線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述邱

1、1 第一章 緒論 1 1.1 .1 控制理論的發(fā)展歷史控制理論的發(fā)展歷史 1.2 1.2 控制理論的性質(zhì)控制理論的性質(zhì) 1.3 1.3 控制理論的應(yīng)用控制理論的應(yīng)用 1.4 控制一個動態(tài)系統(tǒng)的幾個基本步驟 3 1.1 控制理論的發(fā)展歷史控制理論的發(fā)展歷史 v1945年年開始形成的開始形成的 v1765年年俄國機(jī)械師波爾祖諾夫發(fā)明了蒸汽機(jī)鍋爐水位調(diào)節(jié)器俄國機(jī)械師波爾祖諾夫發(fā)明了蒸汽機(jī)鍋爐水位調(diào)節(jié)器 v1784年年英國人瓦特英國人瓦特(Watt)發(fā)明了蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器發(fā)明了蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器 v1877年年勞斯勞斯(Routh)和赫爾維茨和赫爾維茨(Hurwitz)提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定提出判定系統(tǒng)穩(wěn)

2、定 的代數(shù)判據(jù)的代數(shù)判據(jù) v19世紀(jì)前半葉，世紀(jì)前半葉，生產(chǎn)中開始使用發(fā)電機(jī)和電動機(jī)生產(chǎn)中開始使用發(fā)電機(jī)和電動機(jī) v19世紀(jì)末到世紀(jì)末到20世紀(jì)前半葉，世紀(jì)前半葉，內(nèi)燃機(jī)的使用內(nèi)燃機(jī)的使用 v二次世界大戰(zhàn)中，二次世界大戰(zhàn)中，搭起了經(jīng)典控制理論的框架，戰(zhàn)后這些理搭起了經(jīng)典控制理論的框架，戰(zhàn)后這些理 論被公開，并應(yīng)用于一般的工業(yè)生產(chǎn)過程中論被公開，并應(yīng)用于一般的工業(yè)生產(chǎn)過程中 4 經(jīng)典控制理論（經(jīng)典控制理論（20世紀(jì)世紀(jì)4060年代）年代） 1932年奈奎斯特年奈奎斯特(Nyquist)的的再生理論再生理論一文，開辟了頻域法的一文，開辟了頻域法的 新途徑；新途徑； 1945年伯德年伯德(Bode)

3、的的網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計(jì)一文，奠定一文，奠定 了經(jīng)典控制理論的理論基礎(chǔ)，在西方開始形成了自動控制學(xué)科；了經(jīng)典控制理論的理論基礎(chǔ)，在西方開始形成了自動控制學(xué)科； 1947年美國出版了第一本自動控制教材年美國出版了第一本自動控制教材伺服機(jī)件原理伺服機(jī)件原理； 1948年美國麻省理工學(xué)院出版了另一本年美國麻省理工學(xué)院出版了另一本伺服機(jī)件原理伺服機(jī)件原理教材，教材， 建立了現(xiàn)在廣泛使用的頻域法；建立了現(xiàn)在廣泛使用的頻域法； 1948年維納年維納(Wiener)在他的名著在他的名著 控制論：或關(guān)于在動物和機(jī)器控制論：或關(guān)于在動物和機(jī)器 中控制和通信的科學(xué)中控制和通信的科學(xué)中基

4、于信息的觀點(diǎn)給控制論中基于信息的觀點(diǎn)給控制論(Cybernetics)下下 了一個廣義的定義。而在控制工程中又稱為控制理論了一個廣義的定義。而在控制工程中又稱為控制理論(Control Theory)。 20世紀(jì)世紀(jì)50年代是經(jīng)典控制理論發(fā)展和成熟的時期。年代是經(jīng)典控制理論發(fā)展和成熟的時期。 經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)： 1 1）把系統(tǒng)當(dāng)作把系統(tǒng)當(dāng)作 “ “黑箱黑箱”，不反映黑箱內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)，不反映黑箱內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi) 部變量，只反映外部變量，即輸入輸出間的因果關(guān)系；部變量，只反映外部變量，即輸入輸出間的因果關(guān)系； 2 2）傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)外部特性，屬于外部描述，）

5、傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)外部特性，屬于外部描述， 不完全描述；不完全描述； 3 3）主要采用頻域法，建立在根軌跡和奈奎斯特判據(jù)等基礎(chǔ)）主要采用頻域法，建立在根軌跡和奈奎斯特判據(jù)等基礎(chǔ) 之上的；之上的； 4 4）局限性：）局限性： 局限于線性定常系統(tǒng)，不適合非線性和時變系統(tǒng)局限于線性定常系統(tǒng)，不適合非線性和時變系統(tǒng) 是分析方法而不是最佳的綜合方法，以試湊法為主，滿足性能指是分析方法而不是最佳的綜合方法，以試湊法為主，滿足性能指 標(biāo)為目的，無法設(shè)計(jì)出最優(yōu)的系統(tǒng)，僅針對某個性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)標(biāo)為目的，無法設(shè)計(jì)出最優(yōu)的系統(tǒng)，僅針對某個性能指標(biāo)，設(shè)計(jì) 方案多樣方案多樣 局限于單輸入單輸出系統(tǒng)（局限于單輸入單

