機(jī)電系統(tǒng)計算機(jī)控制技術(shù)

1、第二章第二章 機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.12.1 常用的傳感器和執(zhí)行器常用的傳感器和執(zhí)行器 傳感器傳感器：將被測物理量（如力、位移、溫度等）：將被測物理量（如力、位移、溫度等） 轉(zhuǎn)換為與之相對應(yīng)的、容易檢測、傳輸或處理的轉(zhuǎn)換為與之相對應(yīng)的、容易檢測、傳輸或處理的 信號的裝置，稱之為傳感器，也叫變換器、換能信號的裝置，稱之為傳感器，也叫變換器、換能 器或探測器。器或探測器。 檢測信號檢測信號 信號變換信號變換 執(zhí)行器執(zhí)行器：將各種形式的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械動作，從：將各種形式的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械動作，從 而去控制對象，也稱為執(zhí)行元件。而去控制對象，也稱為執(zhí)行元件。 機(jī)機(jī) 械 械 驅(qū)動器驅(qū)動

2、器接口接口計算機(jī)計算機(jī)接口接口 傳感器傳感器信號處理信號處理 執(zhí)行器執(zhí)行器 + + - - 表表2.12.1機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器 類型類型名稱名稱被測量被測量變換變換 量量 應(yīng)用應(yīng)用 舉例舉例 機(jī)機(jī) 械械 式式 測力環(huán)測力環(huán)力力位移位移測力儀測力儀 彈簧彈簧力力位移位移彈簧稱彈簧稱 雙金雙金 屬片屬片 溫度溫度位移位移溫度計溫度計 微型微型 開關(guān)開關(guān) 物體物體 位置位置 位移位移 類類 型型名名 稱稱被被 測測 量量變換量變換量應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 電電 磁磁 及及 電電 子子 式式 電位器電位器 位移位移 電阻電阻直線電位器直線電位器 電阻應(yīng)變片電阻應(yīng)變片力、位移、應(yīng)變力、位

3、移、應(yīng)變電阻電阻應(yīng)變儀應(yīng)變儀 電感電感力、位移力、位移自感自感電感測微儀電感測微儀 差動電感變壓器差動電感變壓器力、位移力、位移互感互感電感比較儀電感比較儀 電渦流電渦流位移、測厚位移、測厚自感自感渦流式測振儀渦流式測振儀 電容電容力、位移力、位移電容電容電容測微儀電容測微儀 壓電元件壓電元件力、加速度力、加速度電荷電荷測力儀、加速度儀測力儀、加速度儀 壓磁元件壓磁元件力、扭矩力、扭矩磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率測力儀測力儀 熱電偶熱電偶溫度溫度電勢電勢熱電溫度計熱電溫度計 霍爾元件霍爾元件位移位移電勢電勢位移傳感器位移傳感器 熱敏電阻熱敏電阻溫度溫度電阻電阻半導(dǎo)體溫度計半導(dǎo)體溫度計 光敏電阻光敏電阻開、關(guān)量

4、開、關(guān)量電阻電阻 氣敏電阻氣敏電阻可燃?xì)怏w可燃?xì)怏w溫度溫度氣敏檢測儀氣敏檢測儀 光敏晶體管光敏晶體管位移、轉(zhuǎn)速位移、轉(zhuǎn)速電流電流光電轉(zhuǎn)速儀光電轉(zhuǎn)速儀 表表2.1 2.1 機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器 類類 型型 名名 稱稱 被被 測測 量量變換量變換量應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 流流 體體 式式 氣動氣動 物體尺寸、物體尺寸、 距離距離 壓力壓力氣動測量氣動測量 儀儀 液體液體壓力壓力壓力平衡壓力平衡活塞壓力活塞壓力 計計 液體液體流量流量液體靜壓液體靜壓 變化變化 節(jié)流式節(jié)流式 流量計流量計 液體液體流量流量流體阻力流體阻力 變化變化 轉(zhuǎn)子式轉(zhuǎn)子式 流量計流量計 表表2.12.1機(jī)電系統(tǒng)中

5、常用傳感器機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器 表表2.12.1機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器 表表2.12.1機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器機(jī)電系統(tǒng)中常用傳感器 光電編碼器光電編碼器 碼盤式角度數(shù)字檢測元件碼盤式角度數(shù)字檢測元件 絕對光電編碼器絕對光電編碼器 增量式光電編碼器增量式光電編碼器：結(jié)構(gòu)簡單、價格低、而：結(jié)構(gòu)簡單、價格低、而 且精度易于保證，采用最多，可以測量軸的轉(zhuǎn)且精度易于保證，采用最多，可以測量軸的轉(zhuǎn) 速速 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 窄縫圓盤窄縫圓盤：刻有節(jié)距：刻有節(jié)距 相等的輻射狀窄縫相等的輻射狀窄縫 光電變換器光電變換器：兩組檢：兩組檢 測窄縫，其節(jié)距與圓測窄縫，其節(jié)距與圓 盤的節(jié)距相同。兩組盤的節(jié)距相

6、同。兩組 檢測窄縫錯開檢測窄縫錯開l l4 4節(jié)節(jié) 距，其目的是使距，其目的是使A A，B B 兩個光電轉(zhuǎn)換器的輸兩個光電轉(zhuǎn)換器的輸 出信號在相位上相差出信號在相位上相差 9090度，用以判斷轉(zhuǎn)動度，用以判斷轉(zhuǎn)動 方向。方向。 光源光源 透鏡透鏡 增量編碼器增量編碼器 光光 柵柵 尺尺 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 由尺光柵和指示光柵由尺光柵和指示光柵 組成組成 光刻密度相同，通常光刻密度相同，通常 為為2525，5050，100100，250250 條條/ /毫米。毫米。 刻線相互傾斜一個很刻線相互傾斜一個很 小的角度，在指示光小的角度，在指示光 柵上構(gòu)成莫爾條紋。柵上構(gòu)成莫爾條紋。 莫爾條紋起放大

