高等代數(shù)第一章

1、高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 1.1 1.1 集合集合 1.2 1.2 映射映射 1.3 1.3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 1.4 1.4 整數(shù)的一些整除性質(zhì)整數(shù)的一些整除性質(zhì) 1.5 1.5 數(shù)環(huán)和數(shù)域數(shù)環(huán)和數(shù)域 課外學(xué)習(xí)課外學(xué)習(xí)1: 山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 內(nèi)容分布內(nèi)容分布 1.1.1 集合的描述性定義集合的描述性定義 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等集合的包含和相等 1.1.4 集合的運(yùn)算及其性質(zhì)集合的運(yùn)算及其性質(zhì) 教學(xué)目的教學(xué)目的 掌握集合概念、運(yùn)算、證明

2、集合相等的一般方法掌握集合概念、運(yùn)算、證明集合相等的一般方法 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn) 集合概念、證明集合相等集合概念、證明集合相等 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 表示一定事物的集體，我們把它們稱(chēng)為集合或集，如表示一定事物的集體，我們把它們稱(chēng)為集合或集，如 “一隊(duì)一隊(duì)”、“一班一班”、“一筐一筐”. . 組成集合的東西叫組成集合的東西叫 這個(gè)集合的元素這個(gè)集合的元素. . 我們常用大寫(xiě)拉丁字母我們常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，表示集合，用小表示集合，用小 寫(xiě)拉丁字母寫(xiě)拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素. 如果如果a是集合是集合A的元素，就說(shuō)的元素，就說(shuō)a屬于屬于A，記作，記作 ；或；或 者說(shuō)者說(shuō)A

3、包含包含a，記作，記作Aa 如果如果a不是集合不是集合A的元素，就說(shuō)的元素，就說(shuō)a不屬于不屬于A，記作，記作 ； 或者說(shuō)或者說(shuō)A不包含不包含a，記作，記作 Aa aA 例如，設(shè)例如，設(shè)A是一切偶數(shù)所成的集合，那么是一切偶數(shù)所成的集合，那么4A， 而而 . 3A 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 一個(gè)集合可能只含有有限多個(gè)元素，這樣的集合叫一個(gè)集合可能只含有有限多個(gè)元素，這樣的集合叫 做有限集合做有限集合. 如，前十個(gè)正整數(shù)的集合；一個(gè)學(xué)校的如，前十個(gè)正整數(shù)的集合；一個(gè)學(xué)校的 全體學(xué)生的集合；一本書(shū)里面的所有漢字的集合等全體學(xué)生的集合；一本書(shū)里面的所有漢字的集合等 等這些都是有限集合等這些都是有限集

4、合. 如果一個(gè)集合是由無(wú)限多個(gè)元如果一個(gè)集合是由無(wú)限多個(gè)元 素組成的，就叫做無(wú)限集合素組成的，就叫做無(wú)限集合. 如，全體自然數(shù)的集合；如，全體自然數(shù)的集合； 全體實(shí)數(shù)的集合；小于的全體有理數(shù)的集合等等都全體實(shí)數(shù)的集合；小于的全體有理數(shù)的集合等等都 是無(wú)限集合是無(wú)限集合. 不含任何元素的集合叫空集不含任何元素的集合叫空集. 表示為：表示為： 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 枚舉法枚舉法: 例如例如,我們把一個(gè)含有我們把一個(gè)含有n個(gè)元素的集合的有限個(gè)元素的集合的有限 集合集合 表示成：表示成： . 前五個(gè)正前五個(gè)正 整數(shù)的集合就可以記作整數(shù)的集合就可以記作 . n aaa, 21 n aaa, 21

5、 5 , 4 , 3 , 2 , 1 枚舉僅用來(lái)表示有限集合枚舉僅用來(lái)表示有限集合. 擬枚舉擬枚舉: 自然數(shù)的集合可以記作自然數(shù)的集合可以記作 , 擬枚舉擬枚舉 可以用來(lái)表示能夠排列出來(lái)的的集合可以用來(lái)表示能夠排列出來(lái)的的集合, 像自像自 然數(shù)、整數(shù)然數(shù)、整數(shù) .5 , 4 , 3 , 2 , 1n 概括原則概括原則: 如果一個(gè)集如果一個(gè)集A是由一切具有某一性質(zhì)的元是由一切具有某一性質(zhì)的元 素所組成的，那么就用記號(hào)素所組成的，那么就用記號(hào) 具有某一性質(zhì) x|x A 來(lái)表示來(lái)表示. 例如例如 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 表示一切大于表示一切大于-1且小于且小于1的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) 的所組成的集合的所

6、組成的集合. 11,|xRxxA 常用的數(shù)集：常用的數(shù)集： 全體整數(shù)的集合，表示為全體整數(shù)的集合，表示為Z 全體有理數(shù)的集合，表示為全體有理數(shù)的集合，表示為Q 全體實(shí)數(shù)的集合，表示為全體實(shí)數(shù)的集合，表示為R 全體復(fù)數(shù)的集合，表示為全體復(fù)數(shù)的集合，表示為C 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 設(shè)設(shè)A A，B B是兩個(gè)集合，如果是兩個(gè)集合，如果A A的每一元素都是的每一元素都是B B的元素，那的元素，那 么就說(shuō)么就說(shuō)是是的子集，記作的子集，記作 （讀作（讀作屬于屬于），或），或 記作記作 （讀作（讀作包含包含）. . 根據(jù)這個(gè)定義，根據(jù)這個(gè)定義，是是的的 的子集必要且只要對(duì)于每一個(gè)元素的子集必要且只要對(duì)

