彈性力學第十一章彈性力學的變分原理

1、第十一章 彈性力學的變分原理1#知識點#靜力可能的應力 彈性體的功能關系 功的互等定理 彈性體的總勢能 虛應力 應變余能函數(shù) 應力變分方程 最小余能原理的近似解法 扭轉問題最小余能近似解 有限元原理與變分原理 有限元原理的基本概念 有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢能原理瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法伽遼金(anQpKUH )法最小余能原理 平面問題最小余能近似解 基于最小勢能原理的近似計算方法 基于最小余能原理的近似計算方法 有限元單元分析一、內容介紹由于偏微分方程邊值問題的求解在數(shù)學上的困難，因此對于彈性力學問題， 只能采用半逆解方法得到個別問題解答。 一般問

2、題的求解是十分困難的， 甚至是 不可能的。因此，開發(fā)彈性力學的數(shù)值或者近似解法就具有極為重要的作用。變分原理就是一種最有成效的近似解法，就其本質而言，是把彈性力學的基 本方程的定解問題， 轉換為求解泛函的極值或者駐值問題， 這樣就將基本方程由 偏微分方程的邊值問題轉換為線性代數(shù)方程組。 變分原理不僅是彈性力學近似解 法的基礎，而且也是數(shù)值計算方法，例如有限元方法等的理論基礎。本章將系統(tǒng)地介紹最小勢能原理和最小余能原理， 并且應用變分原理求解彈 性力學問題。最后，將介紹有限元方法的基本概念。本章內容要求學習變分法數(shù)學基礎知識，如果你沒有學過上述課程，請學習 附錄3或者查閱參考資料。、重點1幾何可

3、能的位移和靜力可能的應力； 2、彈性體的虛功原理；3、 最小勢能原理及其應用；4、最小余能原理及其應用；5、有限元原理 的基本概念。11.1彈性變形體的功能原理學習思路：本節(jié)討論彈性體的功能原理。能量原理為彈性力學開拓了新的求解思路，使得基本方程由數(shù)學上求解困難的偏微分方程邊值問題轉化為代數(shù)方程組。而功能關系是能量原理的基礎。首先建立靜力可能的應力：，和幾何可能的位移概念；靜力可能的應力和幾何可能的位移；可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀 態(tài)，二者彼此獨立而且無任何關系。建立彈性體的功能關系。功能關系可以描述為：對于彈性體，外力在任意一 組幾何可能的位移上所做的功，等于任意一組靜力

4、可能的應力在與上述幾何可能 的位移對應的應變分量上所做的功。學習要點：1、靜力可能的應力；2、幾何可能的位移；3、彈性體的功能關系；4、真實應力和位移分量表達的功能關系。1、靜力可能的應力假設彈性變形體的體積為 V，包圍此體積的表面積為S。表面積為S可以分 為兩部分所組成：一部分是表面積的位移給定，稱為Su；另外一部分是表面積的 面力給定，稱為S 0如圖所示顯然S=Su+Sc假設有一組應力分量G在彈性體內部滿足平衡微分方程Q川倫=在面力已知的邊界S二，滿足面力邊界條件坊二S這一組應力分量稱為靜力可能的應力。靜力可能的應力未必是真實的應力， 因為真實的應力還必須滿足應力表達的變形協(xié)調方程，但是真

5、實的應力分量必然 是靜力可能的應力。為了區(qū)別于真實的應力分量，我們用表示靜力可能的應力分量。2、幾何可能的位移假設有一組位移分量Ui和與其對應的應變分量；ij，它們在彈性體內部滿足幾 何方程在位移已知的邊界Su上，滿足位移邊界條件這一組位移稱為幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實的位移，因為 真實的位移還必須在彈性體內部滿足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的邊界S匚上，必須滿足以位移表示的面力邊界條件。但是，真實的位移必然是幾何 可能的。為了區(qū)別于真實的位移，用；表示幾何可能的位移。幾何可能的位移產(chǎn)生的應變分量記作二3、彈性體的功能關系對于上述的靜力可能的應力，、幾何可能的位移；以及其對

6、應的應變分 量，設Fbi和Fs分別表示物體單位體積的體力和單位面積的面力（面力也 包括在位移邊界S的約束反力）。則不難證明，有以下恒等式證明：由于匚和二滿足幾何方程，而且應力），是對稱的，所以將上式代入等式的右邊，并且利用高斯積分公式，可得由于），滿足面力邊界條件，上式的第一個積分為由于），滿足平衡微分方程，所以第二個積分為JJJ 嗎H西二-JJJ 恥Wyv將上述結果回代，可以證明公式 JH耳諾非+ff瞪述砒二歸冷d卩 為恒等F5F式04、真實應力和位移分量表達的功能關系公式揭示了彈性體的功能關系。S7功能關系可以描述為：對于彈性體，外力在任意一組幾何可能位移上所做的 功，等于任意一組靜力可能

7、應力在上述幾何可能位移對應的應變分量上所做的 功。這里需要強調指出的是：對于功能關系的證明，沒有涉及材料的性質，因此 適用于任何材料。當然，證明時使用了小變形假設，因此必須是滿足小變形條件。 其次，功能關系中，靜力可能的應力 ),、幾何可能的位移以及其對應的 應變分量J，可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼 此獨立而且無任何關系。假如靜力可能的應力和幾何可能的應變分量滿足材料本構方程時，則 對應的靜力可能的應力，和幾何可能的位移廠以及其對應的應變分量 二均成 為真實的應力，位移和應變分量。對于真實的應力，位移和應變分量，功能關系 為JfJ心二-皿恥:M顯然這是應變能表達式。

