哈工大控制系統(tǒng)設計大作業(yè)——直線一級倒立擺控制器設計14頁

1、Harbin Institute of Technology課程設計說明書（論文）課程名稱： 控制系統(tǒng)設計課程設計 設計題目：直線一級倒立擺控制器設計院 系：航天學院控制科學與工程系班 級： 設 計 者： 學 號： 指導教師： 羅晶 設計時間： 2012.8.272012.9.9 哈爾濱工業(yè)大學教務處哈爾濱工業(yè)大學課程設計任務書 姓 名： 張盛博 院 （系）：航天學院控制科學與工程系 專 業(yè)： 探測制導與控制技術 班 號：0904201 任務起至日期： 2012 年 8 月 27 日至 2012 年 9 月 9 日 課程設計題目： 直線一級倒立擺控制器設計 已知技術參數(shù)和設計要求：本課程設計的

2、被控對象采用固高公司的直線一級倒立擺系統(tǒng)GIP-100-L。系統(tǒng)內(nèi)部各相關參數(shù)為：小車質量 0.5 Kg ；擺桿質量0.2 Kg ；小車摩擦系數(shù)0.1 N/m/sec ； 擺桿轉動軸心到桿質心的長度0.3 m ；擺桿慣量0.006 kg*m*m ；采樣時間0.005秒。設計要求：1推導出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。用Matlab進行階躍輸入仿真，驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2設計PID控制器，使得當在小車上施加0.1N的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）穩(wěn)定時間小于5秒；（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。3設計狀態(tài)空間極點配置控制器，使得當在小車上施加0.2m的階躍信號時，閉

3、環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于3秒（2）的上升時間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。 工作量：1. 建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型；2. 倒立擺系統(tǒng)的PID控制器設計、MATLAB仿真及實物調(diào)試；3. 倒立擺系統(tǒng)的極點配置控制器設計、MATLAB仿真及實物調(diào)試。 工作計劃安排：第3周 （1）建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型；（2）倒立擺系統(tǒng)的PID控制器設計、MATLAB仿真；（3）倒立擺系統(tǒng)的極點配置控制器設計、MATLAB仿真。第4周 （1）實物調(diào)試；（2）撰寫課程設計論文。 同組設計者及分工：各項工作獨立完成。 指導

4、教師簽字_ 年 月 日 教研室主任意見： 教研室主任簽字_ 年 月 日*注：此任務書由課程設計指導教師填寫。一、 直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導及建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學算法的研究等等內(nèi)容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心

5、的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 1.1、微分方程的推導 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng). 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。圖1（a）小車隔離受力圖 （b）擺桿隔離受力圖本系統(tǒng)相關參數(shù)定義如下： M : 小車質量 m：擺桿質量 b：小車摩擦系數(shù) l：擺桿轉動軸心到桿質心的長度 I：擺桿慣量 F：加在小車上的力 x：小車位置 ：擺桿與垂直

6、向上方向的夾角 ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：即 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 即 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去P和N ，得到第二個運動方程：1、微分方程模型 設=+（是擺桿與垂直向上方向之間

7、的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小,即1，則可以進行近似處理：。用u來代表被控對象的輸入力F ，線性化后兩個運動方程如下： 2、傳遞函數(shù) 對以上微分方程組進行拉普拉斯變換，得到 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。 由于輸出為角度為，求解方程組上述方程組的第一個方程，可以得到或者 （1-12）如果令，則有 （1-13）把上式代入10式，則有： （1-14）整理： （1-15）其中 3、狀態(tài)空間數(shù)學模型，可得狀態(tài)方程二、 直線一級倒立擺PID控制器設計2.1、PID控制器各個校正環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響簡單來說,PID控制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下:（1） 比例環(huán)節(jié)：成比例的反應控制系統(tǒng)的偏差信號

8、e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)T1，T1越大，積分作用越弱，反之則越強。（3） 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間。22、PID控制器的設計及MATLAB仿真 首先，對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上。系構框圖如下： 圖3 直線一級倒立擺PID控制系統(tǒng)框圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入r(s)=0，結構圖可以

9、很容易的變換成圖4 直線一級倒立擺PID控制簡化系統(tǒng)框圖 該系統(tǒng)的輸出為 其中，num被控對象傳遞函數(shù)的分子項 den被控對象傳遞函數(shù)的分母項 numPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分子項 denPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分母項 被控對象的傳遞函數(shù)是 其中：PID控制器的傳遞函數(shù)為 需仔細調(diào)節(jié)PID 控制器的參數(shù)，以得到滿意的控制效果。 前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在我們施加控制的過程中，小車位置如何變化呢？ 考慮小車位置，得到改進的系統(tǒng)框圖如下：圖5 直線一級倒立擺PID控制改進系統(tǒng)框圖 其中，G1(s)是擺桿傳遞函數(shù)，G2(s)是小車傳遞函數(shù)。 由于輸入信號r(s)=0 ，所以可以

