第16屆全國中學生物理競賽復賽試題（含解析）

1、第十六屆全國中學生物理競賽復賽試題全卷共六題，總分為140分。一、（20分）一汽缸的初始體積為，其中盛有的空氣和少量的水（水的體積可以忽略）。平衡時氣體的總壓強是，經做等溫膨脹后使其體積加倍，在膨脹結束時，其中的水剛好全部消失，此時的總壓強為。若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使體積再次加倍。試計算此時：1.汽缸中氣體的溫度； 2.汽缸中水蒸氣的摩爾數； 3.汽缸中氣體的總壓強。 假定空氣和水蒸氣均可以當作理想氣體處理。 二、（25分）兩個焦距分別是和的薄透鏡和，相距為，被共軸地安置在光具座上。 1. 若要求入射光線和與之對應的出射光線相互平行，問該入射光線應滿足什么條件？ 2. 根據所得結果，分別畫出各

2、種可能條件下的光路示意圖。 三、（25分）用直徑為的超導材料制成的導線做成一個半徑為的圓環(huán)。圓環(huán)處于超導狀態(tài)，環(huán)內電流為。經過一年，經檢測發(fā)現，圓環(huán)內電流的變化量小于。試估算該超導材料電阻率數量級的上限。 提示：半徑為的圓環(huán)中通以電流后,圓環(huán)中心的磁感應強度為 ,式中、各量均用國際單位，。四、（20分）經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發(fā)現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形勢和分布情況有了較深刻的認識。雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離。一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統處理。 現根據對某一雙星系統的光度學測量確定，

3、該雙星系統中每個星體的質量都是，兩者相距。他們正繞兩者連線的中點作圓周運動。 1. 試計算該雙星系統的運動周期。 2. 若實驗上觀測到的運動周期為，且。為了解釋與的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，而不考慮其它暗物質的影響。試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。 五、（25分）六個相同的電阻（阻值均為）連成一個電阻環(huán)，六個接點依次為1、2、3、4、5和6，如圖復16-5-1所示。現有五個完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱為 、。 現將的1、3、5三點分別與的2

4、、4、6三點用導線連接，如圖復16-5-2所示。然后將的1、3、5三點分別與的2、4、6三點用導線連接， 依此類推。最后將的1、3、5三點分別連接到的2、4、6三點上。 1證明全部接好后，在上的1、3兩點間的等效電阻為。 2求全部接好后，在上的1、3兩點間的等效電阻。 六、（25分）如圖復16-6所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的、剛性平面。在處放一帶電量為的小物塊，該物塊與一細線相連，細線的另一端穿過位于坐標原點的光滑小孔，可通過它牽引小物塊?，F對該系統加一勻強電場，場強方向垂直與軸，與軸夾角為（如圖復16-6所示）。設小物塊和絕緣平面間的摩擦系數為,且靜摩擦系數和滑動摩擦系數相同。不

5、計重力作用?，F通過細線來牽引小物塊，使之移動。在牽引過程中，我們約定：細線的端只準沿軸向下緩慢移動，不得沿軸向上移動；小物塊的移動非常緩慢，在任何時刻，都可近似認為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。第十六屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答一、參考解答1 只要有液態(tài)水存在，平衡時汽缸中氣體的總壓強就等于空氣壓強與飽和水蒸氣壓強之和： （1）第一次膨脹后 （2）由于第一次膨脹是等溫過程，所以 （3）解（1）、（2）、（3）三式，得 （4） （5） （6）由于，可知汽缸中氣體的溫度 （7）根據題意，經兩次膨脹，氣體溫度未改變。2 設水蒸氣為經第一次膨脹，水

6、全部變成水蒸氣，水蒸氣的壓強仍為，這時對于水蒸氣和空氣分別有 （8） （9）由此二式及（5）、（6）式可得 （10）3. 在第二次膨脹過程中，混合氣體可按理想氣體處理，有 （11）由題意知，再將（2）式代入，得 （12）二、參考解答l在所示的光路圖（圖復解16-2-1）中，人射光經透鏡折射后沿射向，經折射后沿出射、與透鏡主軸的交點分別為、和，如果為物點，因由沿主軸射向的光線方向不變，由透鏡性質可知，為經過所成的像，為經所成的像，因而圖中所示的、之間有下列關系： （1） （2） （3）當入射光線與出射光線平行時，圖中的，利用相似三角形關系可求得 , 從而求得 （4）聯立方程（1）、（2）、（3）

7、、（4），消去、和，可得 （5）由于、均已給定，所以為一確定值，這表明：如果入射光線與出射光線平行，則此入射光線必須通過主軸上一確定的點，它在的左方與相距處，又由于與無關，凡是通過該點射向的入射光線都和對應的出射光線相互平行2由所得結果（5）式可以看出，當時，此情況下的光路圖就是圖復解16-2-1當時，此時入射光線和出射光線均平行于主軸，光路如圖復解16-2-2 當時，這表明點在的右方，對來說，它是虛物由（1）式可知，此時，由可知，又由可知，所以此時的光路圖如圖復解16-2-3三、參考解答根據題中所給的條件，當圓環(huán)內通過電流時，圓環(huán)中心的磁感應強度 穿過圓環(huán)的磁通量可近似為 （1）根據法拉第電

