極限的產(chǎn)生與發(fā)展畢業(yè)論文

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊學 院：數(shù)學與信息科學學院專 業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班 級： 學 生: 指導(dǎo)教師:河北師范大學本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書論文（設(shè)計）題目： 極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展學 院： 數(shù)學與信息科學學院 專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 班級:學生姓名： 學號： 指導(dǎo)教師： 職稱： 1論文（設(shè)計）研究目標及主要任務(wù)1 進行文獻檢索與收集，填寫任務(wù)書、撰寫文獻綜述、開題報告，參加開題答辯并獲得 通過。2 按照指導(dǎo)教師要求，撰寫論文寫作提綱、初稿、修改稿及定稿，達到本科生畢業(yè)論文撰寫規(guī)范的寫作要求；矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。3 參加畢業(yè)論文答辯并獲得通過。2、論文（設(shè)計）的主要內(nèi)容論文第一部分從歷史的角度出

2、發(fā)，講述了極限思想的產(chǎn)生，發(fā)展，完善過程，在第一部分結(jié)束時給出極限的定義。第二部分，開始講述極限思想的應(yīng)用，主要從極限思想在概念里 的滲透，極限在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用和極限在積分中的應(yīng)用三個方面來闡述極限思想的應(yīng)用。最后一個部分對全文做了簡要的總結(jié)。聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。3、論文（設(shè)計）的基礎(chǔ)條件及研究路線基礎(chǔ)條件：圖書館借閱及網(wǎng)上查閱相關(guān)資料。研究路線：首先，以歷史為出發(fā)點，研究了極限思想在歷史發(fā)展過程中是如何產(chǎn)生，發(fā)展，并且逐漸完善的。從而得到極限的定義，并從定義出發(fā)，具體討論了如何由極限的思想方 法得到連續(xù)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)及定積分的概念，由淺入深，進一步討論如何由已知的運動規(guī)律求 速度和如何由已知曲線

3、求它的切線， 進而得到極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用， 不定積分是求導(dǎo) 數(shù)的逆運算，而定積分則是特殊形式，從而引出極限思想在積分中的應(yīng)用。殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。4、主要參考文獻1 梁宗巨.世界數(shù)學通史M.沈陽：遼寧教育出版社，1996.2 華東師范大學數(shù)學系：數(shù)學分析同步輔導(dǎo)及習題全解M.中國礦業(yè)大學出版社.2009.3 華東師范大學數(shù)學系：數(shù)學分析M.高等教育出版社.2007.4 Finney Weir Giorda no . ThomaS CALCULUS.高等教育出版社M.2004.釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。5、計劃進度階段起止日期1指導(dǎo)教師和學生進行雙選，確定對應(yīng)的名單2012.01.03 201

4、2.01.052畢業(yè)論文選題、文獻調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題2013.03.07 2013.03.103進行畢業(yè)論文的初稿寫作2013.03.11 2013.03.264進行畢業(yè)論文的二稿寫作2013.04.01 2013.04.175進一步修改論文，并最終定稿2013.04.18 2013.04.266論文答辯、填報畢業(yè)論文的有關(guān)資料2013.04.27 2013.05.15指導(dǎo)教師:年月日彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。教研室主任： 年月日謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書數(shù)學與信息科學 學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 專業(yè)屆廈礴懇蹣駢時盡繼價騷。學生 姓名論文（設(shè) 計）

5、題目極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展指導(dǎo) 教師專業(yè) 職稱教授研究 方向課題論證：（見附頁）方案設(shè)計：首先，以歷史為出發(fā)點，研究極限思想在歷史發(fā)展過程中是如何產(chǎn)生，發(fā) 展，并且逐漸完善的。進而得到極限的定義，并從定義出發(fā)，具體討論了如何由極限 的思想方法得到連續(xù)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)及定積分的概念，由淺入深，進一步討論如何由已知 的運動規(guī)律求速度和如何由已知曲線求它的切線，從而得到極限在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，不 定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運算，而定積分則是積分的特殊形式，進而引出極限在積分中的 應(yīng)用。進度計劃：2012.01.03 2012.01.05指導(dǎo)教師和學生進行雙選，確定對應(yīng)的名單2013.03.07 2013.03.10畢業(yè)

6、論文選題、文獻調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題2013.03.11 2013.03.26 進行畢業(yè)論文的初稿寫作2013.04.01 2013.04.17 進行畢業(yè)論文的二稿寫作2013.04.18 2013.04.26 進一步修改論文，并最終定稿2013.04.27 2013.05.15論文答辯、填報畢業(yè)論文的有關(guān)資料指導(dǎo)教師意見：指導(dǎo)教師簽名：年月 日教研室意見：教研室主任簽名：年月日河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書（附頁）課題論證：高等數(shù)學的基礎(chǔ)是微積分，在學習微積分時接觸的第一個重要定義就是極限，極限思想是微積分的基本思想，在數(shù)學分析中，連續(xù)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，定積分等重要定義都

