3.3-積分變換法

1、2021/3/131 3.3 3.3 積分變換法積分變換法 3.3.1 3.3.1 積分變換及其性質(zhì)積分變換及其性質(zhì) 若函數(shù)若函數(shù) )(xf),( dxexffFf ix )()()( .)( 2 1 ) ()( 1 deffFxf ix .)()()( 0 dtetffLsF st 在在上連續(xù)可導(dǎo)上連續(xù)可導(dǎo), ,且絕對(duì)可積且絕對(duì)可積, , 則有則有傅里葉變換傅里葉變換 及其及其傅里葉逆變換傅里葉逆變換 若函數(shù)若函數(shù))(tf), 0( 在在上不超過指數(shù)增長(zhǎng)上不超過指數(shù)增長(zhǎng), ,則定義則定義 它的它的拉普拉斯變換拉普拉斯變換為為 2021/3/132 dxexffFf ix )()()( .)(

2、 2 1 ) ()( 1 deffFxf ix .)()()( 0 dtetffLsF st ),()( 1 sFLtf cs Re n sss, 21 s , 0)(sF .,)(Res)( 1 k st n k sesFtf 可用可用留數(shù)定理留數(shù)定理求得求得: : 設(shè)設(shè)除在半平面除在半平面)(sF內(nèi)內(nèi) 有限孤立奇點(diǎn)有限孤立奇點(diǎn) 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換記為記為 外是解析的外是解析的, ,且當(dāng)且當(dāng) 時(shí)時(shí), ,則有則有 2021/3/133 積分變換有下述積分變換有下述基本性質(zhì)基本性質(zhì): : (1)(1)線性線性性質(zhì)性質(zhì),gbFfaFbgafF ,gbLfaLbgafL ba, (2)(2

3、)微分定理微分定理1 1 ff, ),()(xfFixfF),()()( 2 xfFixfF ),()()( )( xfFixfF nn ),0()()(ftfsLtfL ),0()0()()( 2 fsftfLstfL ).0()0()0()()( )1(21)( nnnnn ffsfstfLstfL 其中其中是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。 若若都可進(jìn)行都可進(jìn)行傅里葉變換傅里葉變換( (拉普拉斯變換拉普拉斯變換),), 且在且在無窮遠(yuǎn)處為無窮遠(yuǎn)處為0 0, , 2021/3/134 gf , dyyxgyfxgxf )()()()( ,gFfFgfF . 1 gfgfF (3)(3)微分定理微分定

4、理2 2 (4)(4)卷積定理卷積定理 )( ixfFf ),()( xfFf )()(ttfLsF ),()(tfLsF 若若 則有則有 傅里葉變換傅里葉變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 如果如果的卷積的卷積 可作可作傅里葉變換傅里葉變換, ,則則 從而從而 對(duì)于對(duì)于拉普拉斯變換拉普拉斯變換也有同樣的卷積定理。也有同樣的卷積定理。 dtgftgtf t 0 )()()()( 2021/3/135 (5)(5)頻移定理頻移定理( (位移定理位移定理) ) (6)(6)延遲定理延遲定理 0 )( )( 0 xi efxxfF )()(asFetfL at 傅里葉變換傅里葉變換 拉普拉斯變換拉普拉斯

5、變換 )( )( 0 0 fexfF xi 0 )()()( 00 st esFttuttfL 傅里葉變換傅里葉變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 ),()( xfFf),()(tfLsF若若 則有則有 ),()( xfFf),()(tfLsF若若 則有則有 0 0 0 , 0 , 1 )( tt tt ttu 0 )()( 0 st esFttfL )( 0 tt 對(duì)變換的對(duì)變換的參變量參變量而言而言 對(duì)變換的對(duì)變換的自變量自變量而言而言 其中其中 可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為 2021/3/136 補(bǔ)充補(bǔ)充 , 0, 0 , 0, )( x x x1)( dxx 0 x 0 xx ),( 0 xx , 0

