2412垂直于弦的直徑

1、 如圖，如圖，1 400 多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋多年前，我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋 主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）是主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）是 37 m， 拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為 7.23 m，求趙州橋主橋，求趙州橋主橋 拱的半徑（精確到拱的半徑（精確到 0.1 m） 趙洲橋的半徑是多少？趙洲橋的半徑是多少？ 1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知 實(shí)踐探究實(shí)踐探究 用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑 對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你 能得到什么結(jié)論？能

2、得到什么結(jié)論？ 可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)： 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑 所在直線都是它的對(duì)稱軸所在直線都是它的對(duì)稱軸 2探究新知探究新知 如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E （1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？ O A B C D E （1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在所在 的直線是它的對(duì)稱軸的直線是它的對(duì)稱軸 （2） 線段：線段： AE=BE

3、弧弧: AC=BC, AD=BD （ （ （ （ 把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與與 點(diǎn)點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，AC ，AD分別與分別與BC、BD重合重合 （ （ （ （ 2探究新知探究新知 O A B C D E 我們還可以得到結(jié)論：我們還可以得到結(jié)論： 我們就得到下面的定理：我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并垂直于弦的直徑平分弦，并 且平分弦所對(duì)的兩條弧且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 這個(gè)定理也

4、叫垂徑定理，利用這這個(gè)定理也叫垂徑定理，利用這 個(gè)定理，你能平分一條弧嗎？個(gè)定理，你能平分一條弧嗎？ AE=BE,AC=BC, AD=BD （ （ （ （ 3獲得新知獲得新知 即直徑即直徑CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB （ （ 根據(jù)垂徑定理與推論可知：對(duì)于一個(gè)圓和一條直根據(jù)垂徑定理與推論可知：對(duì)于一個(gè)圓和一條直 線來(lái)說(shuō)，如果具備：線來(lái)說(shuō)，如果具備： 那么，由五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他那么，由五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他 三個(gè)結(jié)論。三個(gè)結(jié)論。 注意要點(diǎn)注意要點(diǎn) 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 平分弦

5、所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧 知二推三知二推三 課堂討論課堂討論 根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)： 過(guò)圓心過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)優(yōu)弧平分弦所對(duì)優(yōu)弧 平分弦所對(duì)劣弧平分弦所對(duì)劣弧 （1 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對(duì)的兩條弧。對(duì)的兩條弧。 （3 3）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 （2 2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對(duì)的另一條弧。弦所對(duì)的另一條弧。

6、 三個(gè)命題三個(gè)命題 命題一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且命題一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且 平分弦所對(duì)的兩條弧。平分弦所對(duì)的兩條弧。 命題三：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分命題三：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分 弦所對(duì)的兩條弧。弦所對(duì)的兩條弧。 命題二：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，命題二：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦， 并且平分弦所對(duì)的另一條弧。并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 .O A E B D C 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。 求證：求證：CD是直徑，是直徑， ADBD，ACBC 已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦

7、，并且是弦，并且CD平分平分AB。 求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC 已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）。）。 求證：求證：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 4新知強(qiáng)化新知強(qiáng)化 下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說(shuō)明理由嗎？下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說(shuō)明理由嗎？ D O C A E B D O C A E B 圖圖1圖圖2 圖圖3圖圖4 O A E B D O C A E B 5利用新知問(wèn)題回解利用新知問(wèn)題回解 解解 決決 求求 趙趙 州州 橋橋 拱拱 半半 徑徑 的的 問(wèn)問(wèn) 題？題？ 趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧

8、所對(duì)趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì) 的弦的長(zhǎng)）為的弦的長(zhǎng)）為3737米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離） 為為7.237.23米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ O A B 例例2 2 趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的 弦的長(zhǎng)弦的長(zhǎng)) )為為3737米，拱高米，拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離) )為為7.237.23米，米， 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ 問(wèn)題？問(wèn)題？ O A B D C r 解得：解得：R27.3（m） O D

9、 A B R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 即即 R2=18.52+（R7.23）2 因此，趙州橋的主橋拱半徑約為因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.5m. OA2=AD2+OD2 AB=37，CD=7.23， OD=OCCD=R7.23 在圖中在圖中, AD= AB= 37 =18.5， 2 1 2 1 如圖如圖,用用AB表示主橋拱表示主橋拱,設(shè)設(shè)AB所在圓的圓心為所在圓的圓心為O， 半徑為半徑為R 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與 AB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D是是 AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， C是是AB的

10、中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD就是拱高就是拱高 （ （ （ （ C 1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O 到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑 O AB E 練練 習(xí)習(xí) 解：解： 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半徑為的半徑為5cm. 11 84 22 AEAB 在在RtAOE中中, OEAB 6利用新知解決問(wèn)題利用新知解決問(wèn)題 2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，為互相垂直且相等的兩條弦， ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ABOE是正方形是正方形 O

11、A B C D E 證明：證明： OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形， 又又AC=AB 11 22 AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. 1 1已知已知00的半徑為的半徑為1313，一條弦的，一條弦的ABAB的弦的弦 心距為心距為5 5，則這條弦的弦長(zhǎng)等于，則這條弦的弦長(zhǎng)等于 2424 五、目標(biāo)訓(xùn)練五、目標(biāo)訓(xùn)練 2 2已知已知OO的半徑為的半徑為1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12， CD=16CD=16，則，則ABAB和和CDCD的距離為的距離為 2 2或 或1414 4 4

12、如圖，如圖，OO的直徑為的直徑為1010，弦，弦ABAB長(zhǎng)為長(zhǎng)為8 8，M M是弦是弦ABAB上上 的動(dòng)點(diǎn)，則的動(dòng)點(diǎn)，則OMOM的長(zhǎng)的取值范圍是（的長(zhǎng)的取值范圍是（ ） A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5 AB O M A A 3 3過(guò)過(guò)OO內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10cm10cm，最短弦長(zhǎng)為，最短弦長(zhǎng)為 8cm8cm，那么，那么OMOM長(zhǎng)為（長(zhǎng)為（ ） A A3cm B3cm B6cm C6cm C cm Dcm D9cm 9cm 41 內(nèi)容：內(nèi)容： 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所 對(duì)的兩條弧對(duì)的兩條弧 構(gòu)造直角三角形，垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合構(gòu)造直角三角形，垂徑定