7、是用極 限來定義的，極限運算是微積分的運算基礎(chǔ)。因此要學好數(shù)學分析，學好微積分，掌握并且能合理的應(yīng)用極限是十分重要的。 煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。在歷史發(fā)展的長河里，極限思想的產(chǎn)生和其他學科的產(chǎn)生是一樣的，在極限產(chǎn)生，發(fā)展，完善的過程中，并不是一帆風順的，是經(jīng)過無數(shù)數(shù)學家長時間共同努力的結(jié)果。極限思想的發(fā)展過程，充分的體現(xiàn)了人類認識自然，改造自然的過程，從有窮到無窮的過程 是極限發(fā)展的基本過程，在其產(chǎn)生，發(fā)展，完善的過程中體現(xiàn)了一門科學在歷史進程中的 發(fā)展歷程，具有一般性。研究極限思想產(chǎn)生的歷史過程，可以使我們更好的理解極限，用極限的思想方法解決現(xiàn)實生活中所遇到的各種問題。鵝婭盡損鶴慘歷蘢鴛賴。在

8、極限的；-N定義提出后，極限的發(fā)展已經(jīng)趨于完善，不再局限于特定的問題中，在定義的描述的上拋棄了直觀性的幾何描述法，使完善后的定義更具有嚴謹性，邏輯性， 這對于數(shù)學的學習和創(chuàng)新具有指導(dǎo)性的作用?；[叢媽羥為贍債蟶練淨。本文第二部分通過極限在數(shù)學、 物理等學科中的應(yīng)用，說明極限的具體應(yīng)用方向，如 計算曲線的切線，曲面的面積，變力做功， 和求運動物體的速度等問題。通過這些應(yīng)用使 我們對極限在現(xiàn)實生活中的具體作用有了更明確的理解， 使我們對極限思想體系有了更為 立體的感受。 預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。最后對全文進行了全面的總結(jié)。從微積分的產(chǎn)生到極限理論的建立，這個歷史過程 生動地表明：任何科學的發(fā)展都不是一

9、帆風順的，要經(jīng)過長時間不間斷的探索，科學的發(fā) 展是隨著社會生產(chǎn)的發(fā)展一同進步，但科學的發(fā)展同時也制約著生產(chǎn)的發(fā)展， 當科學的發(fā) 展不再適應(yīng)社會的進步，不能滿足社會發(fā)展的需要，就必須進行創(chuàng)新，每一次創(chuàng)新都將為 科學的發(fā)展以及社會的發(fā)展開創(chuàng)一個嶄新的時代， 科學的發(fā)展是建立在人認識改造自然的基礎(chǔ)上的，隨著時間的發(fā)展，科學技術(shù)已經(jīng)越來越在社會進步的過程中起中流砥柱的作用， 科學的發(fā)展一定要經(jīng)過由定性認識轉(zhuǎn)化為定量認識，形成概念和理論的系統(tǒng)，否則，就不滲鈔嗆儼勻潯鱉調(diào)可能成為嚴謹?shù)目茖W體系，也不能滿足生產(chǎn)發(fā)展的需要與社會進步的腳步。硯錦。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻綜述極限思想的產(chǎn)生，是社會

10、發(fā)展，科學進步的客觀需求。是人在探索改造自然過程中逐 漸形成的一新的思想方法。極限的思想可以追溯到古代，三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中 提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！痹谇f子天下篇中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”公元前 5世紀，有關(guān)無限小 量的概念就已經(jīng)作為希臘人關(guān)于物質(zhì)世界本質(zhì)的設(shè)想而進入了數(shù)學思潮，而希臘數(shù)學家所普遍接受的觀點則是阿拿薩哥拉提出的：“在小的當中不存在最小的，但總有更小的”。對 于以嚴密著稱的古希臘來說，古希臘學者觀念上不能擺脫對無限的恐懼， 而是借助于窮竭 法來完成有關(guān)的證明。到了 16世紀，荷蘭數(shù)學家斯泰文借助幾何直觀，放棄

