勾股定理的總統(tǒng)證法及其他證法

1、總統(tǒng)巧證勾股定理學(xué)過幾何的人都知道勾股定理。它是幾何中一個比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛。迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有 500余種。其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在 數(shù)學(xué)史上被傳為佳話?？偨y(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者答案是否定的。事情的經(jīng)過是這樣的；在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞 黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。

2、只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和乙那么這個直角三角形的斜邊長又是多少”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平 方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎”伽 菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。他經(jīng)過反復(fù)的思于是伽菲爾德不再散步， 立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。 考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。T S鼻

3、.應(yīng)=耳（口 +即又V S徉辛5沽=S仙十5占十SCKU他是這樣分析的，如圖所示:.比較上二式便得以弓卡十趴1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證 法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡 捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。勾股定理的證明羅洪信（2002年4月25日參加桂林市創(chuàng)新教育課堂教學(xué)大比武用）【證法1】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都

4、是a + b，所以面積相等.即b24 ab214 ab2整理得a2 b2c2【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角ab形的面積等于2 .把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀， 使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G D三點在一條直線上. Rt HAE 也 Rt EBF, / AHE = / BEF/ AEH + / AHE = 90o ,FAaEbB/ AEH + / BEF = 90o ./ HEF = 180o 90o = 90 o .四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2. Rt GDH也 Rt

5、HAE, / HGD = / EHA / HGD + / GHD = 90o , / EHA + / GHD = 90o .又 / GHE = 90o , / DHA = 90o + 90o = 180o . ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于a b 24 -ab c22a2 b2【證法3】（趙爽證明）以a、b為直角邊（ba），以c為斜 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角1ab三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. Rt DAH也 Rt ABE, / HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o , / EAB + / HAD = 90o

6、 ,2 ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c.EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o . EFGH是一個邊長為. 2ba的正方形，它的面積等于 b a1 24 ab b a2a2b2c2【證法4】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于2ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A E、B三點在一條直線上. Rt EAD 也 Rt CBE, / ADE = / BEC / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o . / DEC =

7、180o 90o = 90 o . DEC是 一個等腰直角三角形,1 2 c它的面積等于2又 / DAE = 90o , / EBC = 90o , AD/ BC ABCD是 一個直角梯形，它的面積等于【證法5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為過C作ACc.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D E、F在一條直線上.ca、b (ba)，斜的延長線交DF于點P. D、E、F 在一條直線上,且 Rt GEF 也 Rt EBD, / EGF + / GEF = 90, / BED + / GEF = 90, / BEG =180) 90o = 90o

8、.又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一個邊長為c的正方形. / ABC + / CBE = 90o . Rt ABC也 Rt EBD, / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90o .即 / CBD= 9Gb .又 / BDE = 90o，/ BCP = 90o ,BC = BD = a . BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG!個邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則2 ab2S2lab,22S1c2ab2Ja2b2c2【證法6】（項明達證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為邊長為c.再做一個邊長為c

9、的正方形.C三點在一條直線上.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、過點Q作QP/ BC交AC于點P.過點B作BML PQ垂足為M再過點F作FN! PQ垂足為N / BCA = 90o , QP/ BC / MPC = 9Oo , BM丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是一個矩形，即/ MBC = 90o . / QBM + / MBA = / QBA = 90o ,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o , / QBM = / ABC又 / BMP = 90o，/ BCA = 90o , BQ = BA = c , Rt BMW Rt BCA同理可證Rt QNF也

10、Rt AEF從而將問題轉(zhuǎn)化為 【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD 過 C作 CL! DE交AB于點M交DE于點L. AF = AC，AB = AD,/ FAB = / GAD FAB 也 GAD1 2a FAB的面積等于2 GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，2矩形ADLM的面積=a .同理可證，矩形 MLEB的面積=b2.正方形ADEB勺面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB勺面積22.2口戸2.22c a b ，即 a b c .【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明

11、）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊 ACBC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c,過點C作CDLAB垂足是D.在 A ADCPA ACB中, / ADC = / ACB = 90o，A ADC s A ACBAD： AC = AC : AB2即 AC AD ? AB同理可證，A CDBsA ACB從而有BC2BD ? AB2 2AC BC AD2DB ? AB AB，即a2 b2【證法9】（楊作玫證明a、b （ba），斜邊做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形過A作AF丄AC，AF交GT于F，AF交DT于R.過B作BP丄A