6、輸出系統(tǒng)（SISOSISO系統(tǒng)）系統(tǒng)） 無法考慮系統(tǒng)的初始條件（傳遞函數(shù)的定義）無法考慮系統(tǒng)的初始條件（傳遞函數(shù)的定義） 只能研究確定性的系統(tǒng)，不適合隨機(jī)系統(tǒng)只能研究確定性的系統(tǒng)，不適合隨機(jī)系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生和發(fā)展現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生和發(fā)展 在二十世紀(jì)五十年代末開始，隨著計(jì)算機(jī)的飛速在二十世紀(jì)五十年代末開始，隨著計(jì)算機(jī)的飛速 發(fā)展，推動了核能技術(shù)、空間技術(shù)的發(fā)展，從而出發(fā)展，推動了核能技術(shù)、空間技術(shù)的發(fā)展，從而出 現(xiàn)了對多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)現(xiàn)了對多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng) 的分析與設(shè)計(jì)問題的解決需求。的分析與設(shè)計(jì)問題的解決需求。 越來越復(fù)雜的系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論

7、已不能勝任，越來越復(fù)雜的系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論已不能勝任， 于于50年代末年代末60年代初出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，是建立年代初出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，是建立 在古典控制理論基礎(chǔ)上的新一代的控制理論。在古典控制理論基礎(chǔ)上的新一代的控制理論。 7 現(xiàn)代控制理論（現(xiàn)代控制理論（20世紀(jì)世紀(jì)60年代中期成熟）年代中期成熟） 20世紀(jì)世紀(jì)50年代末年代末60年代初，空間技術(shù)開始發(fā)展，前蘇聯(lián)年代初，空間技術(shù)開始發(fā)展，前蘇聯(lián) 和美國都競相進(jìn)行了大量研究。和美國都競相進(jìn)行了大量研究。 1960年在美國自動控制聯(lián)合會第一屆年會上首次提出年在美國自動控制聯(lián)合會第一屆年會上首次提出 “現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論”這個名詞。這個名

8、詞。 在狀態(tài)空間法發(fā)展初期，具有重要意義的是龐特里亞金在狀態(tài)空間法發(fā)展初期，具有重要意義的是龐特里亞金 （Pontryagin）的極大值原理。）的極大值原理。貝爾曼（貝爾曼（Bellman）的動）的動 態(tài)規(guī)劃理論和卡爾曼態(tài)規(guī)劃理論和卡爾曼（Kalman）的最佳濾波理論，）的最佳濾波理論，有人有人 把它們作為現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)，把它們作為現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)，主要研究主要研究系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識、最、最 優(yōu)控制、優(yōu)控制、最佳濾波最佳濾波及及自適應(yīng)控制自適應(yīng)控制等內(nèi)容。等內(nèi)容。 8 20世紀(jì)世紀(jì)70年代后期，控制理論向廣度和深度發(fā)展的結(jié)果。年代后期，控制理論向廣度和深度發(fā)展的結(jié)果。 大系統(tǒng)理論和智能控制

9、理論大系統(tǒng)理論和智能控制理論 大系統(tǒng)大系統(tǒng)是指規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制是指規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制 系統(tǒng)，它涉及生產(chǎn)過程、交通運(yùn)輸、計(jì)劃管理、環(huán)境保護(hù)、系統(tǒng)，它涉及生產(chǎn)過程、交通運(yùn)輸、計(jì)劃管理、環(huán)境保護(hù)、 空間技術(shù)等多方面的控制和信息處理問題?？臻g技術(shù)等多方面的控制和信息處理問題。 智能控制智能控制則研究模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等某些具則研究模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等某些具 有仿生智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。有仿生智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。 20世紀(jì)世紀(jì)80年代以后，又相繼提出了魯棒控制系統(tǒng)、容錯年代以后，又相繼提出了魯棒控制系統(tǒng)、容錯 控制系統(tǒng)、