8、不過在應變能公式中，假設外力，即體力和面力是 由零緩慢地增加到最后的數(shù)值的，因此應變能關系式中有1/2。而在功能關系公式的推導中，并沒有這一加載限制。功能關系是彈性力學中的一個普遍的能量關系，這一原理將用于推導其它的 彈性力學變分原理。11.2變形體的虛功原理學習思路：本節(jié)討論的重點是彈性體的虛功原理。首先定義虛位移概念，通過將幾何可能的位移定義為真實位移與虛位移的 和，可以確定虛位移是位移邊界條件所容許的位移微小改變量。對于虛位移所產(chǎn)生的虛應變，記作、：；ij 。根據(jù)彈性體的功能關系，可以得到虛功方程表達式W = U。虛功方程的意義為：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，外力在虛位移上所 做的虛

9、功，等于真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。這就是虛功原理。虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿足了靜力平衡的要求。學習要點：1、虛位移與虛應變；2、虛功原理；3、虛功原理的意義。1、虛位移與虛應變功是指力與力作用點處沿力方向位移的乘積。顯然，功包括力和位移兩個基 本量。如果力或者應力在其自身引起的真實位移或者應變上作功， 這種功稱為實 功；如果力或者應力在其他某種原因引起的微小位移或者應變上作功， 這種功稱 為虛功。設幾何可能的位移為這里Ui為真實位移，稱為虛位移。虛位移是位移邊界條件所容許的位移 的微小改變量。由于幾何可能的位移在邊界 Su上，應該滿足位移邊界條件

10、，因 此，邊界Su,有6 ui=0將幾何可能位移公式代入幾何方程代=+（唸 +肚；J 二扣,jJ *扣 % j + % J顯然，上式右邊的第一項是真實應變，而第二項是虛位移所產(chǎn)生的虛應變， 記作；j。因此，上式可以寫作幾何可能的位移對應的應變可以用真實應變與虛位移所產(chǎn)生的虛應變之和 表示。2、虛功原理如果用虛位移表達的幾何可能位移 11丄、和真實應力作為靜力可能應力代入功能關系表達式JJJ恥W叩恥隅訂JJn詞少，注意到V$卩真實應力和位移是滿足功能關系的，因此可以得到用虛位移Ui和虛應變；ij表達的虛功方程jjjXq坷少町j兀q塢3訂中輕上式中應力分量為實際應力。注意到在位移邊界Su上，虛位移

11、是恒等于零的, 所以在上述面積分中僅需要在面力邊界 S：土完成。就力學意義而言，虛功原理表達式的等號的左邊為外力在虛位移中所做的 功，稱為外力虛功:W ;右邊為應力分量在虛位移對應的虛應變上產(chǎn)生的應變能, 稱為虛應變能:U。即根據(jù)上述分析，可以得出結論：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，對于滿 足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應變而言， 外力在虛位移上所做的虛功，等于真 實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。這就是虛功原理。3、虛功原理的意義jfj+ 時 = JjJ樂磯dV對于虛功方程，其右邊的積分可以寫作吩嘰+吟丿爐斗飆啟聲+訓5（叫）評F =JJH（池）聲=jjj （澎地）,聲-JJ

12、X 肌dr=JJ 叩 2 訶-jjj% / 堆 av上式在推導中應用了在位移邊界 Su上，0的邊界條件。現(xiàn)在將上式回 代到虛功方程，整理可得力廠十 J| （兀 一込 dS= 0因為虛位移、7i是任意的，因此上式的成立，要求在彈性體內在位移已知邊界Su上，有 二 M顯然，虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿足了靜力平衡的 要求。應該指出：虛功原理的推導并沒有涉及任何材料性質，因此適用于任何材 料。當然，由于使用了小變形假設，即線性的幾何方程，因此虛功原理必須是在 小變形條件下適用于任何材料。除此以外應力和應變分量之間不需要滿足任何關 系。11.3功的互等定理學習思路:本節(jié)討論功的互等定

13、理。定理的證明比較簡單，將功能方程應用于同一彈性 體的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，則可以得到功的互等定理。它是彈性體功能原 理的另一種應用形式。功的互等定理可以描述為：作用在彈性體上的第一種狀態(tài)的外力，包括體力 和面力，在第二種狀態(tài)外力對應的位移上所做的功為例， 等于第二種狀態(tài)的外力 在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。功的互等定理是一個十分重要的力學概念。 它的應用可以幫助我們推導和理 解有關的有關的力學公式和概念，同時也可以直接用于求解某些彈性力學問題。學習要點：1、功的互等定理1、功的互等定理如果將功能方程工附二L 一 II匚 應用于同一彈性體VSV的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，貝冋以得到功的

14、互等定理。假設第一種狀態(tài)的體力為在面力邊界S；：上的面力為，在位移已知的 邊界Su的位移為“，彈性體內部的應力，應變和位移分別為 。；第二種狀態(tài)的體力，面力，應力，應變和位移分別為，八， 曠辦 咗, 時。由于兩種狀態(tài)的應力和應變分量都是真實解，所以它們當然 也就是靜力可能的和幾何可能的?，F(xiàn)在把第一種狀態(tài)的應力作為靜力可能的應力，而把第二種狀態(tài)的位移和應 變作為幾何可能的位移和應變。將上述兩種狀態(tài)的應力和位移分別代入功能方 程，有JJJ時和帆擄血二山”銳V同理，把第二種狀態(tài)的應力取為靜力可能的應力，而把第一種狀態(tài)的位移和 應變作為幾何可能的位移和應變分別代入功能方程，有JJJ吊期7 + 口巧諾心

