20.極點與極線地性質(zhì)

1、第15講:極點與極線的性質(zhì)125第15講:極點與極線的性質(zhì)極點與極線是高等幾何中的基本且重要的概念，雖然中學(xué)數(shù)學(xué)沒有介紹，但以此為背景命制的高考試題經(jīng)常岀現(xiàn).掌握 極點與極線的初步知識，可使我們“登高望遠”，抓住問題的本質(zhì)，確定解題方向，尋找簡捷的解題途.定 義：已 知 曲 線 G:ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,貝U 稱 點 P(xo,yo) 和 直 線|：axox+b 竺嚴+cyoy+d 耳+e 0+f=0是曲線G的一對極點與極線，點P稱為直線I關(guān)于曲線G的極點直線 l稱為點P關(guān)于曲線G的極線.稱點P與直線I有“配極關(guān)系”，或“對偶關(guān)系”，相互為對方的“配極元素”，或“對偶元

2、 素”.特別地，當(dāng)點P在曲線G上時，點P關(guān)于曲線G的極線是曲線G在點P處的切線圓錐曲線的焦點對應(yīng)的極線是該焦點 對應(yīng)的準線；圓錐曲線的準線對應(yīng)的極點是該準線對應(yīng)的焦點.位置關(guān)系:已知點P關(guān)于圓錐曲線G的極線是直線l,則三者的位置關(guān)系是：若點P在曲線G 上,則直線l是曲線G在點P處的切線；若點P在曲線G外,則直線l是由點P向曲線G引兩條切線的切點弦；若點P在曲線G內(nèi)則直線l 是經(jīng)過點P的曲線G的弦的兩端點處的切線交點軌跡.如圖：配極原則:如果點P的極線通過點證明：設(shè)圓錐曲線G:ax2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0, 點P(xp,yp),Q(xQ,yQ),則點P、Q關(guān)于曲線G的極線方程

3、分別為p:ax px+bypx xpy2+cy py+dx xp2+ey yp2+f=0,q:axQx+byQx2+cy Qy+dx xQy yQ2 +e 尹 +f=0,則點P的極線通過點 QaxpXQ+bypXQXpyQ2+cy pyQ+dxq Xp2+eyQ yp2+f=0點 P(xp,yp)在直線q:ax Qx+byQx2+cy Qy+dxxq2+ey yQ2_+f=0 上 點Q的極線也通過點 P.推論1:兩點連線的極點是此二點極線的交點 ，兩直線交點的極線是此二直線極點的連線證明：設(shè)兩點A、B連線的極點是P,即點P的極線經(jīng)過點A、B,由配極原則知點 A、B的極線均過點P,即點P是此二

4、點極線的交點；同理可證：兩直線交點的極線是此二直線極點的連線推論2(共點共線)：共線點的極線必共點；共點線的極點必共線.證明：設(shè)點A、B均在直線l上道線l對應(yīng)的極點為P,由配極原則知點 A、B的極線均過點P,即點A、B的極線必共點;同理可證：共點線的極點必共線推論3(中點性質(zhì)):若圓錐曲線G過點P的弦AB平行于點設(shè)P(xo,yo),曲 線 G:ax尹 +e 尹 +f=o 得:(2ax ocos 0+bx osin+bxy+cyP的極線，則點P是弦AB的中點.2+2dx+2ey+f=O,+f=0,故可設(shè) AB:ax ox+byxxy+cy oy+d+e+入=0,由點P(xo,yo)在直ABaxo

5、2+bx oyo+cy o2+2dx o+2ey o+入 =o=-(ax o2+bx oyo+cy o2+2dx o+2ey o)AB:ax ox+b yox _ xoy +cy oy+d _x +e=axo222+bx oyo+cyo2+2dx o+2ey o程:axox+b yoxoy +cy oy+d 存 +e 耳0axox+b 吐 +cy oy+d+e2 2 2線:axox+byox xy2+f=ax o2+bx oyo+cy o2+2dx o+2ey o+f,而該直線為以為 P中點的中點弦方程，即點P是弦AB的中點.比例定理:若過點P(xo ,yo)的直線I與曲線 G:ax 2+bx

