芝諾斷言阿基里斯與龜賽跑(1)精編版

1、 問題提出：我們先來看一篇閱讀材料問題提出：我們先來看一篇閱讀材料 一位古希臘學(xué)者芝諾（一位古希臘學(xué)者芝諾（Zenon，公元前，公元前496前前429）曾提出一個(gè)著名的）曾提出一個(gè)著名的“追龜追龜”詭辯題。大家詭辯題。大家 知道，烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙。芝諾斷言：知道，烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙。芝諾斷言： 阿基里斯與龜賽跑，將永遠(yuǎn)追不上烏龜！阿基里斯與龜賽跑，將永遠(yuǎn)追不上烏龜！ 其理由是：如圖所示，假定阿基里斯現(xiàn)在其理由是：如圖所示，假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在處，烏龜現(xiàn)在T處。為了趕上烏龜，阿基里斯先

2、跑處。為了趕上烏龜，阿基里斯先跑 到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)T，當(dāng)他到達(dá)，當(dāng)他到達(dá)T點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到T1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)T1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到T2點(diǎn)點(diǎn) ，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離。因此，阿，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離。因此，阿 基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?！基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)模?AT TT1 T1T2 讓我們再看一看烏龜所走過的路程讓我們再看一看烏龜所走過的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前面設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖叮斣谇懊?100米

3、。當(dāng)阿基里斯跑了米。當(dāng)阿基里斯跑了100米時(shí)，龜已前進(jìn)了米時(shí)，龜已前進(jìn)了10米；當(dāng)阿基里斯再追米；當(dāng)阿基里斯再追10米時(shí)，龜又前米時(shí)，龜又前 進(jìn)了進(jìn)了1米，阿再追米，阿再追1米，龜又進(jìn)了米，龜又進(jìn)了0.1米米 所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為 米）( 9 1000 10 1 1 100 1 lim 1 q a Sn n 右端顯然為一無窮遞縮等比數(shù)列的和，根據(jù)以前學(xué)過的公式及極限定義有右端顯然為一無窮遞縮等比數(shù)列的和，根據(jù)以前學(xué)過的公式及極限定義有 所以，阿基里斯只要堅(jiān)持不到所以，阿基里斯只要堅(jiān)持不到112米的路程就可以追上烏龜！米的路程就可以追上烏龜

4、！ S= 100 1 10 1 110100lim n n S 牛刀小試之熟練公式篇牛刀小試之熟練公式篇： 如何把如何把0. 化成分?jǐn)?shù)形式？化成分?jǐn)?shù)形式？ 3 0. =0.3+0.03+0.003+ = = 3 1 . 01 3 . 0 3 1 分析： 實(shí)戰(zhàn)演練篇：實(shí)戰(zhàn)演練篇： 解：正方形的面積組成一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1= a2，由于相鄰的兩個(gè)正 方形中小正方形與大正方形的邊長比為 , 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 a a q a 所以面積比即公比q= ， 因此所有正方形的面積之和為S= B a D C A 1（1） 例例1 1、在邊長為a的正方形ABCD內(nèi)依次作內(nèi)

5、接正方形AiBiCiDi（=1，2，3 ） 如圖1（1）使內(nèi)接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)恰為相鄰前一個(gè) 正方形邊的中點(diǎn)，求所有正方形的面積之和； 變式變式：如果使內(nèi)接正方形與相鄰前一正方形的一邊的夾角為 ， 如圖1（2）求所有正方形的面積之和。 D CB A A1 B1 C1 D1 1（2） 分析： 正方形的面積仍然組成一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1= a2, 先求相鄰 的兩個(gè)正方形中小正方形與大正方形的邊長比如圖令A(yù)1D1=x,則 2sin1 1 ) sincos 1 ( 2 2sin )2sin1 ( 1 2 1 a q a S sincosxxa所以邊長比為 sincos 1 a x 面積比即公

6、比q為 從而所有正方形的面積和為 2 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 ) 4 1 ( 經(jīng)驗(yàn)積累：經(jīng)驗(yàn)積累：與實(shí)際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出與實(shí)際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出 首項(xiàng)及公比，求公比時(shí)，要特別注意相鄰兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系。首項(xiàng)及公比，求公比時(shí)，要特別注意相鄰兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系。 解：設(shè)第解：設(shè)第n次被剪去的半圓面積為次被剪去的半圓面積為an（n=1，2，3 ）,則則 a1= a2= a3= 2 ) 8 1 ( 2 1 1 4 且面積公比為 ， 它們組成一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列它們組成一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列, 故所有這些被剪掉部分的面積和為故所有這

7、些被剪掉部分的面積和為 6 4 1 1 1 11 a q a S 則 lim. 2263 nn n PSS 則 的面積為 例2.如圖所示，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為 的 半圓后得圖形P1，然后依次剪去更小半圓（其半徑為前一被剪掉半圓的半徑一半）得 圖形 記被剪剩下的紙板Pn的面積為Sn，求 Sn。 2 1 l i m n 321 ,PPP， 探索創(chuàng)新篇探索創(chuàng)新篇 如圖，封閉圖形P表示拋物線弧y=x2（ ） 與x軸及直線x=2圍成的圖形,如何求封閉圖形的面積? 20 x P Ai Bi 分析：把區(qū)間 0,2n等分 ,分別過分點(diǎn)Ai(=1，2，3 n-1)作x軸的垂線, 交

8、拋物線于Bi,如圖作n-1個(gè)矩形。 我們可以先求：(1)求這n-1個(gè)矩形的 面積和 ; 再求 (2)求 1n S 1 lim n n S ) 1(4342414 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n n nnnn Sn . 6 ) 12)(1(8 ) 1(321 8 3 2222 3 nnn n n n . 4 42 0 2 , 2 ,2 2 2 2 2 n i BA n i i n Bi n A n n ii ii 矩形的長為 ），的坐標(biāo)為（），則，的坐標(biāo)為（于是 則每個(gè)矩形的寬為等份均分為解：把 . 3 8 6 1218 limlim 3 1 n nnn S n n n ）（ 封閉圖

9、形的面積為 小結(jié)：小結(jié)： 1 1、理解無窮遞縮等比數(shù)列（公比、理解無窮遞縮等比數(shù)列（公比|q|1)|q|1)，盡管項(xiàng)數(shù)無限，但它的，盡管項(xiàng)數(shù)無限，但它的 和是一個(gè)確定的數(shù)和是一個(gè)確定的數(shù). . 2 2、與實(shí)際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出、與實(shí)際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出 首項(xiàng)及公比，求公比時(shí)，要特別注意相鄰兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系。首項(xiàng)及公比，求公比時(shí)，要特別注意相鄰兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系。 一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形（邊長為一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)正三角形（邊長為 1個(gè)單位）的軍事建筑物如圖（個(gè)單位）的軍事建筑物如圖（1），第二次觀測時(shí)如圖（），第二次觀測時(shí)如圖（2）發(fā)現(xiàn)它每）發(fā)現(xiàn)它每 邊中央邊中央1/3處還有一個(gè)正三角形，第三次觀測時(shí)如圖（處還有一個(gè)正三角形，第三次觀測時(shí)如圖（3）還發(fā)現(xiàn)原先每）還發(fā)現(xiàn)原先每 一小邊的中央一小邊的中央1/3處又有一向外突出的正三角形處又有