15、JJJ或邙了對于上述公式的右邊，由于JJJ處斥加二JjJ b；可W|j （兄*：+2應用）莎 y八*所以d +JJ FdS -5上式稱為功的互等定理。功的互等定理可以敘述為：作用在彈性體上的第一 種狀態(tài)的外力，包括體力和面力，在第二種狀態(tài)對應的位移上所做的功等于第二 種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。功的互等定理是一個十分重要的力學概念。主要用于推導有關的力學公式， 也可以直接用于求解力學問題。11.4位移變分方程-最小勢能原理學習要點：本節(jié)討論最小勢能原理。首先根據(jù)虛功原理推導應變能的一階變分表達式， 然后根據(jù)任意幾何可能位移場與真實位移場的總勢能的關系，得到真實位移場的 總勢能

16、取最小值的結論。最小勢能原理用數(shù)學方程描述：總勢能的一階變分為零，而且二階變分大于 零。最小勢能原理等價于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力邊界 條件，所以，對于一些按實際情況簡化后的彈性力學問題，可以通過最小勢能原理推導出其對應的平衡微分方程和面力邊界條件。本節(jié)通過例題對此作了說 明。推導中設應變能密度函數(shù)是應變分量的函數(shù)，因此最小勢能原理是位移解法 在變分原理中的應用。進入本節(jié)內容學習之前，應該首先學習有關泛函和變分的基礎知識。學習思路：1、總勢能；2、總勢能的變分；3、最小勢能原理；4、最小勢能 原理推導彎曲問題的平衡微分方程和面力邊界條件； 5、最小勢 能原理推導扭轉問題的平衡

17、微分方程和面力邊界條件 。1、總勢能下面根據(jù)虛功方程推導僅應用于彈性體的最小勢能原理。設應變能密度函數(shù)是應變分量的函數(shù)，則應變能密度函數(shù)的一階變分為%au0上式推導中，應用了格林公式 二一,，將上式代入虛功方程，則%JJj+ 恥掩 dAjJJ 冋dF二 叩J W 二 SUVVV上式表示外力虛功等于彈性體應變能的一階變分。定義外力勢能為= -fj恥聲注意到虛位移與真實的應力無關，因此在虛位移過程中外力保持不變，即變 分與外力無關。而且積分和變分兩種運算次序可以交換的，所以外力勢能的一階 變分可以寫作斷二-JJF.S 嗎 AV - J耳0 碼 dS回代可得1- 117其中Et稱為總勢能，它是應變分

18、量的泛函。由于應變分量通過幾何方程可 以用位移分量表示，所以總勢能又是位移分量的泛函。&訂卩加5恥dA皿公式表明，在所有幾何可能的位移中，真實位移將使彈性體總勢能的一階變 分為零，因此真實位移使總勢能取駐值。2、總勢能的變分10以下證明：對于彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，總勢能將取最小值。將幾何可能位移對應的應變代入總勢能表達式，可以得到幾何可能位移對應 的總勢能耳（冷）=JJJ %（% +凡仏 + Suav- JJ 碼仇 +將上式減去真實應變分量的總勢能，可得珥）-兀（用）叮卩網(wǎng)為+堀）-5（唧療-JJJ見呢少-JJ FdS將按泰勒級數(shù)展開，并略去二階以上的小量，有orr Q2r7入傀）+刃。傀）+

19、g旳。（氣）%（令+蜩）討佔）+材唸七農(nóng)幅甌 二冋）+卩（）4土警砥=回代可得叭）弋剛訕網(wǎng)紛+紳）押-焉訶訕陰吐甌+瑁由于總勢能的一階變分為零，因此瓦（毎）-瓦（X）二靜瓦3、最小勢能原理總勢能的二階變分為滬九二JIR昵J”弓nr f ?遙碣1卩y2滬堀喝由于382Ud2（y.護% 二拆屁擔-（）&. = &T- $-. = 2Ua （&.） 3導孤厲3務血u 0 17由于應變能密度函數(shù)為正定函數(shù)，即只有在所有的應變分量全部為零時其才可能 為零，否則總是大于零的，因此S2Ua = 2UC （&. ） 0所以以上證明了在所有的可能位移場中，真實位移場的總勢能取最小值。所以這 一原理稱為最小勢能原

20、理。數(shù)學描述即總勢能的一階變分為零，而且二階變分是 正定的(大于零)。必須強調指出的是，真實位移與其他的可能位移之間的差別在于是否滿足靜 力平衡條件，所以說最小勢能原理是用變分形式表達的平衡條件。通過總勢能的一階變分為零，可以推導出平衡微分方程和面力邊界條件，這 和虛功原理是相同的，即最小勢能原理也等價于平衡微分方程和面力邊界條件。虛功原理和最小勢能原理之間的差別在于：虛功原理不涉及本構關系，適用 于任何材料，只要滿足小變形條件；最小勢能原理除了小變形條件之外， 還需要 滿足應變能密度函數(shù)表達的本構關系，因此僅限于線性和非線性彈性體。最后，將最小勢能原理完整的敘述為：在所有幾何可能位移中，真實