10、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等一些概念。控制系統(tǒng)、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等一些概念。 現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的差異現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的差異 經(jīng)典控制理論 現(xiàn)代控制理論 研究對象單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO):高階微 分方程 多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO) :一 階微分方程 研究方法傳遞函數(shù)法(外部描述) 狀態(tài)空間法(內(nèi)部描述) 研究工具拉普拉斯變換 線性代數(shù)，矩陣?yán)碚?分析方法頻域(復(fù)域),頻率響應(yīng)和根軌跡法 復(fù)域、實(shí)域，可控和可觀測 設(shè)計(jì)方法PID控制和校正網(wǎng)絡(luò) 狀態(tài)反饋和輸出反饋 其他 頻率法的物理意義直觀、實(shí)用， 難于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制 易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制和最優(yōu)控制 1.2 控制理論的性質(zhì) 控制理論有兩個目標(biāo)：了

11、解基本控制原理；以數(shù)學(xué)表達(dá)它們，使它們 最終能用以計(jì)算進(jìn)人系統(tǒng)的控制輸入，或用以設(shè)計(jì)自動控制系統(tǒng)。 自動控制領(lǐng)域中有兩個不同的但又相互聯(lián)系的主題。 第一個主題是反饋的概念。 第二個主題是最優(yōu)控制的概念。 反饋概括了很廣泛的概念，包括當(dāng)前系統(tǒng)中的多回路、非線性和自適 直反饋，以及將來的智能反饋。 1.3 控制理論的應(yīng)用 控制系統(tǒng)之所以能得到如此普遍的應(yīng)用，1、現(xiàn)代儀表化(完備的傳感器 和執(zhí)行機(jī)構(gòu))與便宜的電子硬件，2、控制理論有處理其模型 和輸出信號所具有的不確定性動態(tài)系統(tǒng)的能力。 在控制理論中已完善的各種方法愈來愈得到普遍應(yīng)用的同時，先進(jìn)的 理論概念的應(yīng)用卻仍集中在像空間工程那樣的高技術(shù)方面。

12、當(dāng)然，由于計(jì) 算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和世界性的激烈的工業(yè)競爭，這種情況將會改變。 鋼鐵行業(yè)中熱軋廠是最早成功地采用計(jì)算機(jī)控制的工廠。 控制概念得到主要應(yīng)用的一個領(lǐng)域是石油化工生產(chǎn)過程。 1.4 控制一個動態(tài)系統(tǒng)的幾個基本步驟 簡單地說，控制一個動態(tài)系統(tǒng)有下列四個基本步驟： 建模 基于物理規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型； 系統(tǒng)辨識 基于輸入輸出實(shí)測數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型； 信號處理 用濾波、預(yù)報、狀態(tài)估計(jì)等方法處理輸出； 綜合控制輸入 用各種控制規(guī)律綜合輸入。 1建模 為一個系統(tǒng)選擇一個數(shù)學(xué)模型是控制工程中最重要的工作。 2系統(tǒng)辨識 系統(tǒng)辨識可以定義為用在一個動態(tài)系統(tǒng)上觀察到的輸入與輸出數(shù)據(jù)來 確定它的模型的過程。 當(dāng)

13、前系統(tǒng)辨識方面的研究集中在下列諸基本問題上：辨識問題的可解 性和問題提出的恰當(dāng)性、對各類模型的參數(shù)估計(jì)方法。 信號處理是控制理論外面的獨(dú)立的一門學(xué)科，但這兩學(xué)科之問有許多 重疊之處，而控制界曾對信號處理作出了重要貢獻(xiàn)，特別是在濾波和平滑 的領(lǐng)域。 3信號處理 4控制的綜合 這些過程的復(fù)雜性導(dǎo)致了各種控制研究課題，主要有： 魯棒控制理論 適應(yīng)控制一 多變量控制 非線性控制理論 分布參數(shù)控制 其它控制 14 第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 15 本章主要內(nèi)容 v2.1 狀態(tài)空間分析法 v2.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖 v2.3 狀態(tài)空間描述的建立 v2.4 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述及 其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式 v

14、2.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù) v2.6 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 v2.7 狀態(tài)矢量的線性變換 16 系統(tǒng)描述中常用的基本概念 v 系統(tǒng)的外部描述 傳遞函數(shù) v 系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述 由外部描述 求其 內(nèi)部描述 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 17 1、外部描述、外部描述 經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時域經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時域 內(nèi)描述，對復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困內(nèi)描述，對復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困 難的。難的。 經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系 統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入-輸出關(guān)系的傳

15、遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)SISO系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分 布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計(jì)布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計(jì) 法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。 但傳遞函數(shù)對系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處但傳遞函數(shù)對系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處 于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動變量；且忽略了初始條件。因此傳遞于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動變量；且忽略了初始條件。因此傳遞 函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。 18 2、內(nèi)部描述、內(nèi)部描述 由于六十年代

