經(jīng)典控制理論——第七章3

1、一離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性一離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 1 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根 據(jù)特征方程的根在 s 平面的位置。若系統(tǒng)特征方 程的所有根都在 s 平面左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 對線性離散系統(tǒng)進行了Z 變換以后，對系統(tǒng)的分 析要采用 Z 平面，因此需要弄清這兩個復(fù)平面的 相互關(guān)系。 s 域到 z 域的映射: 復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為 z=esT ，式中T為采樣周期 s域中的任意點可表示為 ，映射到z域 則為 js TjTTj eeez ）（ 于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為 Tzez T ， 若設(shè)復(fù)變量s在S平面上沿虛軸移動，這時sj， 對應(yīng)的復(fù)變量

2、 。后者是Z平面上的一個向量， 其模等于1，與頻率無關(guān)；其相角為T，隨頻率 而改變。 Tj ez 可見，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原 點為圓心的單位圓。 當(dāng)s位于S平面虛軸的左邊時，為負數(shù)， 小于1。反之，當(dāng)s位于s平面虛軸的右半平面時，為 正數(shù)， 大于1。s平面的左、右半平面在z平 面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。 T ez T ez 圖7-20：線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 線性采樣系統(tǒng)如圖7-20所示。 其特征方程為 01）（）（zGHzD 顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根1、2、n即 是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。在z域中，離散系統(tǒng) 穩(wěn)定充要

3、條件是： 當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在 z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1， 相應(yīng)的線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 應(yīng)當(dāng)指出，如同分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣， 用解特征方程根的方法來判別高階采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定 性是很不方便的。因此，需要采用一些比較實用的 判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。其中比較常用的代數(shù)判據(jù)就 是勞斯判據(jù)。 2 2 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 對于線性連續(xù)系統(tǒng)，可以應(yīng)用勞斯判據(jù)分析 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，對于線性采樣系統(tǒng)，直接 應(yīng)用勞斯判據(jù)是不行的，因為勞斯判據(jù)只能判別 特征方程的根是否在復(fù)變量s平面虛軸的左半部。 因此，必須采用一種新的變換，使z平面上的單 位圓，在新的坐標(biāo)系中的

4、映象為虛軸。這種新的 坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，又稱為W變換。 根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式，令 1 1 w w z 1 1 z z w 或 式中z和w均為復(fù)數(shù)，分別把它們表示成實部和虛部 相加的形式，即 jvuwjyxz 2222 22 ) 1( 2 ) 1( 1 1 1 yx y j yx yx jyx jyx w 當(dāng)動點z在Z平面的單位圓上和單位圓之內(nèi)時， 應(yīng)滿足： 1 22 yx 0 ) 1( 1 22 22 yx yx u 左半W平面對應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)的部分，W平 面的虛軸對應(yīng)Z平面的單位圓上，可見圖7-21。 因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。 圖7-21：Z平面和W平面的對

5、應(yīng)關(guān)系 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程1+GH （z）=0的所有根嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn) 換為特征方程1+GH（w）=0的所有根嚴(yán)格位于左半 W平面。 例例7-17 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-22所示，其中采樣 周期T=1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時k的變化范圍。 圖7-22：例7-17閉環(huán)系統(tǒng)圖 解：解：求出G(s)的z變換 1)1 . 01 ( )( s k s k ss k sG 368. 0368. 1 632. 0 368. 01 )( 2 zz kz z kz z kz zG 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 )(1 )( )( zG zG z 故閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 0368. 0)368

6、. 1632. 0()(1 2 zkzzG 1 1 w w z令代入上式，得 0368. 0) 1 1 )(368. 1632. 0() 1 1 ( 2 w w k w w 化簡后，得W域特征方程 0)632. 0736. 2(264. 1632. 0 2 kwkw 列出勞斯表 0632. 0736. 2 0264. 1 632. 0736. 2632. 0 0 1 2 kw w kkw 從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng) 穩(wěn)定，必須使k0，2.736-0.632k0，即k0 特征方程的系數(shù)，按照下述方法構(gòu)造(2n3) 行、(n+1)列朱利陣列，見下表： 表 朱利陣列 在朱利陣列中，第2k