6、 , )( 0 0 0 xx xx xx1)( 0 dxxx 函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì) ( (一一) )函數(shù)的定義函數(shù)的定義: : 函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學(xué)函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學(xué) 模型模型, ,例如例如: :力學(xué)中瞬間作用的沖擊力力學(xué)中瞬間作用的沖擊力, ,原子彈原子彈 、氫彈的爆炸等、氫彈的爆炸等, , 這些物理現(xiàn)象有個(gè)共同特點(diǎn)這些物理現(xiàn)象有個(gè)共同特點(diǎn), , 即即作用時(shí)間極短作用時(shí)間極短, ,但但作用強(qiáng)度極大作用強(qiáng)度極大。 滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù) ( (沖激函數(shù)沖激函數(shù)) ) (1)(1)(2)(2) 若沖激作用不是發(fā)生在若沖激作用不是

7、發(fā)生在處處, ,而是發(fā)生在而是發(fā)生在 處處, , 則函數(shù)記為則函數(shù)記為且滿足且滿足 2021/3/137 ( (二二) )函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): : 補(bǔ)充補(bǔ)充函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì) (1)(1) 抽樣性質(zhì)抽樣性質(zhì): : (2)(2) 對(duì)稱性對(duì)稱性: : )()()( 00 xfdxxxxf )0()()(fdxxxf )(x )()( 00 xxxx )()(xx 特別的特別的, , 為為偶函數(shù)偶函數(shù), , 則有則有 特別的特別的, , 自然也有自然也有 )()()( 00 xfdxxxxf 2021/3/138 例例1 1 求函數(shù)求函數(shù))(ax a的的傅里葉變換傅里葉變換, ,其中

8、其中是與是與 ia eaxF )( 自變量自變量x無關(guān)的數(shù)。無關(guān)的數(shù)。 dxexff ix )()( 解解由定義知由定義知 dxeax ix )( 利用利用 )()()( 00 xfdxxxxf 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 則有則有 ia eaxF )( 同理可得同理可得 2021/3/139 ia eaxF )( 利用利用 ia eaxF )( 2 )()( 2 1 iaia ee axaxF 和傅里葉變換的和傅里葉變換的線性性線性性可得可得 i ee axax i F iaia 2 )()( 2 1 從而有公式從而有公式 )()( 2 1 cos 1 axaxaF )()( 2 1 sin 1

9、axax i aF acos asin 2021/3/1310 例例2 2 求求 mx mx xf |, 0 |, 1 )( . 0m dxexff ix )()( 的的傅里葉變換傅里葉變換, ,其中其中 解解由定義知由定義知 dxe m m ix dxxix m m )sin(cos dxx m 0 cos2 msin2 mx m F |, 2 1 sin 1 | sincosie i 由由例例2 2結(jié)論可得結(jié)論可得 2021/3/1311 例例3 3 求求 t ef 2 )( . 0t dee ixt 2 2 1 ,)sin(cos 2 1 2 dxixe t ,cos 1 0 2 dxe

10、 t )(xf . 0)( 2 )( xf t x dx xdf .)0()( 4 2 t x efxf 的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換, ,其中其中 解解由定義知由定義知 對(duì)對(duì)求導(dǎo)求導(dǎo), ,并利用一次分部積分得并利用一次分部積分得 defxf ix )( )( 2 1 2021/3/1312 例例3 3 求求 t ef 2 )( . 0t .)0()( 4 2 t x efxf def t 0 21 )0( , 2 0 2 dxe x , 2 1 )0( t f . 4 1 )( 4 2 t x e t xf 的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換, ,其中其中 解解 利用利用歐拉歐拉(Euler)(E