16、以來，控制工程向復(fù)雜化、高性能由于六十年代以來，控制工程向復(fù)雜化、高性能 方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、 誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之 利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時控制，因而利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時控制，因而 可能處理復(fù)雜的時變、非線性、可能處理復(fù)雜的時變、非線性、MIMO系統(tǒng)的問題，系統(tǒng)的問題， 但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是 需要用新的對系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間需要用新的

17、對系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間 分析法。分析法。 19 為什么采用狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）為什么采用狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）？ v觀察觀察：在經(jīng)典控制理論中，對一個不穩(wěn)定系統(tǒng)在經(jīng)典控制理論中，對一個不穩(wěn)定系統(tǒng) 1 1 S S sH c 1 1 S sH f （在S右半平面有一個極點(diǎn)） 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，加一個補(bǔ)償環(huán)節(jié)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，加一個補(bǔ)償環(huán)節(jié) 總傳遞函數(shù)為：總傳遞函數(shù)為： )1( 1 )1)(1( 1 )( SSS S sHsH c f 結(jié)果穩(wěn)定嗎？結(jié)果穩(wěn)定嗎？ 20 1 X 1 X 2 X 2 X uy 建立模擬計(jì)算機(jī)仿真圖建立模擬計(jì)算機(jī)仿真圖 寫出狀態(tài)空間表達(dá)式寫出狀態(tài)空間表達(dá)式 u

18、x x x x 1 2 11 01 2 1 2 1 T xxy 21 10 20 10 2 1 )0( )0( x x x x 求解狀態(tài)方程：求解狀態(tài)方程： uexex tt 2 101 uexeexex tttt 10202 )( 2 1 21 從內(nèi)部看：由于包含了從內(nèi)部看：由于包含了 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 t e 1 1 )( S sH uetx t )( 2 從外部看：總傳遞函數(shù)為：從外部看：總傳遞函數(shù)為： 穩(wěn)定穩(wěn)定 差異的原因？差異的原因？ 若初始條件為零：若初始條件為零：0 2010 xx 則： 傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下在零初始條件下，輸出的拉氏變化，輸出的拉氏變化 與

19、輸入的拉氏變化之比與輸入的拉氏變化之比 能否始終保持能否始終保持零零初始條件初始條件 事實(shí)上：事實(shí)上：精確依賴零極點(diǎn)對消 元件性能的差異 初始條件不為零 導(dǎo)致不穩(wěn)定導(dǎo)致不穩(wěn)定 22 2.1 狀態(tài)空間分析法 v狀態(tài)空間分析法例子狀態(tài)空間分析法例子 v狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量 v狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述 23 一、狀態(tài)空間分析法例子一、狀態(tài)空間分析法例子 1、R-L-C電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 解：以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程 選 )(ti uidti dt di L C 1 R RL + _ + _ u(t)uc(t) + _ y i(t) 輸入輸出 C 1

20、 )(tuy c idt i 1 x 2 x idt 24 為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成 寫成矩陣方程： 1 x 2 x L R LC 1 10 1 x 2 x L 1 0 )(tu dt di L R 1 x LC 1 2 x)( tu L 1 1 x y 2 x)(tuc 1 x 2 x C 1 y 1 x 2 x C 1 0 25 一、狀態(tài)空間分析法例子一、狀態(tài)空間分析法例子 2、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 外力 位移 Ku(t) m y(t) b )(tu ym yb ky 根據(jù)牛頓力學(xué)原理 yx 1 yx2 令 -彈性系數(shù) 阻尼系數(shù) 26 21 xx )( 1

21、 2 tu m y m b y m k yx )( 1 21 tu m x m b x m k 1 xy 動態(tài)方程如下動態(tài)方程如下 27 狀態(tài)空間描述為：狀態(tài)空間描述為： 2 1 x x m b m k 10 2 1 x x u m 1 0 2 1 01 x x y 28 二、狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量 v狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。 狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時刻的初始狀態(tài)能記憶時刻的初始狀態(tài)能記憶 系統(tǒng)在系統(tǒng)在 t=t0時輸入的時間函數(shù)時輸入的時間函數(shù) ，那么，系統(tǒng)在，那么，系統(tǒng)在t=t0的任何的

22、任何 瞬間的行為瞬間的行為 就完全確定了。就完全確定了。 最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個用最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個用n階微分方階微分方 程描述的含有程描述的含有n個獨(dú)立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得個獨(dú)立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得n個獨(dú)立變量隨時個獨(dú)立變量隨時 間變化的規(guī)律時，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于間變化的規(guī)律時，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于n， 必有變量不獨(dú)立；若少于必有變量不獨(dú)立；若少于n，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。 100 , n xtxt u t 1n x txt， ， 29 狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，即可用某狀態(tài)變量的選取具有非唯一性