7、作用。莫爾條紋起放大作用。 莫爾條紋莫爾條紋 條紋寬度條紋寬度 柵距柵距 光柵條紋間夾角光柵條紋間夾角 光柵移動時產(chǎn)生的光柵移動時產(chǎn)生的 條紋明暗信號被光電條紋明暗信號被光電 元件接收，變成光柵元件接收，變成光柵 位移量的測量脈沖。位移量的測量脈沖。 P W W P 2.1.22.1.2 執(zhí)行器執(zhí)行器 電氣式電氣式：步進(jìn)電機(jī)、直流伺服電機(jī)、交：步進(jìn)電機(jī)、直流伺服電機(jī)、交 流伺服電機(jī)流伺服電機(jī) 液壓式液壓式：液壓油缸、油馬達(dá)及其控制閥：液壓油缸、油馬達(dá)及其控制閥 （電磁閥）（電磁閥） 氣動式氣動式：氣動油缸，電磁閥、氣動閥：氣動油缸，電磁閥、氣動閥 步進(jìn)電機(jī)步進(jìn)電機(jī) 步進(jìn)電機(jī)又稱為脈沖電機(jī)，是一

8、種將電脈沖信步進(jìn)電機(jī)又稱為脈沖電機(jī)，是一種將電脈沖信 號轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的角位移或直線位移的機(jī)電執(zhí)行號轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的角位移或直線位移的機(jī)電執(zhí)行 元件，即每輸入一個控制脈沖，電動機(jī)輸出軸元件，即每輸入一個控制脈沖，電動機(jī)輸出軸 就轉(zhuǎn)過一步就轉(zhuǎn)過一步( (走一步走一步) )。 步進(jìn)電機(jī)輸出軸的步進(jìn)電機(jī)輸出軸的角位移或線位移量與輸入脈角位移或線位移量與輸入脈 沖數(shù)成正比，其轉(zhuǎn)速或線速度與輸入脈沖頻率沖數(shù)成正比，其轉(zhuǎn)速或線速度與輸入脈沖頻率 成正比成正比。 步進(jìn)電機(jī)的種類及優(yōu)點(diǎn)步進(jìn)電機(jī)的種類及優(yōu)點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)： 不需要反饋就能對位移或速度進(jìn)行精不需要反饋就能對位移或速度進(jìn)行精 確控制；確控制； 輸出的轉(zhuǎn)角或位移

9、精度高，無累積誤輸出的轉(zhuǎn)角或位移精度高，無累積誤 差；差； 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，與數(shù)字設(shè)備兼容，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，與數(shù)字設(shè)備兼容， 價格便宜。價格便宜。 種類種類： 反應(yīng)式步進(jìn)電機(jī)反應(yīng)式步進(jìn)電機(jī) 永磁式步進(jìn)電機(jī)永磁式步進(jìn)電機(jī) 混合式步進(jìn)電機(jī)混合式步進(jìn)電機(jī) 特種步進(jìn)電機(jī)特種步進(jìn)電機(jī) 伺服電動機(jī)伺服電動機(jī) 直流伺服電動機(jī)直流伺服電動機(jī)：良好的調(diào)速特性和較大：良好的調(diào)速特性和較大 的啟動轉(zhuǎn)矩，相對功率大及快速響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，的啟動轉(zhuǎn)矩，相對功率大及快速響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)， 需要經(jīng)常的維護(hù)和保養(yǎng)。需要經(jīng)常的維護(hù)和保養(yǎng)。 交流伺服電動機(jī)交流伺服電動機(jī)：結(jié)構(gòu)簡單（無電刷和轉(zhuǎn)：結(jié)構(gòu)簡單（無電刷和轉(zhuǎn) 向器），價格便宜，維護(hù)

10、工作量小，重量輕，向器），價格便宜，維護(hù)工作量小，重量輕， 是一種理想的執(zhí)行元件。在交流電機(jī)能滿足生是一種理想的執(zhí)行元件。在交流電機(jī)能滿足生 產(chǎn)需要的場合，隨著變頻調(diào)速技術(shù)的進(jìn)步，交產(chǎn)需要的場合，隨著變頻調(diào)速技術(shù)的進(jìn)步，交 流電機(jī)的調(diào)速控制在大功率、高電壓、高精度、流電機(jī)的調(diào)速控制在大功率、高電壓、高精度、 快響應(yīng)等領(lǐng)域中的應(yīng)用取得更大進(jìn)展，已逐步快響應(yīng)等領(lǐng)域中的應(yīng)用取得更大進(jìn)展，已逐步 取代直流電機(jī)在生產(chǎn)上的應(yīng)用。取代直流電機(jī)在生產(chǎn)上的應(yīng)用。 直流伺服電機(jī)直流伺服電機(jī) 轉(zhuǎn)速：轉(zhuǎn)速：與電樞與電樞 電壓成正比電壓成正比 轉(zhuǎn)向：轉(zhuǎn)向：由電樞由電樞 電壓極性決定電壓極性決定 2.2 2.2 微分方程

11、式的建立微分方程式的建立 建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟 典型元件典型元件 1.1.建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系， 將系統(tǒng)將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)（或元件）劃分為若干個環(huán)節(jié)（或元件），確定每一，確定每一 環(huán)節(jié)的輸入信號和輸出信號。環(huán)節(jié)的輸入信號和輸出信號。 根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的定律，從輸入端開始，根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的定律，從輸入端開始， 按照信號的傳遞順序，按照信號的傳遞順序，列出各個元件描述輸出信列出各個元件描述輸出信 號和輸入信號相互關(guān)系的動態(tài)方程式號

12、和輸入信號相互關(guān)系的動態(tài)方程式，一般為微，一般為微 分方程組；分方程組； 消去中間變量消去中間變量，最后得到只包含系統(tǒng)輸入量和輸，最后得到只包含系統(tǒng)輸入量和輸 出量的微分方程式，即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；出量的微分方程式，即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型； 將方程式將方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入有關(guān)的各項，即將與輸入有關(guān)的各項 放在等號右邊，與輸出有關(guān)的各項放在等號的左放在等號右邊，與輸出有關(guān)的各項放在等號的左 邊，并且各導(dǎo)數(shù)項要按降冪排列，最后將系數(shù)歸邊，并且各導(dǎo)數(shù)項要按降冪排列，最后將系數(shù)歸 化為反映系統(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)，如時間常數(shù)等?；癁榉从诚到y(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)，如時間常數(shù)等。 2.2.典型元件典型元