11、了古希臘人 的證明。從而他提出要把極限思想方法發(fā)展成為一門可以在社會各個領(lǐng)域中應(yīng)用的實用的 思想方法。極限思想的發(fā)展與微積分的建立緊密相連，16世紀以后，歐洲正處于資本主義萌芽 時期，生產(chǎn)力得到極大發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量問題無法用初等數(shù)學解決的前提下，例如曲線的切線問題，最值問題，速度問題， 變力做功問題等，要求數(shù)學家突破只研究常量的 傳統(tǒng)范圍，而提供能用以描述和研究運動、變化過程的新工具，數(shù)學家們開始進入極限思 想的領(lǐng)域深入研究。這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。17世紀上半葉，隨著數(shù)學家們深入的研究，他們用不同的方式接近了微積分的大門， 從這一時期開始，極限與 微積分開始形成密不可分

12、的關(guān)系，并且最終成為微積分的直接基礎(chǔ)。盡管極限概念被明確 提出，可是它仍然過于直觀，與數(shù)學上追求嚴密的原則相抵觸。19世紀，法國數(shù)學家柯西比較完整的闡述了極限的概念及其理論，在分析教程 中指出：“當一個變量逐次所取得值無限趨近于一個定值，最終使變量的值和該定值之差 要多小就多小，這個定值就叫所有其他值得極限。”尤其是，當一個變化的數(shù)值（絕對值） 無限的減小使之收斂到極限0，就說這個變量是無窮小量。隨著研究的深入，極限已經(jīng)被 科學家們廣泛的接受，維爾斯特拉斯建立的；- N語言，則用嚴謹?shù)臄?shù)學語言定義了變量 的變化趨勢，這種由直觀的描述性定義到嚴謹?shù)臄?shù)學語言定義的變化過程，遵循了數(shù)學發(fā)展的一般規(guī)律

13、。極限思想已經(jīng)滲透于現(xiàn)代生活中各個領(lǐng)域中，在社會發(fā)展，科技進步等各個方面發(fā)揮 越來越大的作用。在人們的日常生活中，極限思維已經(jīng)成為人們解決實際問題必不可少的 基本上思想之一，極限思想揭示了變化與靜止、無窮與有窮的辯證關(guān)系，是數(shù)學領(lǐng)域中唯 物辯證法的體現(xiàn)。透過極限思想，人們可以從有窮認識無窮，從靜止認識運動，部分認識 整體。無限與有限是對立統(tǒng)一的唯物辯證關(guān)系，既相互關(guān)聯(lián)，又相互矛盾，既是對立的，而應(yīng)該把它定義為有限和的又是統(tǒng)一的。無窮多個數(shù)的和不能用有限多個數(shù)的和來定義, 極限，這就是通過極限的思想來認識有限與無限的。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）翻譯文章Finney Weir Giorda

14、no.Thomas CALCULUS教育出版社M.2OO4.1. 函數(shù)極限設(shè)f x定義在X。的一個可能不包括X。的開區(qū)間上，我們說當x趨于X。時f x趨于極 限L ,并且記為lim f x = LX %如果，對于任何數(shù)；0，存在相應(yīng)的數(shù).0使得對所有滿足o.；|x-X。：二的x，有f x 一 L ;2. 切線為了定義與一般曲線相切的概念，我們需要一種動態(tài)的處理方法，這種方法考慮了過 點P和附近點Q，當Q沿著曲線（圖2.65 ）向點P移動時過PQ的割線的形態(tài)。該方法的 大致步驟如下：（1）從我們能計算的東西開始，即割線 PQ的斜率。（2）研究當點Q沿著曲線趨于點P時割線的極限。（3）如果這個極限

15、存在，就把它取作曲線在點P的斜率，并把過點P具有這個斜率的直線定義為曲線在點P的切線。圖2.65動態(tài)的趨向切點，曲線在點P的切線是過P的直線其斜率是當曲線上的點 Q沿著 曲線從P點的兩側(cè)趨于點P時割線PQ的斜率的極限。定義斜率和切線曲線y = f x在點P xo, f xo的斜率是數(shù)m =lim Xoh二f_x_ （如果這個極限存在） h 0h曲線在點P的切線是過點P且以m為斜率的直線。3.黎曼和JyLa、v/ h圖5.8 個典型的在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)有限逼近理論極限是由德國數(shù)學家 Bernhard Riema nn精確給出的，我們現(xiàn)在介紹一 個黎曼和，在下一節(jié)定積分研究的基礎(chǔ)的理論概念