23、，即可用某 一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變 量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可 測量或可觀察的量，但在實(shí)用上畢竟還是選擇測量或可觀察的量，但在實(shí)用上畢竟還是選擇 容易測量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、容易測量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、 改善系統(tǒng)性能的需要。改善系統(tǒng)性能的需要。 30 ：把把 這幾個狀態(tài)變量看這幾個狀態(tài)變量看 成是矢量成是矢量 的分量，則的分量，則 稱為狀態(tài)矢量。記作：稱為狀態(tài)矢量。記作： )(),.,(),( 21 txtxtx n )(tX X )(tX X )( )( 1

24、 tx tx n X(t)X(t) 或：或：)().,(),()( 21 txtxtxt n T X X 31 ：以狀態(tài)變量以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)為坐標(biāo) 軸所構(gòu)成的軸所構(gòu)成的n維空間。維空間。 q在某一特定時刻在某一特定時刻t ，狀態(tài)向量，狀態(tài)向量 是狀態(tài)空間的是狀態(tài)空間的 一個點(diǎn)。一個點(diǎn)。 )(),.,(),( 21 txtxtx n )(tX X ：以以 為起點(diǎn)，隨著時間的推移，為起點(diǎn)，隨著時間的推移， 在狀態(tài)空間繪出在狀態(tài)空間繪出 的一條軌跡。的一條軌跡。 )(tX X )()( 0 ttX XX X 三、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述 32 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)

25、之間的關(guān)系方程用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)之間的關(guān)系方程 組即為組即為狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出 方程的組合：方程的組合： （1）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān) 系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。 （2）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸 入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量 與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。 由于由于n階系

26、統(tǒng)有階系統(tǒng)有n個獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是個獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是 n個的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具個的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具 有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也 不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也具有非唯一性。不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也具有非唯一性。 33 在討論狀態(tài)方程時，為簡單起見，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量在討論狀態(tài)方程時，為簡單起見，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量 為階躍函數(shù)，即為階躍函數(shù)，即u的導(dǎo)數(shù)為零。的導(dǎo)數(shù)為零。SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀 態(tài)變量為態(tài)變量為 ，則一

27、般形式的狀態(tài)空間描述寫，則一般形式的狀態(tài)空間描述寫 作：作： (1-8) (1-9) 式中常系數(shù)式中常系數(shù) ； 與系與系 統(tǒng)特性有關(guān)。統(tǒng)特性有關(guān)。 111 , nnn aabb， ，； ， 1n ccd， ，； SISO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述： n xxx 21 ubxaxaxax ubxaxaxax ubxaxaxax nnnnnnn nn nn 2211 222221212 112121111 duxcxcxcy nn 2211 34 方程（方程（1-8）、）、（1-9）可寫成矩陣形式：可寫成矩陣形式： 1 2 n x x x x 1 2 n b b b b 輸入矩陣，n1列矩陣。 式

28、中：式中： 1 2 n x x x x n維狀態(tài)矢量 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa a aa A 系統(tǒng)矩陣， nn矩陣。 ：輸出矩陣，1n行矩陣），d為直接聯(lián) 系輸入量、輸出量的前向傳遞（前饋）系數(shù)，又稱前饋系數(shù)。 12n cccc， ， uAxxb uxydc 35 MIMO線性定常系統(tǒng)（r個輸入，m個輸出） 的狀態(tài)空間描述 rnrnnnnnnnn rrnn rrnn ubububxaxaxax ubububxaxaxax ubububxaxaxax 22112211 222212122221212 121211112121111 rmrmmnmnmmm r

29、rnn rrnn ududubxcxcxcy udududxcxaxay udududxcxcxcy 22112211 222212122221212 121211112121111 36 , 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 系表征各狀態(tài)變量間的關(guān)系統(tǒng)矩陣維,nn , 21 22221 11211 nrnn r r bbb bbb bbb B 作作用用表表征征輸輸入入對對每每個個變變量量的的輸輸入入矩矩陣陣維維,rn 狀態(tài)矢量維1, T 21 n n xxxx 輸入矢量維1, T 21 ruuuu r BuAxx DuCxy 37 , 21 2222

30、1 11211 mnmm n n ccc ccc ccc C 量量的的關(guān)關(guān)系系表表征征輸輸出出和和每每個個狀狀態(tài)態(tài)變變 輸輸出出矩矩陣陣維維nm , 21 22221 11211 mrmm r r ddd ddd ddd D 0D , 通常 傳遞關(guān)系表征輸入對輸出的直接 直接傳遞矩陣又稱為前饋矩陣維rm 輸出矢量維1, T 21 m m yyyy 38 系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖 ： B BC C A A D D U U X XX XY Y DUDUCXCXY Y BUBUAXAXX X i k 注注:負(fù)反饋時為負(fù)反饋時為 注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器 積分器積分