13、件 典型元件典型元件 典型元件典型元件 網(wǎng)絡(luò)方程網(wǎng)絡(luò)方程元件連接原則元件連接原則 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 基爾霍夫電壓定理基爾霍夫電壓定理 基爾霍夫電流定理基爾霍夫電流定理 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng) 空間連續(xù)律空間連續(xù)律 達(dá)朗貝爾靜力平衡原理達(dá)朗貝爾靜力平衡原理 s i ki u 1 0 r i ki i 1 0 s i ki x 1 0 r i ki f 1 0 例例2. 1 2. 1 機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械平移系統(tǒng) 設(shè)彈簧設(shè)彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼組成的簡單的機(jī)械平移系統(tǒng)阻尼組成的簡單的機(jī)械平移系統(tǒng) 如圖如圖2. 12. 1所示，列出以所示，列出以F F為輸入，以質(zhì)量的位移為輸入，以質(zhì)量的位移y y為為

14、輸出的運(yùn)動方程式（不計重力）。輸出的運(yùn)動方程式（不計重力）。 解解： 根據(jù)牛頓第二定律可得根據(jù)牛頓第二定律可得 2 2 d y Fmam dt 則系統(tǒng)的方程為則系統(tǒng)的方程為: : 2 2fk d ydy mFFFFbky dtdt 上式經(jīng)整理，可得系統(tǒng)上式經(jīng)整理，可得系統(tǒng) 的微分方程為的微分方程為: : 2 2 d ydy mbkyF dtdt 例例2. 2 2. 2 機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng) 已知機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)如圖已知機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)如圖2.22.2所示，系統(tǒng)由慣性所示，系統(tǒng)由慣性 負(fù)載和粘性摩擦阻尼器組成。系統(tǒng)的輸入以外力矩負(fù)載和粘性摩擦阻尼器組成。系統(tǒng)的輸入以外力矩M M， 系統(tǒng)的輸出為角速度

15、系統(tǒng)的輸出為角速度。試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程式。試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程式。 解解: : 對這樣的系統(tǒng)，牛頓第二定律可以表示為對這樣的系統(tǒng)，牛頓第二定律可以表示為 d JM dt 式中式中J 為慣性負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣為慣性負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣 量，量，為角速度，為角速度，M 為外加到系為外加到系 統(tǒng)的轉(zhuǎn)動力矩。統(tǒng)的轉(zhuǎn)動力矩。 d JbM dt 代入元件方程，可得代入元件方程，可得 上式也可寫成上式也可寫成 若系統(tǒng)的輸出為轉(zhuǎn)角若系統(tǒng)的輸出為轉(zhuǎn)角，因，因 為為=d/ dt，代入方程得，代入方程得 d JbM dt 2 2 dd JbM dtdt 例例2.3 2.3 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 設(shè)有一個以電阻設(shè)有一個以電阻R、電感、電

16、感L和電容和電容C組成的組成的R-L-C 電路如圖電路如圖2.3所示。試列寫以所示。試列寫以ui為輸入，為輸入，uo為輸出為輸出 的微分方程式。的微分方程式。 解解: : 根據(jù)基爾霍夫定律寫根據(jù)基爾霍夫定律寫 出電路方程出電路方程 消去中間變量消去中間變量 I 得得 輸入輸入-輸出的運(yùn)動輸出的運(yùn)動 方程式方程式 1 i di LidtRiu dtC 2 2 oo oi d udu LCRCuu dtdt 其中其中 1 o uidt C 亦即亦即 0 du iC dt 機(jī)電系統(tǒng)的相似性機(jī)電系統(tǒng)的相似性 例例2.12.1 2 2 d ydy mbkyF dtdt 例例2.32.3 2 2 oo o

17、i d udu LCRCuu dtdt 不同的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型均不同的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型均 為二階微分方程，即相似的數(shù)為二階微分方程，即相似的數(shù) 學(xué)模型。亦即是說各物理系統(tǒng)學(xué)模型。亦即是說各物理系統(tǒng) 的特性參數(shù)間也存在著一定的的特性參數(shù)間也存在著一定的 運(yùn)動相似性。運(yùn)動相似性。 機(jī)電系統(tǒng)的相似性機(jī)電系統(tǒng)的相似性 電網(wǎng)絡(luò)電網(wǎng)絡(luò)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)機(jī)械網(wǎng)絡(luò) 電流電流i 電感電感L 電阻電阻R 阻尼阻尼 1/b 彈簧彈簧k 力力F 電網(wǎng)絡(luò)電網(wǎng)絡(luò)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)機(jī)械網(wǎng)絡(luò) 電容電容C質(zhì)量質(zhì)量m 電壓電壓v 電感電感L 電阻電阻R阻尼阻尼b 彈簧彈簧 1/k 力力F 電容電容C 質(zhì)量質(zhì)量m 機(jī)電系統(tǒng)方程機(jī)電系統(tǒng)方程 機(jī)械驅(qū)動力

18、機(jī)械驅(qū)動力電磁場力電磁場力 MM = 例例2.42.4 天線方位角伺服系統(tǒng)如圖天線方位角伺服系統(tǒng)如圖2.4所示，試列出以所示，試列出以 電樞電壓電樞電壓ua為輸入信號，跟蹤衛(wèi)星的天線的方位為輸入信號，跟蹤衛(wèi)星的天線的方位 角角為輸出信號的運(yùn)動方程式。為輸出信號的運(yùn)動方程式。 圖圖2. 4 2. 4 天線方位角伺服系統(tǒng)天線方位角伺服系統(tǒng) 解解 ： 例例2.42.4 ua電動機(jī)的電樞電壓（電動機(jī)的電樞電壓（V） em電動機(jī)的反電勢（電動機(jī)的反電勢（V） Ia 電動機(jī)的電樞電流（電動機(jī)的電樞電流（A） Ra電樞繞組的電阻（電樞繞組的電阻（） La電樞繞組的電感（電樞繞組的電感（H） 電動機(jī)軸的轉(zhuǎn)速（

