基于小孔成像的相機模型

1、2016西北大學第二次舊題新作數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和

2、參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： （論文紙質版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期： 2016 年 8 月 14 日

3、賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：一、摘 要 本文研究數(shù)碼相機的位置標定問題，在了解相機成像原理的前提下，對靶標的像運用Matlab處理，利用同側公切線法得到到靶標上五個圓圓心的像坐標。再利用坐標系的剛性變換解出相機坐標系到世界坐標系之間的旋轉變換和平移變換，由此確定相機對世界坐標系的相對位置，進而得到兩臺相機的相對位置。基于坐標系的轉換，明確四個坐標系：世界坐標系（以靶標為參照物）、像素平面坐標系、像平面坐標系和相機坐標系（以相機的光學中心為參照）。針對第一題，假定相機不動，用推導法，將相機坐標系轉化為像平面坐標系，再將像平面坐標系轉化為像素平面坐標系，并求其逆矩陣，可將像素坐標系

4、轉化為相機坐標系。再通過控制變量法，分別將世界坐標系繞其，軸旋轉、角度得到坐標系Rx、Ry、Rz，相乘后再平移T個單位，得到相機坐標系。結合上述兩組轉換，可得出世界坐標系與像平面坐標系的關系。針對第二題，在不考慮畸變的情況下，假設相機滿足光學系統(tǒng)中的針孔透視投影原理，圓經(jīng)過透視攝影之后的像為橢圓，圓的公切線經(jīng)投影后依然為其公切線，我們根據(jù)同側公切線法的原理，在matlab中先求出五個橢圓的解析方程，再求出公切線，聯(lián)立后求出切點坐標，從而求出直線方程，確定圓心。圓心坐標為（）針對第三題，在假設的理想狀況下進行操作，必然會產生一定的誤差，而又因為相機系統(tǒng)滿足針孔透視投影原理，可以利用一定的映射關系

5、將像邊緣上的點反向投射到靶標上，并對這些點到圓心的距離進行檢驗，用方差來對模型的精確度和穩(wěn)定度進行評價。針對第四題，建立雙目系統(tǒng)模型，根據(jù)像的位置確定相機1在世界坐標系中的位置，再通過兩相機的相對位置，確定兩相機在世界坐標系中的位置。本題未知數(shù)多，約束方程多，信息量比較大，用采用最小二乘法求出最優(yōu)解。關鍵詞：系統(tǒng)標定，同側公切線，Matlab 二、問題重述數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲

6、得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點， 同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就

7、可實現(xiàn)。 有人設計靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓。用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像。請你們：（1） 建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024768；（3） 設計一種方法檢驗你們的模型，

8、并對方法的精度和穩(wěn)定性進行討論；（4） 建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。3、 符號定義與說明表1 符號定義與聲明符號名稱定義與說明Xc相機坐標系x軸Yc相機坐標系y軸Zc相機坐標系z軸x像平面坐標系x軸y像平面坐標系y軸u像素坐標系u軸v像素坐標系v軸世界坐標系x軸世界坐標系y軸世界坐標系z軸R旋轉矩陣Rx繞x軸旋轉的旋轉矩陣Ry繞y軸旋轉的旋轉矩陣Rz繞z軸旋轉的旋轉矩陣T平移矩陣Txx軸方向的平移矩陣Tyy軸方向的平移矩陣Tzz軸方向的平移矩陣f相機焦距（像平面到相機坐標系原點的距離）4、 模型假設1.在成像時假設不發(fā)生畸變2.假設數(shù)碼相機中長寬方向的焦距相等3.假設

