13-度量空間的可分性與完備性(總11頁)

1、1.3 度量空間的可分性與完備性在實數(shù)空間中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間的可分性同時，實數(shù)空間還具有完備性，即中任何基本列必收斂于某實數(shù)現(xiàn)在我們將這些概念推廣到一般度量空間1.3.1 度量空間的可分性定義1.3.1 設(shè)是度量空間，如果中任意點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都含有的點(diǎn)，則稱在中稠密若，通常稱是的稠密子集注1：在中稠密并不意味著有例如有理數(shù)在無理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實數(shù)中稠密無理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無理數(shù)在實數(shù)中也是稠密的，說明任何兩個不相等的實數(shù)之間必有無限多個有理數(shù)也有無限多個無理數(shù)定理1.3.1 設(shè)是度量空間，下列命題等價：(1) 在中稠密；(2) ，使得；

2、(3) （其中，為的閉包，為的導(dǎo)集(聚點(diǎn)集)）；(4) 任取，有即由以中每一點(diǎn)為中心為半徑的開球組成的集合覆蓋證明 按照稠密、閉包及聚點(diǎn)等相關(guān)定義易得定理1.3.2 稠密集的傳遞性 設(shè)是度量空間，若在中稠密，在中稠密，則在中稠密證明 由定理1.1知，而是包含的最小閉集，所以，于是有，即在中稠密注2：利用維爾特拉斯定理可證得定理(Weierstrass多項式逼近定理) 閉區(qū)間上的每一個連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限(1)多項式函數(shù)集在連續(xù)函數(shù)空間中稠密參考其它資料可知：(2)連續(xù)函數(shù)空間在有界可測函數(shù)集中稠密(3)有界可測函數(shù)集在次冪可積函數(shù)空間中稠密()利用稠密集的傳遞性定理

3、1.3.2可得： (4)連續(xù)函數(shù)空間在次冪可積函數(shù)空間中稠密()因此有定義1.3.2 設(shè)是度量空間，如果存在點(diǎn)列，且在中稠密，則稱是可分點(diǎn)集(或稱可析點(diǎn)集)當(dāng)本身是可分點(diǎn)集時，稱是可分的度量空間注3：是可分的度量空間是指在中存在一個稠密的可列子集例1.3.1 歐氏空間是可分的坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)組成的子集構(gòu)成的一個可列稠密子集證明 設(shè)為中的有理數(shù)點(diǎn)集，顯然是可數(shù)集，下證在中稠密對于中任意一點(diǎn)，尋找中的點(diǎn)列，其中，使得由于有理數(shù)在實數(shù)中稠密，所以對于每一個實數(shù)()，存在有理數(shù)列.于是得到中的點(diǎn)列，其中，現(xiàn)證，由知，當(dāng)時，有，取，當(dāng)時，對于，都有，因此即，從而知在中稠密例1.3.2 連續(xù)函數(shù)空間是可分

4、的具有有理系數(shù)的多項式的全體在中稠密，而是可列集證明 顯然是可列集，由Weierstrass多項式逼近定理知，可表示成一致收斂的多項式的極限，即，存在(實系數(shù))多項式，使得另外，由有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項式，使得因此，即，在中任意點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)必有中的點(diǎn)，按照定義知在中稠密例1.3.3 次冪可積函數(shù)空間是可分的證明 由于在中稠密，又知在中稠密，便可知可數(shù)集在中稠密例1.3.4 次冪可和的數(shù)列空間是可分的證明 取，顯然等價于，可知可數(shù)，下面證在中稠密，有，因此，當(dāng)時，又因在中稠密，對每個()，存在，使得，于是得令，則因此在中稠密例1.3.5 設(shè)，則離散度量空間是不可分的證明 假設(shè)

5、是可分的，則必有可列子集在中稠密又知不是可列集，所以存在，取，則有即中不含中的點(diǎn)，與在中稠密相矛盾思考題: 離散度量空間可分的充要條件為是可列集注意：十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)可轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)：乘2取整法，即乘以2取整，順序排列，例如(0.625)10=(0.101)2 0.6252=1.25取1；0.252=0.50取0；0.52=1.00取1二進(jìn)制小數(shù)可轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后第一位為1則加上0.5(即1/2)，第二位為1則加上0.25(1/4)，第三位為1則加上0.125(1/8)以此類推即，例如(0.101)2=因此與子集對等，由不可數(shù)知不可列例1.3.6 有界數(shù)列空間是不可分的，對于，距離定義為

6、證明 考慮中的子集，則當(dāng),時，有因為中每一個實數(shù)可用二進(jìn)制表示，所以與一一對應(yīng)，故不可列假設(shè)可分，即存在一個可列稠密子集，以中每一點(diǎn)為心，以為半徑作開球，所有這樣的開球覆蓋，也覆蓋因可列，而不可列，則必有某開球內(nèi)含有的不同的點(diǎn)，設(shè)與是這樣的點(diǎn)，此開球中心為，于是矛盾，因此不可分1.3.2 度量空間的完備性實數(shù)空間中任何基本列(Cauchy列)必收斂即基本列和收斂列在中是等價的，現(xiàn)在將這些概念推廣到一般的度量空間定義1.3.3 基本列設(shè)是度量空間中的一個點(diǎn)列，若對任意，存在，當(dāng)時，有則稱是中的一個基本列(或Cauchy列）定理1.3.3 (基本列的性質(zhì)) 設(shè)是度量空間，則(1) 如果點(diǎn)列收斂，則