19、電動機(jī)軸的轉(zhuǎn)速（rad/s） 符號定義：符號定義： 例例2.42.4 ke反電動勢系數(shù)反電動勢系數(shù)V/rad/s） Ja 電動機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量電動機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量 （kgm2） b阻尼系數(shù)（阻尼系數(shù)（Nm/rad/s） Ma電動機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩（電動機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩（Nm） Md風(fēng)力產(chǎn)生的阻力矩（風(fēng)力產(chǎn)生的阻力矩（Nm） kc電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)（電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)（Nm/A） 例例2.42.4 1 1 電網(wǎng)絡(luò)平衡方程電網(wǎng)絡(luò)平衡方程 a aa ama di LR ieu dt me ek aad d JbMM dt ac a Mk i 2 2 機(jī)械平衡方程機(jī)械平衡方程 其中其中 3. 3. 系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程 工程簡

20、化：電動機(jī)電樞電感工程簡化：電動機(jī)電樞電感La通常比較小，因此通常比較小，因此 可以忽略可以忽略La；在工程實踐中，；在工程實踐中， 和和 可作為可作為 干擾信號來處理干擾信號來處理 a aaama me aad ac a di LR ieu dt ek d JbMM dt Mk i 輸入為電樞電壓輸入為電樞電壓ua，輸出為天線旋轉(zhuǎn)角速度的，輸出為天線旋轉(zhuǎn)角速度的 二階微分方程為：二階微分方程為： 2 2 ()() aaaaaaaa eda cccc J LL bJ RR bLRdd kMu kdtkdtkk d MbMc 例例2.42.4 如果設(shè)如果設(shè) ， ，則可得到一階線性微分，則可得到一

21、階線性微分 方程為：方程為： 0 c Mb 0 d M 若以電動機(jī)轉(zhuǎn)角為輸出，即若以電動機(jī)轉(zhuǎn)角為輸出，即 ，則上式可改寫為：，則上式可改寫為： aa ea c J R d ku kdt d dt 2 2 aa ea c J R dd ku kdtdt 如果電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量如果電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量Ja和電樞電阻和電樞電阻Ra忽略不忽略不 計，則方程變?yōu)椋河?，則方程變?yōu)椋?此時電樞電壓此時電樞電壓ua與電機(jī)的轉(zhuǎn)速成正比，這就是測速與電機(jī)的轉(zhuǎn)速成正比，這就是測速 發(fā)電機(jī)的原理。發(fā)電機(jī)的原理。 ea d ku dt 例例2.42.4 令：令： c m aec K K R bK K aa m aec R

22、 J T R bK K 電動機(jī)放電動機(jī)放 大系數(shù)大系數(shù) 機(jī)電時機(jī)電時 間常數(shù)間常數(shù) 2 2mma dd TK u dtdt 則天線方位角伺服系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式則天線方位角伺服系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式: : mma d TK u dt 或或: : 例例2.42.4 2.3 2.3 用拉普拉斯變換求解用拉普拉斯變換求解 線性微分方程線性微分方程 拉普拉斯變換是對系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模和設(shè)拉普拉斯變換是對系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模和設(shè) 計的基本數(shù)學(xué)工具，它是求解線性微分方程的簡計的基本數(shù)學(xué)工具，它是求解線性微分方程的簡 捷工具，同時也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。捷工具，同時也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 1

23、1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 如果一個以時間如果一個以時間t 為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù)f（t），它的，它的 定義域是定義域是t 0 ，那么，拉普拉斯變換為，那么，拉普拉斯變換為 dtetfsFtfL st 0 )()()( js 式中：式中：s 為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)， 是實數(shù)是實數(shù) 是角頻率（是角頻率（rad/s） L為運(yùn)算符號，稱為拉普拉斯變換算子為運(yùn)算符號，稱為拉普拉斯變換算子 F（s）為函數(shù)為函數(shù)f（t）的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 2 2 常用函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換 常用函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換 3 3 拉氏變換基本定理拉氏變換基本定理 拉氏變換基本定理拉氏

24、變換基本定理 時域函數(shù)在頻域中表示有兩個優(yōu)點(diǎn)：時域函數(shù)在頻域中表示有兩個優(yōu)點(diǎn)： 簡化了函數(shù)簡化了函數(shù)：例如指數(shù)函數(shù)和正、余弦函例如指數(shù)函數(shù)和正、余弦函 數(shù)都是時域中的超越函數(shù)，在頻域中成為有數(shù)都是時域中的超越函數(shù)，在頻域中成為有 理函數(shù)表示；理函數(shù)表示； 簡化了運(yùn)算簡化了運(yùn)算：如時域函數(shù)的卷積在頻域中如時域函數(shù)的卷積在頻域中 成為頻域函數(shù)的乘積。成為頻域函數(shù)的乘積。 4 4求拉普拉斯反變換求拉普拉斯反變換 拉氏反變換的表達(dá)式為拉氏反變換的表達(dá)式為 j j st dtesF j tfsFL )( 2 1 )()( 1 用上式求拉氏反變換，計算復(fù)雜，一般很用上式求拉氏反變換，計算復(fù)雜，一般很 少采

25、用。通常采用的方法是利用少采用。通常采用的方法是利用部分分式部分分式 展開展開，然后查拉氏變換表，求出函數(shù)。，然后查拉氏變換表，求出函數(shù)。 部分分式展開法求部分分式展開法求拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 微分方程式的拉普拉斯變換是微分方程式的拉普拉斯變換是s 的有理分式，可以表示成的有理分式，可以表示成 01 2 2 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasas bsbsbsb sA sB sF n n n n n m m m m 在復(fù)變函數(shù)理論中，分母多項式所對應(yīng)的方程在復(fù)變函數(shù)理論中，分母多項式所對應(yīng)的方程 n i in n n n sFsFsFsF ps C ps C ps C

26、 pspsps sB sF 1 21 2 2 1 1 21 )()()()( )()( )( )( 查查表表2.32.3，可以確定的各分解式的反變換為，可以確定的各分解式的反變換為 n i tp i n i i i eCsFLsFLtf 11 11 )()()( 0)(sA 稱為極點(diǎn)。這樣也可以表示為稱為極點(diǎn)。這樣也可以表示為所有的解所有的解 i p 5 5 用拉普拉斯變換求解線性微分方程用拉普拉斯變換求解線性微分方程 應(yīng)用拉氏變換求解線性微分方程的一般應(yīng)用拉氏變換求解線性微分方程的一般 步驟是：步驟是： （1 1） 對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，變微分方對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，變微分方 程