21、位移使 得總勢能取最小值。該方法是以位移函數(shù)作為基本未知量求解彈性力學問題的。 當然，選擇的位移函數(shù)必須是在位移已知的邊界上滿足位移邊界條件，對于面力邊界是不需要考慮的，因為面力邊界條件是會自動滿足的。4、最小勢能原理推導彎曲問題的平衡微分方程和面力邊界條件例2：圖示直梁，分布載荷q(x)作用在軸線所在的鉛垂平面內。用最小勢能 原理推導問題的平衡微分方程和面力邊界條件。解：該梁為超靜定結構。在梁的端面，施加適當?shù)募s束使梁不能產(chǎn)生剛體位 移，施加適當?shù)募袅蛷澗?，使梁保持平衡。設w(x)表示梁的撓度，表示梁軸線變形后的曲率半徑，則梁的應變能為12#由于L ，并且注意到對于小變形問題,所以上式可以

22、寫作#本問題的面力邊界為梁的上下表面，作用分布載荷q（x），則外力功為梁的總勢能為心3（獸）也寸耐寸乎磐j舐對上式作一階變分并且令其為零，有輒二 一 | 7$（dx -= 02 旅Q訶獸（畔）吋診獸畑） 卜等（瘵+荻嚅）t+皓,w)dx整理可得迢二町霧（畔）廿腳壬獸dx dxox （b）：；+卩為（町貯）-g冊舐=因此d2-葫血歹mm爍=0，鈿沁二0,x=i酊牛二0dx円上述關系式的第1式即問題的平衡方程，第以上根據(jù)最小勢能原理推導出梁的彎曲問題對應的平衡微分方程和面力邊 界條件。2, 3和4式為梁邊界條件。5、最小勢能原理推導扭轉問題的平衡微分方程和面力邊界條件。例3：應用最小勢能原理推導柱

23、體扭轉問題的基本方程和邊界條件。1415解：對于柱體扭轉的位移解法，位移分量用扭轉翹曲函數(shù)表示為u - -pv = xz?w 二訶 = 0,(在端面S內部耕-yl + xm = Oj (在橫截面邊界C上 氐 3y顯然，這和第九章中導出的扭轉函數(shù)所要滿足的平衡微分方程和面力邊界條 件是相同的。11.5最小勢能原理的應用學習要點：最小勢能原理是彈性力學問題近似解法的基礎。這一原理要應用于實際問題，必須有對應的求解方法。首先建立以級數(shù)形式表達的位移試函數(shù)， 選擇的位移試函數(shù)必須滿足位移邊界條件，它是幾何可能的。根據(jù)位移試函數(shù)可以確定應變分量以及總勢能 Et的 表達式。注意到總勢能Et原為位移的泛函，

24、寫作成為待定系數(shù) Am,Bm和Cm的二 次函數(shù)。這樣就把求解泛函的駐值問題，轉化成為求解函數(shù)的極值問題。根據(jù)上述原則推導的近似解法稱為瑞利-里茨法。如果選擇的位移試函數(shù)不僅滿足位移邊界條件，而且滿足面力邊界條件，則求解公式將進一步簡化。稱為伽遼金法最后舉例說明瑞利-里茨法和伽遼金法的應用。學習思路：1、位移試函數(shù)；2、瑞利-里茨法；3、伽遼金法；4、簡支梁彎曲問 題；5、矩形板；6扭轉問題。1、位移試函數(shù)最小勢能原理的主要用途并非推導平衡微分方程和面力邊界條件，它是彈性力學問題近似解法的基礎。如果要使得某個原理要應用于實際問題， 必須有對應 的求解方法。本節(jié)介紹基于最小勢能原理的兩種近似解法：

25、瑞利-里茨（Rayleigh-Ritz）法和伽遼金（ranep 法u h根據(jù)最小勢能原理，如果能夠列出所有的幾何可能位移，那么使總勢能ni取最小值的那一組位移就是真實位移。問題是列出所有幾何可能的位移是非常困 難的，甚至是不可能的。因此，對于實際問題的計算，只能憑借經(jīng)驗和直覺縮小尋找范圍，在這個范 圍內的一族幾何可能的位移中，找到一組位移使得總勢能Et最小。雖然這一組位移一般的說并不是真實的，但是可以肯定，它是在這個縮小的 給定范圍內部，與真實位移最為接近的一組位移，由此解答可以作為近似解。從上述思想出發(fā)，在一般情況下，可以將位移分量選擇為如下的形式奴龍J憶）=冷（工工）+工 厶屛楓（X憶），

26、V（龍疋）=*（兀兒迂）+ y 3 J囂龍丿工），mW（忑兒Z）二W口（兀兒E）+工（嘉兒刀，其中，Am，Bm和Cm均為任意的常數(shù)；UO，V0和W0以及Um，Vm和Wm都是坐標的已知函數(shù)，并且在位移邊界 Su上，有知二 v0 = V, %=詡 和 = 0,= Oj= 0這樣構造的位移試函數(shù)，不論系數(shù) Am，Bm和Cm取何值，總是滿足位移邊界 條件的。而且對于連續(xù)函數(shù)，必然滿足幾何方程。因此滿足幾何可能位移的條件。2、瑞利-里茨法現(xiàn)在的問題是將要如何選擇待定系數(shù) Am，Bm和Cm,使得總勢能口1在位移 表達式表示的這一族位移中取最小值。為此，將位移表達式代入幾何方程求得應變分量，然后代入總勢能n