31、器 比例器比例器 加法器加法器 39 , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 系表征各狀態(tài)變量間的關(guān)系統(tǒng)矩陣維,nn , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 nrnn r r bbb bbb bbb B 作作用用表表征征輸輸入入對對每每個個變變量量的的輸輸入入矩矩陣陣維維,rn 狀態(tài)矢量維1, T 21 n n xxxx 輸入矢量維1, T 21

32、ruuuu r uBxAx)t()t( uDxCy)t()t( 40 , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 mnmm n n ccc ccc ccc C 量量的的關(guān)關(guān)系系表表征征輸輸出出和和每每個個狀狀態(tài)態(tài)變變 輸輸出出矩矩陣陣維維nm , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 mrmm r r ddd ddd ddd D 0D , 通常 傳遞關(guān)系表征輸入對輸出的直接 直接傳遞矩陣又稱為前饋矩

33、陣維rm 輸出矢量維1, T 21 m m yyyy 41 1.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖 v狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖繪制步驟： 畫出所有積分器； v積分器的個數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個積分器的 輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量。 根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的 加法器和比例器； 用箭頭將這些元件連接起來。 42 例1-1 畫出一階微分方程的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖 buaxx 微分方程：微分方程： 43 系統(tǒng)系統(tǒng) 系統(tǒng)系統(tǒng) 44 1.3 1.3 狀態(tài)空間描述的建立狀態(tài)空間描述的建立 建立狀態(tài)空間描述的三個途徑：建立狀態(tài)空間描述的三個途徑： 1、由系統(tǒng)框圖建立、由系統(tǒng)框圖建立 2、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行

34、推導(dǎo)、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo) 3 、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得 45 一一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述 u y 4 k 1 1 1 sT k 1 2 2 sT k sT k 3 3 系統(tǒng)框圖如下：系統(tǒng)框圖如下： 將積分部分單獨(dú)表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換將積分部分單獨(dú)表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換 等效變換如下：等效變換如下： 46 圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選 擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）： 則有：則有： 2 1

35、 3 1 x T k x 3 2 2 2 2 2 1 x T k x T x u T k x T x T k kx 1 1 3 1 1 1 1 43 1 1 xy 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： u T k x x x TT kk T k T T k X 1 1 3 2 1 11 41 2 2 2 3 3 0 0 1 0 1 0 00 X001y 47 系統(tǒng)系統(tǒng) 48 二、由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述 v步驟：步驟： 1)根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或 差分方程；差分方程； 2)選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量；選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量； 3)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)

36、式。導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式。 49 系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù) 使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量 （對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型） 50 電路如圖所示。建立該電路以電壓電路如圖所示。建立該電路以電壓u u1 1,u,u2 2為輸入量，為輸入量， u uA A為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。 圖圖 L L2 2 u uA A u u1 1 u u2 2 + + _ _ + + _ _ i i1 1i i2 2 R R2 2 R R1 1 L L1 1 1) 1) 選

37、擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量 兩個儲能元件兩個儲能元件L L1 1和和L L2 2，可以選擇，可以選擇i i1 1和和i i2 2為狀態(tài)變量，為狀態(tài)變量， 且兩者是獨(dú)立的。且兩者是獨(dú)立的。 51 2 2）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2 2個回路的微分方程：個回路的微分方程： 2121 2222121 212111 )( )( )( 2 1 uRiiu RiLuRii uRiiLu A dt di dt di 右回路右回路 左回路左回路 整理得：整理得： 21211 2 1 21 2 1 1 1 21 22 21 2 12 111 1 1 11 uRiRiu uii uuii

38、 A LL RR L R dt di LLL R L R dt di 52 3 3）狀態(tài)空間表達(dá)式為：）狀態(tài)空間表達(dá)式為： 2 1 2 1 11 2 1 1 11 2 1 2 1 10 0 2 11 2 21 2 1 1 1 1 1 u u i i RRu u u i i i i A L LL L RR L R L R L R 53 試列出在外力試列出在外力f作作 用下，以質(zhì)量用下，以質(zhì)量 的位移的位移 為輸出的為輸出的 狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。 21,M M 21, y y 1 v 2 v 1 k2 k 1 y 2 y 1 M 2 M 1 B 2 B f 該系統(tǒng)有四個獨(dú)立的儲能元件。取狀