27、為代數(shù)方程。程為代數(shù)方程。 （2 2） 將給定的初始條件和輸入信號代入方程，將給定的初始條件和輸入信號代入方程， 求解代數(shù)方程，得到微分方程在求解代數(shù)方程，得到微分方程在S S域的解。域的解。 （3 3） 作拉氏反變換求得微分方程的時間解。作拉氏反變換求得微分方程的時間解。 例例2.112.11 2 2i d ydy mbkyF dtdt 已知條件為：已知條件為： 求解求解例例2.1 2.1 所述彈簧所述彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼組成的簡單的機(jī)阻尼組成的簡單的機(jī) 械平移系統(tǒng)以械平移系統(tǒng)以F F 為輸入，以質(zhì)量的位移為輸入，以質(zhì)量的位移 y y 為輸為輸 出的運(yùn)動方程式出的運(yùn)動方程式 ./3

28、. 0 )( ;6 . 0)( ;8;/6;/5;/1 00 2 sm dt tdy mty kgFmskgbmkgkmskgm tt i 初始速度初始位移 為階躍函數(shù)，幅值為 例例2.112.11 首先，對方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，得首先，對方程兩邊進(jìn)行拉氏變換，得 整理后得：整理后得： 2 ( )(0)(0)( )(0)( )( )ms Y smsymybsY sbykY sF s i Fky dt dy b dt yd m 2 2 2 ( )(0)(0)(0) ( ) F ssmymyby Y s msbsk 解：解： 例例2.112.11 將初始條件代入方程，可得：將初始條件代入方程，可得

29、： 用用部分分式部分分式展開展開 22 2 0.63.980.63.98 ( ) (65)(1)(5) ssss Y s s sss ss 8477 ( ) 540(1)40(5) Y s sss 15 8477 ( ) ( ),0 54040 tt y tL Y seet 對上式進(jìn)行反變換，則對上式進(jìn)行反變換，則 上式即為該機(jī)械平移系統(tǒng)運(yùn)動方程式的解，即上式即為該機(jī)械平移系統(tǒng)運(yùn)動方程式的解，即 系統(tǒng)的系統(tǒng)的輸出動態(tài)響應(yīng)輸出動態(tài)響應(yīng)。 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中一個很重要的數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中一個很重要的數(shù)學(xué)模型。 它是在用拉氏變換方法求解微分方程過程中引出的它是在用拉氏變換方法求

30、解微分方程過程中引出的 一種外部描述數(shù)學(xué)模型。一種外部描述數(shù)學(xué)模型。 它表達(dá)了系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的傳遞關(guān)系。它表達(dá)了系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的傳遞關(guān)系。 它只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和特征參數(shù)有關(guān)，而與輸入它只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和特征參數(shù)有關(guān)，而與輸入 量無關(guān)。量無關(guān)。 利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程，就可以研究初始利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程，就可以研究初始 條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程。條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程。 利用傳遞函數(shù)可給系統(tǒng)的性能分析帶來方便利用傳遞函數(shù)可給系統(tǒng)的性能分析帶來方便; ; 也可把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)換為對傳遞函數(shù)的要求，也可把對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)換為對

31、傳遞函數(shù)的要求， 從而給系統(tǒng)的設(shè)計提供簡捷的方法。從而給系統(tǒng)的設(shè)計提供簡捷的方法。 2.4 2.4 傳遞函數(shù)和方框圖傳遞函數(shù)和方框圖 1 1 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 對于一個線性定常系統(tǒng)，在對于一個線性定常系統(tǒng)，在零初始條件零初始條件下，系統(tǒng)下，系統(tǒng) 輸出信號的拉普拉斯變換輸出信號的拉普拉斯變換Y Y（s s）與輸入信號的拉）與輸入信號的拉 普拉斯變換普拉斯變換R R（s s）之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。）之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 )( )( )( sR sY sG 例例2.62.6 解解 : : 已知該系統(tǒng)的微分方程式為已知該系統(tǒng)的微分方程式為 設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換得

32、設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換得 Fky dt dy b dt yd m 2 2 )()()()( 2 sFskYsbsYsYms kbsmssF sY sG 2 1 )( )( )( 由定義可得該機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由定義可得該機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 求如求如圖圖2. 12. 1所示機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 例例2.82.8 解解: : 已知該系統(tǒng)的微分方程式為已知該系統(tǒng)的微分方程式為 2 2 aa ea c J R dd ku kdtdt 設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換得設(shè)初始條件為零，對上式進(jìn)行拉氏變換得 設(shè)設(shè) 2 ( )( )( ) aa ea

33、 c J R ssk ssUs k 由定義可得該伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由定義可得該伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1 , aa ece J R ab k kk ( ) ( ) ( )(1) a sb G s Uss as 求如求如圖圖2. 42. 4所示天線方位角伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示天線方位角伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 求取傳遞函數(shù)的一般方法求取傳遞函數(shù)的一般方法 描述線性定常系統(tǒng)（或元件）的微分方程為描述線性定常系統(tǒng)（或元件）的微分方程為 1 11 1 1 011 1 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) nn nn nn mm mm mm d y tdy tdy t aaa y t d

34、tdtdt d r tdr tdr t bbbb r t dtdtdt 11 11011 ) ( )()( )( nmm nnmm n a sasaY sb sb sbsbR ss 令系統(tǒng)的初始條件為零，對上式兩邊取拉氏變換得令系統(tǒng)的初始條件為零，對上式兩邊取拉氏變換得 1 011 1 11 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sb sbsbY s G s R ssa sasa 則系統(tǒng)的則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為為: : 1 011 1 11 ( ) ( ) ( ) mm mm nn nn b sb sbsbY s G s R ssa sasa 特征特征 多項式多項式 系統(tǒng)系統(tǒng)

35、 的階的階 次次 ( )0R s 系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程 ( )0R s 的根的根 系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn)系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn) mn 通常通常 求取傳遞函數(shù)的一般方法求取傳遞函數(shù)的一般方法 MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表達(dá)方法中數(shù)學(xué)模型的表達(dá)方法 傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)模型 在在MATLAB里，可直接用分子里，可直接用分子/分母多項式分母多項式 系數(shù)構(gòu)成的兩個向量系數(shù)構(gòu)成的兩個向量num與與den來表示系統(tǒng)，即來表示系統(tǒng)，即 ),(dennumtfsys , 1 ;, 110nm aadenbbbnum 其中其中 例例2.62.6 m=1;b=0.5;k=1; num=1;den=m，b，k; G=