11、uler)積分公式積分公式 知知 )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t 由由例例3 3結(jié)論可得結(jié)論可得 2021/3/1313 例例4 4 求求 y ef | )( . 0y的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換, ,其中其中 解解由定義知由定義知 defxf ix )( 2 1 )( ) 11 ( 2 1 ixyixy . 1 22 xy y )0( 1 22 |1 y xy y eF y 由由例例4 4結(jié)論可得結(jié)論可得 dee ixy | 2 1 de yix 0 )( 2 1 de yix 0 )( 2 1 2021/3/1314 幾類常見的幾類常見的傅里葉變換或逆變換傅里葉

12、變換或逆變換 ia eaxF )( ia eaxF )( )()( 2 1 cos 1 axaxaF )()( 2 1 sin 1 axax i aF mx m F |, 2 1 sin 1 | )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t )0( 1 22 |1 y xy y eF y 1.1. 2.2. 3.3. 4.4. 5.5. 1)(xF 2021/3/1315 幾類常見的幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換拉普拉斯變換或逆變換 as eL at 1 s L 1 1 1 ! n n s n tL 22 sin as a atL 22 cos as s atL 1)(tL 1.

13、1. 3.3. 4.4. 特別的特別的, , 0Res 2.2. , )( sin 22 aas a ateL at 22 )( cos aas as ateL at 5.5. 1 )( ! n atn as n etL )()()( 1 atatfesFL sa 6.6. 延遲定理的延遲定理的 逆變換形式逆變換形式 2021/3/1316 幾類常見的幾類常見的拉普拉斯變換或逆變換拉普拉斯變換或逆變換 t a ysa dyee s L 2 1 22 1 t a e t a 4 2 3 2 2 1 11sasa e s sLeL 8.8. 7.7. 0Res 余誤差函數(shù)余誤差函數(shù) 事實(shí)上事實(shí)上,

14、 , t a y dye dt d 2 22 t a sa e t a eL 4 2 3 1 2 2 拉氏變換拉氏變換 微分定理微分定理1 1 2021/3/1317 例例5 5 ),()()( 2 tftuktu . 0)0(, 0)0(uu 用用拉普拉斯變換拉普拉斯變換求解求解 ,)(fLsF記記 對(duì)方程兩邊作對(duì)方程兩邊作 解解,)(uLsU )()()0()0()( 22 sFsUkususUs )()()( 22 sfsUksUs ).( 1 )( 22 sF ks k k sU .)(sin)( 1 0 dtkf k t kttf k tusin)( 1 )( 22 sin as a

15、 atL 拉普拉斯變換拉普拉斯變換得得 因此因此 對(duì)上式作對(duì)上式作拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換得得 2021/3/1318 3.3.1 3.3.1 積分變換法舉例積分變換法舉例 積分變換法的積分變換法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)在于把原方程化為較簡(jiǎn)單在于把原方程化為較簡(jiǎn)單 的形式的形式, ,便于求解。便于求解。 在應(yīng)用上在應(yīng)用上, ,對(duì)于對(duì)于初值問題初值問題通常采用通常采用傅氏變換傅氏變換 ( (針對(duì)針對(duì)空間空間變量變量),), 而對(duì)于而對(duì)于帶有邊界條件帶有邊界條件的定解的定解 問題問題, ,則采用則采用拉氏變換拉氏變換( (針對(duì)針對(duì)時(shí)間時(shí)間變量的變量的) )。 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),

16、0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t x ),(),(tUtxuF (37)(37) (38)(38) 解解 ).()(xF),(),(tGtxfF 首先對(duì)首先對(duì)進(jìn)行進(jìn)行傅氏變換傅氏變換, ,記記 2021/3/1319 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t x ),(),(tUtxuF (37)(37) (38)(38) 解解 ).()(xF),(),(tGtxfF 首先對(duì)首先對(duì)進(jìn)行傅氏變換進(jìn)行傅氏變換, ,記記 x對(duì)方程對(duì)方程(37)(37)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取傅氏變換傅氏變換,