7、+2行各元，是2k+1行各 元的反序排列。從第三行起，陣列中各元的定義如 下： k kn n k a a a a b 0 k kn n k b b b b c 1 1 0 k kn n k c c c c d 2 2 0 0 3 3 0 0 p p p p q 1 2 3 0 1 p p p p q 2 1 3 0 2 p p p p q k=0,1,n1 k=0,1,n2 k=0,1,n3 朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利穩(wěn)定判據(jù) 特征方程D(z)=0的根，全部位于z 平面上單位圓內(nèi)的充分必要條件是 D(1)0，D(1) 0， 當(dāng)n為偶數(shù)時； D(1)0， D(1)0， 當(dāng)n為奇數(shù)時； 以及下列(n1)個約

8、束條件成立 |a0|bn-1|， |c0|cn-2| |d0|dn3|， |q0|q2| 只有當(dāng)上述諸條件均滿足時，離散系統(tǒng)才是穩(wěn) 定的， 否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例例7-18：已知離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 002. 008. 04 . 0368. 1 234 zzzzzD）（ 試用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 由于n=4, 2n3=5, 故朱利陣列有5行5列。根 據(jù)給定的D(z)知： a0=0.002, a1=0.08, a2=0.4, a3=1.368, a4=1 計算朱利陣列中的元素bk和ck： 1 0 4 4 0 0 a a a a b 368. 1 1 3 4 0 1 a a a a b

9、 399. 0 2 2 4 0 2 a a a a b 082. 0 3 1 4 0 3 a a a a b 401. 1 1 2 2 0 1 b b b b c 511. 0 2 1 3 0 2 b b b b c 993. 0 0 3 3 0 0 b b b b c 作出如下朱利陣列： 因為D(1)=0.1140, D(1)=2.690 |a0|=0.002, a4=1, 滿足|a0|b3| |c0|=0.993, |c2|=0.511, 滿足|c0|c2| 故由朱利穩(wěn)定判據(jù)知，該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 4 4 采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響 例例7-19 設(shè)

10、有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖7-23所示， 試求： （1）當(dāng)采樣周期T分別為1(s)，0.5(s)時，系統(tǒng)的臨 界開環(huán)增益Kc。 （2）當(dāng)r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1，1，2，4(s)時， 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(kT)。 圖7-23 例7-19離散系統(tǒng) )(1( )1 () 1( )1 ()( 1)(SS k 1 2 T ezz t Te T ezT T e k ZzzG 2 1s ( )1( )0 ( )(0.3681.368)(0.2640.368)0 TD zG z D zzkzk 時 0)104. 0736. 2( )528. 0264. 1 (632. 0)( 2 k wkk

11、wwD 由勞斯判據(jù)KC=2.4 T=0.5s 時 W域： 0)017. 0214. 3( )18. 0786. 0(197. 0)( 2 k wkkwwD 由勞斯判據(jù)KC=4.37 )(1 )( )( zG zG z )1 ()1 () 1( )1 () 1( 2TTTTT TTT eTeeKzeTeKz TeezTeK 且由 ，可求得C(z)表達式 1 )( z z zR 取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反變換得到 c(kT)，見圖7-24 圖7-24 不同T時的響應(yīng) 線性連續(xù)系統(tǒng)計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法都可以推廣 到采樣系統(tǒng)中來。 下面僅介紹穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計算。 設(shè)單位

12、反饋采樣系統(tǒng)如圖7-25所示： 圖7-25 單位反饋采樣系統(tǒng) 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z) 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除可從輸出信號在各采樣 時刻上的數(shù)值c(nT) (n=0，1，2)與輸入信號相 比較外，還可以應(yīng)用Z變換的終值定理來計算。 )( )(1 )( )()()()( )(1 )( )(, )()()( zR zG zG zRzYzRzE zG zG zzRzzY )()()( )(1 1 zRzzR zG e 利用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差 )(1 )() 1( lim)() 1(lim)(lim)( 11 * zG zRz zEztee zzt 上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與

13、G(z)及輸入信號的形式 有關(guān)。 與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系 統(tǒng)型別的概念，由于 的關(guān)系，原線性連續(xù)系 統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點的個數(shù)v作為劃分 系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳 遞函數(shù)G(z)在z=1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型 別,稱v=0,1,2,.的系統(tǒng)為0型、I型、II型離散系統(tǒng)。 sT ez 下面分析幾種典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 (1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 p z zz kzG z z zG z zEze 1 )(1 lim 1 1)(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 11 式中 稱為靜態(tài)位置誤差系