27、1的表達式，注意到應變能密度函數(shù)是應變分量的齊二次函數(shù)，因此總勢能n1表達式的第一個積分成為待定系數(shù) Am，Bm和Cm的齊二次函數(shù)，而第二和第三個積分 為Am，Bm和Cm的一次函數(shù)。于是，總勢能 Et原本是自變函數(shù)的泛函，現(xiàn)在成 為待定系數(shù)Am， Bm和Cm的二次函數(shù)。這樣就把求解泛函的極值問題，轉化成為求解函數(shù)的極值問題?？倓菽蹺t取極值的條件為dEt “dEt9Et=0,1二0，t二09A退監(jiān)總勢能Et取極值的條件又可以寫作久吐0恥少=o制j加JJJ恥少二oVV5c命山 SdJi 民dJJ 聊MS 二00TJ曠上述公式是一組以Am, Bm和Cm （m=1, 2, 3）為未知數(shù)的線性非齊次代

28、 數(shù)方程組，求解方程可得待定系數(shù)，回代就可以得到近似位移解答。 這一方法稱 為瑞利一里茨法。3、伽遼金法下面討論伽遼金（ranep）k法。h注意到應變能的一階變分可以寫作史二 JJJ 陽&聲二 jJJ Cr/（U!j； + 毆 Jd卩VV=JJJ丐他川心JU （耶吩聲Iff 5打九e=JJ知J盹船-皿竹,孕將上式回代最小勢能原理，整理可得JJJ 5打+凡）叫臚+jj （忑-b內一疋嗎d$二0 F%如果選擇的位移試函數(shù)不僅在位移邊界上滿足位移邊界條件， 而且在面力邊界上 滿足面力邊界條件，即位移試函數(shù)滿足全部的邊界條件， 則上式可以進一步簡化 為ff （嘰+只用二0上式展開可以寫作B3crdr

29、dr宀dav drv+ +蛻）九+ （一 +f 8x dy 8z a V dx 妙 3z+ 旦 + 瓦）s wdr = 0dx dy dz將位移函數(shù)表達式代入幾何方程求得應變分量，再根據(jù)物理方程求出應力分量代 入上式，并且注意到九二為比鞏， 磯二ZX隔， 恥二工叫化MMSV+忌九氓+（牛*詈+字+ ）%眼將上述結果代入虛功方程，可得+ （字+字+孕+懇）叫心do EK（fe由于:Am,Bm和Cm彼此獨立而且是完全任意的，所以上式成立的條件為0燈號+答5心3 cfi十亠+ 土嘰）心X由于應力分量為Am， 的線性非齊次代數(shù)方程組。 這種方法稱為伽遼金法。Bm和Cm的線性函數(shù)，所以上述公式為 Am，

30、 Bm和Cm 解出待定系數(shù)代入公式就得到位移函數(shù)的近似解答，4、簡支梁彎曲問題例4:兩端簡支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示。試求解梁的撓度w（ X）。19解：首先使用瑞利一里茨法求解。為了滿足梁的位移邊界條件，即簡支梁兩端的約束條件：在x=0和I處,w=0,取位移試函數(shù)，即撓曲線方程為 /M7DC sin#問題的總勢能為T（嚴”Ein疔?m,c即#伽為奇數(shù)（燉為奇數(shù)所以（陽為奇數(shù)=0帥為奇數(shù)回代到位移公式，可得撓曲線表達式是無窮級數(shù)，它給出了本問題的精確解答。這個級數(shù)收斂很快, 只要取少數(shù)幾項就可以得到足夠的精度。最大撓度在梁的中點，即 ,處, 因此一他 1 + 1、%二而（1-薩與

31、-）76.65719如果取一項，有這一結果與精確值十分接近。所以由于上述位移試函數(shù)表示的撓曲線方程在求二階導數(shù)后仍為正弦函數(shù), 二階導數(shù)在x=0和x=l處仍舊為零。本問題的靜力邊界條件是梁的絞支處彎矩為 0,所以該表達式也滿足面力邊 界條件，因此這一試函數(shù)也可以應用于伽遼金法求解。注意到*J*-qjsin一ox =u0將位移試函數(shù)公式代入上式并且積分，可以得到與瑞利一里茨法相同的結果。5、矩形板例5:圖示矩形薄板，四邊固定，受有平行于板面的體力作用。設坐標軸如 圖所示，試用瑞利一里茨法求解。解：設位移試函數(shù)為v vabv =SU1 SU1 T nQb上式中m和n為正整數(shù)，在邊界x=0， a，和

32、y=0， b上, u=v=0，所以試函數(shù)滿 足位移邊界條件。由于問題屬于平面應力問題，所以屯尸色尸+2卩型豈十匕dx &y222#因此#du _ 瓦72(1)譏.3v d du17 2理，-（竺）+ 2匕、+ 2討二亠（竺）弋-巧（色+屯）2（色+竺）矗E 常：一加3 “3以一加3 “3叭du d竺二 ft RSBm 2（1-護）制 1+ 2圧丄即嘰9x/dxox()+ 2() + 2v()dx 卽 dy dx dBKK 卽丄(豈*沁比卯將位移試函數(shù)代入上述公式求導數(shù)后再積分，并且注意到方程dU r廠 附趙.nicy .t= I I K. smsin ckdy9A It abdU.加jdc .