7、于每一個(gè)元素x x，如，如果果 ，就，就 有有 . . BA AB Ax Bx 例如，一切整數(shù)的集合是一切有理數(shù)的集合的子集，而例如，一切整數(shù)的集合是一切有理數(shù)的集合的子集，而 后者又是一切實(shí)數(shù)的集合的子集后者又是一切實(shí)數(shù)的集合的子集. . A是是B的子集，記作：的子集，記作： ):()(BxAxxBA對(duì)于一切 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 如果如果A A不是不是B B的子集，就記作：的子集，就記作： 或或 . . 因此，因此，A A 不是不是B B的子集，必要且只要的子集，必要且只要A A中至少有一個(gè)元素不屬于中至少有一個(gè)元素不屬于B B， 即：即： ABAB ()(:)ABx xAxB存在

8、一個(gè)元素但 例如，一節(jié)可以用被有整除的整數(shù)所成的集合，不是一例如，一節(jié)可以用被有整除的整數(shù)所成的集合，不是一 切偶數(shù)所成的集合的子集，因?yàn)榍信紨?shù)所成的集合的子集，因?yàn)? 3屬于前者但不屬于后屬于前者但不屬于后 者者. . 集合集合11，2 2，33不是不是22，3 3，4 4，55的子集的子集. . 根據(jù)定義，一個(gè)集合根據(jù)定義，一個(gè)集合A A總是它自己的子集，即：總是它自己的子集，即：AA 如果集合如果集合A A與與B B的由完全相同之處的元素組成部分的，就的由完全相同之處的元素組成部分的，就 說(shuō)說(shuō)A A與與B B相等，記作：相等，記作：A=BA=B. . 我們有我們有 ):()(BxAxxB

9、A對(duì)于一切 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 例如，設(shè)例如，設(shè)A A=1=1，22，B B是二次方程是二次方程 的根的根 的集合，則的集合，則A=BA=B. . 023 2 xx )()(CAcBBA且 )()(BAABBA且 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 并運(yùn)算并運(yùn)算 設(shè)設(shè)A A，B B是兩個(gè)集合是兩個(gè)集合. . 由由A A的一切元素和的一切元素和B B的一切的一切 元素所成的集合叫做元素所成的集合叫做A A與與B B的并集（簡(jiǎn)稱(chēng)并），記作的并集（簡(jiǎn)稱(chēng)并），記作 . . 如圖如圖1 1所示所示. . BA BA A B 例如，例如，A=1，2，3，B =1，2，3，4，則，則 4 , 3 , 2

10、 , 1BA 又例如，又例如，A是一切有理數(shù)的集合是一切有理數(shù)的集合，B是一切無(wú)理數(shù)的集是一切無(wú)理數(shù)的集 合，則合，則 是一切實(shí)數(shù)的集合是一切實(shí)數(shù)的集合. 顯然，顯然，BA )(BAA或或)(BAA 根據(jù)定義，我們有根據(jù)定義，我們有 )()(BxAxBAx或 )()(BxAxBAx且 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 交運(yùn)算交運(yùn)算 由集合由集合A A與與B B的公共元素所組成的集合叫做的公共元素所組成的集合叫做A A 與與B B的交集的交集( (簡(jiǎn)稱(chēng)交簡(jiǎn)稱(chēng)交) )，記作：，記作： ，如圖，如圖2 2所示所示. . BA BA 顯然，顯然，ABABBA， 例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，

11、4，5，則，則 4 , 3 , 2BA 我們有我們有)()(BxAxBAx且 )()(BxAxBAx或 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 兩個(gè)集合兩個(gè)集合A與與B不一定有公共元素，我們就說(shuō)它們的交不一定有公共元素，我們就說(shuō)它們的交 集是空集集是空集. 例如，設(shè)例如，設(shè)A是一切有理數(shù)的集合，是一切有理數(shù)的集合，B是一切無(wú)理數(shù)的集是一切無(wú)理數(shù)的集 合，那么合，那么 就是空集就是空集. 又如方程又如方程 的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)根 的集合為空集的集合為空集. BA01 2 x 空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集. 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì): 交換律交換律 :ABBAABBA; 結(jié)合律結(jié)

12、合律 :)()(CBACBA)()(CBACBA; 分配律分配律 : CABACBA CABACBA 我們選取一個(gè)來(lái)證明我們選取一個(gè)來(lái)證明. 例例1 1 證明證明CABACBA 證明證明 設(shè)設(shè) ，那么，那么 且且 ，于是，于是 且至少屬于且至少屬于B與與C 中的之一中的之一. 若若 ，那么因，那么因 為為 ，所以，所以， ；同樣，若；同樣，若 ， 則則 . 不論哪一種情形都有不論哪一種情形都有 . 所以所以 CBAxAxCBx AxBx Ax BAxCx CAx)()(CABAx CABACBA 反之，若反之，若 ，那么，那么 或或 者者 . 但但 ， ，所以不論哪一，所以不論哪一 種情形都有