14、數(shù)。 )(1 lim 1 zGk z p 對0型離散系統(tǒng)（沒有z=1的極點），則Kp, 從而e()0；對I型、II型以上的離散系統(tǒng)（有一個 或一個以上 z=1的極點），則 Kp=，從而e()=0。 因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在 采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統(tǒng)， 在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似。 （2）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 v z zz k T zGz T z Tz zG z zEze )() 1(lim ) 1()(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 2 11 式中 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。 因為0型系統(tǒng)的k

15、v=0， I型系統(tǒng)的kv為有限值， II型和II型以上系統(tǒng)的kv= ，所以有如下結(jié)論：0型 離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用，I型離散系統(tǒng) 在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以 上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。 )() 1(lim 1 zGzk z v （3）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 a z zz k T zGz T z zzT zG z zEze 2 2 1 2 3 2 11 )() 1(lim ) 1(2 ) 1( )(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 式中 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。)() 1(lim 2 1 zGzk z

16、 a 由于0型及I型系統(tǒng)的ka=0，II型系統(tǒng)的為常 值，III型及III型以上系統(tǒng)的 ka=,因此有如下結(jié) 論成立： 0型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù) 作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下 存在加速度誤差，只有III型及III型以上的離散系 統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才不存在采樣瞬時 的穩(wěn)態(tài)位置誤差。 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點 在S平面的分布對系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有非常大的影響。 與此類似，采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞 函數(shù)零、極點在z平面的分布也有密切的關(guān)系。 零、極點分布的關(guān)系零、極點分布的關(guān)系 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 nn nnn mm mmm azaz

17、azaza bzbzbzbzb zN zM z 1 2 2 1 10 1 2 2 1 10 )( )( ) （ 式中m0時， （若令 ） akT i k iii eApAkTy)( i p T aln 1 動態(tài)過程為按指數(shù)規(guī)律變化脈沖序列。 pi 1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位 圓外，動態(tài)響應(yīng)為振蕩脈沖序列； 若| pk |=1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位 圓上，動態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩脈沖序列； 若| pk |1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位 圓內(nèi)，動態(tài)響應(yīng)為振蕩收斂脈沖序列,且| pk |越小, 即復(fù)極點越靠近原點,振蕩收斂越快； 閉環(huán)復(fù)數(shù)極點分布與相應(yīng)動態(tài)響應(yīng)形式的關(guān) 系，如圖7-2

18、7所示 圖7-27 復(fù)數(shù)極點分布與響應(yīng)的關(guān)系 通過以上的分析可以看出，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 的極點在z平面上的位置決定相應(yīng)暫態(tài)分量的性質(zhì) 和特點。 當(dāng)閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)時，其對應(yīng)的暫態(tài)分 量是衰減的。極點離原點越近衰減越快。若極點位 于正實軸上，暫態(tài)分量按指數(shù)衰減。一對共扼復(fù)數(shù) 極點的暫態(tài)分量為振蕩衰減，其角頻率為kT。 若極點位于負實軸上，也將出現(xiàn)衰減振蕩，其振蕩 角頻率為T。為了使采樣系統(tǒng)具有較為滿意的暫 態(tài)響應(yīng)，其z傳遞函數(shù)的極點最好分布在單位圓內(nèi) 的右半部靠近原點的位置。 在線性連續(xù)系統(tǒng)中采用的，根據(jù)一對主導(dǎo)極 點分析系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的方法，也可以推廣到采樣 系統(tǒng)。 綜上所述,離散系統(tǒng)的動態(tài)

19、特性與閉環(huán)極點的 分布密切相關(guān)。當(dāng)閉環(huán)實極點位于z平面上左半單 位圓內(nèi)時,由于輸出衰減脈沖交替變號,故動態(tài)過程 質(zhì)量很差;當(dāng)閉環(huán)復(fù)極點位于左半單位圓內(nèi)時,由于 輸出衰減高頻振蕩脈沖,故動態(tài)過程性能欠佳。 因此因此,在離散系統(tǒng)設(shè)計時在離散系統(tǒng)設(shè)計時,應(yīng)把閉環(huán)極點安置在應(yīng)把閉環(huán)極點安置在 z平面的右半單位圓內(nèi)平面的右半單位圓內(nèi),且盡量靠近極點。且盡量靠近極點。 例例-20 若系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-28所示，試求其單位階 躍響應(yīng)的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周 期T=0.2秒。 圖7-28 例7-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 0173. 06048. 07728. 0 0198. 04990. 03805. 0 )( 23 2 zzz zz z