方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模-ReadPPT課件

1、 什么是對稱共焦腔什么是對稱共焦腔 對稱共焦腔 兩個兩個球面球面鏡鏡的曲率半的曲率半徑徑相等且等于腔相等且等于腔長長的的諧諧振腔振腔稱為稱為 對稱對稱共焦腔。共焦腔。 此此時兩個鏡時兩個鏡面的焦點重合且面的焦點重合且處處于腔的中心。于腔的中心。 0 01 212121 gg R L ggLRR，滿足， 什么是對稱共焦腔什么是對稱共焦腔 對稱共心腔 （-1,-1） 平平腔 （1,1） g2 g1 -1 -1 1 0 1 對稱共焦腔 考慮一個由線度為考慮一個由線度為2a 2a的正方形球面鏡構(gòu)成的對稱共焦腔的正方形球面鏡構(gòu)成的對稱共焦腔 R=L 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 2

2、a L L a aL ，滿足條件 x 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa a a a a y 12121122 ( , , ,) x y x yPPP PP PP P 由于是軸對稱關(guān)系，用直角坐標系（x,y,z)討論。 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 L yy L xx L L yy L xx L yy L xx L L yy L xx L LyyxxPP 2 ) ( 2 ) ( 8 1 8 1 2 1 2 1 1 1

3、) () ( 22 4422 22 222 21 其中 L yx LyxL RyxRPP 2 )( )(1 22 222 222 11 L yx PP 2 22 222 同理 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 2 P 1 P ) , ( 2 yxP ),( 1 yxP 21 L aa 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 L yyxx L L yx L yx L yy L xx L yxyx 2 22 ) ( 2 ) ( ) , , 222222 （ ) , ( ),( dydxeyxve L i yxv L yyxx ika a a a mn ikL mn mn 為所應(yīng)滿

4、足的積分方程式方形鏡共焦腔自在現(xiàn)模 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 ) , (),( 1 dseyx L i yx S ik mnmnmn N L a L ka c a c yY a c xX 22 , 22 法進行變數(shù)代換，取按照傅伊德和戈登的方 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 nm mn nm 1 (Y)(X)G F),( yxvmn令 dd 2 (1) YXeYFeXF ie YGXF c c c c iYY n iXX m ikL nmnm 式，得代入 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 行變量分離的交錯乘積項，可以進和式中不存在YX d) 2 (

5、 d) 2 ( 1/2 1/2 c c iYY n ikL nn c c iXX m ikL mm YeYGe i YG XeXFe i XF 題下述兩個積分本征值問求解方程式等價于求解 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 .) 1 ,() 1 ,( )2( 0,1,2,.n ) 1 ,( 2c 0,1,2,.m ) 1 ,( 2c (1)(1) (1) n (1) m 為徑向長橢球函數(shù)和 其中 cRcR cRi cRi onom on n om m ) 1 ( ),( )2/( nmnmnm kLiikL mn eie yxv 相對應(yīng)的本征值為：與 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔

6、的的模式模式 ) 1 ,() 1 ,(4 ,2 ) 1 ,() 1 ,( 2c ,(1)(2) 2 )1( (1)(1) 2 1 (1)(1) nmkLi onomnm i ikLnm onomnm ecRcNR eiNc eicRcR 又 得中代入將 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 為角向長橢球函數(shù)。 其中： ) a y (c,S)c(c,Y/S ) a x (c,S)c(c,X/S onon omom ,., ,n m, cc,Y/Scc,X/S (Y) (X)GF(x,y) v c onom nmmn 210 (4) 為為有限值時，本征函數(shù)在 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦

7、腔的的模式模式 可以證明，當N1時，角向長橢球函數(shù)可表示 為厄米多項式和高斯函數(shù)的乘積 厄米厄米高斯近似高斯近似 ) 2 () 2 ( )()(),( / 2 )( 22 2 22 L yx nmmn a yxc nmmnmn ey L Hx L HC ey a c Hx a c HCyxv 鏡面上的自再現(xiàn)模式： 其中，Cmn為常系數(shù) 方形球面鏡共焦腔方形球面鏡共焦腔的的模式模式 ， ）（ 階厄米多項式為 210 )2( )!2( ! !) 1( 1 )( )( 2 0 2 2 2 m X kmk m e dX d eXH mXH m k km k X m m Xm m m 厄米多項式厄米多項