13、種情形都有 ，所以，所以 這就證明了上述等式這就證明了上述等式. )()(CABAxBAx CAxCBBCBC CBAx CBACABA 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意兩個(gè)集的并與交的概念可以推廣到任意n個(gè)集合上去，個(gè)集合上去， 設(shè)設(shè) 是給定的集合是給定的集合. 由由 的一切元的一切元 素所成的集合叫做素所成的集合叫做 的并；由的并；由 的的 一切公共元素所成的集合叫做的一切公共元素所成的集合叫做的 交交. 的并和交分別記為：的并和交分別記為： 和和 . 我們有我們有 n AAA, 21 n AAA, 21 n AAA, 21 n AAA, 21 n AAA,

14、 21 n AAA, 21 n AAA 21 n AAA 21 ), 2 , 1,()( 21 niAxAAAx i 至少屬于某一 ), 2 , 1,()( 21 niAxAAAx i 屬于每一 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 差運(yùn)算：差運(yùn)算： 設(shè)設(shè)A A，B B是兩個(gè)集合，令是兩個(gè)集合，令 |BxAxxBA但 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)， 是由一切屬于是由一切屬于A但不屬于但不屬于B 的元素所組的元素所組 成的，稱(chēng)為成的，稱(chēng)為A與與B 的差的差. BA 注意：并沒(méi)有要求注意：并沒(méi)有要求B是是A的子集的子集. 例如，例如，CQ 積運(yùn)算：積運(yùn)算： 設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)A A，B B是兩個(gè)集合，令是兩個(gè)集合，令 稱(chēng)為稱(chēng)

15、為A A與與B B的笛卡兒積（簡(jiǎn)稱(chēng)為積）的笛卡兒積（簡(jiǎn)稱(chēng)為積）. . 是一切元素對(duì)（是一切元素對(duì)（a a, , b b ）所成的集合，其中第一個(gè)）所成的集合，其中第一個(gè) 位置的元素位置的元素a a取自取自A A，第二個(gè)位置的元素，第二個(gè)位置的元素b b取自取自B B. . ,| ),(BbAabaBA BA 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 一、一、 內(nèi)容分布內(nèi)容分布 1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像 1.2.3 映射的合成映射的合成 1.2.4 單射、滿(mǎn)射、雙射單射、滿(mǎn)射、雙射 二、二、 教學(xué)目的教學(xué)目的 掌握映射的概念, 映射的合成，滿(mǎn)射、單射

16、、可逆映射 的判斷。 三、三、 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿(mǎn)射、單射、可逆映射的判斷。 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定義定義1 設(shè)設(shè)A，B 是兩個(gè)非空的集合，是兩個(gè)非空的集合，A到到B 的一個(gè)映射的一個(gè)映射 指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)這個(gè)法則，對(duì)于集合指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)這個(gè)法則，對(duì)于集合A中的中的 每一個(gè)元素每一個(gè)元素 x，有集合，有集合B中一個(gè)唯一確定的元素中一個(gè)唯一確定的元素 y 與它與它 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng). 用字母用字母f，g，表示映射表示映射. 用記號(hào)用記號(hào) 表示表示f 是是A 到到B的一個(gè)映射的一個(gè)映射. BAf: 如果通過(guò)映射如果通過(guò)映射f，與，與A中元素中元素x對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的

17、B中元素是中元素是y，那么，那么 就寫(xiě)作就寫(xiě)作 yxf: 這時(shí)這時(shí)y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，記作之下的象，記作 . )(xf 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 例例1 令令Z是一切整數(shù)的集合是一切整數(shù)的集合. 對(duì)于每一整數(shù)對(duì)于每一整數(shù)n，令，令 與它對(duì)應(yīng)與它對(duì)應(yīng). 那那 f 是是Z到到Z的一個(gè)映射，的一個(gè)映射， nnf2)( 例例2 令令R是一切實(shí)數(shù)的集合，是一切實(shí)數(shù)的集合，B是一切非負(fù)實(shí)數(shù)的集合是一切非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 對(duì)于每一對(duì)于每一 ，令，令 與它對(duì)應(yīng)；與它對(duì)應(yīng)； 那么那么 f 是是R到到B的一個(gè)映射的一個(gè)映射. Rx 2 )(xxf 2 :xxf， ， )(xf 例例3 設(shè)設(shè) 這是這

18、是A到到B的一個(gè)映射的一個(gè)映射. 4 , 3 , 2 , 1 BA 14 , 43 , 32 , 21:f 例例4 設(shè)設(shè)A是一切非負(fù)被減數(shù)的集合，是一切非負(fù)被減數(shù)的集合，B是一切實(shí)數(shù)的集是一切實(shí)數(shù)的集 合合. 對(duì)于每一對(duì)于每一 ，令，令 與它對(duì)應(yīng)與它對(duì)應(yīng). f 不是不是A 到到B的映射，的映射， 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，時(shí)， 不能由不能由x唯一確唯一確 定定. Axxxf)( 0 x)(xf 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 例例5 令令A(yù)=B等于一切正整數(shù)的集合等于一切正整數(shù)的集合. 不是不是A到到B的一個(gè)映射，因?yàn)榈囊粋€(gè)映射，因?yàn)?. 1:nnf Bf011) 1 ( 例例6 設(shè)設(shè)A是任意是任意 一