17、,得得 ),(),( ),( 22 tGtUa dt tdU ).(| ),( 0 t tU (39)(39) 它滿足它滿足初值條件初值條件 (40)(40) 為了求解常微分方程初值問題為了求解常微分方程初值問題(39)(40)(39)(40), ,記記 2021/3/1320 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) 解解 ),(),( ),( 22 tGtUa dt tdU ).(| ),( 0 t tU ),(),(sUtUL).,(),(sGtGL ),(),()(),( 22

18、 sGsUasUs (39)(39) (40)(40) 為了求解常微分方程初值問題為了求解常微分方程初值問題(39)(40)(39)(40), ,記記 t 對(duì)方程對(duì)方程(39)(39)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取拉氏變換拉氏變換, ,并結(jié)合條件并結(jié)合條件 (40)(40)得得 2021/3/1321 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) ),(),()(),( 22 sGsUasUs t 對(duì)方程對(duì)方程(39)(39)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取拉氏變換拉氏變換, ,并結(jié)合條件并結(jié)合條件 (40

19、)(40)得得 ),( 1 )( 1 ),( 2222 sG asas sU (41)(41) 對(duì)式對(duì)式(41)(41)兩邊取兩邊取拉氏逆變換拉氏逆變換, ,得得 ),( 11 )(),( 22 1 22 1 sG as L as LtU 2021/3/1322 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) ),( 11 )(),( 22 1 22 1 sG as L as LtU .),()( )( 0 2222 deGe ta t ta tata etGe 2222 ),()( ),(

20、tU 對(duì)式對(duì)式(41)(41)兩邊取兩邊取拉氏逆變換拉氏逆變換, ,得得 (42)(42) 為了求出問題為了求出問題(37)(38)(37)(38)的解的解, ,還需要對(duì)還需要對(duì) 取取傅氏逆變換傅氏逆變換。 as eL at 1 2021/3/1323 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) .),()(),( )( 0 2222 deGetU ta t ta (42)(42) 對(duì)對(duì)(42)(42)式兩端取式兩端取傅氏逆變換傅氏逆變換, ,得得 deGFeFtxu t tata 0

21、)(11 2222 ),()(),( 利用利用卷積定理卷積定理得得 deFxfeFxtxu t tata 0 )(11 ),()(),( 2222 2021/3/1324 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) deFxfeFxtxu t tata 0 )(11 ),()(),( 2222 )0( 4 1 4 1 2 2 te t eF t x t 利用結(jié)論利用結(jié)論 可知可知 . ta x ta e ta eF 2 2 22 4 1 2 1 則可得則可得 de ta xfe ta x

22、txu t ta x ta x 0 )(4 4 2 2 2 2 )(2 1 ),( 2 1 )(),( 2021/3/1325 例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(),( 2 txtxfuau xxt ).(| 0 xu t (37)(37) (38)(38) 則可得則可得 de ta xfe ta xtxu t ta x ta x 0 )(4 4 2 2 2 2 )(2 1 ),( 2 1 )(),( de ta ta x 2 2 4 )( )( 2 1 . )( 1 ),( 2 1 0 )(4 )( 2 2 dde t f a t ta x 即得原定解問題的解。即得原定解

23、問題的解。 2021/3/1326 例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t x ),(),(tUtxuF (43)(43) 解解 ),()(xF).()(xF 將將(43)(43)各式的兩端關(guān)各式的兩端關(guān) 于于 進(jìn)行進(jìn)行傅氏變換傅氏變換, ,記記 假定假定. 0),(lim),(lim | txutxu t xx , 22 2 2 Ua dt Ud 則得則得 ).(| ),(),(| ),( 00 tt t dt dU tU (44)(44) 問題問題(44)(44)式帶參數(shù)式帶