6、y+cy 2+dx+ey+f=O相交于 A、B兩點，與直126cyoy+d第15講:極點與極線的性質(zhì)+e 工0 +f=0 交于點 Q,則|PA|QB|=|QA|PB|.x證明：設(shè)直線I:y+cy oy+dxo 5 (t 為參數(shù)),代入 axox+b yo2y2證明:以橢圓G: -y +十=1(abo)a b xoy yo t sinx xoy yo0 +by ocos 0 +2cy osin220 )t+2(ax o +bx oyo+cy o +dx o+ey o+f)=oto=-22 2ax。bxo yo cyodx eyof；代入2cyo sin2axo cosbxo s inbyo co

7、sax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=o得:(acos2 0 +bcos 0 sin 0 +csin 20)t+(ax o2+bx oyo+cy o2+dx o0 )t2+(2axocos 0 +bx osin 0 +byocos 0 +2cy osin+ey o+f)=o2axo cosbxo sinbyo cos2cyo sin11 +t 2=-22acos2bsin coscsin2,t1t2=O!bxyo cy$ dxoeyfa cos2bsin cos csin2to=玉t1 t2|PA|QB|=2t t|QA|PB|t1|t2-to|=|t 1-to|t2|to=成立.t1

8、 t2面積定理:已知點P關(guān)于圓錐曲線G的極線為I,過點P的直線與圓錐曲線G相交于A、B兩點，分別過點A、B的兩條平行線與直線I交于點D、C,記KPD ACPD ABPC的面積分別為S1,S2,S3，則:S22=4S 1S2.為例，設(shè)P(xo,yo),則極線哼卡 1 .設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2),并分別過點I的垂線，垂足分別為 D1C1,則|IB |I xox1yoy11 2 .2 1 1 abI xox2yoy2 1112, 211ab|b2xoX1 a2yoy1 ab2 |b2xoX2 a2yoy2 a2b21至U:a2b2=b 2x12+a2y 12,a2b2=b 2x22+a

9、2y2)|AP|X Xo|BP| X2 Xo |I b2XoXi a2yo% b2x? a2yf | = |b%x2 fyy b2 a2yf|b2%2a2y a2b2b2xf a2yf a2b2y2)(y i +y 2)=0|b2xi(xi|b2X2(X2xo)Xo)a2yi(yi yo)| (注意到：o a y2(y2 yo)|x xo以下只需b2(xi-X2)(xi +X2)+a 2(yi-b2(xi+x 2)+a 2 k(y i +y 2)=0y2yo =k= |x xo| a2kyi b2xi | 又因_x2_xo| x2 x0|a2ky2 b2x2| .22| a ky1 b x1

10、|22| a ky2 b x2 |=1,a2ky i+b 2xi=-(a 2ky 2+b 2X2)LADU ,由ADD is/BCCi bADJ = LAP|，設(shè) AC 與 BD 交于點 Q,由 AD /BC | BCi | BC | BP |即 |a2kyi+b 2xi|=|a 2ky2+b 2x2|,由|a2ky i+b 2xi |=|a2ky2+b 2X21| AD | = | AQ | |BC| = |QC| AP| = |AQ |BP| =苗| AP| =|BP| =PQ /BC12 S2,注意/ADSabac=Sbdc,兩邊同減 Szbqc 得 Szqab=S zqdc,又因 Sq

11、a=S zpqd,Szpqb=S zpqcSzpcd=S zqcd+S zpqd+S zpqc=S qcd+S apqa+S APQB =S qcd+S aqab =2S AQAB1S QAD sQABS aqad =S apad=S i ,S aqbc=S apbc=S 3,S aqab= S apcd=22S QAB =S aqadSzqbcS2 =4S iS2.s qbc |QD| |QC|=is QAB |QB| |QA| 例i:極點與極線的位置關(guān)系2 2始源問題：(20i0年湖北高考試題)已知橢圓 c：?+y2=i的兩焦點為Fi,F2,點P(xo,yo)滿足0今+yo2i,則|PFi