33、t .SBaburn Q 0r麗Hi z叫平稠0 0d_r.聊tdc ,厲阿-t=| ?bv sinsinaxqy丈積分即可以求得待定系數(shù)Amn和ab(11/ ) Q. +1/)譏a b由此可見，只要體力的分布是已知的，通過積分即可以求得待定系數(shù)Bmn，從而位移分量可以求解，根據(jù)幾何方程可以得到應變分量，再由物理方程 求出應力分量。例6 :圖示矩形薄，板，三邊固定，而另外一條邊的位移給定為 u = 0, v = -?7 sin ,受有平行于板面的體力作用。設坐標軸如圖所示,試用伽遼金法求解解：設位移試函數(shù)為siiimiD：23#mice,ZZ7TV sinv = -7sin + Bsinb a

34、 24位移試函數(shù)滿足位移邊界條件。由于問題沒有面力邊界條件，因此我們可以認為位移試函數(shù)滿足面力邊界條件，即可以采用伽遼金方法求解。由于問題屬于 平面應力問題，有fit 0 0嚴比十1-v9 (1 ，)(時0 0將位移試函數(shù)代入上式，積分后可得En2ab44屮Q) * 2(12)FQ-/)2/(1+F脈 sinsindxdya bc . jftTDC . nm - rB腳 sinsin dxdy +a25Er/2d2(l + i/)Q 0F * tdc . ntiix . nm ,. sin smsindxaj/ba a b積分后，求解關于 Amn和Bmn的線性方程組則問題可解。如果=0，貝則可

35、題與例5完全相同。本問題當然可以采用瑞利一里茨法求解。但是，一般的講，使用伽遼金法求 解相對的工作量要小一些。6、扭轉問題例7:應用瑞利一里茨法求解橢圓截面柱體和矩形截面柱體的扭轉函數(shù)門(x,y)。解：柱體的扭轉冋題歸結為求解變分方程，其中 Io由公式確定。對于橢圓截面柱體，根據(jù)其扭轉時橫截面的翹曲情況，設扭轉函數(shù)為門（X,y） =Axy。其中A為任意常數(shù)。將上式代入公式，積分后可得Io本來是泛函，它取極值的必要條件是一階變分為零， 但現(xiàn)在Io是A的函數(shù), 其取極值的必要條件為獨二(/ + l)a2 + (A -l)i2 二 0所以因此對于矩形截面桿，同樣根據(jù)橫截面的翹曲，設扭轉函數(shù)為血S）二

36、期+卯-Dx3y將上式代入公式，積分后可得10 二*護（*+4擰（?4牛）+也怙（北+1尸 +|a（Z-l）C +QQOQ-a3*3 （j4+1）C + - asb（A +1）D + - a3b3 （* 一 1） D + - q呼（/ +ba）DC*3、3d所以並譏色毛匹二0dAdB9C求解可得A _ _7(瀘-護)+13北醬(a2 -b2)一麗 +護)+107卅，(謳+歹) C_7屮(3/ +35bj) 21(屮 +&fi) + 321oada(za *護)A_7護(35云 +3 護) 21(a5 +i6) +321( +ha)將上述待定系數(shù)代入公式，可得扭矩為16GV105(a4 +&*)

37、 + 1234a26a45(? +i2)7(a4 +i4) +1007?df最大切應力發(fā)生在長邊的中點，即|=(a= Ga p(l + 4 + Da2) = G 卿F=5161a4 +747afl6a +425437(a6 +i6) + 107aV(aa +6a)上述結果與精確解很接近 11.6應力變分方程-最小余能原理學習思路：如果設能量為應力分量的泛函，則可以得到應變余能的定義。將靜力可能的應力表示為真實應力與虛應力、或者說應力變分之和。根據(jù)定 義，虛應力滿足無體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件。將應力試函數(shù)代入功能方程，并且用真實位移替代幾何可能的位移，就可以得到應力變分方程 -最

38、小余能原理。對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實應力使總余能取最小值。這一關系稱為最小余能 原理。應力變分方程或者最小余能原理應該是等價于以應力分量表示的變形協(xié)調 方程和位移邊界條件。應力變分的實質就是引入應力解法于能量原理，因此對于多連域問題，還有 位移單值連續(xù)條件需要考慮，這將導致問題十分復雜。學習要點：1、應變余能函數(shù)；2、虛應力；3、應力變分方程；4、最小余能原理1、應變余能函數(shù)首先介紹有關應變余能的概念。以單向拉伸為例，設單向拉伸應力為c,變?yōu)開x。對于線彈性問題，應力與應變曲線是一條直線，對于一般的彈性體，它 是一條曲線。當彈性體受到拉伸，應變達到；X時，彈性體內部存儲的應變能密度 相當于應力

39、應變曲線與X軸所圍的面積，有而應力應變曲線與應力-X軸所圍的面積定義為應變余能密度，有（6）二 f 耳陀 。對于復雜應力狀態(tài)，應變能和應變余能密度函數(shù)分別定義為閃（氣）=j j弧5 （爲）訂烏S和0對于應變能和應變余能，顯然 11,. I 1I 一込匚。這里定義應變能密度是應變分量的泛函，而應變余能密度是應力分量的泛 函。對于上式作變分，有du. du喬= ”皿+込勺根據(jù)格林公式,余能密度函數(shù)上式的右邊為零。而。Hj是任意的，所以可以證明對于應變2、虛應力以下通過虛功方程推導最小余能原理，設靜力可能的應力為處二W +冠其中，F(xiàn)為真實應力，-Cj為真實應力鄰近的應力的微小改變量，通常稱為虛應力。