36、tf(num，den) 2 ( )1 ( ) ( ) Y s G s F smsbsk 零極點(diǎn)增益模型零極點(diǎn)增益模型 用系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益向量用系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益向量 z z 、p p 、k k 來表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。調(diào)用格式為：來表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。調(diào)用格式為： 1 1 () ( ) ( ) ( ) () m i i n i i ksz Y s G s R s sp ),(kpzzpksys 例例2.82.8 a=1;b=1; z=;p=0，-1/a;k=b/a; G=zpk(z，p，k) ( ) ( ) ( )(1) a sb G s Uss as 數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型的相互

37、轉(zhuǎn)換 m=1;b=0.5;k=1; num=1;den=m，b，k; G=tf(num，den) Gzpk=zpk(G) 2 2 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 方框圖方框圖線圖方式的數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)的線圖方式的數(shù)學(xué)模型，是系統(tǒng)的 每個元件或子系統(tǒng)的功能和信號流向的圖形每個元件或子系統(tǒng)的功能和信號流向的圖形 表示，可以用來描述控制系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)表示，可以用來描述控制系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān) 系。系。 表示方法表示方法： 表表2.4 2.4 方框圖表示方法方框圖表示方法 方框圖簡化需要遵循一定的方框圖簡化需要遵循一定的 基本原則，即基本原則，即簡化前后的數(shù)簡化前后的數(shù) 學(xué)關(guān)系不變學(xué)關(guān)系不變，保證前向通道，保證前

38、向通道 傳遞函數(shù)的乘積不變，回路傳遞函數(shù)的乘積不變，回路 傳遞函數(shù)的乘積不變。傳遞函數(shù)的乘積不變。 表表2.5 2.5 方框圖的簡化方框圖的簡化 表表2.5 2.5 方框圖的簡化方框圖的簡化 用用MATLAB進(jìn)行方框圖模型的化簡進(jìn)行方框圖模型的化簡 例例 2.92.9 解解 編程如下：編程如下： num1=0.1，1;den1=0.4;sys1=tf(num1，den1); num2=15;den2=0.054，1;sys2=tf(num2，den2); num3=1.5;den3=0.12，1;sys3=tf(num3，den3); sys123=sys1*sys2*sys3 運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)

39、果 所以系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)所以系統(tǒng)等效傳遞函數(shù) 為為 123 0.11151.5 ( ),( ),( ) 0.40.05410.121 s GsGsGs sss Transferfunction: 2.25s+22.5 - 0.002592s3+0.0696s2 +0.4s 123 32 2.2522.5 ( )( )( )( ) 0.0025920.06960.4 s G sG sGsGs sss 已知某系統(tǒng)前向通道三個模塊的傳遞函數(shù)分別為。已知某系統(tǒng)前向通道三個模塊的傳遞函數(shù)分別為。 試求串聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)試求串聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù) 例例2.102.10 解解 編程如下編程如下 num1

40、=3;den1=1num1=3;den1=1，1;sys1=tf(num11;sys1=tf(num1，den1);den1); num2=6num2=6，10;den2=110;den2=1，2 2，1;sys2=tf(num21;sys2=tf(num2， den2);den2); sys=sys1+sys2;num=sys.num1sys=sys1+sys2;num=sys.num1 den=sys.den1den=sys.den1 12 2 3610 ( ),( ) 121 s G sGs sss 運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果 所以系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)所以系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù) 為為 num= 0922

41、13 den= 1331 2 12 32 92213 ( )( )( ) 331 ss G sG sGs sss 已知兩子系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為已知兩子系統(tǒng)傳遞函數(shù)分別為： 試求兩系統(tǒng)并聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)的試求兩系統(tǒng)并聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)的numnum與與denden向量。向量。 3.3.方框圖的傳遞函數(shù)方框圖的傳遞函數(shù) 典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖2.62.6所示。所示。 ( )( )( )B sF sY s ( )( )( ) q GsD sG s 前向通道傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù) （1 1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 在擾動信號在擾動信號N(s)=0N(s)=0

42、時，系統(tǒng)的時，系統(tǒng)的為：為： ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) Oq B s HsGsF sD sG sF s E s 即如圖所示：即如圖所示： （2 2）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)當(dāng)N(s)=0 N(s)=0 時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) Y s H s R s ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) q Y sGsE s E sR sB sR sF sY s ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( )( )1( ) ( )( ) q q q Y

43、sGsR sF sY s Gs Y sD s G s H s R sGs F sD s G s F s 由由 得得 單位負(fù)反饋系統(tǒng)單位負(fù)反饋系統(tǒng) ( )1F s ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) D s G s H s D s G s 所以所以 （3 3）系統(tǒng)的誤差）系統(tǒng)的誤差( (偏差偏差) )傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 以誤差（偏差）信號以誤差（偏差）信號E(s) E(s) 為輸出量，以為輸出量，以 控制量控制量R(s) R(s) 或者擾動量或者擾動量 N(s) N(s) 為輸入量的為輸入量的 閉環(huán)傳遞函數(shù)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)稱為誤差（偏差）傳遞函數(shù)誤差（偏差）傳遞函數(shù)。 它是閉環(huán)系統(tǒng)的另一個重

44、要的關(guān)系式，它是閉環(huán)系統(tǒng)的另一個重要的關(guān)系式， 在進(jìn)行系統(tǒng)的誤差分析是很有用。在進(jìn)行系統(tǒng)的誤差分析是很有用。 當(dāng)當(dāng)N(s)=0 N(s)=0 時，誤差（偏差）信號時，誤差（偏差）信號 E(s) E(s) 對對 于控制信號于控制信號 R(s) R(s) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)。的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 令令R(s)=0 R(s)=0 時，誤差（偏差）信號時，誤差（偏差）信號E(s) E(s) 對于對于 擾動信號擾動信號N(s) N(s) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)。的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 a.a.誤差信號誤差信號 E(s)E(s) 對于控制信號對于控制信號 R(s)R(s) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù) ( )( )( ) (

