微分法的幾何應(yīng)用65091PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 微分法的幾何應(yīng)用微分法的幾何應(yīng)用65091 設(shè)設(shè)空空間間曲曲線線為為 L： )( )( )( tzz tyy txx ，且且)(tx、)(ty、)(tz可可微微。 當(dāng)當(dāng) tt 及及ttt 時(shí)時(shí)，L 上上對對應(yīng)應(yīng)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為 ),( zyxM，及，及),(zzyyxxM ， 則割線則割線MM的方程為的方程為 z zz y yy x xx 上上式式分分母母除除以以t ，得得 t z zz t y yy t x xx ， 第1頁/共20頁 切切線線的的方方向向向向量量 )( ),( ),( tztytxa 。 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) MM時(shí)時(shí)，有有0 t，對對上上式式取取極極限限，得得 )()()(

2、 tz zz ty yy tx xx 故曲線故曲線處處的的法法平平面面方方程程在在點(diǎn)點(diǎn) ML為為 . 0)()( )( zztzyytyxxtx 第2頁/共20頁 例例 1求求螺螺旋旋線線 2 sin2 cos2 tz ty tx 上上對對應(yīng)應(yīng)于于 4 t的的點(diǎn)點(diǎn) M 處處的的切切線線 與與法法平平面面方方程程。 解解：當(dāng)當(dāng) 4 t時(shí)時(shí)，點(diǎn)點(diǎn) M 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為) 4 2 ,2 ,2( 。 螺旋線在點(diǎn)螺旋線在點(diǎn) M 處的切線方程為處的切線方程為 2 4 2 2 2 2 2 z yx ， 即即 1 4 2 1 2 1 2 z yx ； ttxsin2)( ，ttycos2)( ，2)( t z

3、， 2) 4 ( x ，2) 4 ( y ，2) 4 ( z ， 第3頁/共20頁 螺旋線在點(diǎn)螺旋線在點(diǎn) M 處的法平面方程為處的法平面方程為 0) 4 2 (2)2(2)2(2 zyx， 即即02444 zyx。 注注： （1）只只要要與與 )( ),( ),( tztytx 成成比比例例的的向向量量均均 可可作作為為切切線線的的方方向向向向量量。 （2）若曲線方程為）若曲線方程為)(xyy ，)(xzz ，則以，則以 x 為為參數(shù)，參數(shù)， 曲線曲線),( zyxM處的切線方程處的切線方程 )()(1 xz zz xy yyxx 。 第4頁/共20頁 例例 2求求曲曲線線 L： 2 2 12

4、 16 xz xy 在在對對應(yīng)應(yīng)于于 2 1 x的的點(diǎn)點(diǎn)處處 M 的的切切線線方方程程與與法法平平面面方方程程。 解：以解：以 x 為為參數(shù)，得曲線參數(shù)，得曲線 L 的參數(shù)方程：的參數(shù)方程： 2 2 12 16 xz xy xx ， 當(dāng)當(dāng) 2 1 x時(shí)時(shí)，點(diǎn)點(diǎn) M 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為)3 , 4 , 2 1 (。 1) 2 1 ( x ，16) 2 1 ( y ，12) 2 1 ( z ， 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為處的切線方程為 12 3 16 4 1 2 1 zy x ； 法法平平面面方方程程為為0)3(12)4(16) 2 1 ( zyx， 即即020124322 zyx。 第5

5、頁/共20頁 例例 3求求拋拋物物柱柱面面 2 xz 及及圓圓柱柱面面1 22 yx相相交交所所成成的的 空空間間曲曲線線在在) 25 9 , 5 4 , 5 3 ( M處處的的切切線線方方程程和和法法平平面面方方程程。 解解：曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 2 cos sin cos z y x ， 則則 sin)(x， cos)(y， cossin2)(z， 點(diǎn)點(diǎn) M對應(yīng)于對應(yīng)于 5 3 arccos ， 故故 5 4 )( x， 5 3 )( y， 25 24 )( z， 第6頁/共20頁 切切線線的的方方向向向向量量為為24 ,15 ,20 25 1 25 24 , 5 3 , 5

6、4 ， 故切線方程為故切線方程為 24 25 9 15 5 4 20 5 3 zyx ， 法法平平面面方方程程為為0) 25 9 (24) 5 4 (15) 5 3 (20 zyx， 即即0 25 216 241520 zyx。 第7頁/共20頁 注注:(3).空間曲線方程空間曲線方程 為為 , 0),( 0),( zyxG zyxF 切線方程為切線方程為 , 0 0 0 0 0 0 yx yx xz xz zy zy GG FF zz GG FF yy GG FF xx 法平面方程法平面方程 為為 . 0)()()( 0 0 0 0 0 0 zz GG FF yy GG FF xx GG F

7、F yx yx xz xz zy zy 確定確定 y=y(x),z=z(x). 曲線切線的方向向量為曲線切線的方向向量為: 1, y (x) , z (x)0 , 曲線方曲線方 程程 兩邊對兩邊對x求偏導(dǎo)后可得到求偏導(dǎo)后可得到: 第8頁/共20頁 定義定義 2 若曲面若曲面上過上過 點(diǎn)點(diǎn) M的任意一條光滑的任意一條光滑 曲線曲線處的處的在點(diǎn)在點(diǎn) M 切線切線 都在同一個(gè)平面上，則都在同一個(gè)平面上，則 稱該平面為稱該平面為 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn) M處的處的切平面切平面，過點(diǎn)，過點(diǎn) M且垂直于切平面的直線稱為曲面且垂直于切平面的直線稱為曲面處的處的在點(diǎn)在點(diǎn) M 法線法線。 T n x y z o L