9、數(shù)碼相機的光軸垂直于像平面4.假設焦距遠小于物距，可近似等于像距5、 模型建立與求解5.1 問題一5.1.1問題分析在相機的拍攝過程中，存在四個重要位置，分別是相機位置、圖像位置、像素起始位置和物體位置，所以，為方便起見，我們設定四個坐標系：相機坐標系、像平面坐標系、像素坐標系與世界坐標系。像平面坐標系與像素坐標系位置關系如圖1.求靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標即是要求我們將世界坐標系中的點轉化為像素坐標系中的點，則本題可以轉化為：通過公式推導求出世界坐標系與像素坐標系的關系。5.1.2模型建立與求解在像素坐標系中，我們不妨假設每一個像素的實際長度和寬度分別為和，假設像平面坐標系的原點在

10、像素坐標系中的位置為（，），則在像素坐標系中u軸和v軸的位置為：公式1 像素到像平面坐標系的關系式得出這個公式后我們改用齊次式并把方程用矩陣形式表示：公式2 素到像平面坐標系的關系矩陣 相機坐標系與像平面坐標系關系如圖1。圖1 相機坐標系與世界坐標系關系圖根據(jù)三角形相似原理，我們有公式3 投影原理式用矩陣表示為：公式4 投影原理矩陣表示 三維空間中， 當物體不發(fā)生形變時，對一個幾何物體作旋轉、平移的運動，稱之為剛體變換。因為世界坐標系和攝像機坐標都是右手坐標系，所以其不會發(fā)生形變。我們想把世界坐標系下的坐標轉換到攝像機坐標下的坐標，如下圖所示，可以通過剛體變換的方式，如圖圖2 剛體變換模型圖

11、二者數(shù)學變換的公式為，其中R為旋轉矩陣，T為平移矩陣。 因其受x,y,z三個方向上的分量共同控制，所以其具有三個自由度。R則為分別繞XYZ三軸旋轉的效果之和。首先，通過控制變量，保持不變，使、繞旋轉角度。公式5 繞Zw軸旋轉的坐標系變換方程故，繞的旋轉矩陣為：公式6 繞Zw軸旋轉的坐標系變換矩陣同理，可得繞的旋轉、角度的旋轉矩陣：公式7 繞Xw、Yw軸旋轉的坐標系變換矩陣公式8 旋轉矩陣與分量旋轉矩陣式分別在方向上平移個單位長度，得平移矩陣：公式9 平移矩陣綜合上述公式得公式10 像素坐標系與世界坐標系位置關系5.2問題二5.2.1問題分析5.2.2模型建立與求解同側公切線法：對于兩個等大的圓

12、作外公切線，其中任何一個圓的圓心都在該圓上兩個切點的連線上，該圓圓心在像平面上的像也在兩切點的像的連線上圖3 圓心的像確定原理圖5.3問題三5.3.1問題分析由于本題是在假設的理想狀況下進行操作，必然會產生一定的誤差，而又因為相機系統(tǒng)滿足針孔透視投影原理，圓經(jīng)過透視攝影之后的像為橢圓，圓的公切線經(jīng)投影后依然為其公切線，我們可以利用切點和切線對像的圓心進行檢驗，并用方差來對模型的精確度和穩(wěn)定度進行檢驗，方差越小模型越穩(wěn)定，精確度越高。5.3.2模型建立與求解本文是在理想模型的前提下討論像平面坐標系與世界坐標系的關系，然而在現(xiàn)實情況中，由于各方面因影響，實際情況可能與模型產生的結果存在以下誤差：（

13、1）畸變導致誤差本文討論的是通過剛性變換得出的的模型，并沒有考慮物體到像產生的畸變。由于透鏡成像和空氣的折射，實際相機得到的像都是有畸變的，難免會對精度產生影響。（2）對離散的像素點操作產生誤差被拍攝的物體邊緣是連續(xù)的，然而在數(shù)碼相機成像后，原來連續(xù)的點被離散化，再加之使用matlab軟件的操作會丟失很多圖像邊緣的信息。而同側公切線求圓心模型嚴重依賴于圖像的邊緣，離散像素點可能會造成一定的誤差。（3）模型假設誤差在大多數(shù)情況下，本文的模型假設總是近似符合事實的，也會產生誤差。 精度檢驗可以轉換為像上的圖形與靶標上的圓的映射關系的檢驗。具體方法是，首先將像上的輪廓的點根據(jù)一定的映射關系投射到以上