45、)( )( )( )( )( ) q Y sGsE s E sR sB sR sF sY s 由由 得得 ( )( )( )( ) ( ) ( )11 ( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) ( ) q e q E sR sE s G s F s E s H s R sG s F sD s G s F s b.b.誤差信號誤差信號 E(s) E(s) 對于擾動信號對于擾動信號 N(s) N(s) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 得得 ( )( )( )( 1)( )( ) ( ) ( )1( ) ( )( )( 1)1( ) ( )( ) EN E sG s F sG s F s Hs

46、N sD s G s F sD s G s F s c. c. 控制信號控制信號R(s) R(s) 和擾動信號和擾動信號 N(s) N(s) 共同作用時共同作用時 由疊加原理，得由疊加原理，得 ( )( )( )( )( ) 1( )( ) ( )( ) 1( ) ( )( )1( ) ( )( ) 1 ( )( )( )( ) 1( ) ( )( ) eEN E sHsR sHsN s G s F s R sN s D s G s F sD s G s F s R sG s F s N s D s G s F s 得得 （4 4）系統(tǒng)的擾動傳遞函數(shù)）系統(tǒng)的擾動傳遞函數(shù)HN(s) 在在R(s)

47、=0 R(s)=0 時時，系統(tǒng)方框圖等效變換，系統(tǒng)方框圖等效變換 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) NN N N YsN sYs F s D s G s YsG s Hs N sD s G s F s （5 5） R(s) 和和N(s)共同作用下系統(tǒng)的共同作用下系統(tǒng)的 輸出輸出Y(s) R(s) 和和N(s) 同時作用時，由線性疊加原理同時作用時，由線性疊加原理 知系統(tǒng)的總輸出知系統(tǒng)的總輸出Y(s)為：為： ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1( )( )( )1( )( )( ) (

48、) ( )( )( ) 1( )( )( ) RNN Y sYsYsH sR sHsN s D s G sG s R sN s D s G s F sD s G s F s G s D s R sN s D s G s F s 2.5 2.5 狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間技術(shù)的發(fā)展，對控制隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間技術(shù)的發(fā)展，對控制 系統(tǒng)提出了更高的要求：系統(tǒng)提出了更高的要求： 控制方式更加復(fù)雜；控制方式更加復(fù)雜； 控制精度更高；控制精度更高； 可能具有多輸入量多輸出量；可能具有多輸入量多輸出量； 可能是時變系統(tǒng)可能是時變系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論：現(xiàn)代控制理論：

49、以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具；以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具； 采用狀態(tài)空間模型描述方法，完全表達(dá)系統(tǒng)的全部狀采用狀態(tài)空間模型描述方法，完全表達(dá)系統(tǒng)的全部狀 態(tài)與性能。態(tài)與性能。 狀態(tài)空間模型是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。 狀態(tài)變量法通常使用一階矩陣向量微分方程來描述。使?fàn)顟B(tài)變量法通常使用一階矩陣向量微分方程來描述。使 描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡捷明了、方便高效，且易于計描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡捷明了、方便高效，且易于計 算機(jī)求解，同時也為多變量系統(tǒng)與時變系統(tǒng)的分析與研算機(jī)求解，同時也為多變量系統(tǒng)與時變系統(tǒng)的分析與研 究提供有力的工具。究提供有力的工具。 1.1.

50、狀態(tài)空間分析法的基本概念狀態(tài)空間分析法的基本概念 a)狀態(tài)狀態(tài) b) 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 c)狀態(tài)向量狀態(tài)向量 d) 狀態(tài)空間狀態(tài)空間 e)狀態(tài)方程狀態(tài)方程 f)輸出方程輸出方程 g) 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 a).a).狀態(tài)狀態(tài) 狀態(tài)是系統(tǒng)中一些信息的集合，狀態(tài)是系統(tǒng)中一些信息的集合，是描述系統(tǒng)是描述系統(tǒng) 的最小一組變量的最小一組變量。或者說，是確定系統(tǒng)狀態(tài)?；蛘哒f，是確定系統(tǒng)狀態(tài) 的個數(shù)最少的一組變量，只要知道了在的個數(shù)最少的一組變量，只要知道了在t=t0 時的一組變量和時的一組變量和t t0 時的輸入量，就能夠完時的輸入量，就能夠完 全確定系統(tǒng)在任何時間全確定系統(tǒng)在任何時間t t0

51、時的行為。時的行為。 b).b).狀態(tài)變量狀態(tài)變量 系統(tǒng)的狀態(tài)變量是系統(tǒng)的狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小 一組變量一組變量。如果以最少的。如果以最少的n n個變量就能夠完全個變量就能夠完全 描述系統(tǒng)的行為（即當(dāng)描述系統(tǒng)的行為（即當(dāng)t t t t0 0 時輸入量和在 時輸入量和在 t = tt = t0 0 時的初始狀態(tài)給定后，系統(tǒng)的狀態(tài)將 時的初始狀態(tài)給定后，系統(tǒng)的狀態(tài)將 完全可以被確定），那么這樣的完全可以被確定），那么這樣的n n個變量就是個變量就是 系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量未必是物理上可測量的或可觀察狀態(tài)變量未必是物理上可測量的或可觀察 的量。某

52、些不代表物理量的變量既不能測的量。某些不代表物理量的變量既不能測 量，又不能觀察，但是卻可以被選作狀態(tài)量，又不能觀察，但是卻可以被選作狀態(tài) 變量。變量。 這種在選擇狀態(tài)變量方面的自由性，是狀這種在選擇狀態(tài)變量方面的自由性，是狀 態(tài)空間法的一個優(yōu)點(diǎn)。態(tài)空間法的一個優(yōu)點(diǎn)。 但實際上還是常常選擇容易觀測的量作為但實際上還是常常選擇容易觀測的量作為 狀態(tài)變量，以便對系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計和狀態(tài)變量，以便對系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計和 檢驗。檢驗。 c).c).狀態(tài)向量狀態(tài)向量 如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n n個狀個狀 態(tài)變量，那么可將這些狀態(tài)變量看作是向量態(tài)變量，

