則n?f z dz ?f z dz,ck 1 ck其中c與ck均取正向；?f z dz 01.，其中 由c及c (k lzl n)所組成的復(fù)合閉路。3 .閉路變形原理： 一個在區(qū)域d內(nèi)的解析函數(shù)f z沿閉曲線c的積分，不因c在d內(nèi)作連續(xù) 變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使f z不解析的奇點。4 .解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)f z在單連域

9、b內(nèi)解析，g z為f z在b內(nèi)的一個原函數(shù)，z2f z dz g z2g 4(zi, z2 b)則z1說明：解析函數(shù)f z沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計算時只要求出原函數(shù)即可。5?？挛鞣e分公式：設(shè)f z在區(qū)域d內(nèi)解析，c為d內(nèi)任一正向簡單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于 d,? f z dz 2 if z0z0為c內(nèi)任意一點，則,cz z06 .高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù) f z的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的 n階導(dǎo)數(shù)為2f dz 煞 f n z0(n 1,2l)其中c為f z的解析區(qū)域d內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于 d。7 .重要結(jié)論：?dz 2i， ?(z a)n1 0,n

10、0。(c是包含a的任意正向簡單閉曲線)8 .復(fù)變函數(shù)積分的計算方法1)若f z在區(qū)域d內(nèi)處處不解析，用一般積分法c f z dz fz t z t dt2)設(shè)f z在區(qū)域d內(nèi)解析,c是d內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理,c是d內(nèi)的一條非閉曲線，z1, z2對應(yīng)曲線c的起點和終點，則有z2f z dz fcz1z dz f z2 f3)設(shè)f z在區(qū)域d內(nèi)不解析f z?dzcz z f zif zo曲線c內(nèi)僅有一個奇點:?廠1dz% zo)n1n4(f (z)在c內(nèi)解析)曲線c內(nèi)有多于一個奇點:?f z dzc?fk 1 ckdz(c內(nèi)只有一個奇點?f z dz或：cnresf(z),zk

11、k 1(留數(shù)基本定理)若被積函數(shù)不能表示成f zn(z z。)1,則須改用第五章留數(shù)定理來計算。(a)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1 .調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)(x, y)在d內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足(x，y)為d內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2 .解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系u的共軻調(diào)和函數(shù)。解析函數(shù)f z u iv的實部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實部 兩個調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z) u iv不一定是解析函數(shù)；但是若 u，v如果滿足柯西一黎曼方程，則u iv 一定是解析函數(shù)。3 .已知解析函數(shù)f z的實部或虛部，求解析函數(shù) f z u ”的方法。1）偏微分法：若已知實部 uu x, y,利用c

12、r條件，得-vx兩邊積分，得u.dy x(*)再對（*）式兩邊對x求偏導(dǎo),u .一dy x(*)r條件，yu .dyx代入（*）式，可求得v虛部dyx2）線積分法:若已知實部u x, ydv,利用c r條件可得dxxdyyu . udx dyx,yv故虛部為xo,y0udx ydyx由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑 的兩點。（如折線）計算它，其中“,y0與x, y是解析區(qū)域中3）不定積分法：若已知實部 ux,y ,根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和c r條件得知,viyuiy將此式右端表示成z的函數(shù)uf z仍為解析函數(shù),u z dz注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部（九）復(fù)數(shù)項級數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極

13、限（c為實常數(shù)）u.1）復(fù)數(shù)列nan ibn（n 1,2l ）收斂于復(fù)數(shù)bi的充要條件為lim an a, nlim bnbn（同時成立）2）復(fù)數(shù)列n收斂 實數(shù)列an, bn同時收斂。2.復(fù)數(shù)項級數(shù)n（ nan1）復(fù)數(shù)項級數(shù)n 0ibn）收斂的充要條件是級數(shù)anbn0 與n 0 同時收斂;lim n 02）級數(shù)收斂的必要條件是 n。注：復(fù)數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。（十）哥級數(shù)的斂散性n0為哥級數(shù)。cn（z z）n1 .哥級數(shù)的概念：表達式 n 02 .哥級數(shù)的斂散性1）級級數(shù)的收斂定理一阿貝爾定理（abel）:如果哥級數(shù)c nn 0 n 在z00處收斂，那么對