12、|+|PF2|的取值范圍為 ，直線弓+yoy=i與橢圓C的公共點個數(shù)為 .解析：由0號+y o2i知，點P在橢圓 C內(nèi)，所以直線 菩+y oy=i與橢圓 C相離 公共點個數(shù)為 0;2c PFi|+|PF2|2a2PFi|+|PF2|i(x 0丸),直線1：弓+號=i.(I )求直線I與橢圓C的公共點個數(shù)；(n )若射線OP與直線I、橢圓C分別交于點 Q、M,求證:|OP|OQ|=|OM|2解析：(I )因橢圓c：x2+y2=i43x 2cosy 3 sin,90,2 %),所以，直線I與橢圓C的公共點個數(shù)關(guān)于B的方程第i5講:極點與極線的性質(zhì)i27魚cos2警前e=i解的個數(shù)直線：釘+3y才y

13、=i與圓:x2+y 2=i的公共點個數(shù)；由圓心0(0,0)到直3線:鄉(xiāng)x+=i的距離d= 一i3直線：x2ox+與圓:x2+y2=i的公共點個數(shù)=2 直線I與橢圓C的公共點個數(shù)=2；n ) 因射0P：y=十x(x與xo同 號),XoX4號=i聯(lián)立X0X+43X1=13x012xo3琉 4y012yo3x02 4yfQ(12xo3x02 4y212yo )2 2) 3x0 4y012x2 y2)3x2 4y2y=yoxo=1|OM| 2=x2+y 2=|OP|OQ|=嚴耗12焙+12yo2 = 12(x2 y2)2 2 2 _ 223xo 4yo3xo 4 yo3xo 4yo|OP|OQ|=|O

14、M|2例2:拋物線中的共線性質(zhì)始源問題：(2o1o年大綱卷I高考試題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(-1,o)的直線I與C相交于A、B兩點,點A關(guān)于x軸的對稱點為D.(I )證明:點F在直線BD上；8(n )設(shè)FA FB=-，求ABDK的內(nèi)切圓 M 的方程.9解析:(I )設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),直線 l:y=k(x+1)(k丸),則 D(X1,-y1),由y k(x 1)y2 4xky 2-4y+4k=04y1+y 2=Qy1y2=4;所以，點 F 在直線 BD 上 FB / FD(x2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)y1(-y2 -2)+y 2(單

15、-2)=0y1y2-k(y 1+y 2)=0;kky2y11218k=FA FB =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y2=( - -2)( 一 -2)+y 1y2=(1+)y1y2- (y1+y 2)+4=4(1+j )- 2 +4=8-k kkkk k33根據(jù)對稱性，不妨設(shè)k= 4,則直線AB:3x-4y+3=0,且kKD= -KF平分ZAKD圓M的圓心M在x軸上；(X2-X 1)2=(X 1 +X 2)2-1624X1X2=-7kBD=y2y1直線 BD:3x- . 7 y-3=0;設(shè) M(t,0)(-1t0)的對稱軸上一點A(a,0)(a0),的直線與拋物線相交于M、N兩點，自 M、

16、N向直線l:x=-a作垂線，垂足分別為M1、N1.(I )當(dāng)a= 2時，求證:AM 1丄AN 1;(II)記8MM 1、AAM1N1、AANN 1的面積分別為S1、S2、S3,是否存在入，使得對任意的a0,都有S22=0S3成立 若存在，求出入的值;若不存在，說明理由.解析:(I )當(dāng) a= * 時,A(號,0),設(shè) M(2pm 2,2pm),N(2pn 2,2pn),則 M 1(- 2 ,2pm),N 1(-號,2pn),由 AM II AN (2pm 2p2 p122):(2pn 2- 2 )=2pm:2pnmn=- - AM 1 AN 1 =p 2+4p 2mn=0AM 1 丄 AN 1

