第一章 1.3.1（上） 函數(shù)的單調(diào)性

1、第一章 1.3.1（上） 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目的：通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會(huì)使用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；能夠熟練應(yīng)用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的的單調(diào)性教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)過(guò)程：一.引入課題1 觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相對(duì)應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1隨x的增大，y的值有什么變化？ 能否看出函數(shù)的最大、最小值？ 函數(shù)圖象是否具有某種對(duì)稱性？提出課題：函數(shù)的單調(diào)性，最大（小值）和函數(shù)的奇偶性。2 畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其增大或

2、減小的變化規(guī)律：1f(x) = x 從左至右圖象上升還是下降 _?在區(qū)間 _ 上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 _ 上升；，增大2f(x) = -2x+1 從左至右圖象上升還是下降 _?在區(qū)間 _ 上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 _ 下降；減小3f(x) = x2在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _ 在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _ ；增大；減小二.新課教學(xué)（一）函數(shù)單調(diào)性定義-上升下降的解析意義1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間

3、D上是增函數(shù)（increasing function）思考：仿照增函數(shù)的定義說(shuō)出減函數(shù)的定義（學(xué)生活動(dòng)）注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f()，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù)；幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).（二）典型例題例1如圖6是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù). 解：函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2，-2，1

4、，1，3，3，5，其中y=f(x)在區(qū)間-5，-2，1，3上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1，3，5上是增函數(shù).在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都能夠。用畫圖象劃分單調(diào)區(qū)間說(shuō)出1：一次函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：說(shuō)出2：二次函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：以對(duì)稱軸為界說(shuō)出3：反比例函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的寫法這里不能寫“”及理由注意：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō)的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，因?yàn)樗暮瘮?shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存有單調(diào)性問(wèn)題；對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，所以，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都能夠。例2（討論）作出函數(shù)的圖象并指

5、出它的的單調(diào)區(qū)間解：的單調(diào)減區(qū)間為 ,單調(diào)增區(qū)間為.兩種畫法例3討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.解：，對(duì)稱軸 若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在a,2內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).例4物理學(xué)中的玻意定律 (k為正常數(shù))告訴我們,對(duì)于一定量的氣體,當(dāng)體積V減小時(shí),壓強(qiáng)P將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.分析：只要證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).證明： 設(shè),是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0,又由0 ,又k0,于是p()p()0,即 p()p() (0,+ )上是減函數(shù),即當(dāng)體積v減小時(shí),壓強(qiáng)p將增大.指出：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上

6、的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）；定號(hào)（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）例5證明函數(shù)在（1，+）上為增函數(shù)說(shuō)明：本例利用幾何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象三.歸納小結(jié)1、函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取 值 作 差 變 形 定 號(hào) 下結(jié)論2、直接利用初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。四.作業(yè)布置1 書面作業(yè)：課本P32 練習(xí)：2、3 、4