10、把結構圖轉換成：圖5 直線一級倒立擺PID控制簡化后改進系統(tǒng)框圖其中，反饋環(huán)代表我們前面設計的控制器。 小車位置輸出為：其中，num1 ,den1,num2, den2 分別代表被控對象1和被控對象2傳遞函數(shù)的分子和分母。 numPID和denPID 代表PID 控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。 下面我們來求G2(s)，根據(jù)前面的推導:可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為:其中：可以看出，den1=den2=den，小車的傳遞函數(shù)可以簡化成： 2.3、PID控制器參數(shù)的調(diào)節(jié)按題目要求，施加0.1N的脈沖信號，觀察指標。脈沖信號仿真源程序為：M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006

11、;g = 9.8;l = 0.3;num1 = m*l;den1 = (I+m*l2) 0 -m*g*l;Kp = 1;Ki = 0; Kd = 0;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 ); r,p,k = residue(num,den);s = p t=0:0.005:5;impulse(0.1*num,den,t)grid當系統(tǒng)加入PID控制器后的方框圖為：直線一級倒立擺PID控制MATLAB仿真模型由所查閱資料，調(diào)節(jié)

12、Kp，會影響ess和振蕩次數(shù)以及ts；Kp太大不穩(wěn)定，Kp可以選擇負數(shù)。調(diào)節(jié)Ki，會影響穩(wěn)定性，ess。調(diào)節(jié)Kd,會影響，ts;由于Kd的特殊性，必須選擇合適的Kd才能使與ts均位于合適的范圍。具體的調(diào)試過程：先調(diào)節(jié)Kp使系統(tǒng)穩(wěn)定；再調(diào)節(jié)Kd使系統(tǒng)僅有一次振蕩；最后調(diào)節(jié)Ki使ess為0。令Kp=130、Ki=130、Kd=10，得到以下仿真結果：直線一級倒立擺PID控制仿真結果圖（Kp=130、Ki=130、Kd=10）4、PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點優(yōu)點：PID控制優(yōu)點明顯，應用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時可以減少超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，減小調(diào)整時間，從

13、而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。缺點：PID控制的過度期比較長，上升過程中波動明顯；當然，較好的PID控制效果是以已知被控對象的精確數(shù)學模型為前提的，當被控對象的數(shù)學模型未知時，PID控制的調(diào)試將會有很大的難度。三、 狀態(tài)空間極點配置控制器設計，解得=0.59，wn=3.39=0.804，符合要求。根據(jù)（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于3秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%求得閉環(huán)主導極點為：，選取另兩個極點為-12，-12。則：1、 仿真程序：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5000 0;B=0;1;0;2.5000;C=1 0 0 0

14、;0 0 1 0;D=0;0;J=-12 0 0 0;0 -12 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;JA=poly(A);a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5);M=B A*B A2*B A3*B;W=a3 a2 a1 1;a2 a1 1 0;a1 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;JJ=poly(J)aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5);K=aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(T);Ac = (A-B*K);Bc = B;Cc = C;Dc =

15、D;T = 0:0.005:5;U = 0.2*ones(size(T);Cn = 1 0 0 0;Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn = Nbar*B;Y,X = lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);figure(1)plot(T,X(:,1),r);grid;legend(Cart Position);figure(2);plot(T,X(:,3),g);grid;legend(Pendulum Angle);K =1.0e+003 *(-6.0245 -2.4514 8.5677 1.0782)倒擺小車位置、倒擺小車速度、倒擺傾角、倒擺傾角速度的響應曲線倒擺小車位置響應曲線倒擺傾角的響應曲線狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置，無論開環(huán)極點和零點在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設計四、 實物調(diào)試試驗4.1直線一級倒立擺PID控制實驗采用固高科技的一級倒立擺模型進行PID控制器實物調(diào)試，系統(tǒng)框圖如圖所示：直線一級倒立擺MATLAB-PID實時控制界面由實驗結果所示可看出系統(tǒng)較穩(wěn)定，調(diào)節(jié)過程比較平穩(wěn)，干擾作用下，系統(tǒng)能很快回到平衡位置，說明這組PID參數(shù)具有較好的控制效果,滿足設計要求。直線一級倒立擺PID控制