19、個(gè)集合，對(duì)于每一一個(gè)集合，對(duì)于每一 ，令，令 與它對(duì)應(yīng)：與它對(duì)應(yīng)： Axxxf)( xxf: 這自然是這自然是A到到A的一個(gè)映射，這個(gè)映射稱(chēng)為集合的一個(gè)映射，這個(gè)映射稱(chēng)為集合A的恒等的恒等 映射映射. 注意注意: : A A與與B B可以是相同的集合，也可以是不同的集合可以是相同的集合，也可以是不同的集合 對(duì)于對(duì)于A A的每一個(gè)元素的每一個(gè)元素x x，需要，需要B B中一個(gè)唯一確定的元素與它對(duì)中一個(gè)唯一確定的元素與它對(duì) 應(yīng)應(yīng). . 一般說(shuō)來(lái)，一般說(shuō)來(lái)，B B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A A中元素的象中元素的象. . A A中不相同的元素的象可能相同中不相同的元素的象可能相同. . 高

20、等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 BAf: 設(shè)設(shè) 是一個(gè)映射是一個(gè)映射. 對(duì)于對(duì)于 ，x的象的象 . 一切一切 這樣的象作成這樣的象作成B的一個(gè)子集，用的一個(gè)子集，用 表示：表示： ， 叫做叫做A在在f之下的象，或者叫做映射之下的象，或者叫做映射f的象的象. BAf:Ax Bxf)( )(Af | )()(Axxfaf 例例7令令 ， . 那么那么 . |,:xxRRf 2 ,:xxRRg gf 設(shè)設(shè) ， 都是都是A到到B的映射，如果對(duì)于每的映射，如果對(duì)于每 一一 ，都有，都有 ，那么就說(shuō)映射，那么就說(shuō)映射f與與g是相等的是相等的. 記作記作 BAf:BAg: gf gf 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一

21、章 設(shè)設(shè) 是是A到到B 的一個(gè)映射，的一個(gè)映射， 是是B 到到C 的的 一個(gè)映射一個(gè)映射. 那么對(duì)于每一個(gè)那么對(duì)于每一個(gè) ，因而是，因而是C中的一中的一 個(gè)元素個(gè)元素. 因此，對(duì)于每一因此，對(duì)于每一 ，就有，就有C 中唯一的確定中唯一的確定 的元素的元素 與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到A到到C 的一個(gè)映射，的一個(gè)映射， 這映射是由這映射是由 和和 所決定的，稱(chēng)為所決定的，稱(chēng)為 f 與與 g 的合成（乘積），記作的合成（乘積），記作 . 于是有于是有 BAf:CBg: )(xfg Ax )(xfg BAf: CBg: fg )()( ;:xfgxfgCAfg Ax對(duì)于一切對(duì)于一切 ,f

22、 與與g 的合成可以用下面的圖示意：的合成可以用下面的圖示意： fg f g A B C 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 例例8 8 設(shè)設(shè) 2 ;:xxRRf xxRRfsin;: xxRRfsin;: 2 sin;:xxRRfg那么那么 例例9 9 設(shè)設(shè) A=1，2，3 13 , 32 , 21 ;:AAf 23 , 12 , 31 ;:AAg 那么那么 33 , 22 , 11 ;:AAfg 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 設(shè)給映射設(shè)給映射 ， ， ，有，有 . 但是，一般情況下但是，一般情況下 ， 設(shè)設(shè)A是非空集合是非空集合 ， 稱(chēng)為設(shè)稱(chēng)為設(shè)A上的上的 恒等映射。恒等映射。 BAf:CBg:

23、DCh: fghfgh)()( fggf AAjA:, xx 設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，用是兩個(gè)非空集合，用 和和 表示表示A和和B的恒等映的恒等映 射射. 設(shè)設(shè) 是是A到到B的一個(gè)映射的一個(gè)映射. 顯然有：顯然有： ， . A j B j BAf: fjf A ffjB 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定義定義2 2 設(shè)設(shè)f f 是是A A到到B B的一個(gè)映射，如果，那么說(shuō)的一個(gè)映射，如果，那么說(shuō)稱(chēng)稱(chēng)f f 是是A A到到B B上的一個(gè)映射，這里也稱(chēng)上的一個(gè)映射，這里也稱(chēng)f f 是一個(gè)滿(mǎn)映射，簡(jiǎn)稱(chēng)是一個(gè)滿(mǎn)映射，簡(jiǎn)稱(chēng) 滿(mǎn)射滿(mǎn)射. . 是滿(mǎn)射必要且只要對(duì)于是滿(mǎn)射必要且只要對(duì)于B中的每一元素中的每一