39、態(tài)變量如下：該系統(tǒng)有四個獨(dú)立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下： 2241132211 ,vyxvyxyxyx 11y k 11 y M 11y B )( 122 yyB 22 y M )( 122 yyk f 1 M 2 M 質(zhì)量塊受力圖如下：質(zhì)量塊受力圖如下： 54 則有：則有：)()( 122122111111 yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()( 12212222 將所選的狀態(tài)變量將所選的狀態(tài)變量 2241132211 ,vyxvyxyxyx 代入上式并整理出狀態(tài)方程得：代入上式并整理出狀態(tài)方程得： 22 11 xy xy 輸出方程：輸出方程： f M x M B x

40、 M k x M k x x M B x M BB x M k x M kk x xx xx 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 1 2 3 1 21 2 1 2 1 1 21 3 42 31 1 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： 55 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： f M X M B M k M k M B M BB M k M kk X 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 1 21 1 0 0 0 0 1000 0100 4 3 2 1 0010 0001 x x x x y 56 1.4 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式及其幾

41、種標(biāo)準(zhǔn)形式 對于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對應(yīng)的狀對于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對應(yīng)的狀 態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空輸出特性，稱此狀態(tài)空 間描述是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不間描述是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不 同，其狀態(tài)空間描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。同，其狀態(tài)空間描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。 為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí) 現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極 點(diǎn)

42、對消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對消的情況，點(diǎn)對消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對消的情況， 所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的 維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時所需的積分器個數(shù)最少，稱為維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時所需的積分器個數(shù)最少，稱為 最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)。 本節(jié)先研究本節(jié)先研究SISO系統(tǒng)。系統(tǒng)。 57 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 ububububyayayay m m m m n n n 01 ) 1( 1 )( 01 ) 1( 1 )( n n階階SISOSISO控制系統(tǒng)的時域模型為：

43、控制系統(tǒng)的時域模型為： 可實(shí)現(xiàn)的條件：可實(shí)現(xiàn)的條件： mmn uxy uAxx dc b 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 01 1 1n 01 1 1mm )( asasas bsbsbsb sW nn mm 58 當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中m=n時，即 應(yīng)用長除法有 01 1 1n 01 1n 1n n n )( asasas bsbsbsb sW nn D(s) N(s) b asasas ss bsW nn n 01 1 1n 01 1n 1n n )( 59 式中 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)， 是嚴(yán)格有 理真分式，其系數(shù)用綜合除法得 n b N s D s 000 111 111 n

44、 n nnnn ba b ba b bab 其狀態(tài)空間描述為其狀態(tài)空間描述為 n uyb uxAxbcx， (1-44) (1-45) 式中A、b、c由實(shí)現(xiàn)方式確定，其形式不變，唯輸出方程中需 增加一項(xiàng) n b u 60 微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）：微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）： ubyayayay nn 001 )1( 1n )( 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 01 1 1n 0 )( asasas b sW nn 61 若給定初始條件若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。

45、即： )(0)0(,),0(),0( )1( tutyyy n 的的輸輸入入及及 令令: uxaxaxax xx xx xx x nnn nn 12110 1 32 21 0 1 y b 1 1、標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)I型型 62 狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為: 輸出方程為輸出方程為: u x x x aaax x x nnn 1 0 0 10 010 2 1 110 2 1 xy00b0 63 狀態(tài)變量是輸出狀態(tài)變量是輸出y及及y的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù) 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對角線上方的元素為特點(diǎn)：主對角線上方的元素為1，最后一行為微分，最后一行為微分 方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為

46、0，稱為友矩陣或相伴矩陣。，稱為友矩陣或相伴矩陣。 0 b 0 a 2 xuy 1 x n x n x 1 n x 1 a 1 n a 2 n a 64 2、標(biāo)準(zhǔn)II型 若給定初始條件若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即： )(0)0(,),0(),0( )1( tutyyy n 的的輸輸入入及及 令令: n ii1i 0n01 xy 1-n,1,iyaxx ubxax 65 狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為: 輸出方程為輸出方程為: u x x x x a a a a x x x x n n n n n n 0 0 0 b 100

47、 000 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 xy1000 66 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)I型的型的A、b陣和標(biāo)準(zhǔn)陣和標(biāo)準(zhǔn)II型的型的A、c陣互為轉(zhuǎn)置陣互為轉(zhuǎn)置 的關(guān)系，即：的關(guān)系，即： T III T III bc,AA 67 二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時的實(shí)現(xiàn) ) 1 (ububububyayayay 01 1)(n 1n (n) n01 1)(n 1n (n) 不失一般性，微分方程形式：不失一般性，微分方程形式： 狀態(tài)變量選擇原則：狀態(tài)變量選擇原則： 使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 68 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 應(yīng)用長除法有