14、滿足zz0的一切z,該級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足zzo的一切z ,級數(shù)必發(fā)散。2）帚級數(shù)的收斂域一圓域哥級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法lim n 如果0r 1r -,則收斂半徑根值法limn如果0,則r；說明在整個復(fù)平面上處處收斂;如果0；說明僅在z 4或z 0點收斂;2ncnz注：若哥級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。3 .哥級數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)nbnzn0的收斂半徑分別為r1與r2,記rmin r1, r2則當z r時，有(ann 0bn)znnanz0bnznn

15、 0（線性運算）(anzn)(n 0nbnzn)0(anb0an ibiabn）zn（乘積運算）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當則當r fgr時，時,angann 0n當z r時,g z解析且分析運算性質(zhì)：設(shè)備級數(shù) nnanzo 的收斂半徑為r,則f z其和函數(shù)nanzn o是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù);在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo),收斂半徑不變；且n 1nanzo在收斂圓內(nèi)可逐項求積,收斂半徑不變;dzan zn 1o n 1（十一）騫函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設(shè)函數(shù)z在圓域zor內(nèi)解析,則在此圓域內(nèi)f z可以展開成哥級數(shù)nfzoo n!nzo;并且此展開式是唯一的。注：若z在zo解析,則f z在的泰勒展開式成立的圓域

16、的收斂半徑其中r為從zo到fz的距zo最近一個奇點a之間的距離。2.常用函數(shù)在z0o的泰勒展開式1)2)3)4)3.1)2)sin zcosz1 n一zo n!2!3!n!1)n2no(2n 1)!(1)nz2n n o (2n)!2z2!解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1 n cnf直接法：直接求出n!3z3!5z5!(2n1)n1)!2n4z4!zo1nz(2n)!2ncnn ozo間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及騫級數(shù)的代數(shù)運算、復(fù)合運算和逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）哥函數(shù)的洛朗展開cn z zo1.洛朗級數(shù)的概念:,含正騫項和負騫項。2.洛朗展開定理：設(shè)函數(shù) f z在圓環(huán)

17、域r z zor2內(nèi)處處解析，c為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任意nf z cn z zo一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有n,且展開式唯一。3.解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4 .利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設(shè)f z在r z z0段內(nèi)解析，c為r z z0 r內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則2 f z dz 2 ic 1。其中c 1為f在r z z0 1洛朗展開式中1z z0的系數(shù)。說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中（z z0）的系數(shù)。（十三）孤立奇點的概念與分類1。孤立奇點的定義：f z在z0點不解析，但在z0的02。孤立奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含 z

18、z0的負塞項；f z c02）極點：展開式中含有限項 z 的負哥項；z z0q z z0內(nèi)解析。c mc (m 1)/、m /、m 1(z z0)(z z0)g z/、m ,(z z0)c 12. c0 ci(z z0) 最(z z0)l (z z0)苴中 g z cm c(m 1)(z 4)lc1(z z0)m 1 c0(z z0)m l 在 z0 解析,且 g z00,m 1,c m 0.3）本性奇點：展開式中含無窮多項 z z0的負塞項;cm(z l一c mc 1f z l(t10? l(t101c0 c1(z z0) l（十四）孤立奇點的判別方法lim f zc01,可去奇點：z z0常數(shù)；lim f z2.極點：z z0lim f z3,本性奇點：z z0不存在且不為4.零點與極點的關(guān)系1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù),如果能表示成(z z0)mz其中 z在z0解析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為f z的m級零點;2）零點級數(shù)判別的充要條件f n z00, (n 1,2,l m 1)z0是f z的m級零點mf z 013）零點與極點的關(guān)系：z0是f z的m級零點z0是f z的m級極點;4）重要結(jié)論若z a分別是 z與 z的m級與n級零點，則za是 zg z的m n級零點;z當m n時，z a是 z的m n級零點;z當m n