16、。我們從定義在閉區(qū)間a,b上的任意連續(xù)函數(shù)f x開始，與圖5.8中的圖像表示的函 數(shù)一樣，它既可以取正值，也可以取負值。我們詳細的劃分這個閉區(qū)間的區(qū)間間隔，不一 定是相等的寬度（或長度），并且以同樣的方式，在第5.1節(jié)中的有限近似的形式總結(jié)，要做到這一點，我們選擇了 a和b之間n-1個點丸冬，%,，xf并且a 為：x2 ：:：xn 4 b為了使符號一致，我們選擇這樣一個 ba = x0 ：為：x2 ：:：xn 4 x b得到集合P Xo,Xi,X2, Xnj,Xn?被稱為a,b的一個分區(qū)。P把a,b劃分為n個封閉的子區(qū)間Xo,Xi,Xi,X2,xnJ)xn典型的閉子區(qū)間x-,Xk稱為P的第k個

17、子區(qū)間tth submlcn aJI心第k個子區(qū)間的長度是xk二xk兀-g 1|1 111g-11 T1 1 p1 1111 1 xa = aXi.ViXk-i心xn = t在每個子區(qū)間中，我們選擇某個數(shù)，用Ck表示從第k個子區(qū)間選擇的數(shù)，然后，每個子區(qū) 間上，我們豎起一個垂直的矩形，立于 x軸上，在ck, f ck接觸曲線圖5.9 矩形逼近函數(shù)y = f x的圖象與x軸之間的區(qū)域在每個子區(qū)間上，我們做乘積f Ck V-：Xk，乘積的符號依賴于f Xk，可以是正的，負的或零，最后，我們對這些乘積求和：nSn = f Ck ：-Xkk 4這個依賴于劃分P和數(shù)c,的選擇的和是f在區(qū)間a,b上的黎曼

18、和。1. Limit of a Fun cti onLet f x be defined on an open interval aboiX。，except possibly atx0 itself. We say that the limit of f x as x approaches is the number L, and writelim f x = Lx x）if, for every number ； 0,there exists a corresponding number、0 such that for allx ,|f（x）-L|“2. TangentTo defi ne

19、tangency for gen eral curves, we n eed a dyn amiapproach that takes into acco un the behavior of the secants through P and nearby points Q as Q moves toward P along the curve （Figure 2.65）. It goes like this:（1）We start with what we can calculate, namely the slope of the secantPQ .（2）Investigate the

20、 limit of the secant slope asQ approaches P along the curve.（3）If the limit exists, take it to be the slope of the curve at P and define the tangent to thecurve at P to be the line through P with this slope.SecanlsFIGURE 2.65 The dynamic approach to tangency. The tangent to the curve aP is the line

21、through P whose slope is the limit of the secant slopes asQPfrom either side.SecantsDEFINITIONS Slope, Tangent LineThe slope of the curve y=f x at the pointP x),f 冷 門 is the number(provided the limit exists).The tangent lineto the curve at P is the line through P with this slope.3. Riemann SumsFIGUR

22、E 5.8 A typical continuous function y = f x over a closed intervaa, bThe theory of limits of fin ite approximati ons was made precise by the Germa n mathematicia n Bern hard Riema nn. We now in troduce the no ti on of a Riema nn sum, which un derlies the theory of the defi nite in tegral studied in

23、the n ext sect ion.We beg in with an arbitrary function ? defi ned on a closed in tervaa, b. Like the fun cti on pictured in Figure 5.8, f may have negative as well as positive values. We subdivide the in terval a, b into sub in tervals, not n ecessarily of equal widths (or len gths), and form sums

24、in the same way as for the finite approximations in Section 5.1. To do so, we choose 1 points ：x1,x2,x3 , xn d/between aand band satisfyinga % : x2 ：:：xn： bTo make the no tati on con siste nt, we denote by and bby so thata = X。：為：x2: xn ： x bThe setP .xo,Xi,X2, xnJ,xn?is called a partition of a, b.T

25、he partiti on P dividesa,b into n closed sub in tervals心石,?,IxnJ,xnThe first of these sub in tervals is xo, xj , the sec ond i$Xi, X2 , and the kth sub in terval of P isxk，xj , for k an integer between 1 and n.Ath subimcn tilI 心吃The width of the first sub in terval X), xj is deno ted x1, the width o

26、f the sec ond x1,x2 is dono ted x2 ,and the width of the kth sub in terval is x = xk xkv .If all n sub in tervals have equal width, the n the com mon width is x equal to b - a n .-IIn each sub in terval we select some point. The point chose n in thleth sub in tervalxk J,xk is calledq .The n on each

27、sub in terval we sta nd a vertical recta ngle that stretches from theaxis to touch the curve at q, f ck n.These rectangles can be above or below theaxis, depending on whether f ck is positive or negative, or on it if f ck 1=0 (Figure 5.9).On each sub in terval we form the productf q % .This product