7、是基本列；(2) 如果點(diǎn)列是基本列，則有界；(3) 若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點(diǎn)證明 (1) 設(shè)，且則，當(dāng)時，從而，時，即得是基本列(2) 設(shè)為一基本列，則對，存在，當(dāng)時，有，記，那么對任意的，均有，即有界(3) 設(shè)為一基本列，且是的收斂子列，于是，當(dāng)時，；，當(dāng)時，取，則當(dāng)，時，從而有，故注4：上述定理1.3.3表明收斂列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收斂列嗎？例1.3.7 設(shè)，定義，那么度量空間的點(diǎn)列是的基本列，卻不是的收斂列證明 對于任意的，存在，使得，那么對于及，其中，有 ，即得是基本列顯然，故不是的收斂列 或者利用是上的基本列，可知，當(dāng)時

8、有 于是可知也是上的基本列如果一個空間中的基本列都收斂，那么在此空間中不必找出序列的極限，就可以判斷它是否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質(zhì)呢？是完備的度量空間定義1.3.4 完備性如果度量空間中的任何基本列都在中收斂，則稱是完備的度量空間例1.3.8 維歐氏空間是完備的度量空間證明 由中的點(diǎn)列收斂對應(yīng)于點(diǎn)的各坐標(biāo)收斂，以及的完備性易得例1.3.9 連續(xù)函數(shù)空間是完備的度量空間(距離的定義：)證明 設(shè)是中的基本列，即任給,存在，當(dāng)時，即故對所有的,，由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則，知存在連續(xù)函數(shù)，使在上一致收斂于，即,且.因此完備例1.3.10 設(shè)，定義，那么不是完備的度量空間(注意到例1.3.

9、9結(jié)論完備) 證明 設(shè)的圖形如圖1.3.1所示顯然，因為是下面右圖中的三角形面積，所以，當(dāng)時，有， 圖1.3.1 圖像及有關(guān)積分示意圖于是是的基本列下面證在中不收斂若存在，使得由于，顯然上式右邊的三個積分均非負(fù)，因此時，每個積分均趨于零推得可見不連續(xù)，故在中不收斂，即在距離下不完備表1.3.1 常用空間的可分性與完備性度量空間距離可分性完備性維歐氏空間離散度量空間可數(shù)不可數(shù)連續(xù)函數(shù)空間有界數(shù)列空間次冪可和的數(shù)列空間次冪可積函數(shù)空間由于有理數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)集是可列的，以及在、以及中稠密，可知閉區(qū)間上多項式函數(shù)集、連續(xù)函數(shù)集、有界可測函數(shù)集、次冪可積函數(shù)集均是可分的前面的例子說明維歐氏空間以及次

10、冪可和的數(shù)列空間也是可分空間，而有界數(shù)列空間和不可數(shù)集對應(yīng)的離散度量空間是不可分的從上面的例子及證明可知，維歐氏空間是完備的度量空間，但是按照歐氏距離卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間是完備的度量空間，但是在積分定義的距離下，卻不完備由于離散度量空間中的任何一個基本列只是同一個元素的無限重復(fù)組成的點(diǎn)列，所以它是完備的我們還可以證明次冪可和的數(shù)列空間是完備的度量空間，次冪可積函數(shù)空間是完備的度量空間，有界數(shù)列空間的完備性通常所涉及到的空間可分性與完備性如表1.3.3所示在度量空間中也有類似于表示實數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理定理1.3.4 (閉球套定理)設(shè)是完備的度量空間，是一套閉球：如果

11、球的半徑，那么存在唯一的點(diǎn)證明 (1)球心組成的點(diǎn)列為的基本列當(dāng)時，有()，可得 (2.4),取，當(dāng)時，使得，于是當(dāng)時，有，所以為的基本列 (2)的存在性由于是完備的度量空間，所以存在點(diǎn)，使得令(2.4)式中的，可得即知，因此(3) 的唯一性設(shè)還存在，滿足，那么對于任意的，有，從而，于是注4：完備度量空間的另一種刻畫：設(shè)是一度量空間，那么是完備的當(dāng)且僅當(dāng)對于中的任何一套閉球：，其中，當(dāng)半徑，必存在唯一的點(diǎn)大家知道，可見有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點(diǎn)以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用對于一般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用那么是否對于任一不完備的度量空間都可以添加一些點(diǎn)使之成為完備的度量空間呢？下面的結(jié)論給出了肯定的回答定義1.3.5 等距映射設(shè)，是度量空間，如果存在一一映射，使得，有，則稱是到上的等距映射，與是等距空間(或等距同構(gòu)空間)注5：從距離的角度看兩個等距的度量空間，至多是兩個空間里的屬性不同，是同一空間的兩個不同模型另外度量空間中的元素沒有運(yùn)算，與相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，通過等距映射，使之在中同樣成立因此把等距同構(gòu)的和可不加區(qū)別而看成同一空間定義1.3.6 完備化空間設(shè)是一度量空間，是一完備的度量空間，如果中含有與等