24、參數(shù)的常微分方程的初值問題的常微分方程的初值問題, , 其解為其解為 2021/3/1327 例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) .sin )( cos)(),(ta a tatU ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (45)(45) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 對(duì)式對(duì)式(45)(45)取取傅氏逆變換傅氏逆變換 (46)(46) 利用結(jié)論利用結(jié)論 mx m F |, 2 1 sin 1 | ta Fx a taFx

25、 sin )( 1 cos)( 11 2021/3/1328 )()( 2 1 )(cos)( 1 atxatxxtaF ),()( 2 1 atxatx 例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 利用結(jié)論利用結(jié)論 mx m F |, 2 1 sin 1 | 因此可得因此可得 ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (46)(46) 2021/3/1329 ta a F sin )( 1 ta F

26、x a sin )( 1 1 .)( 2 1 d a atx atx .)( 2 1 )()( 2 1 ),(d a atxatxtxu atx atx 例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解 ),0,( 2 txuau xxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxu t (43)(43) )()( 2 1 cos 1 axaxaF 利用結(jié)論利用結(jié)論 mx m F |, 2 1 sin 1 | 因此可得因此可得 ta a FtaFtxu sin )( cos)(),( 11 (46)(46) 將所得結(jié)果代入將所得結(jié)果代入(46)(46)式式, ,得原問題得原

27、問題(43)(43)的解為的解為 2021/3/1330 例例3 3求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(0yxuu yyxx . 0),(lim),(| 22 0 yxuxgu yx y x ),(),(yUyxuF (47)(47) 解解 ).()(GxgF 將將(47)(47)各式的兩端關(guān)各式的兩端關(guān) 于于 分別作分別作傅氏變換傅氏變換, ,記記 則則(47)(47)化為化為 ),()0 ,(GU , 0 2 2 2 U dy Ud . 0),(lim yU y 解問題解問題(48)(48)得得 .)(),( |y eGyU (48)(48) 2021/3/1331 例例3 3求解

28、下列問題的解求解下列問題的解 ),0,(0yxuu yyxx . 0),(lim),(| 22 0 yxuxgu yx y (47)(47) .)(),( |y eGyU 對(duì)上式取對(duì)上式取傅氏逆變換傅氏逆變換 得得 y eGFyxu |1 )(),( 利用結(jié)論利用結(jié)論 .)( |1y eFxg )0( 1 22 |1 y xy y eF y (49)(49) 即得原問題即得原問題(47)(47)的解為的解為 22 1 )(),( xy xg y yxu . )( )( 22 d xy gy 2021/3/1332 例例4 4求解下列問題的解求解下列問題的解 ),0, 0( 2 txuau xx

29、t , 0| 0 t u t ),(),(sxUtxuL (50)(50) 解解 ).()(sFtfL 將將(50)(52)(53)(50)(52)(53)的兩端對(duì)的兩端對(duì) 分別作分別作拉氏變換拉氏變換, ,記記 則問題則問題(50)-(53)(50)-(53)化為化為 ),(| ),( 0 sFsxU x , 0 2 2 2 sU dx Ud a .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) (54)(54) (55)(55) (56)(56).| ),(|MsxU 2021/3/1333 ),(| ),( 0 sFsxU x , 0

30、 2 2 2 sU dx Ud a 是一個(gè)充分大的正數(shù)。是一個(gè)充分大的正數(shù)。 (54)(54) (55)(55) (56)(56).| ),(|MsxU 其中其中M方程方程(54)(54)的的通解通解為為 ,),( 21 x a s x a s ececsxU 則問題則問題(50)-(53)(50)-(53)化為化為 , 0 2 c .)(),( x a s esFsxU (57)(57) 由條件由條件(56)(56)知知).( 1 sFc 再由條件再由條件(55)(55)知知 于是有于是有 對(duì)式對(duì)式(57)(57)作作拉氏逆變換拉氏逆變換, ,得得 )(),( 1 x a s esFLtxu