17、;129(I )由 AM II AN(2pm 2-a):(2pn 2-a)=2pm:2pn2pmn+a=0;2I MM1I a 2pm2I NN1 I a 2 pn2當(dāng) MN時 I AM 1 = I 2pm2 a =1 AN I | a 2pn2 |2pm2 a；所以 IMM 1 | = | AM | a 2 pn2I NN1 丨 1 AN 丨22a 2pm _ 2pm a2 2 a 2pn a 2 pn4p2m2n2=a2成立當(dāng) MN丄x軸時，顯然有船僦設(shè)MN 1與NM 1交于點 Q(點Q即原點O),由MM 1 /NN 1I MQ I = I MM 1 I = IAM I IQN1I = I

18、NN1I = IAN IAQ /MM 1 /NN 1;設(shè)ZMQM 1= a,則第15講:極點與極線的性質(zhì)S1= IQMIIQM 1Isin a,S3=f IQNIIQN 1Isin a;又S ZQMN = S QM1N1S2= S QM1N1+( S AQM+ S AQN1 )= S QM1N1 +(S AAQM +S AAQN )= S QM1N1 +S IQMIIQM 1Isin a IQNIIQN 1sin a= 2 IQMIIQNIsin1 1 2 -IQM 1IIQN 1sin a=S QMN S QMN=S22=4S 1S3在入=4,使得對任意的a0,都有S22= XS1S3成立.

19、原創(chuàng)問題:已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=2x+2,過點P(1,1)的直線與拋物線 C交于A、B兩點,A、B兩點在直線I上的 射影點分別為 N、M,記APAN APMN APBM的面積分別為 S1、S2、S3.(I )當(dāng)AB /直線I時，求證:P是AB的中點；(I)求證:S22=4S 1S3.解析：(I )設(shè) A(xi,yi),則 yi2=4xi;由 P 是 AB 的中點 B(2-x 1,2-y 1)(2-y i)2=4(2-x 1) yi=2x 1+1 點 A 在直線y=2x+1上，同理可得點B也在直線y=2x+1上 直線AB:y=2x+1 AB /直線I;由統(tǒng)一法知，當(dāng) AB /直線

20、I時，P是AB的中點；t1+t 2=22cos sin 丄丄帝,t1t2=-x 1 t cos(n )設(shè)直線 AB: y 1 tsin (t 為參數(shù))，代入 y2=4x 得:t2sin2 9+2(sin 9-2cos 9)t-3=0L;點 A(1+t 1cos 9,1+t 1Sin 9)到直線 I 的距離 |AN|= |2t1 cs一空2一 ，點 B(1+t 2cos 9,1+t 2Sin B)到直線 I 的距離 sin. 5|BM|=| 2t2 cost2 sin3|同號)=越需=：；：；：爲(wèi)？|(由點 A、B 在直線 1 的同側(cè) 2t1cos 9-t1sin 9+3 與 t2cos 9-t

21、 2Sin 9+3& sin t2 sinI；而 W=(點A B在點P的異側(cè))=-2所以，陽|PA|PB|2t1 cost1sin 32t2 cost2 sin32(2cos 9-sin 9)t1t2+3(t 1+t 2)=02cos sin,2=0成立；sin72 m0k2 3 ；且 x1 +x 2=-鑒22k2 1,X1X2=啟；又由直線BM:y=如 2 x-2x1G(,1),即,1)kAG=-kx,63x邑 2 =k+ x2x2kAN-kAG= + +=3 xx2x * x21 6k莎=0A,G,N32(2cos 9-sin 9)(- )+3 2sin以下同例題可證:S22=4S 1S3

22、.例5:橢圓中的共線性質(zhì)始源問題:(2012年北京高考試題)已知曲線C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m匕R).(I)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；(n )設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點 M、N,直線y=1 與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線.解析:(I )由曲線C是焦點在x軸點上的橢圓m-25-m0三點共線.第(n )問是本題的特色與亮點曲線G相交于A、C兩點,AP與曲線G相交于另一點 B,BQ與曲線G相交于另一點 的定義：,其實質(zhì)是共軛點的性質(zhì)：設(shè)點P與Q是二次曲線G的一對共軛點，過點