53、那么可將這些狀態(tài)變量看作是向量x x（t t） 的各個分量，該向量就稱為的各個分量，該向量就稱為狀態(tài)向量狀態(tài)向量。 d).d).狀態(tài)空間狀態(tài)空間 以各狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的以各狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的 n n 維空間稱為維空間稱為 狀態(tài)空間。狀態(tài)空間。 任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。 e).e).狀態(tài)方程狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關(guān)系的一階微描述系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關(guān)系的一階微 分方程組稱為狀態(tài)方程。分方程組稱為狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)的狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)的 變化，即系

54、統(tǒng)的內(nèi)部描述。變化，即系統(tǒng)的內(nèi)部描述。 f).f).輸出方程輸出方程 描述系統(tǒng)輸出變量與輸入變量及狀態(tài)變量之間函描述系統(tǒng)輸出變量與輸入變量及狀態(tài)變量之間函 數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程，稱為輸出方程。數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程，稱為輸出方程。 輸出方程表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化和輸入所引輸出方程表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化和輸入所引 起系統(tǒng)輸出的變化，它是一個變換過程，即系統(tǒng)起系統(tǒng)輸出的變化，它是一個變換過程，即系統(tǒng) 的外部描述。的外部描述。 g).g).狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 系統(tǒng)的系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程和輸出方程合稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空合稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空 間表達(dá)式，又叫做動態(tài)方程。間表達(dá)式，又叫做動態(tài)方程。

55、 狀態(tài)空間表達(dá)式反映了控制系統(tǒng)的全部信息，是狀態(tài)空間表達(dá)式反映了控制系統(tǒng)的全部信息，是 對系統(tǒng)的完全描述。對系統(tǒng)的完全描述。 2 2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 設(shè)系統(tǒng)的設(shè)系統(tǒng)的r 個輸入變量為個輸入變量為u1(t) ，u2(t) ， ur(t) ；m個輸出變量個輸出變量y1(t) ，y2(t) ，ym(t) ；系；系 統(tǒng)有統(tǒng)有n 個狀態(tài)變量個狀態(tài)變量x1(t) ，x2(t) ，xn(t)。 狀態(tài)方程狀態(tài)方程 111112211111221 221122222112222 11221122 nnrr nnrr nnnnnnnnnrr xa xa xa xb ub ub u

56、 xa xa xa xb ub ub u xa xa xa xb ub ub u 輸出方程輸出方程 111112211111221 221122222112222 11221122 nnrr nnrr mmmmnnmmmrr yc xc xc xd ud ud u yc xc xc xd ud ud u ycxcxcxdudud u 狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為 1112111121 2122221222 1212 xux nr nr nnnnnnnr aaabbb aaabbb aaabbb 1112111121 2122221222 1212 yxu nr n

57、r mmmnmmmr cccddd cccddd cccddd 狀態(tài)方程輸出方程輸出方程 或或 DuCxy BuAx x 狀態(tài)空間表達(dá)式各參量的物理含義狀態(tài)空間表達(dá)式各參量的物理含義 DuCxy BuAx x n 1 維維 狀態(tài)向量狀態(tài)向量 r 1 維維 控制向量控制向量 m 1 維維 輸出向量輸出向量 n n 維維系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣 表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀 態(tài)變量之間的關(guān)系態(tài)變量之間的關(guān)系 n r 維維輸入矩陣輸入矩陣 表示輸入對每個表示輸入對每個 狀態(tài)變量的作用狀態(tài)變量的作用 情況情況 m n 維維輸出矩陣輸出矩陣 表示輸出與狀態(tài)表示輸出與狀態(tài) 變量的組成關(guān)系變量的組成關(guān)系 m r

58、 維維前饋矩陣前饋矩陣 表示輸入對輸出表示輸入對輸出 的直接傳輸關(guān)系的直接傳輸關(guān)系 狀態(tài)空間表達(dá)式各參量的物理含義狀態(tài)空間表達(dá)式各參量的物理含義 Cxy BuAx x 若是若是線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，則，則A，B，C，D均為常數(shù)矩均為常數(shù)矩 陣；陣； 若是若是時變系統(tǒng)時變系統(tǒng)，則，則A，B，C，D的元素有些或全的元素有些或全 部是時間的函數(shù)。部是時間的函數(shù)。 若不考慮直接傳輸，則一般表達(dá)式為若不考慮直接傳輸，則一般表達(dá)式為 3 3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量。 條件：條件： - - 相互獨(dú)立，即不能由其它變量導(dǎo)出某一變量；相互獨(dú)立，即不能由其它變量導(dǎo)出

59、某一變量； - - 充分，即完全決定了系統(tǒng)的狀態(tài)。充分，即完全決定了系統(tǒng)的狀態(tài)。 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件的個數(shù)。狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件的個數(shù)。 選擇狀態(tài)變量一般有三條途徑：選擇狀態(tài)變量一般有三條途徑： - - 選擇系統(tǒng)中儲能元件的輸出物理量作為狀態(tài)變量；選擇系統(tǒng)中儲能元件的輸出物理量作為狀態(tài)變量； - - 選擇系統(tǒng)的輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量；選擇系統(tǒng)的輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量； - - 選擇能使?fàn)顟B(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量作為狀態(tài)變量。選擇能使?fàn)顟B(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量作為狀態(tài)變量。 列出描述系統(tǒng)動態(tài)特性或運(yùn)動規(guī)律的微分方程列出描述系統(tǒng)動態(tài)

60、特性或運(yùn)動規(guī)律的微分方程。 消去中間變量消去中間變量，得出狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變，得出狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與各狀態(tài)變 量、輸入變量的關(guān)系式即輸出變量與各狀態(tài)變量、輸量、輸入變量的關(guān)系式即輸出變量與各狀態(tài)變量、輸 入變量的關(guān)系式。入變量的關(guān)系式。 將方程將方程整理整理成狀態(tài)方程、輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。成狀態(tài)方程、輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。 例例2.112.11 解解: : 該系統(tǒng)有兩個儲能元件（質(zhì)量和彈簧），選該系統(tǒng)有兩個儲能元件（質(zhì)量和彈簧），選 取兩個狀態(tài)變量取兩個狀態(tài)變量 12 ( ),( )xy txy t 由例由例2. 12. 1分析可知分析可知 將上式整理成將上式整理成 2 2 ifki