28、is positive, n egative or zero, depe nding on the sig n off Ck .Whe nf c 0 , the product f Ck xis the area of a rectangle with heightf q and width ：xkWhenf ck : 0 the productf q ：xkis a negative number, the negative of the area of a rectangle of widthxkthat drops from the x-axis to the negative numb

29、erf ck .Fi nally we sum all these products to getSnf on the interval a,b.The sumSn is called a Riemann sumfor(c2,FIGURE 5.9 The rectangles approximate the region between the graph of the function y = f x and the x -axis.浹財炫本科生畢業(yè)論文設(shè)計極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展作者姓名：指導(dǎo)教師：所在學院：數(shù)學弓信息科學學院專業(yè)(.系）：數(shù)學弓應(yīng)用數(shù)學班級(屆):屆數(shù)學班目錄中文摘要、關(guān)鍵字

30、 2 鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。1. 引言 3 擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。2. 極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展 3 贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。2.1 極限思想的產(chǎn)生 3 壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。2.2 極限思想的發(fā)展 6蠟變黲癟報倀鉉錨鈰贅。2.3 極限思想的完善 7買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。2.4 極限的概念 9 綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。2.5 極限思想的思維功能 9 驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。3. 極限的應(yīng)用 10 貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。3.1 極限在概念里的滲透 10 鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。3.2 極限在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 12構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦話騖。3.3 極限在積分中的應(yīng)用 14輒嶧陽檉籪癤網(wǎng)儂號澩。4總結(jié) 18 堯側(cè)閆繭絳

31、闕絢勵蜆贅。參考文獻 19 識饒鎂錕縊灩筧嚌儼淒。英文摘要、關(guān)鍵字 20 凍鈹鋨勞臘 鍇癇婦脛糴。極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)指導(dǎo)教師作者摘要：極限思想是微積分的基本思想， 數(shù)學分析中的一系列重要概念， 如函數(shù)的連續(xù) 性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限思想來定義的， 極限思想的應(yīng)用無處不在， 合理 應(yīng)用極限思想 ,可以讓我們在解決實際問題的過程中 , 能較快發(fā)現(xiàn)解決問題的方法 ,提高實 際效果 . 本文主要對極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展進行探究，并對其在數(shù)學分析中的應(yīng)用展開探 索。恥諤銪滅縈歡煬鞏鶩錦。關(guān)鍵詞： 極限思想 產(chǎn)生 發(fā)展 應(yīng)用22極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展1. 引

32、言極限的思想是數(shù)學中重要的思想， 在數(shù)學分析中， 極限是最基本的概念。 函數(shù)的連續(xù) 性、導(dǎo)數(shù)，微積分等等都是通過極限理論才得到的。極限思想也是微積分的基本思想， 極 限是微積分中的基本工具， 是微積分的基礎(chǔ) , 貫穿整個微積分的內(nèi)容。 極限思想的應(yīng)用已 經(jīng)滲透到我們所認識到的各個學科之間，數(shù)學，物理學，化學，生物學等，極限在現(xiàn)今的 科學技術(shù)領(lǐng)域起著不可磨滅的重要作用， 能夠深刻的理解掌握極限及其基本思想對于我們 在實際問題中解決問題有著重大意義。 鯊腎鑰詘褳鉀溈懼統(tǒng)庫。2. 極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展2.1 極限思想的產(chǎn)生極限思想的產(chǎn)生， 是社會發(fā)展， 科學進步的客觀需求。 是人在探索改造自然過程中

33、逐 漸形成的一新的思想方法。極限的思想可以追溯到古代，在莊子天下篇中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是 : 長為一尺的木棒 , 第一天截取它的一半 ,第二天截取剩下的一半，這樣的過程無窮無盡地進行下去。這樣一直進行下去，留下來的木棒越來 越短,可以再分的部分越來越小，一直到無窮小不可以再切割，但永遠不會消失。公元前 5 世紀，有關(guān)無窮小的概念就已經(jīng)作為希臘人關(guān)于什么是世界的設(shè)想而進入了數(shù)學思潮，而希臘數(shù)學家所普遍接受的觀點則是阿拿薩哥拉提出的：“在小的當中不存在最小的，但總有更小的”。對于以嚴密著稱的古希臘來說，古希臘學者觀念上不能擺脫對無限的恐懼， 而是借助于其它的方法來完成有關(guān)的