14、模型求得的靶標上，然后計算靶標上相應的圓心距離這些點的平均距離和方差，平均距離越貼近于靶標上圓的半徑，則模型越準確；方差越小，則模型越準確。 對于方法的穩(wěn)定性的討論，那么必須依據(jù)所取半徑的具體大小來確定，假如所取的半徑過大，則在將用matlab處理圖像時，可能出現(xiàn)多個像素點位于同一行或列，使得尋找切線時的誤差變大，以致圓心不準確。假如所取的半徑過小，圓的像有可能在像平面上只有幾個像素點，也會使得尋找切線時的誤差變大，求得的圓心也不精確。根據(jù)以上分析，若圓的半徑在某范圍內，按此方法的計算的結果是穩(wěn)定的。否則此方法不穩(wěn)定。5.4問題四5.4.1問題分析本題要求根據(jù)給出標靶求解兩臺相機的位置，即可以

15、看作根據(jù)像的位置確定兩相機在世界坐標系中的位置。在問題一中我們已經(jīng)求出世界坐標系向像素坐標系轉化的模型，要求出兩個相機的相對位置，只需再找出兩個相機的相對位置，解出所有未知數(shù)即可。圖4 雙機系統(tǒng)示意圖5.4.2模型建立與求解首先，求出相機2相對于相機1的相機坐標系的空間關系。我們假設相機1的相機1坐標系為（），相機2相對于相機1坐標系的相機2坐標系為（）將相機1作為參考系，那么相機2相對于相機1的坐標為（），相對方向角為（）。其中，為軸在面上的投影與的夾角，為軸在面上的投影與的夾角，為軸在面上的投影與的夾角。由于相機1坐標系可以由相機2坐標系可以經(jīng)過剛性變換得到，那么我們不妨設：公式 11 相

16、機1與相機2位置關系其中，令M為34的矩陣。在問題一中，我們已經(jīng)知道了像平面坐標系與相機坐標系的關系為：公式 12 像平面坐標系與相機坐標系位置關系將公式2帶入公式1中得：公式13 相機1像平面坐標系與相機2坐標系關系式我們令：公式14 相機1像平面坐標系與相機2坐標系關系參數(shù)矩陣將兩個相機在世界坐標系中進行定位，內部參數(shù)相同，相機位置不同，外部參數(shù)也不同，求出外部參數(shù)，位置就可以通過平移旋轉得出。公式 15 相機1與相機2的外部參數(shù)那么，相機坐標系與世界坐標系就可以根據(jù)公式 來轉換。公式 16 相機1和相機2與世界坐標系的關系公式公式 17 相機1與相機2的位置關系我們假設：公式 18 M2

17、的逆矩陣將公式15與公式18相乘，我們可以得到：公式 19 M2到M1的過渡系數(shù)設靶平面一點p在相機1坐標系中的位置為（），在相機2坐標系中的位置為（）。由問題一可知，在兩個相機坐標系中，點（）與點（）有如下關系：公式20 投影原理式得出這個公式后我們改用齊次式并把方程用矩陣形式表示：公式21 投影原理矩陣聯(lián)立上述公式，得到點的位置矩陣組：公式22 點的位置矩陣組由矩陣相乘我們可以得出四個獨立方程，那么共有4*5=20個獨立方程。討論，按照此靶標，有5個圓心坐標，有5*3=15個未知數(shù)，再加上（t1，t2,t3）與（），共計21個未知數(shù)。在標靶的五個圓中，有四個圓在在正方形的頂點處，故有4個約束條件，圓D在正方形的邊上，有1個約束條件，點B到點A與點C的距離一定，故有2個約束條件。綜上所述，此模型中含有未知數(shù)21個，約束條件27個，可用最小二乘法解出最優(yōu)坐標。題目中給出靶標，我們可得五個同心的世界坐標。由坐標變換可得出對應的