23、Q的直線 D,則P、C、D三點共線.其中共軛點AC與130第15講:極點與極線的性質(zhì)(I)設(shè)M(x 1,y1),N(x 2,y2),直線l:y=k(x-4),由y k(x x2 4y24)4(1+4k 2)x2-32k 2x+64k 2-4=032k264k2 4X1 +X 2=2 ,X1X2=T-14 k21 4k2解析：(I )由 a=2,1 e2h b2=1k2=X x2324( x x2),xix2(1+4k 2)=64k 2-4X1X288 (x,X2)45(xx2)88 (x X2)c2x2b2=a2b2=1橢圓。亍y2=1;2x ix2=5(x i+x 2)-8; 又由直線y,A

24、M:y= (xxi 2+2),直線BN:y= 匹 (x-2) 直線AM與BN的交點P的橫坐標x滿足：(x+2)= 匹 (x-2) k(x 4) (x+2)=X2 2x 2X2 2X 2k(x24) (x-2) x=2X1X26X1竺=5(X1X2)86X12X2=1 點 P 在一條定直線x=1 上.X2 23x2 X| 83x2 X1 8例6:橢圓中的中點性質(zhì).2 2始源問題:(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)如圖,過直線l:5x-7y-70=0 上的點P作橢圓 +- =1的兩條259切線PM、PN,切點分別為 M、N.(I )當(dāng)點P在直線l上運動時證明直線MN恒過定點Q;(II)當(dāng)M

25、N IIl時，定點Q平分線段MN.7t 7 5t 575757575且 25X- 9y-1=0x=259y=-1410259直線MN恒過定點Q(卻-幣)(I )MN II l7t7255t 5=5:(-7)92 t= 533533x2直線 MN 的方程為:5x-7y-=0,代入橢圓方程 一 +3525得:浮X27225 533-2 尹 x+25(53325)2-9=0,設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2)，則 x1+x2= 定點 Q 平分線段 MN.原創(chuàng)問題:過點Q(1,1)作己知直線l:3x+4y=122 2的平行線交橢圓C:X4+=1于點M、N.解析:(I )設(shè) P(7t+7,5t-5)

26、,貝U直線 MN 的方程為：一 x+ g-y=1(莎 x+ y)t+(藥 x- y-1)=0,由 x+ - y=0,(I )分別過點M、N作橢圓C的切線11、12.證明:三條直線11、12、l交于一點；(I)證明:點Q是線段MN的中點；(山)設(shè)P為直線l上一動點，過點P作橢圓C的切線PA、PB,切點分別為A、B,證明:點Q在直線AB上.X1y1X2y2y0)4 Xo+ -3- y0 = 1,4- Xo+3 y0 = 1解析:(I )設(shè) M(x 1 ,y1),N(x 2,y2),切線 |1、|2 交于點 P(x0,y0),由切線 l1：#x+ -y y=1,切線 2晉 x+ 詈 y=1 均過點

27、P(x0,直線 MN: 今x+詈y=1;又由直線 MN 過點Q(1,1)*=13x 0+4y 0=12點P在直線l上三條直線l1、l2、I交于一點；(I)由直線MN /直線l1=112X0=y 0=直線 MN:3x+4y=7點Q是線段MN的中點；點Q在直線AB上.(山)設(shè) P(x0,y0),則直線 AB:3x 0x+4y 0y=123x0x+(12-3x 0)y=12131第15講:極點與極線的性質(zhì)例7:橢圓中的比例性質(zhì)2始源問題:(2011年山東高考試題)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:工+y2=1.如圖所示 斜率為k(k0)且不過原3點的直線I交橢圓C于A,B兩點，線段AB的中點為E

28、射線0E交橢圓C于點G交直線x=-3于點D(-3,m).5J(I)求m2+k 2的最小值；(n)若|OG|2=|OD|OE|.(i) 求證直線I過定點；(ii) 試問點B,G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出 此時ABG的外接圓方程；若不能請說明理由解析:(I )設(shè) E(-3 X,m 入),A(-3 入+t,m 入+kt).則B(-3 ht,m辰kt).由點A、B都在橢圓C上(3町3(m kt)2 I兩式相減得mk=1m2+k22mk=2,當(dāng)且僅(3 t)2 3(m kt)2 3當(dāng)m=k=1時等號成立 所以m2+k2的最小值=2.(n )(i)設(shè)直線OG與橢圓C相交于另一點T,則由橢圓C關(guān)于原點對稱