8、磁感應定律，電流變化產生的感生電動勢的大小 （2）圓環(huán)的電阻 （3）根據題設條件 ，,代入（3）式得 （4）由電阻與電阻率、導線截面積、長度的關系 及已知導線的直徑，環(huán)半徑，得電阻率 （5）四、參考解答1雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，設運動速率為，向心加速度滿足下面的方程： （1） （2）周期 （3）2根據觀測結果，星體的運動周期 （4）這說明雙星系統中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統的作用與一質量等于球內暗物質的總質量位于中點處的質量點相同考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度，

9、則有 （5） （6）因為在軌道一定時，周期和速度成反比，由（4）式得 （7）把（2）、（6）式代入（7）式得 （8）設所求暗物質的密度為，則有 故 （9）五、參考解答解法一：1（1）電阻圖變形此題連好的線路的平面圖如圖預解16-5-1所示現將電阻環(huán)改畫成三角形，1、3、5三點為頂點，2、4、6三點為三邊中點，如圖預解15-2與圖預解16-5-3所示整個連好的線路相當于把的三個頂點分別接到的三個中點上，圖預解16-5-1變?yōu)閳D預解16-5-4這樣第1問歸結為求圖預解16-5-4中最外層三角環(huán)任意兩頂點間的等效電阻。 （2）遞推公式為使圖形簡化，討論如何將接好的兩個電阻環(huán)化簡成為一個單環(huán)。由六個阻

10、值為的電阻構成一個三角環(huán)，將其頂點接在另一由六個阻值為的電阻構成的三角環(huán)的中點上（如圖預解16-5-5所示）。圖預解16-5-6是由六個阻值為的電阻構成的三角環(huán)。若圖預解16-5-5頂點1、3間的電阻與圖預解16-5-6頂點l、3間的電阻阻值相等，我們稱圖預解16-5-6中的為等效單環(huán)電阻 用符號“/”表示電阻的并聯，如 由圖預解16-5-5中的對稱性可知l、3兩頂點間的電阻等于圖預解16-5-7中1、0間的電阻的2倍，即 （1）同理，圖預解16-5-6中1、3兩頂點間的電阻為 （2）由（1）、（2）式得等效單環(huán)電阻為 （3）2. 第一問現在考慮把、按相反的次序，由內向外依次連接的情況首先將接

11、在外面，求雙環(huán)的等效單環(huán)電阻即（3）式中的這時由（3）式得到為 其次，在雙環(huán)外面接上，這時三環(huán)的等效單環(huán)電阻為 由此可得一般公式，環(huán)的等效單環(huán)電阻可由求出 （4）于是 由（2）式得出由一個環(huán)（）、兩個環(huán)（）直至五個環(huán)（）構成的線路1、3點間的電阻為 答：所求的五個環(huán)的1與3間的等效電阻確為證畢。3. 第二問根據五個組成的圓柱形網絡的對稱性，的l、3兩點等價于的2、4兩點等價線路如圖預解16-5-8與圖預解16-5-9所示設二圖等價，求圖預解16-5-9中的即可 圖復解 16-5-8圖復解 16-5-9所以答：所求值為。解法二：第一問圖預解16-5-3可看做的接線圖，其一半如圖預解16-5-10

12、所示，豎直粗線為一短路線一個環(huán)（）構成線路的1與0點間的阻值用表示，根據對稱性，。 當接入后，由兩個環(huán)（類似圖預解16-5-5）構成線路圖的一半如圖預解16-5-11所示三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形（）中的2與間的阻值就是圖預解16-5-10中1與0間的阻值。其等效電路如圖預解16-5-12所示圖預解16-5-11（或圖預解16-5-12）中的l與0點間的阻值用表示有 再將雙環(huán)接入，其一半如圖預解16-5-13所示，三個帶陰影的電阻與短路線圍成的三角形中含有六個電阻，其2與間的阻值就對應為，參看圖預解16-5-12的等效電路，得 同理，得 由此得 第二問五個電阻環(huán)構成線路后，最外層環(huán)（

13、）上2點與4點間的等效電阻可借用圖預解16-5-12求得，將圖中換成，五個環(huán)構成的線路中2與4間阻值可如下求得：因故六、參考解答設所加勻強電場的場強為，它在方向和方向的分量分別為， 。由于物塊帶負電，電場作用于物塊的電力的兩個分量分別為 （1） （2）在平面內，方向沿軸正方向垂直于平面，被絕緣平面的支持力所平衡，故物塊對絕緣平面的正壓力的大小和的大小相等，即 絕緣平面作用于物塊的摩擦力 （3）的方向決定于物塊移動的方向根據題意，物塊在平面內的運動可看做是一種在力平衡下的緩慢移動作用于物塊的三個力、和線的拉力都在平面內物塊在任一位置達到平衡時的受力情況如圖預解16-6所示。為細線與軸的夾角。把沿和方向分解得 用和表示的兩個分量，物塊平衡時，有 （4） （5）由（4）、（5）式得注意到（3）式，得得 或 （6）因要小物塊緩慢移動，需要細線牽引，不符合題意，應舍去因，將代入（4）、（5）式，有 摩擦力方向的斜率 （7）是摩擦力方向與軸夾角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始終沿軌道的切線方向，故也就是軌道切線的斜率下面，通過對（7）式的分析來尋找軌道方程當中一0，kco即在起點A時，軌道的切線與x軸垂