12、G的延長線垂直，垂足為 E, DE交AF于H / BAD = 90o，/ PAC = 90o，垂足為19 c 2疋過D作DE與 CB / DAH = / BAC又 / DHA = 90o，/ BCA = 90o，T8 R Hc3QP /4564ZcJbE B a CAD = AB = c , Rt DHA也 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個矩形，所以 Rt APB 也 Rt BCA 即 PB =CA = b , AP= a,從而 PH = b a. Rt DGT也 Rt BCA ,Rt DHA也 Rt BCA Rt DGT也 Rt

13、DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA.又 / DGT = 90o，/ DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o， DGFH是一個邊長為a的正方形.GF = FH = a . TF丄AF, TF = GTGF = b a . TFPB是一個直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (ba)用數(shù)字表示面積的編號(如圖)，則以c為邊長的正方形的面積為c2SiS2S3S4S512 1 S8S3S4bba?ababab22S5S8S9S3S4b21 . ab2S8= b2S1 S8把代入，得c2S

14、iS2b2S1S8 S8S9=b2S2S9=b2 2 a .a2b2c2【證法10】(李銳證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a b ( ba)，斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A、E、G三點在一條直 線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）. / TBE = / ABH = 90o , / TBH = / ABE又 / BTH = / BEA = 90o ,BT = BE = b , Rt HBT 也 Rt ABE HT = AE = a . GH = GTHT = b a.又 / GHF + / BHT = 90o ,/ DBC + / BHT =

15、/ TBH + / BHT = 90o , / GHF = / DBC DB = EB ED = ba,/ HGF = / BDC = 90o , Rt HGF Rt BDC 即 色 色.過 Q作 QML AG 垂足是 M 由/ BAQ = / BEA = 90o，可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 也 Rt QAM.又 Rt HBT 也Rt ABE 所以 Rt HBT 也 Rt QAM.即 S8 S5.由 Rt ABE 也 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE / AQM + / FQM = 90o，/ BAE +

16、 / CAR = 90o，/ AQM = / BAE / FQM = / CAR又/ QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a, Rt QMF也 Rt ARC 即 S4 S6.c2S2S3S4S5a2SiS6b2S3S7S8又S7S2，S8S5S4S6. a2b2SiS6S3S7S8=SiS4S3S2S52=c:2 2 2即 a b c .【證法11】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊BC = a , AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D E,貝U BD = BE = BC = a .因為/ BCA =

17、 90o，點C在。B上，所以AC是O B的切線.由切割線定理，得AC2 AE?AD=AB BE AB BD=:ca c a22=:car.222即bca222.abc .【證法12】（利用多列米定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a，AC = b，斜邊 AB = c （如圖）.過點A作AD/ CB過點B作BD/CA則ACBD為矩形，矩形ACBM接于一個圓根據(jù)AB?DC AD?BC AC?BD1aab多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有）AB = DC = c ， AD = BC = a ，AC = BD = b，AB2 BC2 AC2，即 c2 a2 b2a2

18、b2c2【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊AB = c.作Rt ABC的內(nèi)切圓。0,切點分別為D E、F （如圖），設(shè)的半徑為r.AE =AF ,BF =BD,CD =CEACBCABAECEBDCD AF BF=CECD=r + r =2r,即 a b c 2r,/. a b 2r c.2r2,2, ,2 2即 a b 2ab 4 r rc c1S ABCab-2 ,2ab4S ABC又S ABCS AOBS BOCS AOC11111 crarbra b c r222 =:22rrc ,4 r2rc4S ABC4 r2r

19、c2ab22 2 2a b 2ab 2ab ca2b2c2【證法14】（利用反證法證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊AC BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長 為c,過點C作CDLAB垂足是D.假設(shè)a2 b2 c2，即假設(shè)AC2 BC2 AB2，則由AB2 AB?AB=ABAD BD 二ab?AD AB?BD2 2可知AC AB ?AD，或者 BCAB?BD .即 AD: AO AC AB,或者 BD:BO BC AB在 A ADCW ACB中, / A = / A,若 AD: AO AC AB 貝U/ ADO / ACB在 A CDBffiA ACB中, / B = / B,若 BD B

20、O BC AB,貝U/ CDBZ ACB又 / ACB = 90o , / ADO 90o , / CDB 90o .2這與作法CD!AB矛盾.所以，ACBC2 AB2的假設(shè)不能成立.a2b2c2【證法ab2 ab2ab（辛卜松證明）15】baaabbba C設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD勺面積為b22ab ;把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD勺面積為14 ab22C = 2ab c2a2 b2 2ab 2ab c2J2.2 2 a b c .【證法16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分