第3章 結(jié)構(gòu)構(gòu)件的承載力計算3

1、廣西水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案章節(jié)名稱：3.3 拉壓變形時的承載力 目的要求：拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力分布及計算公式，拉（壓）桿的強度條件及其應(yīng)用，拉（壓）桿的變形計算，胡克定律及其應(yīng)用。教學(xué)重點：拉（壓）桿橫截面上正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程；材料拉伸、壓縮時的力學(xué)性能。教學(xué)難點及突破難點的辦法軸向拉伸與壓縮桿強度條件的應(yīng)用；用切線代圓弧法求解桁架結(jié)點位移； 拉壓靜不定問題的求解突破難點的辦法: 以課堂講授為主，課堂討論為輔的啟發(fā)式教學(xué)方法；以課堂提問等形式開展平時成績激勵策略，提高學(xué)生課堂積極性，注重平時學(xué)習(xí)過程的良好養(yǎng)成教育。課外作業(yè)：教學(xué)過程時間分配3.3 拉壓變形時的承載力3.3.1 軸向拉伸

2、和壓縮的概念和實例3.3.2 內(nèi)力的概念和截面法1. 內(nèi)力的概念2. 截面法3.3.3 軸向拉（壓）桿的內(nèi)力軸力3.3.4 軸向拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力1 應(yīng)力的概念2 軸向拉（壓）時正應(yīng)力的計算公式3.3.5 許用應(yīng)力和拉伸與壓縮時的強度條件1. 許用應(yīng)力2. 拉（壓）強度條件3.3.6 軸向拉伸與壓縮時的變形和胡克定律1. 縱向變形2. 應(yīng)變3. 胡克定律4. 材料的彈性模量5. 橫向變形3.3.7材料拉（壓）時的力學(xué)性能1 材料拉伸時的力學(xué)性能2 壓縮時材料的力學(xué)性能5102030503.3 拉壓變形時的承載力直桿，可以是相同的剖面形狀，稱為等截面直桿，也可以是不同的截面形狀，稱為變截面直

3、桿。外力，可以是拉力,也可以是壓力；可以是兩個力,也可以是多個力；可以是集中力,也可以是分布力。例，懸臂吊車的CD拉桿，螺紋夾具的螺桿，螺栓聯(lián)接件的螺栓，但 不是直桿。3.3.1 軸向拉伸和壓縮的概念和實例 工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長或縮短。軸向拉伸與軸向受力特征：桿受一對大小相等、方向相反的縱向力, 力的作用線與桿軸線重合變形特征：沿軸線方向伸長或縮短, 橫截面沿軸線平行移動, 伴隨橫向收縮或膨脹。3.3.2 內(nèi)力的概念和截面法1. 內(nèi)力的概念 材料力學(xué)中所研究的內(nèi)力物體內(nèi)各質(zhì)點間原來

4、相互作用的力由于物體受外力作用而改變的量。根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設(shè)，內(nèi)力在物體內(nèi)連續(xù)分布。 通常把物體內(nèi)任一截面兩側(cè)相鄰部分之間分布內(nèi)力的合力和合力偶（主矢和主矩）簡稱為該截面上的內(nèi)力(實為分布內(nèi)力系的合成)。物體在受到外力作用而變形時, 其內(nèi)部各質(zhì)點間的相對位置將有變化。與此同時, 各質(zhì)點間相互作用的力也發(fā)生了改變。上述相互作用力由于物體受到外力作用而引起的改變量, 就是材料力學(xué)中所研究的內(nèi)力。內(nèi)力由于已假設(shè)物體是均勻連續(xù)的可變形固體, 因此在物體內(nèi)部相鄰部分之間相互作用的內(nèi)力, 實際上是一個連續(xù)分布的內(nèi)力系, 而將分布內(nèi)力系的合成(力或力偶), 簡稱為內(nèi)力。也就是說, 內(nèi)力是指由外力作用

5、所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成。2. 截面法 內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。v 截面法的基本步驟： 截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用 在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來 計算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時截開面上的內(nèi)力 對所留部分而言是外力）。3.3.3 軸向拉（壓）桿的內(nèi)力軸力、由外力作用產(chǎn)生的構(gòu)件各部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力。這個內(nèi)力是一個構(gòu)件內(nèi)兩部分間的相互作用力，是假想截開剖面上的分布力，不是集中