29、得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2=|OD|OE|EG DT +ET DG =0,由軌跡1知，點E在直線-x+my=1 上，即直線I的方程為:-x+my=1直線I過定點(-1,0);(ii)若點B,G關(guān)于x軸對稱 點G(-3入-t,-m 肝kt),由點G在直線OE上 (-3 ht)：(-3片=(-m Hkt):m1 m2(6 Ht)=3t t= 詩 入又由點E在直線I上 3 Hm 2入=1 且=3kt(注意到 mk=1)132 m 23(喬)+(訂?)=1133131m=1,k=1, X= ,t= 4A(0,1),B(- 2，-2 )，G(-2，2 )BG 的外接圓方程6m?+mt_ m

30、B(-k,-冷:(x+ - )2+y 2=-24原創(chuàng)問題:已知橢圓2 2X yCr 2 =1(ab0)內(nèi)一點P(2,1),射線OP與橢圓C交于點N,與直線|0：x+y-12=O 交于點M, a b滿足|OP|OM|=|ON|2,且橢圓C在N處的切線平行于直線l0.(I )求橢圓C的方程；(n)過點P的任意一條直線l與直線10交于點Q,與橢圓C交于A、B兩點(A在P與Q之間)，求證:|QA|PB|=|QB|PA|.解析:(I )由射線OP:y=1-x(x 0),直線 l0：x+y-12=OM(8,4);設(shè) N(2t,t)(t0),由 |OP|OM|=|ON|2：-580 =4t 2+t2t=2N

31、(4,2)16孑+=1,橢圓C在n處的切線：豐+尋=竄由切線平行于直線l042/盲a2=2b 2b2=12,a=24x2y2橢圓 C:+ n=1;tx 2 t cos(n)設(shè)直線l: y 1 tsin (t為參數(shù))，代入2x +242告=1 得:(2sin 2 0+cos 2 0)t2+4(sin 0+cos 0)t-18=011 +t 2=-4(sin cos )182 ,t1t2=- 2 ；代入 x+y-12=0得:(sin 知cos 0)t-9=02sin2co*2sin2cos29tQ=sin cos而 |QA|PB|=|QB|PA|(t Q-t 1 )(-t 2)=(t Q-t 2)

32、t 1 (t 1+t 2)t Q-2t lt2=04(sin cos )2sin cos9sin cos-2(-182sin2cos2)=0成立.x2原創(chuàng)問題：已知橢圓C： pa22 =1(ab0) b2內(nèi)一點P(2,1),過點P且平行于x軸直線被橢圓C截得的弦長為4、6,過點P且平行于y軸直線被橢圓C截得的弦長為2 ,10 .(I)求橢圓C的方程； (II)過點P的任意一條直線I與直線l0：x+y-12=0 交于點Q,與橢圓C交于A、B兩點若QA =入AP , QB = gBP .求證：入+132第15講:極點與極線的性質(zhì)卩為定值.2解析:(I)由$2缶=1,令y=1得:|x|= a ,b2

33、 1;令x=2得:心、a2 4;由題知冷b21 =2 . 6 a24 =aJ0a2=b224 b2 b(I)設(shè)直線l:4(sin cos )2sin2coV-,.(a2-4)=101 a224 b2-4)=101b2=12a2=242橢圓 C：|4+4=1;t cost sin(t 為參數(shù))，代入+ =1 得:(2sin 2 9+cos 2 9)t2+4(sin24129+cos 9)t-18=0t1+t 2=-18，t1t2=- 2sin2cog ;代入 x+y-12=0得:(sin 9+cos 9)t-9=0tQ=sin9cos由 QA =入AP ,QB = g BP9sin cos2(sin cos )=0.90,尸士 9入 + g=2-t q 11 乜=2-t1t2g例8:橢圓中的共線性質(zhì)始源問題:(2002年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)己知 ABC為銳角三角形，以AB為直徑的。K分別交AC、BC于