24、元素y，都，都 有有A中元素中元素x 使得使得 . BAf: yxf)( 關(guān)于映射，只要求對(duì)于關(guān)于映射，只要求對(duì)于A中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素x，有，有B中的一中的一 個(gè)唯一確定的元素個(gè)唯一確定的元素y與它對(duì)應(yīng)，但是與它對(duì)應(yīng)，但是A中不同的元素可以中不同的元素可以 有相同的象有相同的象. BAf:BAf: 定義定義3 設(shè)設(shè) 是一個(gè)映射，如果對(duì)于是一個(gè)映射，如果對(duì)于A中任意兩個(gè)中任意兩個(gè) 元素元素 和和 ，只要，只要 ，就有，就有 ，那么就稱(chēng)，那么就稱(chēng)f 是是A到到B的一個(gè)單映射，簡(jiǎn)稱(chēng)單射的一個(gè)單映射，簡(jiǎn)稱(chēng)單射. BAf: 1 x 2 x 21 xx )()( 21 xfxf 高等代數(shù)第一章高

25、等代數(shù)第一章 如果既是滿(mǎn)射，又是單射，即如果如果既是滿(mǎn)射，又是單射，即如果f 滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件，滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件， BAf)( 對(duì)于一切，那么就稱(chēng)對(duì)于一切，那么就稱(chēng)f 是是A 到到B 的一個(gè)雙射的一個(gè)雙射. 一個(gè)有限集集合的一個(gè)有限集集合的A到自身的雙射到自身的雙射 叫做叫做A的一個(gè)置換的一個(gè)置換. 2121 )()(xxxfxf 定理定理1.2.1 令令 是集合是集合A 到到B 的一個(gè)映射的一個(gè)映射. 那么以那么以 下兩個(gè)條件是等價(jià)的：下兩個(gè)條件是等價(jià)的： BAf: f是一個(gè)雙射；是一個(gè)雙射； 存在存在B到到A的一個(gè)映射的一個(gè)映射g ，使得，使得 ， 再者，當(dāng)條件成立時(shí)，映射再者，當(dāng)條件成立

26、時(shí)，映射g是由是由f 唯一確唯一確 定的定的. A jfg B jgf 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 證證 如果成立如果成立. 因?yàn)橐驗(yàn)閒 是滿(mǎn)射，所以對(duì)于是滿(mǎn)射，所以對(duì)于B的每一個(gè)的每一個(gè)y， 有有 ，使得，使得 Axyxf)( 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒 是單射，所以這個(gè)是單射，所以這個(gè)x 是由是由y唯一確定的：即如果唯一確定的：即如果 還有還有 使得使得 ，那么，那么 . 我們規(guī)定我們規(guī)定Ax yxf ) ( xx xyg: ，如果，如果 . yxf)( yxf)( 則則g g是是B B到到A A的一個(gè)映射的一個(gè)映射. . 設(shè)設(shè) . 而而 . 我們有我們有 Axyxf)( xygxfgxfg)()(

27、)( 所以所以 . 設(shè)設(shè) ，而，而 . 那么那么 . 于是于是 A jfgByyxf)( xyg)( yxgygfygf)()()( 所以所以 . 故成立故成立. B jgf 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 反過(guò)來(lái)，設(shè)成立反過(guò)來(lái)，設(shè)成立. 先證明先證明f 是滿(mǎn)射是滿(mǎn)射. 設(shè)設(shè) ， 令令 . 由于由于 ，所以，所以 By Axyg)( B jgf yyjygfxf B )()()( 即即f是是滿(mǎn)射滿(mǎn)射. 再證再證f 是單射設(shè)是單射設(shè) 而而 Axx 21, )()( 21 xfxf 由于由于 ，所以，所以 A jfg 222111 )()()()(xxjxfgxfgxjx AA 這說(shuō)證明了這說(shuō)證明了

28、f 是單射是單射. 因此，因此，f 是是A到到B 的雙射的雙射. 最后，設(shè)成立最后，設(shè)成立. 令令 和和 都具有性質(zhì)都具有性質(zhì):ABg:ABh: A jfhfg B jhfgf ， 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 那么由和，我們有那么由和，我們有 hhjhfghfgjgg AB )()( 所以所以 g 是由是由 f 唯一確定的唯一確定的. 定理被證明定理被證明. A jff 1 B jff 1 ， 設(shè)設(shè)f 是是A到到B的一個(gè)映射，我們把滿(mǎn)足定理的一個(gè)映射，我們把滿(mǎn)足定理1.2.1條件的條件的 映射映射 叫做叫做f 的逆映射的逆映射. 由定理由定理1.2.1，一個(gè)映射，一個(gè)映射 不一定有逆映射，然

29、而如果映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的有逆映射的 話，逆映射是由話，逆映射是由 f 唯一確定的，以后把唯一確定的，以后把 f 的逆映射記的逆映射記 作作 . 有有 ABg: BAf: 1 f 因此，由定理因此，由定理1.2.1， 也是一個(gè)雙射，并且也是一個(gè)雙射，并且f 就就 是是 的逆映射，即的逆映射，即 . ABf : 1 ff 11 )( 1 f 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 如果存在集合如果存在集合A到集合到集合B的一個(gè)雙射，我們有時(shí)候也說(shuō)，的一個(gè)雙射，我們有時(shí)候也說(shuō)， 在在A與與B的元素之間存在著一一對(duì)應(yīng)的元素之間存在著一一對(duì)應(yīng). 例例10 設(shè)設(shè)A是一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合；