40、將上式代入微分平衡方程和面力邊界條件，則何+込）打譏=0碼二（b汀込）嘆由于F為真實應力，必然滿足平衡微分方程和面力邊界條件，所以虛應力 Yij必 然滿足30#上式表明，如果應力試函數(shù)表示的應力是靜力可能的，則虛應力應該滿足無 體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件。3、應力變分方程現(xiàn)在將應力勢函數(shù) 1 代入功能方程JJJ耳對+JT瞪述刖二罔歩5F并且用真實位移替代幾何可能的位移，則JJJ丘禺非耳叨恥口（氏+帆）（b汀亦抄V為氐!注意到公式kS,心一山兀則上式簡化為FVJJV-Fsi應該注意的是，虛應力與虛位移、即位移變分方程不同，表面面力是有增量 的。即虛應力Zj在位移邊界S將引起的面力，

41、稱為虛面力。有8F. -（5cr n 亠51八（在Su）將虛面力表達式回代公式JfJ n聲二-川恥:M ；?可得AS = jjfv上式稱為虛應力方程，又稱為應力變分方程。它表示在已知位移的邊界上, 虛面力在真實位移上所作的功整個彈性體內部的虛應力在真實變形中所作的功。4、最小余能原理學二JJL込叫為二川帝舸嚴將公式邊，有叫代入虛應力方程瓦護的右JU 心聲二 JJJ 警込w 二 JfJ g drVV OCTVv由于在位移邊界Su上的位移是給定的，所以上式左邊的變分符號可以提到 積分符號的外邊，則應力變分方程還可以寫作以下形式町JT “臚-口匸迅呵二則SF；=O這里，Et （刁）稱為總余能，它是應

42、力分量的泛函。上述公式表示，當應力 分量從真實應力司變化到靜力可能的應力Gj + ：Gj時，總余能的一階變分為零, 即真實應力使得總余能取駐值。因此這一關系稱為最小余能原理。和最小勢能原理相同，可以證明，對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，真實應力使總余能 取最小值。這一關系稱為最小余能原理。它可以敘述為：在所有靜力可能的應力 中，真實應力使得總余能取最小值。如果彈性體的全部邊界面力已知，最小余能原理可以簡化為上式稱為 最小功原理 ，它是最小余能原理的特殊形式。 根據(jù)彈性力學的分析方法， 真實應力除了滿足平衡微分方程和面力邊界條件 以外，還必須滿足用應力分量表示的變形協(xié)調方程。 而根據(jù)能量變分的原理， 真 實

43、應力除了滿足平衡微分方程和面力邊界條件以外， 還要滿足應力變分方程或者 總余能的極值條件。 因此，應力變分方程或者最小余能原理應該是等價于以應力 分量表示的變形協(xié)調方程和位移邊界條件。應力變分方程是應力解法在能量原理中的應用，因此對于多連域問題，同樣 需要考慮位移單值連續(xù)條件，這將是十分復雜的。11.7 基于最小余能原理的近似計算方法學習思路 :最小余能原理近似解法的基礎是首先選擇以級數(shù)形式表達的應力試函數(shù)。 試 函數(shù)滿足滿足平衡微分方程和面力邊界條件， 它是靜力可能的應力。 問題的求解 級數(shù)確定試函數(shù)的待定系數(shù)。將應力試函數(shù)代入總余能的表達式，于是總余能 巳成為待定系數(shù)Am的二次函數(shù)， 這樣

44、就把求解泛函的駐值問題，轉化成為求解函數(shù)的極值問題。在利用最小余能原理求解彈性力學問題的近似解時， 最困難的問題是應力試 函數(shù)的選擇必須同時滿足平衡微分方程和面力邊界條件。 對于能夠應用應力函數(shù) 的平面和扭轉問題， 需要考慮的僅是應力試函數(shù)滿足面力邊界條件， 比較容易得 到解答。學習要點：1、應力試函數(shù)； 2、最小余能近似解； 3、平面問題最小余能近 似解； 4、扭轉問題最小余能近似解； 5、矩形薄板。1、應力試函數(shù)本節(jié)討論的近似計算方法僅限于線彈性問題。 因此應變能與應變余能是相等根據(jù)最小余能原理，如果可以將所有靜力可能的應力全部列出，則其中使總 余能取最小值的那一組應力分量就是真實應力。對

45、于實際的計算問題，列出所有的靜力可能的應力是困難的。但是我們可以 根據(jù)經(jīng)驗和感覺在一定的范圍內部列出一族靜力可能的應力， 并在此找出一組應 力分量使得總余能取最小值。雖然這一組應力分量一般并不是問題的真實應力， 但是可以肯定的是它在這一族應力中是最接近真實應力的。因此這一組應力分量就是冋題的近似解。nanko(BU普考維奇)建議，將應力分量的表達成如下形式空二b； +工4*s二成+Sa二吒+工r + Vr =r +V4,嚴JOQf la 功矚其中，匚是平衡微分方程的特解，并且滿足面力邊界條件，當然，如果它 還滿足變形協(xié)調方程，則它就是問題的真解，這里不妨假設其是不滿足變形協(xié)調 方程的。2滿足無