8、M 8.8.2曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 第9頁/共20頁 )( )( )( tzz tyy txx ， tt) , ,( zyxM。 設(shè)曲面設(shè)曲面的方程為的方程為0),( zyxF， ) , ,( zyxM， 并設(shè)函數(shù)并設(shè)函數(shù)),(zyxF的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。 過點(diǎn)過點(diǎn) M任作一條位于任作一條位于上的上的 光滑曲線光滑曲線 L，設(shè)其方程為，設(shè)其方程為 L， 0)(),(),( tztytxF， 有有 0)(),(),( tt tztytxF dt d ， 第10頁/共20頁 即即0)()()()()()( tzMFtyMFtxMF zyx

9、 ， 令令)(),(),( MFMFMFn zyx ， )(),(),( tztytxa ， 則則0 an ，故，故an 。 由于由于 MLa 在點(diǎn)在點(diǎn)為曲線為曲線處的切線的方向向量，而曲線處的切線的方向向量，而曲線 L 是是 曲曲面面上任意一條上任意一條 M 過點(diǎn)過點(diǎn)的曲線，因此上式表明，的曲線，因此上式表明， M 過點(diǎn)過點(diǎn)的任一位于的任一位于 曲曲面面上的曲線上的曲線 M 在點(diǎn)在點(diǎn)的切線都與的切線都與 n 垂直，因而它們都在垂直，因而它們都在為為以以過點(diǎn)過點(diǎn) nM 法向量的同一平面法向量的同一平面 內(nèi)，該平面即為內(nèi)，該平面即為處處在點(diǎn)在點(diǎn)曲面曲面 M 的切平面，且其方程為的切平面，且其方程

10、為 第11頁/共20頁 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn)) , ,( zyxM處的法線方程為處的法線方程為 )()()( MF zz MF yy MF xx zyx 。 0)()()( zzMFyyMFxxMF zyx ， 第12頁/共20頁 例例 4求求圓圓錐錐面面 22 yxz 在在點(diǎn)點(diǎn) M（3，4，5）處處的的 切切平平面面及及法法線線方方程程。 解解：設(shè)設(shè) 22 ) ,(yxyxfz ， 則則 22 ) ,( yx x yxfx ， 22 ) ,( yx y yxf y ， 5 3 )4 , 3( x f， 5 4 )4 , 3( y f， 圓圓錐錐面面在在點(diǎn)點(diǎn) M 處處的的切切平平面面方方程程為為

11、)4( 5 4 )3( 5 3 5 yxz，即即0543 zyx。 第13頁/共20頁 圓圓錐錐面面在在點(diǎn)點(diǎn) M 處處的的法法線線方方程程為為 1 5 5 4 4 5 3 3 zyx ， 即即 5 5 4 4 3 3 zyx 。 第14頁/共20頁 例例 5問問球球面面104 222 zyx上上哪哪一一點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面與與 平平面面243 zyx平平行行？并并求求此此切切平平面面方方程程。 解：解： 令令104) , ,( 222 zyxzyxF， 則則xFx2 ，yFy2 ，zFz2 ， 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為) , ,( zyxM，則該點(diǎn)處切平面的法向量為，則該點(diǎn)處切平面的法向量為 , ,2

12、2 ,2 ,2 zyxzyxn ， 切切平平面面與與平平面面243 zyx平平行行， 它它們們的的法法向向量量平平行行， 第15頁/共20頁 點(diǎn)點(diǎn)) , ,( zyxM在在球球面面104 222 zyx上上， 104 222 zyx， 即即104169 222 zzz， 解解得得2 z，6 x，8 y， 143 zyx ， 解解得得 zx3 ， zy4 ， 相應(yīng)的切平面方程為相應(yīng)的切平面方程為 0)2()8(4)6(3 zyx， 或或0)2()8(4)6(3 zyx。 即即05243 zyx或或05243 zyx。 切切點(diǎn)點(diǎn)為為)2 , 8 , 6( M或或)2 , 8 , 6( M， 第16

13、頁/共20頁 例例 6設(shè)設(shè)),(vuF可可微微，試試證證曲曲面面0),( bzcyazcxF上上各各點(diǎn)點(diǎn) 的的法法向向量量總總垂垂直直于于常常向向量量 , ,cbaA 。 2121 0 bcFacFbcFacFAn ， 證證明明：設(shè)設(shè)),(),(bzcyazcxFzyx ， 則曲面在任一點(diǎn)處的法向量為則曲面在任一點(diǎn)處的法向量為 , , , , 2131 bFaFcFcFn zyx ， 第17頁/共20頁 例例 7求求曲曲線線 04532 03 222 zyx xzyx 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(處處的的 切切線線方方程程與與法法平平面面方方程程。 所求切線的方向向量所求切線的方向向量1 , 9 ,16 21 nna ， 法平面方程為法平面方程為0)1()1(9)1(16 zyx， 即即024916 zyx。 解：曲面解：曲面03 222 xzyx在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(處的法向量為處的法向量為 2 ,