30、是一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合； 10|xRxB BAf: x x xf 1 )( f 是是A到到B 的一個(gè)映射，因?yàn)楫?dāng)?shù)囊粋€(gè)映射，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，時(shí)， ，并，并 且是由且是由x 唯一確定的唯一確定的. 我們證明，我們證明，f 是一個(gè)雙射是一個(gè)雙射. 0 x 1 1 0 x x 設(shè)設(shè) . 取取 By y y x 1 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 ，且，且 ，所以，所以 . 有有 10 x 01 y 0 xAx y y y y y x x xf 1 1 1 1 )( 所以所以f 是滿(mǎn)射是滿(mǎn)射. 設(shè)設(shè) 而而 . 那么那么 Axx 21, )()( 21 xfxf 2 2 1 1 11

31、x x x x 由此由此 ，所以，所以f 是單射是單射. Axx 21, 于是由定理于是由定理1.2.1，f 有逆映射有逆映射. 易驗(yàn)證，易驗(yàn)證， x x xABf 1 ; 1 一般地，設(shè)一般地，設(shè)A 是一個(gè)非空的是一個(gè)非空的 集合，把集合，把AA 到到A的一個(gè)映的一個(gè)映 射叫做集合射叫做集合A 的一個(gè)代數(shù)運(yùn)的一個(gè)代數(shù)運(yùn) 算算. 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 內(nèi)容分布內(nèi)容分布 1.3.11.3.1最小數(shù)原理最小數(shù)原理 1.3.21.3.2數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù) 教學(xué)目的教學(xué)目的 掌握映射的概念掌握映射的概念, , 映射的合成，滿(mǎn)射、單射、可映射的合成，滿(mǎn)射、單射、可 逆映射的判斷。逆

32、映射的判斷。 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿(mǎn)射、單射、可逆映射的判斷。映射的合成，滿(mǎn)射、單射、可逆映射的判斷。 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性 質(zhì)質(zhì)最小數(shù)原理最小數(shù)原理. 最小數(shù)原理最小數(shù)原理 正整數(shù)集正整數(shù)集 的任意一個(gè)非空子集的任意一個(gè)非空子集S必含有必含有 一個(gè)最小數(shù)，也就是這樣一個(gè)數(shù)一個(gè)最小數(shù)，也就是這樣一個(gè)數(shù) ，對(duì)任意，對(duì)任意 都都 有有 . 其中其中 表示全體正整數(shù)表示全體正整數(shù) 的集合的集合. * N SaSc ca * N, 3 , 2 , 1 * N 1 最小數(shù)原理并不是對(duì)于

33、任意數(shù)集都成立的最小數(shù)原理并不是對(duì)于任意數(shù)集都成立的 2 設(shè)設(shè)c是任意一個(gè)整數(shù)，令是任意一個(gè)整數(shù)，令 注意注意 |cxZxM c 那么經(jīng)代替正整數(shù)集那么經(jīng)代替正整數(shù)集 ，最小數(shù)原理對(duì)于，最小數(shù)原理對(duì)于 仍然成仍然成 立立. 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)， 的任意的任意 一個(gè)非空子集必含有一個(gè)最一個(gè)非空子集必含有一個(gè)最 小數(shù)，特別，小數(shù)，特別，N的任意一個(gè)非空了集必含有一個(gè)最小的任意一個(gè)非空了集必含有一個(gè)最小 數(shù)數(shù). * N c M c M 這個(gè)原理的一般形式就是數(shù)學(xué)分析中的下（上）確界這個(gè)原理的一般形式就是數(shù)學(xué)分析中的下（上）確界 原理。原理。 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定理定理1.3.11.3.1

34、（數(shù)學(xué)歸納法原理）（數(shù)學(xué)歸納法原理） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n n有關(guān)的命題有關(guān)的命題. . 如果如果 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí). . 命題成立；命題成立； 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k n=k 時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)命題成立，當(dāng)n= k+1 n= k+1 時(shí)命題也成時(shí)命題也成 立；那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)立；那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n n都成立都成立. . 證證 設(shè)命題對(duì)于一切正整數(shù)都成立設(shè)命題對(duì)于一切正整數(shù)都成立. 令令S表示使命題不成表示使命題不成 立的正整數(shù)所成的集合立的正整數(shù)所成的集合. 那么那么 . 于是，由最小數(shù)原于是，由最小數(shù)原 理，理，S中有最小數(shù)中有最小數(shù)h .因?yàn)槊}對(duì)于因?yàn)槊?/p>

35、題對(duì)于n=1成立，所以成立，所以 從而從而h-1是一下正整數(shù)是一下正整數(shù). 因?yàn)橐驗(yàn)閔是是S中最小的數(shù)，所中最小的數(shù)，所 以以 . 這就是說(shuō)當(dāng)這就是說(shuō)當(dāng)n=h-1時(shí)，命題成立時(shí)，命題成立. 于是由，于是由， 當(dāng)當(dāng)n=h時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. 因此因此 . 這就導(dǎo)致矛盾這就導(dǎo)致矛盾. S 1,h Sh1 Sh 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 例例1 證明，當(dāng)證明，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，n 邊形的內(nèi)角和等于邊形的內(nèi)角和等于(n-2).3n 證證 當(dāng)當(dāng)n=3 時(shí)，命題成立時(shí)，命題成立. 因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于= (3-2). 假設(shè)時(shí)命題成立假設(shè)時(shí)命題成立. 任意一個(gè)任意一個(gè)k+1多邊形