46、體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件，當然，它也是 不滿足變形協(xié)調方程的。Am(m=1,2,3,)為任意常數(shù)。顯然，應力試函數(shù)給出的應力分量是靜力可能的。2、最小余能近似解將應力試函數(shù)代入總余能的表達式，于是原為應力泛函的總余能Et成為關于待定系數(shù)Am(m=1,2,3,)的二次函數(shù)，求解泛函極值的條件轉換為dE八二 0(m=1,2,3,)上式為關于待定系數(shù)Am(m=1,2,3,)的線性非齊次方程組，求解線性方程組 可以得到全部待定系數(shù)?；卮綉υ嚭瘮?shù)表達式即可得到問題的近似解。最小余能原理求解彈性力學問題的近似解時，最困難的問題是應力試函數(shù)的 選擇必須同時滿足平衡微分方程和面力邊界條

47、件。對于一般問題，構造同時滿足面力邊界條件和平衡微分方程的應力試函數(shù)是 十分可能的。但是對于彈性力學的平面問題和柱體的扭轉問題，由于應力函數(shù)的應用，使得應力分量自然滿足平衡微分方程。 因此，只需要考慮應力試函數(shù)的表 達式滿足面力邊界條件。這將使得困難大為減少。以下將分別介紹最小余能原理在平面問題和扭轉問題中的應用對于平面應力問題，設板的厚度為1,由于只有應力分量=存在，而且這些應力分量均為x，y的函數(shù)，與坐標z無關。則彈性體的應變余能 表達式為（對于線彈性問題，應變能和應變余能是相等的）-2心弓 + 2(1 + dxdy對于平面應變問題，只要將上式中的 E和分別用替E1-v代即可。3、平面問題

48、最小余能近似解如果討論的平面問題是單連通的，應力分量和彈性常數(shù)是無關的，因此可以 設泊松比=0，這樣應變余能表達式可以簡化為u=尋+ b； + 2叮社小將應力分量用應力函數(shù)表達，在不計體力時，有石廠 弓_喬，一莎訕K魯停啥說假如平面物體全部邊界上的面力都是已知的，則根據(jù)最小功原理，有3訥（欝不難證明，上述變分方程等價于0W鬻設應力函數(shù)為。為了使面力邊界條件得到滿足，設由給出的應力分量滿足實際的面力邊 界條件，而由5.給出的應力分量應該滿足面力為零的面力邊界條件。 Am(m=1,2,3,)為任意常數(shù)，于是彈性體的余能成為關于 Am(m=1,2,3,)的二次函 數(shù)，其取極值的條件為&Ur =0 心

49、(m=1,2,3,)上式為關于Am(m=1,2,3,)的線性代數(shù)方程組。求解即可得到問題的近似解。4、扭轉問題最小余能近似解以下介紹最小余能原理在柱體扭轉中的應用扭轉問題的應變余能表達式為36#%茁W鬧其中I為桿的長度。按應力法求解，橫截面上的切應力可以表示為應力函數(shù) 的偏導數(shù)，則應變余能可以寫作為了建立適用于扭轉問題的變分方程，需要計算面力在實際位移上做的功。 在柱體的側面，由于沒有面力作用，因此也沒有面力的功。在柱體的兩端，面力 合成為方向相反的兩個扭 T,而兩端的相對扭轉角為 I，端面是位移已知的邊 界。因此面力在實際位移上做的功就等于所以II .沁 |、心心。將上述結果代入總余能公式，

50、則柱體扭轉問題的總余能為肌=EP毎尸+ (筍)2卩級呻求一階變分，可得漢=纟可j （獸y+（答尸岡-20叩s=o? 叩（魯孑 +（器- 2G#dS=0上式即為柱體扭轉問題的應力變分方程。在實際計算中，可以將應力函數(shù)（x,y）定義為肖（兀）=工心叫（兀力m其中，Am（m=1,2,3,）為互相獨立的m個待定系數(shù)。為了使應力函數(shù)-m滿足 邊界條件，即應力函數(shù) （x,y）在橫截面的邊界上等于零，必須設定-m在橫截面的 邊界上等于零。對于泛函總余能的一階變分，即求解總余能的最小值的條件轉換成為通過上式可以確定待定系數(shù) Am（m=1,2,3,）。5、矩形薄板例&圖示矩形薄板，其兩端受拋物線分布的拉力作用，

51、求應力分量。 x解：本問題的邊界條件為y2b出比二9（1一喬）,b卅詢=0為了滿足邊界條件，設% =冷(1-知顯然以上假設滿足面力邊界條件?，F(xiàn)在適當?shù)倪x取，并且使與之對應的應力分量在邊界為零。為達到這一目的，設各個函數(shù) G.中 都包括.這些因子，則這些函數(shù)對x, y的二階偏導數(shù)在x= a,y=b 為零。所以設吠初Q話)+吧弓*莎滬)由于對稱性，上式中僅取 x和y的偶次幕，為了使得待定系數(shù) Ai, A2Am 成為無因次的，所以上式中布置了因子 qb2,并且使x和y分別除以a和b等， 如果在上式中僅取一項，即 Ai 一個系數(shù)，則例二冷飛-) + 4廬Q-缶尸2odcjb將上式代入公式，則749 a2 7 a4對于正方形薄板，即a= b，可得Ai=0.0425。因此，問題的應力分量近似解uyaaa-0.6819（1-合）。_二_血二dxdy在薄板的中心，x=y=0，可得 匚x=0.830q。如果取Ai, A2，A3三項，通過同樣的運算，可得 Ai=0.0414, A2=A3=0.0117, 在薄板的中心，x=y=0，可得二x=0.862q。為了得到更為精確的解答，應力試函數(shù)應該選取更多的項數(shù)。11.8有限元原理基礎知識學習思路:有限元原理是目前工程上應用最為廣泛的結