6、力這個分布力與外力平衡，本章外力與軸線重合，與之平衡的內(nèi)力也與軸線重合，這樣的內(nèi)力稱為軸力。上圖，桿件在F1、F2力作用下，截面上的軸力FN方向離開截面，又稱為拉力下圖，桿件在F3、F4力作用下，截面上的軸力FN方向指向截面，又稱為壓力軸力又分為拉力與壓力，拉力使桿件發(fā)生拉伸變形，壓力使桿件發(fā)生壓縮變形。工程力學(xué)規(guī)定：軸力的拉力一定是正值，軸力的壓力一定是負(fù)值對于二力平衡的桿件,不用畫截開段,不用列平衡方程,根據(jù)外力大小,方向,即知道軸力大小與正負(fù)符號對右圖所示多個外力作用下的桿件,任一截面軸力等于該截面一側(cè)所有外力代數(shù)和,同向相加,反向相減因為內(nèi)力是由外力引起的,外力離開該截面,使之拉伸變形

7、,產(chǎn)生正軸力靜力平衡條件 意義：任一截面軸力等于該截面任一側(cè)所有外力代數(shù)和正負(fù)號規(guī)定：外力Fi方向離開計算截面的為正值，指向計算截面的為負(fù)值 1=2=30 N 外力 平衡 內(nèi)力 分布力 截面 截面法 N=i 3=4=50 N 軸力正負(fù)號規(guī)定： 外力i方向離開計算截面的外力為正值 外力i方向指向計算截面的外力為負(fù)值在計算中，可以計算截面為界，用一張紙遮住該截面任一側(cè)，由露出一側(cè)的所有外力代數(shù)和計算軸力。v 如何畫軸力圖 為了形象表示桿件各截面的內(nèi)力大小和方向，要畫“軸力圖” 在受力圖下方畫一直線與桿軸線平行,并由受力圖各力作用點(不是計算軸力的截面)畫鉛垂線交直線分段按比例畫各段軸力的大小，正軸

8、力畫在直線的上方，負(fù)軸力畫在軸線的下方。這樣，可以一目了然地看出桿件沿軸線各截面，哪一段受拉？哪一段受壓？哪一段軸力最大？等等畫內(nèi)力圖要求：1. 內(nèi)力大小，按比例，標(biāo)數(shù)值2. 內(nèi)力方向，拉上壓下，標(biāo)“ ”號3. 外力作用點，軸力圖突變與外力作用點要上下對齊，軸力圖要畫在受力圖正下方已知：F1=90 N，F(xiàn)2=70 N,，F(xiàn)3=30 N 求：FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3 FN1=F1F2+F3 =9070+30 =+50 N FN2=F2+F3 =70+30 =40 N FN2=+F3=+30 N無論力矢量的箭頭畫得長短，力作用點均在圖示表示截面的直線上固定端約束力問題：由于用遮紙代數(shù)和方法，可以遮住

9、固定端，留外伸段，可以不計算固定端約束力已知：F1=90 N，F(xiàn)2=70 N,，F(xiàn)3=30 N，求：FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3解： FN1=F1F2+F3 =9070+30 =+50 N FN2=F2+F3 =70+30 =40 NFN2=+F3=+30 N上例題中，在每一段內(nèi)的不同截面的軸力相同，例AC段內(nèi)有無數(shù)個截面，各個截面的軸力都相同但兩段之間的軸力不同，例AC、CD、DB三段各截面軸力不同，也就是沿軸線方向各段的軸力不同為了形象表示桿件各截面的內(nèi)力大小和方向，要畫“軸力圖”在受力圖下方畫一直線與桿軸線平行,并由受力圖各力作用點(不是計算軸力的截面)畫鉛垂線交直線分段按比例畫各段軸力的大小

10、，正軸力畫在直線的上方，負(fù)軸力畫在軸線的下方，如圖3-6b這樣，可以一目了然地看出桿件沿軸線各截面，哪一段受拉？哪一段受壓？哪一段軸力最大？等等v 畫內(nèi)力圖要求：內(nèi)力大小，按比例，標(biāo)數(shù)值內(nèi)力方向，拉上壓下，標(biāo)“ ”號外力作用點，軸力圖突變與外力作用點要上下對齊，軸力圖要畫在受力圖正下方3.3.4 軸向拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力內(nèi)力是構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力系的合力，只求出內(nèi)力，還不能解決構(gòu)件的強度問題。例如，兩根材料相同、粗細(xì)不同的直桿，在相同的拉力作用下，隨著拉力的增加，細(xì)桿首先被拉斷，這說明桿件的強度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與截面的尺寸有關(guān)。為了研究構(gòu)件的強度問題，必須研究內(nèi)力在截面上的分布的規(guī)律。為