36、多邊形 ，聯(lián)，聯(lián) 結(jié)結(jié) ，那么，那么 的內(nèi)角和就等于三角形的內(nèi)角和就等于三角形 的內(nèi)角和加上的內(nèi)角和加上k邊形邊形 的內(nèi)角和的內(nèi)角和. 前者等于前者等于， 后者由歸納法假定，等于后者由歸納法假定，等于(k-2). 因此因此k+1多邊形多邊形 的內(nèi)角和等于的內(nèi)角和等于+(k-2)=(k-1)=(k+1)-2). 命題得證命題得證. 121kk AAAA 31A A 121kk AAAA 321 AAA 11 3 kk AAAA 121kk AAAA 1 A 2 A 3 A 1k A 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定理定理1.3.2（第二數(shù)學(xué)歸納法）（第二數(shù)學(xué)歸納法） 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)設(shè)有一個(gè)與正

37、整數(shù)n有關(guān)有關(guān) 的命題的命題. 如果如果 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)命題成立；時(shí)命題成立； 假設(shè)命題對(duì)于一切小于假設(shè)命題對(duì)于一切小于k的自然數(shù)來(lái)說(shuō)成立，則命題的自然數(shù)來(lái)說(shuō)成立，則命題 對(duì)于對(duì)于k也成立；也成立； 那么命題對(duì)于一切自然數(shù)那么命題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立來(lái)說(shuō)都成立. 數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到良序集合上，即所謂超限歸納原數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到良序集合上，即所謂超限歸納原 理。理。 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 1.4.1 整除與帶余除法整除與帶余除法 1.4.2 最大公因數(shù)最大公因數(shù) 1.4.3 互素互素 1.4.4 素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1

38、.理解和掌握整除及其性質(zhì)。理解和掌握整除及其性質(zhì)。 2.掌握最大公因數(shù)性質(zhì)、求法。掌握最大公因數(shù)性質(zhì)、求法。 3.理解互素、素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。理解互素、素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 整除、最大公因數(shù)性質(zhì)、互素有關(guān)的證明整除、最大公因數(shù)性質(zhì)、互素有關(guān)的證明 。 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 設(shè)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果存在一個(gè)整數(shù)是兩個(gè)整數(shù)，如果存在一個(gè)整數(shù)d，使得，使得b=ad， 那么就說(shuō)那么就說(shuō)a整除整除b（或者說(shuō)（或者說(shuō)b被被a整除）。用符號(hào)整除）。用符號(hào)a | b表示表示 a整除整除b。這時(shí)。這時(shí)a叫做叫做b 的一個(gè)因數(shù)，而的一個(gè)因數(shù)，而b叫做叫做a的一個(gè)倍的一個(gè)倍 數(shù)。如

39、果數(shù)。如果a不整除不整除b，那么就記作，那么就記作 . 整除的基本性質(zhì)：整除的基本性質(zhì)： cacbba|,|)( |,|cbacaba bcaZcba|,|而 )( |, 2 , 1,| 11iiii cbcbatiZcba而 每一個(gè)整數(shù)都可以每一個(gè)整數(shù)都可以1和和 - 1整除。整除。 每一個(gè)整數(shù)每一個(gè)整數(shù)a都可以被它自己和它的相反數(shù)都可以被它自己和它的相反數(shù) - a整除整除 abababba或且 | 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定理定理1.4.1（帶余除法）（帶余除法） 設(shè)設(shè)a，b 是整數(shù)且是整數(shù)且 ，那么，那么 存在一對(duì)整數(shù)存在一對(duì)整數(shù)q和和r，使得，使得 0a |0arraqb且 滿(mǎn)足

40、以上條件整數(shù)滿(mǎn)足以上條件整數(shù)q和和r 的唯一確定的。的唯一確定的。 證證 令令 。因?yàn)?。因?yàn)?，所以，所以S 是是N 的一個(gè)非空子集。根據(jù)最小數(shù)定理（對(duì)于的一個(gè)非空子集。根據(jù)最小數(shù)定理（對(duì)于N），），S 含有含有 一個(gè)最小數(shù)。也就是說(shuō)，存在一個(gè)最小數(shù)。也就是說(shuō)，存在 ，使得，使得r=b-aq是是S 中中 最小數(shù)。于是最小數(shù)。于是b=aq+r，并且，并且 。如果。如果 ，那，那 么么 ，而，而 0,|axbZxaxbS0a Zq 0r| ar 0,|rrar 0),1( 0),1( aqab aqab r 若 若 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 所以所以 。這是與。這是與r是是S中最小數(shù)的事實(shí)矛盾