8、式 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征 鏡面上場的振幅分布鏡面上場的振幅分布 ),( 1,(X)H0,nm / 0000 0 22 L yx eCyxv 得出基模的場分布函數(shù)因為取 處 在離中心的距離為 / 22 Lyxr 場的振幅下降到中心值的場的振幅下降到中心值的1/e 的光斑半徑為共焦腔基模在鏡面上定義/ 0 L s 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征 舉例 mm25. 0m6328. 0cm30NeHe mm84. 1m6 .10m1CO 0 02 s s L L ，激光器： ，激光器： 方形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模的特征方形球面鏡共焦腔

9、自再現(xiàn)模的特征 2 0 22 2 2 0, 00, 00, 00, 0 s yx ecEEI 鏡面上的光強分布鏡面上的光強分布 2 22 2 22 22 ) 22 ) 0101 1010 os os yx os yx os mn yeC(x,yv xeC(x,yv TEM 的振幅分布同樣可得出高階橫模的 高階橫模高階橫模 2 22 2 22 2 4) )2 2 4() 1111 2 2020 os os yx os yx os xe xy C(x,yv xe x C(x,yv X X X 1 0 XH XXH2 1 24 2 2 XXH XH m XXX 2 X e 2 2 )( eHE m

10、X XX 高階橫模高階橫模 2 : EI 光強 XXX 厄米高斯光束厄米高斯光束 a）厄米多項式的零點決定了場的節(jié)線； b）厄米多項式的正負交替的變化與高斯函數(shù)隨x,y 增大而單調(diào)下降的特性，決定了場分布的外形輪廓 由于m階厄米多項式有m個零點，因此模 沿x方向有m條節(jié)線，沿y方向有n條節(jié)線。 mn TEM 高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束 12 , 12 0 0 n m sns sms 斑半徑：鏡面上的高階橫模的光 高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束 鏡面上場的相位分布由自再現(xiàn)模的幅角argvmn(x,y)決定 因為長橢球函數(shù)是實函數(shù)，所以argvmn(x,y)=0，各點場

11、 的相位相同，共焦腔反射鏡本身構(gòu)成場的一個等相位 面。 鏡面上場的相位分布鏡面上場的相位分布 利用自在現(xiàn)的概念理解！利用自在現(xiàn)的概念理解！ 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2 2 1141 11 2 1 1 1 1 c,Rc,NR c,Rc,R c TEM )( n )( m )( n )( m nm mn mn mn 模的單程功率損耗為：共焦腔自再現(xiàn)模 單程損耗單程損耗 的增加而迅速的下降；隨，單值地由菲涅耳數(shù)確定 而的具體幾何尺寸無關(guān)，）共焦腔模的損耗與腔 的損耗大得多； 腔模面腔模的損耗又比共焦現(xiàn)模的損耗大得多；平 衍射損耗比平面腔自再均勻平面波的夫瑯和費 N mn 2 )

12、1 增大。 的增高而迅速隨相同時，不同橫模的） , 3 nmN mn 單程損耗單程損耗 arg 1 arg : nm mn mn 的總相移為共焦腔在腔內(nèi)一次渡越 的整數(shù)倍不同橫模的相移之差為 ：附加相位超前量； 幾何相移；：其中 2 2 ) 1( nm kL mn 2 ) 1( nmkL 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 : 22 1 (1) 22 mn mnq q c qmn L 由諧振條件 得諧振頻率為 屬于同一橫模的相鄰兩個縱模之間的頻率間隔為 L c mnqqmnq 2 1 而屬于同一縱模的相鄰兩個橫模之間的頻率間隔則為 qmnq)qnmn qmnq)nqmm L c L c 2