11、此引入應(yīng)力的概念。內(nèi)力在截面上的某點處分布集度，稱為該點的應(yīng)力。v 平面假設(shè)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線取一根等截面直桿，未受力之前，在桿的中部表面上畫許多與桿軸線平 行的縱線和與桿軸線垂直的橫線；然后 在桿的兩端施加一對軸向拉力 F，使桿 產(chǎn)生伸長變形，如圖 2-1(a)所示。由變 形后的情況可見，縱線仍為平行于軸線 的直線，各橫線仍為直線并垂直于軸 線，但產(chǎn)生了平行移動。橫線可以看成 是橫截面的周線，因此，根據(jù)橫線的變 形情況去推測桿內(nèi)部的變形，可以作出如下假 設(shè)： 變形前 為平 面的橫 截面 ，變形后仍為平面。這個假設(shè)稱為平截面假設(shè)或平面假設(shè) (plane a

12、ssumption)。 由平面假可知，兩個橫截面間所有縱向“纖維”的伸長是相同的，而這些“纖維”的原長相同，于是可推知它們的線應(yīng)變相同，這就是變形的幾何關(guān)系。 從平面假設(shè)可以判斷：（1） 所有縱向纖維伸長相等（2） 因材料均勻，故各纖維受力相等（3） 內(nèi)力均勻分布，各點正應(yīng)力相等，為常量1 應(yīng)力的概念設(shè)在某一受力構(gòu)件的截面上，圍繞點取為面積，上的內(nèi)力的合力為，這樣，在上內(nèi)力的平均集度定義為： 一般情況下，截面上的內(nèi)力并不是均勻分布的，因此平均應(yīng)力隨所取的大小而不同，當(dāng)時，上式的極限值，即為點的分布內(nèi)力集度，稱為點處的總應(yīng)力。是一矢量，通常把應(yīng)力分解成垂直于截面的分量和相切與截面的分量。由圖中的

13、關(guān)系可知。稱為正應(yīng)力，稱為剪應(yīng)力。在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，以Pa（帕）表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡這一單位甚小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）。 1kPa=103Pa,1Mpa=106Pa,1Gpa=109Pa。2 軸向拉（壓）時正應(yīng)力的計算公式1橫截面上的正應(yīng)力為觀察桿的拉伸變形現(xiàn)象，在桿表面上作出 縱、橫線。當(dāng)桿端加上一對軸向拉力后，桿上所有縱向線伸長相等，橫線與縱線保持垂直且仍為直線。由此作出變形的平面假設(shè)：桿件的橫截面，變形后仍為垂直于桿軸的平面。于是桿件任意兩個橫截面間的所有纖維，變形后的伸長相等。又因材料為連續(xù)均勻的，所以桿件橫截面上內(nèi)力

14、均布，且其方向垂直于橫截面 ，即橫截面上只有正應(yīng)力。于是橫截面上的正應(yīng)力為 =N/A （3.9） 式中N為橫截面上的軸力，A為橫截面面積；的符號規(guī)定與軸力的符號一致，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。在例3.4所示的鋼桿中，已知圓鋼桿的直徑分布為、，試求各段橫截面上由載荷引起的正應(yīng)力，1) 求內(nèi)力，例3.4中已求1-1、2-2、3-3各截面上的軸力為2) 求應(yīng)力。由公式（3.9），即可分別計算出1-1、2-2、3-3各截面上的應(yīng)力3.3.5 許用應(yīng)力和拉伸與壓縮時的強度條件1. 許用應(yīng)力機械設(shè)計或工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中允許零件或構(gòu)件承受的最大應(yīng)力值。要判定零件或構(gòu)件受載后的工作應(yīng)力過高或過低，需要預(yù)先確定一個

15、衡量的標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)就是許用應(yīng)力。凡是零件或構(gòu)件中的工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力時，這個零件或構(gòu)件在運轉(zhuǎn)中是安全的，否則就是不安全的。許用應(yīng)力是機械設(shè)計和工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的基本數(shù)據(jù)。在實際應(yīng)用中，許用應(yīng)力值一般由國家工程主管部門根據(jù)安全和經(jīng)濟的原則，按材料的強度、載荷、環(huán)境情況、加工質(zhì)量、計算精確度和零件或構(gòu)件的重要性等加以規(guī)定。v 對于任一種材料制成的構(gòu)件，工作時允許承受的最大應(yīng)力稱為材料的許用應(yīng)力，用s表示 。2. 拉（壓）強度條件為了使構(gòu)件不發(fā)生拉(壓)破壞，保證構(gòu)件安全工作的條件是：最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。這一條件稱為強度條件。max=Nmax/Av 根據(jù)強度條件，可以解決三類強度計