34、證明。碩癘鄴頏謅攆檸攜驤蘞。劉徽的九章算術(shù)注中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”意思是說：把一塊立方體沿斜線分 成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2： 1，這個比率是不變的。（如圖1）閿擻輳嬪諫遷擇植秘騖。圖1劉徽對此的證明運用了出入相補原理和無窮分割求和原理，具體如下：把陽馬和鱉臑沿各邊的中點做進一步的分割（如圖2）,這樣就把陽馬分成了 2個小陽馬，1個小立方體 和2個小塹堵；把鱉臑分成了 2個小鱉臑和2個小塹堵。先把2個小陽馬和2個小鱉臑放 一邊，則各自剩下的部分體

35、積比顯然為 2: 1。再將放一邊的小陽馬和小鱉臑做同樣的分 割，則可得到更小的陽馬、立方體、塹堵和鱉臑，把4個小小陽馬和4個小小鱉臑放一邊， 各自剩下的部分體積比仍然為2： 1。此過程可以無限的做下去，直到剩余部分體積為 0。 而整個過程中各自剩下部分體積比總為 2： 1。這樣劉徽就證明了 “不易之率”。氬嚕躑竄貿(mào)懇 彈濾頷澩。圖2到了 16世紀，通過對三角形重心問題的深入研究荷蘭數(shù)學家斯泰文，借助更為直觀的幾何問題，放棄了古希臘人的證明方法，通過極限的思想及其方法，解決了問題。從而他提出要把極限思想方法發(fā)展成為一門可以在社會各個領(lǐng)域中應(yīng)用的思想方法。數(shù)學家拉夫綸捷夫曾說：“數(shù)學極限方法的創(chuàng)造

36、是對那些不能夠用算術(shù)、代數(shù)和初等幾何的簡單方 法來求解的問題進行了許多世紀的頑強探索的結(jié)果?！扁Q鵒資贏車贖孫滅獅贅。提到極限思想，就不得不提到著名的芝諾悖論。 他提出著名四個悖論：（1）一個從A1點出發(fā)要到B點去的人，首先要到達的地方是-AB，接下來要到達的地方是21 1 1 1 11 111AB AB，接下來要到達的地方是 AB，-* ABAB 如此循環(huán)下去，222 2 2 2 2 2 2這個人永遠不能走到終點。（2）設(shè)想有一支飛行的箭矢，在每一瞬時的時間點，它位于空 間中的一個特定位置。由于時間是瞬時的，不連續(xù)的時間點，箭在每個時刻都沒有運動而 只能是靜止的。由于整個運動的時間是有無限個時

37、間點組成的， 而在每個時間點箭又只能 靜止，所以芝諾斷定，飛行的箭在每一個時間點上是靜止不動的。（3）游行隊伍問題，首先假設(shè)在操場上，有三列觀眾（圖2.3.1），在一瞬間（一個極短的時間里）里，相對于觀 眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位（圖 2.3.2）。慫闡譜鯪逕導(dǎo)嘯畫長涼。游行隊伍悖論圖示.A;觀介席O O O OB隊列O O Oc隊列圖 2.3.1A：觀眾席q_q_2 專圖 2.3.2而此時，對隊列B來說隊列C向左移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬 間（一個極短的時間里）里移動一個距離單位，也可以在半個極短時間里移動一個距離單 位，這就產(chǎn)生了半個時間單位等于一

38、個時間單位的矛盾。因此他得出隊列是不可能移動的。（4）著名的阿基里斯悖論：阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔校?烏龜?shù)乃俣葹樗氖种?，他在烏龜后?00米處追烏龜，但他永遠也追不上烏龜。在 比賽中，阿基里斯必須先達到烏龜?shù)钠瘘c 100米處，當阿基里斯到達烏龜?shù)钠瘘c處， 烏龜 又已經(jīng)向前方前進了 10米,于是，對于阿基里斯來說又產(chǎn)生了一個新的需要到達的起點； 阿基里斯若要追趕上烏龜就必須再一次到達烏龜?shù)男缕瘘c，而當他再一次追烏龜?shù)竭_烏龜 新的起點處，烏龜又已經(jīng)向前方前進了 1米，阿基里斯只能在次到大烏龜?shù)男缕瘘c才能追 上烏龜。就這樣一直下去，只要烏龜在前進， 就會有新的起點

39、產(chǎn)生，阿基里斯總是有新的 起點需要到達，這樣，不管阿基里斯如何努力，只要烏龜不停的前進，阿基里斯就不會追 上烏龜。芝諾悖論的錯誤在于：（1）對于時間做了限定，在速度不能改變的情況下，路程 就不可以改變。（2）對于時間與空間的分割，無論你能分的多么小，但其大小仍然存在， 不能變成無（第二次數(shù)學危機）：無限小是沒有還是一個非常非常小的數(shù)，結(jié)果證明無限 小是大于0的。芝諾悖論的順利解決對于極限思想的發(fā)展和普及起了至關(guān)重要的作用，為微積分的出現(xiàn)提供了條件。諺辭調(diào)擔鈧諂動禪瀉類。在我國古代，劉徽和祖沖之計采用“割圓術(shù)”來計算圓周率的過程中，也應(yīng)用了極限 的思想。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)接邊