13、1 22 1 2 1 22 1 1( 1( 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 )1)(1(qnm )1()1(qnm qnm)1( nqm)1( )1( qmn )(2qmn mnq )1( -qmn 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率 損損耗耗上上并并不不簡簡并并。頻頻率率上上簡簡并并, ,: :注注# # . , : )1)(3)(1( )1()2()1)(2()1)(1( 等 qnm qnmqnmqnmmnq TEM TEMTEMTEMTEM eg 共焦腔模在頻率上是高度簡并的,(2q+m+n)相同 的所有模式都具有相同的諧振頻率,都是簡并模。 單程單程相移和諧振頻率相移和諧振頻率

14、 方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 考察方形鏡共焦腔中任意一點的場 已知鏡面上 的場分布 菲涅耳基爾 霍夫衍射積分 腔內(nèi)任意 點的場 zyxizw yx nmmnmn mn y zw x zwzw w EAzyxE ,)( 0 0 ee 2 H 2 H, 2 22 式中 f z nm zf zyx zkzyx f L w L z w f z wzw mn arctg1 2 , 2 2 11 22 22 0 2 0 2 0 方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 對比 zyxizw yx nmmnmn mn y zw x zwzw w EAzyxE ,)( 0 0 ee

15、 2 H 2 H, 2 22 行波場行波場 腔鏡位置的場分布腔鏡位置的場分布 22 / 22 ( , )()() xy L mnmnmn vx yC Hx Hy e LL 0 /wL 為共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑 22 2 0 00 22 ( , )()() xy w mnmnmn vx yCHx Hy e ww 電場強度 處的模在腔內(nèi)任一點：其中 ),(TEM),( mn zyxzyxEmn 化常數(shù)：與模階次有關(guān)的歸一 ：與坐標無關(guān)的常量 mn A E0 為鏡的焦距 ：共焦腔長 2 L f L 方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 振幅分布振幅分布 方形球面鏡共焦腔行波場的振幅

16、分布為 )(0 0 2 22 e 2 H 2 H, zw yx nmmnmn y zw x zwzw w EAzyxE 其中基模的振幅分布為 )(0 00000 2 22 e, zw yx zw w EAzyxE 1 2 2 2 0 2 f z w zw 振幅分布振幅分布 0 0 0 0 1,z0 0 22 2 : 2 s s wL ww w L zf L wfw ）在共焦腔中心 即處，光斑最?。?（ ） ：。 ）在共焦腔鏡面上，時 （） 高高斯斯光光束束的的束束腰腰半半徑徑 討論討論 定義：某一模式在腔內(nèi)所擴展的空間范圍稱為模體積 模體積模體積 對稱共焦腔的基模模體積為 2 0 2 2 0

17、2 2 2 0 20 00 3 2 3 2 )1 ( 2 2)(2 s LL wLLdz f zL dzzwV 高階模模體積則為 0 00 2 0 0 12121212 3 2 3 2 VnmwnmLwwLV snsmsmn 舉例舉例 共焦腔CO2激光器：L=1m，2a=2cm，=10.6m 22 cm314 LaV激活介質(zhì)的體積為 220 00 cm1 . 7 3 2 LV基模體積為 %26. 2 0 00 V V 等相位面分布等相位面分布 0 ,0,0,zzyx f z nm zf yxz zkzyx mn arctg1 2 , 22 22 代入 0 22 0 2 0 22 2 22 0

18、2 22 zR yx z f z yx z f z yx zz 拋物面拋物面 2 0 00 1 z f zzR 等相位面分布等相位面分布 討論討論 00 00101 00 0 2 0 000 zzz zz z f zzRz 時，當 ，得時，由）當 因此，等相面是凹面向著腔中心的球面 Lf L R L fz 2 2 2 2 0 時，）當 此時，等相面與反射鏡面重合 Rz Rz 時，當 時，）當 00 3 0 0 此處，等相面是平面 fz z f zR 0 2 0 0 014，得）由 因此，反射鏡是曲率最大的等相面 討論討論 討論討論 定義：基模遠場發(fā)散角是雙曲線的兩根漸近線之基模遠場發(fā)散角是雙曲線的兩根漸近線之 間的夾角。間的夾角。 z z z )