41、。中最小數(shù)的事實(shí)矛盾。 因此因此 . ra rrSr且 假設(shè)還假設(shè)還 ，使得，使得 Zrq , |0arrqab且 于是就有于是就有 。如果。如果 那么那么 rrqqa)(0 qq | )(|aqqarr 由此或者由此或者 ，或者，或者 。不論是哪。不論是哪 一種情形，都將導(dǎo)致矛盾。這樣必須一種情形，都將導(dǎo)致矛盾。這樣必須 ，從而，從而 ，也就是說(shuō)，也就是說(shuō) |arar|arar 0 qq 0 rr.,rrqq 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 .,rrqq 設(shè)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，滿(mǎn)足下列條件的整數(shù)是兩個(gè)整數(shù)，滿(mǎn)足下列條件的整數(shù) d 叫做叫做a與與b的的 最大公因數(shù)：最大公因數(shù)： ； bdad|

42、且 。 如果如果 dcbcacZc|,|,|,那么且 niad i , 2 , 1,| 一般地，設(shè)一般地，設(shè) 是是n 個(gè)整數(shù)。滿(mǎn)足下列條件的整個(gè)整數(shù)。滿(mǎn)足下列條件的整 數(shù)數(shù)d 叫做叫做 的一個(gè)最大公因數(shù)：的一個(gè)最大公因數(shù)： n aaa, 21 n aaa, 21 dcniacZc i |, 2 , 1,|那么且如果 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定理定理1.4.2 任意任意 個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù) 都有最大公都有最大公 因數(shù)。如果因數(shù)。如果d是是 的一個(gè)最大公因數(shù)，那么的一個(gè)最大公因數(shù)，那么 - d 也是一個(gè)最大公因數(shù)；也是一個(gè)最大公因數(shù)； 的兩個(gè)最大公因數(shù)至的兩個(gè)最大公因數(shù)至 多只相差一個(gè)符號(hào)。多只相

43、差一個(gè)符號(hào)。 )2( nn n aaa, 21 n aaa, 21 n aaa, 21 證證 由最大公因數(shù)的定義和整除的基本性質(zhì)，最后一個(gè)由最大公因數(shù)的定義和整除的基本性質(zhì)，最后一個(gè) 論斷是明顯的。論斷是明顯的。 現(xiàn)證，任意現(xiàn)證，任意n個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù) 有最大公因數(shù)。如果有最大公因數(shù)。如果 ，那么，那么0顯然就是顯然就是 的最大公的最大公 因數(shù)，設(shè)因數(shù)，設(shè) 不全為零?？紤]不全為零?？紤]Z 的子集的子集 n aaa, 21 0 21 n aaan aaa, 21 n aaa, 21 1 ,| 11 niZtatatI inn I 顯然不是空集，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)顯然不是空集，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)i 高等代數(shù)第

44、一章高等代數(shù)第一章 Iaaaaaa niiiii 00000 11 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?不全為零，所以不全為零，所以I 含有非零整數(shù)。因含有非零整數(shù)。因 此此 n aaa, 21 0| sIssI且 是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，于是由最小數(shù)原理，是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，于是由最小數(shù)原理， 有有 一個(gè)最小數(shù)一個(gè)最小數(shù)d。我們說(shuō)，。我們說(shuō)，d 就是就是 的一個(gè)最大公的一個(gè)最大公 因數(shù)。因數(shù)。 I n aaa, 21 首先，因?yàn)槭紫龋驗(yàn)?，所以，所以d 0并且并且d 有形式有形式 Id )1 (, 11 niZtatatd inn 又由帶余除法，有又由帶余除法，有 )1 (0 ,nidrrdqa iii

45、i 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 定理定理1.4.3 設(shè)設(shè)d是是 的一個(gè)最大公因數(shù)。那么存的一個(gè)最大公因數(shù)。那么存 在整數(shù)在整數(shù) ，使得，使得 。 n aaa, 21 n ttt, 21 datatat nn 2211 如果某一如果某一 ，如，如 ，那么，那么 0 i r0 1 r Iaqtaqtaqtdqar innn 222111111 )1 ( 而而 。這與。這與d是是 中的最小數(shù)的事實(shí)矛盾。這樣，中的最小數(shù)的事實(shí)矛盾。這樣， 必須所有必須所有 ，即，即 。 dr 1 I 0 i r niad i 1 ,| 另一方面，如果另一方面，如果 。那么。那么 。這就證明。這就證明了了d 是是 的

46、的 一個(gè)最大公因數(shù)。一個(gè)最大公因數(shù)。 niacZc i 1 ,|, dcatatc nn |),( | 11 即 n aaa, 21 證證 若若 ，那么，那么d = 0，定理顯然成立。，定理顯然成立。 設(shè)設(shè) 不全為零，由定理不全為零，由定理1.4.2的證明，知的證明，知 ，.因而存在因而存在 ，使得，使得 。 0 21 n aaa n aaa, 21 Id Zttt n , 21 nna tatatd 2211 高等代數(shù)第一章高等代數(shù)第一章 設(shè)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果是兩個(gè)整數(shù)，如果（a, b）=1，那么就說(shuō)，那么就說(shuō)a與與 b互互 素。一般地，素。一般地， 是是n個(gè)整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)，如果 ，那么就說(shuō)，那么就說(shuō)這這n個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù) 互素?；ニ?。 n aaa, 21