40、數(shù)為n的正多邊形，而正多邊形 的邊數(shù)一倍一倍地增多時，正多邊形的面積 An就越來越接近于圓的面積-R2。在可以控制的范圍內(nèi)，把圓的面積用正多邊形的面積來計算， 只能得到與圓面積相似的結(jié)果，卻不 能得到精確的結(jié)果。但是如果可以無限制的一直繼續(xù)下去的話，正多邊形的面積越來越接 近圓的面積，就可以精確的等到圓的面積。嘰覲詿縲鐋囁偽純鉿錈。參考：梁宗巨世界數(shù)學通史M.沈陽：遼寧教育出版社，1996.2.2極限思想的發(fā)展16世紀，歐洲開始出現(xiàn)資本主義萌芽，生產(chǎn)力得到進一步的解放，生活中出現(xiàn)了大 量不能用以前的數(shù)學方法解決的新問題， 例如怎么得到曲線的切線，如何求解最大值與最 小值問題，物理學發(fā)展中所遇到

41、的一些問題等， 這就要求數(shù)學家突破傳統(tǒng)的觀念， 而找到 一種更為先進的思想方法和一套能用于解決這些問題的理論體系，數(shù)學家們開始進入極限思想的領(lǐng)域深入研究。這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。17世紀上半葉，隨著數(shù)學家們深入的研究，他們用不同的方式接近了微積分的大門， 從這一時期開始，極限 開始與微積分形成了難以割舍的關(guān)系，并且最終成為微積分的直接基礎(chǔ)。盡管極限的概念 已經(jīng)被明確的提出來，可是它是建立在在直觀幾何的基礎(chǔ)上的極限， 用直觀的表述來定義 的極限，與用嚴謹?shù)臄?shù)學語言所定義的極限相比還有不足。熒紿譏鉦鏌觶鷹緇機庫。眾多數(shù)學家為解決上述問題做了不懈的努力， 十七世紀下半葉，英國數(shù)學家牛

42、頓和德 國數(shù)學家萊布尼茲分別建立了自己的微積分學說。 在微積分中充滿了極限的思想方法與計 算過程。而微分學和積分學是數(shù)學分析的基本內(nèi)容，微積分的概念是通過極限來定義的， 但在當時，這些概念還沒有明確的，統(tǒng)一的， 嚴謹?shù)臄?shù)學定義，他們的理論常常會遇到無 法解決自己所提出的問題的尷尬情況。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積 分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。在牛頓的流數(shù)簡論中，他把曲線f x,y =0定義為欲動的點的軌跡，動點x,y是隨著時間變化的量，而動點的切向速度和法向速度分別用 x和y來表示，牛頓稱之為流數(shù)，也就是x和y對時間t的導(dǎo)數(shù)。牛頓用路程

43、的改變量 Z與時間的改變量 : t之比/. ：t表示運動物體的平均速度，當 厲無限接近為0時，得到物體的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分 學理論。他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時間終止 前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在直觀幾何基礎(chǔ)上的，因此他不能通過具有嚴謹性的，邏輯性的數(shù)學語言來定義。牛 頓所提出的極限理論，更為接近以下定義：“如果當變量趨近于無窮時，所得到的函數(shù)值 無限地接近固定常數(shù) A，那么就說函數(shù)以A為極限”。鶼漬螻偉閱劍鯫腎邏蘞。牛頓所定義的極限與現(xiàn)代精確的極限定義相比，更容易被人們所接受，現(xiàn)代的一

44、些初等的著作中還在沿用牛頓所定義的極限定義。但是，這種由直觀的幾何學所得來的極限定義，缺乏數(shù)學應(yīng)具備的嚴謹性，邏輯性， 不能夠滿足數(shù)學所要求的嚴密性，但是牛頓和萊 布尼茨所作的貢獻為微積分和極限思想的完善創(chuàng)造了良好條件。紂憂蔣氳頑薟驅(qū)藥憫騖。由于16到17世紀初期，極限理論仍沒有嚴格的定義，微積分理論才受到人們的懷疑 與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟.譏是否等于零？如果等于零，如何用它去作除法？ 如果不等于零，怎么才能把包含著它的那些項去掉呢？這就是數(shù)學史上所說的無窮小悖論。 穎芻莖峽餑億頓裊賠瀧。參考：梁宗巨世界數(shù)學通史M.沈陽：遼寧教育出版社，1996.2.3極限思想的完善隨著微積分定

