北京市重點(diǎn)中學(xué)高三8月開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題及答案

1、20142015學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)檢測(cè)高 三 數(shù) 學(xué) 試 卷（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）已知集合，則 （a） （b） （c） （d）（2）設(shè)，則“”是“”的（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件（3）已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（a）是偶函數(shù) （b）在上是增函數(shù) （c）是周期函數(shù) （d）的值域?yàn)椋?）已知函數(shù)，. 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （a） （b） （c） （d）（5）已

2、知向量的夾角為，且，則（a） （b） （c） （d）（6）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（a） （b） （c） （d）（7）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是（a） （b） （c） （d）（8）對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱為準(zhǔn)偶函數(shù). 下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是 （a） （b） （c） （d） 第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9） 已知，是虛數(shù)單位.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則 .（10）設(shè)，若，則 .（11）已知函數(shù) ，則不等式的解集為 .（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，則的值為 .（

3、13）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，. 若，則的值為 .（14）若集合，且下列四個(gè)關(guān)系： ； ； ； .有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）（15）（本小題13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在上的最小值和最大值.（16）（本小題14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，.（）求的值；（）求的面積.（17）（本小題13分） 某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元

4、）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù) 假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求這天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； 若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，以天記錄的的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，【文科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.【理科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）的分布列與數(shù)學(xué)期望.（18）（本小題14分） 設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（19）（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，且. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.（）求的值；（）若存在，使得，求的取值范圍.（20）（本小

5、題13分） 已知橢圓：（）的焦距為，且過點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)（）為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為. 取點(diǎn)，連接. 過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20142015學(xué)年度第一學(xué)期第一次練習(xí)高 三 數(shù) 學(xué) 試 卷 答 案（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）第i卷 （選擇題 共40分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）已知集合，則 （a） （b） （c） （d） 解：，選a.（2）設(shè)，則“”是“”的（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件 （c

6、）充要條件 （d）既不充分也不必要條件解法一：按的符號(hào)分類討論解法二：構(gòu)造函數(shù)，利用在上為增函數(shù)，選c.（3）已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（a）是偶函數(shù) （b）在上是增函數(shù) （c）是周期函數(shù) （d）的值域?yàn)榻猓鹤鞒龅膱D象，選d.（4）已知函數(shù)，. 若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （a） （b） （c） （d）解：作出函數(shù)的圖象，易得. 選b.（5）已知向量的夾角為，且，則（a） （b） （c） （d）解：，. 選d.（6）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（a） （b） （c） （d）解：令，得. 轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出它們的圖象，知有兩個(gè)交點(diǎn). 選b.（7）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得

7、圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是（a） （b） （c） （d）解：，令，再取，得，.當(dāng)時(shí)，得的最小正值是. 選c.（8）對(duì)于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則稱為準(zhǔn)偶函數(shù). 下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是 （a） （b） （c） （d） 解：由題設(shè)知的圖象關(guān)于直線（非軸）對(duì)稱，選d. 第ii卷 （非選擇題 共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）已知，是虛數(shù)單位.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則 . 解：. .（10）設(shè)，若，則 .解：，由題設(shè)知，.（11）已知函數(shù) ，則不等式的解集為 .解法一：代數(shù)法解法二：圖象法，解集為.（12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.

8、 已知，則的值為 .解：由及正弦定理得，即. 又，故.所以.（13）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在邊上，. 若，則的值為 .解法一：以為基底. .解法二：分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 用坐標(biāo)法解.（14）若集合，且下列四個(gè)關(guān)系： ； ； ； .有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .解：分類討論（1）若 真，則 均假. 即，. 于是，矛盾?。?）若 真，則 均假. 即，. 此時(shí)有個(gè)解：與.（3）若 真，則 均假. 即, ,. 此時(shí)有個(gè)解：.（4）若 真，則 均假. 即,. 此時(shí)有個(gè)解：.故符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是.三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演

9、算步驟或證明過程）（15）（本小題13分）已知函數(shù)，.（）求的最小正周期；（）求在上的最小值和最大值.解：（） 2分 4分 6分的最小正周期為. 7分（） 9分當(dāng)，即 時(shí)，取最小值； 11分當(dāng)， 即 時(shí)，取最大值. 13分（16）（本小題14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，.（）求的值；（）求的面積.解：（）因，故. 2分因，故. 4分由正弦定理，得. 6分（）. 8分 10分 11分. 12分的面積為. 14分（17）（本小題13分） 某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)

10、（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù) 假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求這天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； 若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，以天記錄的的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，【文科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.【理科學(xué)生繼續(xù)做】 求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（） ，. 5分（） 平均數(shù)為. 8分【文科學(xué)生繼續(xù)做】利潤(rùn)不少于元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于枝，所求概率為. 13分 【理科學(xué)生繼續(xù)做】.，.（單位：元）的分布列為 13分（每個(gè)結(jié)果各1分）（18）（本小題14分）

11、 設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（）當(dāng)時(shí)，其定義域?yàn)? 1分 2分令，. 3分極小值 5分故當(dāng)時(shí)，取得極小值. 6分（），其定義域?yàn)? 7分令，得. 8分設(shè)，其定義域?yàn)? 則的零點(diǎn)為與的交點(diǎn). 9分極大值故當(dāng)時(shí)，取得最大值. 11分作出的圖象，可得 當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)； 12分 當(dāng)或時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn)； 13分 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 14分（19）（本小題13分） 設(shè)函數(shù)，且. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.（）求的值；（）若存在，使得，求的取值范圍.解：（）， 2分由曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，得， 3分即，. 4分（）由，得. 5分令，得，. 6分 當(dāng)時(shí)，在上，為增函數(shù)，令，即，解得. 8分 當(dāng)時(shí)，極小值不合題意，無解. 10分 當(dāng)時(shí)， ，符合題意. 12分 綜上，的取值范圍是. 13分（20）（本小題13分） 已知橢圓：（）的焦距為，且過點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)（）為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為. 取點(diǎn)，連接. 過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).試判斷直線與橢圓的位置