31、 (58)(58).)( 1 x a s eLtf 2021/3/1334 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(50) .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf t a ysa dyee s L 2 1 22 1 首先利用結(jié)論首先利用結(jié)論 ta x y s a x dyee s L 2 1 22 1 則有則有 2021/3/1335 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(

32、50) .| ),(|Mtxu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf . 2 2 2 4 2 3 ta x e ta x 1 11 s a x s a x e s sLeL ta t y dye dt d 2 22 再利用再利用拉氏變換拉氏變換的的微分定理微分定理1 1則有則有 ta x y s a x dyee s L 2 1 22 1 2021/3/1336 ),0, 0( 2 txuau xxt , 0| 0 t u (50)(50) .| ),(|Mt

33、xu ),(| 0 tfu x (51)(51) (52)(52) (53)(53) )(),( 1 x a s esFLtxu (58)(58).)( 1 x a s eLtf . )(2 1 )( 2 0 )(4 2 3 2 2 t ta x de ta f a x 于是于是, ,原問題原問題(50)-(53)(50)-(53)的解為的解為 ta x e ta x tftxu 2 2 4 2 3 2 )(),( 2021/3/1337 例例5 5求解求解半無界弦半無界弦的的自由振動(dòng)自由振動(dòng)問題問題 ),0, 0( 2 txuau xxtt , 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxu t t

34、),(),(sxUtxuL (59)(59) 解解 ).()(sFtfL 將將(59)(61)(59)(61)的兩端的兩端 對(duì)對(duì) 分別作分別作拉氏變換拉氏變換, ,記記 則問題則問題(59)-(61)(59)-(61)化為化為 ),(), 0(sFsU , 0 2 2 2 2 Us dx Ud a , 0),(lim txu x ),(), 0(tftu (60)(60) (61)(61) (62)(62) (63)(63) . 0),(lim sxU x )(tf. 0)0(f 其中其中為已知函數(shù)為已知函數(shù)( (滿足拉氏變換條件滿足拉氏變換條件),),且且 2021/3/1338 方程方程(

35、62)(62)的的通解通解為為 ,),( 21 x a s x a s ececsxU ),(), 0(sFsU , 0 2 2 2 2 Us dx Ud a(62)(62) (63)(63) . 0),(lim sxU x , 0 1 c .)(),( x a s esFsxU 由條件由條件(63)(63)知知),( 2 sFc于是有于是有 對(duì)上式取對(duì)上式取拉氏逆變換拉氏逆變換, ,得得 )(),( 1 x a s esFLtxu (64)(64) 利用拉氏變換的利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式延遲定理的逆變換形式 )()()( 1 atatfesFL sa 2021/3/1339 )()

36、,( 1 x a s esFLtxu (64)(64) 利用拉氏變換的利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式延遲定理的逆變換形式 可知可知 )()()( 1 a x t a x tfesFL a x s )()()( 1 atatfesFL sa 則則(64)(64)式可化為式可化為 .)( , 0 ),( a x t a x tf a x t txu , 即得即得半無界弦半無界弦的的自由振動(dòng)自由振動(dòng)問題問題(59)-(61)(59)-(61)的解。的解。 2021/3/1340 例例6 6求解求解),0, 10( 2 txuau xxt ,sin4)0 ,(xxu t ),(),(sxUtxuL 解解 顯然顯然, ,對(duì)對(duì)作作拉氏變換拉氏變換, ,記記 則問題則問題(65)(65)可化為可化為 , 0), 0(sU ,sin4 2 2 2 xsU dx Ud a . 0), 1 (tu, 0), 0(tu (65)(65) (66)(66) (67)(67) . 0), 1 (sU 方程方程(66)(66)的的通解通解為為 x a s x a s ececsxU 21 ),(, sin4 22 as x 2021/3/1341 , 0 1 c . sin4 ),( 22 xas x sxU 由條件由條件(67)(67)知知, 0 2 c于是有于是有 , 0), 0(