45、義與理論的嚴格化，極限思想的理論也變得完善起來。在很長一段時間 里，很多人都嘗試解決微積分中所遇到的各種問題，但是都沒有成功。這是因為所要研究的對象發(fā)生了改變，由以前的常數(shù)量變?yōu)楝F(xiàn)在的非常量，但當時人們對變量的數(shù)學還沒有 有基本的理論研究基礎(chǔ)，一切都在探索中進行，沒有掌握其中的規(guī)律；這樣，在變量數(shù)學中，人們還在沿用解決常量數(shù)學的基本思想方法，不能與時俱進適應(yīng)新的數(shù)學領(lǐng)域的思維 方式，不能改變傳統(tǒng)的守舊思想，沿用常量數(shù)學的基本理論說明不了這種無和非無的辯證 關(guān)系。濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。到了 18世紀，達朗貝爾、羅賓斯、羅依里埃等人都明確地表示微積分的基礎(chǔ)是極限 理論，每個人都給出了自己對于極限的

46、定義。其中達朗貝爾的定義是：“若有一個量比所有的量都更為接近所給定的量，那么就說這個量是所給定量的極限”，這個定義更為接近極限的嚴謹性，邏輯性定義；但是，由于當時對極限的認識還是基于直觀的幾何，所以不 能得到正確的，更有數(shù)學嚴謹性的定義。銚銻縵嚌鰻鴻鋟謎諏涼。捷克數(shù)學家波爾查諾最先用極限的理論給出了倒數(shù)的明卻定義，他把差商旦 的極限也x 定義為函數(shù)f x的導(dǎo)數(shù)，表示為f x，他指出f x不是0。他所提出的理論對于極限 思想理論和微積分的發(fā)展做出了重大貢獻，但是，他僅僅是指出極限的形式是什么樣的， 沒有給出什么是極限。擠貼綬電麥結(jié)鈺贖嘵類。到了 19世紀，法國數(shù)學家柯西通過總結(jié)以前的極限和微積分

47、理論，給出了相對完整 的極限定義，他在分析教程中指出：“對于一個所給定的定值，有一個變量無限的趨 近于這個定值，最終這個變與所給定的定值無限的相近時， 這個定值就叫做所給定的所有 趨近這個定值的變量的極限，特別地，當一個變量的值無限趨近于 0時我們就說這個變量 是無窮小”。賠荊紳諮侖驟遼輩襪錈?？挛髡J為，無窮小就是變量無限的趨近于0,柯西所給出的極限的定義是比較明確的。 可是柯西的定義中仍然存在直觀性的表達詞語，如“無限趨近”等，因此柯西所給出的極限定義仍然跟隨著牛頓等人所用的描述性定義的腳步，沒有數(shù)學理論所應(yīng)該具有的嚴謹 性，邏輯性，客觀性，一般性的特點。 塤礙籟饈決穩(wěn)賽釙冊庫。為了給出極限

48、更為精確，一般性的定義，刨除前人所用的描述性定義所具有的直觀性 效果，維爾斯特拉斯給出了極限的數(shù)學語言精確的定義，為微積分的嚴格化提供了先行條 件。就是指：“如果對- ；-0，總存在自然數(shù)N，使得當n .N時，不等式n-A ：；恒成 立，我們就說n以A為極限”。裊樣祕廬廂顫諺鍘羋藺。這個定義，用嚴謹?shù)臄?shù)學語言，以；和N之間相互聯(lián)系，定量地、具體地描述了極限 的正確定義。這樣的定義是具有嚴謹性，和邏輯性的，符合數(shù)學定義的基本要求，保證了定義的正確性，一般性，邏輯性。能夠用它來作為科學的基本理論依據(jù)，維爾斯特拉斯所 給出的極限定義至今仍在各種書籍中被應(yīng)用。 在這個極限的定義里，給出的只有數(shù)字和各 種數(shù)學符號所串聯(lián)起來的精確性、邏輯性的語句，已經(jīng)不再沿用前人所定義時應(yīng)用的描述 性詞語，不再借助直觀幾何來進行定義。倉嫗盤紲囑瓏詁鍬齊驚。眾所周知，以前的數(shù)學是研究常量的數(shù)學，自從微積分的出現(xiàn)，物理學開始與數(shù)學密 不可分，人們開始對物理學進行數(shù)學方式的研究。當維爾斯特拉斯提