16、算問題:1、 強度校核：已知外載荷、桿件的各部分尺寸以及材料的許用應(yīng)力，檢驗危險截面的應(yīng)力是否滿足強度條件。 計算步驟一般是：確定危險截面，計算其工作應(yīng)力，檢驗是否滿足強度條件，max=Nmax/A2、 截面尺寸設(shè)計已知外載荷及材料的許用應(yīng)力值，根據(jù)強度條件設(shè)計桿件橫截面尺寸。 即滿足 A3、 確定許用載荷已知桿件的橫截面尺寸以及材料的許用應(yīng)力值，確定桿件或整個結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷。既確定桿件最大許用軸力 然后確定許可載荷。 3.3.6 軸向拉伸與壓縮時的變形和胡克定律在軸向拉力（或壓力）作用下，桿件產(chǎn)生軸向伸長（或縮短）的變形，稱為縱向變形。此外，由實驗可知，當(dāng)桿件產(chǎn)生縱向伸長時，桿件的橫

17、向尺寸還會產(chǎn)生縮??；當(dāng)桿件產(chǎn)生縱向縮短時，桿件的橫向尺寸會增大。橫向尺寸的變化稱為橫向變形。下面討論縱向變形和縱向應(yīng)變。1. 縱向變形v 絕對變形 桿件長度的伸長（縮短）量稱為絕對變形。以所示桿為例，設(shè)桿件原長為l ，受軸向外力P作用后，長度改變?yōu)閘 1，則桿的長度改變量為l反映了桿的總的縱向變形量，稱為桿的縱向變形。拉伸時l0，壓縮時l 0。2. 應(yīng)變v 相對變形 單位長度的變形稱為相對變形，也稱為線應(yīng)變。 桿件的絕對變形是與桿的原長有關(guān)的，因此，為了消除桿件原長度的影響，采用單位長度的變形量來度量桿件的變形程度，稱為縱向線應(yīng)變，用e表示。 對于均勻伸長的拉桿，有縱向線應(yīng)變e是無量綱量，其正

18、負(fù)號與l的相同，即在軸向拉伸時e為正值，稱為拉應(yīng)變；在壓縮時e為負(fù)值，稱為壓應(yīng)變。3. 胡克定律桿件的變形與其所受外力之間的關(guān)系，與材料的力學(xué)性能有關(guān)，只能由實驗獲得。實驗表明，當(dāng)軸向拉伸（壓縮）桿件橫截面上的正應(yīng)力s不大于某一極限值時，桿件的縱向變形量l 與軸力N及桿長l 成正比，而與橫截面面積A成反比，即引入比例常數(shù)E，則有只要應(yīng)力不超過某一極限值時，桿的軸向變形與軸向載荷成正比、與桿的長度成反比、與桿的橫截面面積成反比。這一關(guān)系稱為胡克定律。 4. 材料的彈性模量 帶入，得胡克定律的又一表達(dá)形式： 其中E稱為材料的彈性模量，它說明材料抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，其值隨材料而異，由實驗測定

19、。彈性模量E的單位與應(yīng)力單位相同，通常采用a、ka、MPa、GPa。 將 受力和長度相同的桿件，絕對變形l 和EA的乘積成反比，該乘積愈大，變形就愈小。它反映了桿件抵抗拉伸(壓縮)變形的能力，故EA稱為桿的抗拉(壓)剛度。 上式可簡述為：在彈性范圍內(nèi)，桿件上任一點的正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。5. 橫向變形（一）絕對變形 桿件橫向尺寸的縮?。ㄔ龃螅┝糠Q為橫向絕對變形，若以 d 表示，則 d =d1 d （二）相對變形 橫向單位長度的變形稱為橫向相對變形或橫向線應(yīng)應(yīng)變，若以 表示，則v 泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過某一限度時，同一種材料的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，即 稱為橫向變形系數(shù)或泊松比

20、，它是一個無量綱量，其值因材料而異，可由試驗測定。 由于 取絕對值，而 與 的正負(fù)號總是相反， 3.3.7材料拉（壓）時的力學(xué)性能 不同材料在受力時表現(xiàn)出的力學(xué)性能各不相同。材料的力學(xué)性能由試驗測定。低碳鋼(含碳量不大于0.25的碳素鋼)和鑄鐵是在力學(xué)性能上具有代表性的材料，本節(jié)主要介紹這兩種材料在常溫、靜載條件下軸向拉伸和壓縮時的力學(xué)性能。 材料的力學(xué)性能：（與材料自身性質(zhì)，加載方式，溫度條件有關(guān)）是材料在受力過程中表現(xiàn)出的各種物理性質(zhì)。 1 材料拉伸時的力學(xué)性能 按照國家標(biāo)準(zhǔn)金屬拉伸試驗試樣(GB639786)制成標(biāo)準(zhǔn)試件(圖6-7)。試件的幾何形狀和受力條件都符合軸向拉伸的要求。兩端加粗是便于夾裝和避免在裝夾部位發(fā)生破壞。在