48、01 1 1n 01 1n 1n n n )( asasas bsbsbsb sW nn 1、標(biāo)準(zhǔn)I型 000 111 111 n n nnnn ba b ba b bab 其中： D(s) N(s) b asasas ss bsW nn n 01 1 1n 01 1n 1n n )( 69 （1）能控）能控I型型 引入中間變量z，以u作為輸入、z作為輸出的不含輸 入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，即 1 110 1 110 nn n n n za zaz a zu yzzz (1-17) 70 12 23 1 011 01121 n nn nn xx xx xa za zazu a xa xaxu 定義如

49、下一組狀態(tài)變量 1 120 n xz xzxz ， (1-18) 可得狀態(tài)方程： 71 輸出方程為 其向量-矩陣形式為 式中 0121 0100 0010 0001 n aaaa A 0 0 0 1 b 1 2 1n n x x x x x 011n c 0 11 21nn yxxx ubn uyxAxbcx， ubn 72 )2( 11 2n23 1n12 n1 uxx uxx uxx uyx nn （2）能觀測）能觀測I型型 1.）選擇狀態(tài)變量）選擇狀態(tài)變量 式中系數(shù)式中系數(shù) 是待定系數(shù)是待定系數(shù). n , 10 )3( 11 2n32 1n21 uxx uxx uxx nn 整理整理(2

50、)式得式得: )4( n1 012110 uxy uxaxaxax nnn 由結(jié)構(gòu)圖可以看出由結(jié)構(gòu)圖可以看出: 73 聯(lián)立聯(lián)立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：求得狀態(tài)空間表達(dá)式為： ux aaa x n 0 1n 110 1 000 010 uxy n 001 從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了的各階導(dǎo)數(shù)了 2.）求）求 n ,., 210 思路思路:由式由式(2)可以看出，將可以看出，將y表示成表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和的各階導(dǎo)數(shù)和x的形的形 式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根據(jù)，根據(jù)u及

51、其各階及其各階 導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解： A仍然是友矩陣仍然是友矩陣 74 )5( 12 )2( 1n )1( n )1( n1n2n3n1n2 n1n2n1 n1 uuuuxy uuuxuuxy uuxuxy uxy nn n n 由式由式(2)可以得到下式可以得到下式： 在結(jié)構(gòu)圖中增加一個中間變量：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個中間變量： )6( 01 uxx nn 1 n x 令令 由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得： uuuuux uuuuxy nn n nn n n 012 )1( 1n )( n1 12 )1( 1n )( n )( (7) 75 將式將式(

52、5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中中，根據(jù)左右等式中u 及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到： n , 10 ) 8 ( 0 n01n1221100 n21n122n n111n n 102111 aaaab aab ab b xaxaxax nn nnn nn n nnn 為便于記憶，為便于記憶， 將上式寫成：將上式寫成： 0 1 1n n 76 2、標(biāo)準(zhǔn)II型 v與標(biāo)準(zhǔn)I型相同，標(biāo)準(zhǔn)II型也分為能控II型和 能觀II型。 v能觀II型與能控I型互為對偶。 v能控II型與能觀I型互為對偶。 77 n n n nkk

53、 n n n n b s c s c s c s c s c s c ssss bsbsbsb s 2q 2q 1q 1q 1 11 1q 1 )1q(1 q 1 q1 21 q 1 01 1 1 )()()( )()()( )(W 不失一般性，討論不失一般性，討論 此系統(tǒng)：此系統(tǒng)： 也有一個也有一個q重極點(diǎn)：重極點(diǎn)： n , 2q1q 1 既有互異極點(diǎn)：既有互異極點(diǎn)： 整理得整理得 ) 1 ()()()( )( )( 1q q 1 1q 1 )1q(1 sUbsU s c sU s c sY n n i i i j j j 78 )2(), 2q, 1q()( 1 )(nisU s sX i

54、 i )3(), 2q, 1q(niuxx iii 令令 拉氏反變換可得：拉氏反變換可得： 系數(shù)系數(shù) 為待定系數(shù)，其中為待定系數(shù)，其中 ，采用，采用計(jì)算：計(jì)算： i cni,.2 , 1 q 1 1 1 1)1(q )()(W )!1( 1 q,.,2 , 1 1 ss ds d j LimCj j j s j 時，當(dāng) )(lim,.,2q, 1q i s i ssGcni i 時，當(dāng) 79 令令 )4()q,.,2 , 1()( )( 1 )( 1q 1 jsU s sX j j ) 1q,.,2 , 1()( )( 1 )( q 1 1 jsU s sX j j 則：則： )5( )q()

55、( 1 )( ) 1q,.,2 , 1( 1 )()( 1 1 1 jsU s sX j s sXsX j jj 聯(lián)立上兩式得：聯(lián)立上兩式得： )6( )q( ) 1q, 2 , 1( 1 11 juxx jxxx jj jjj 拉氏反變換可得：拉氏反變換可得： )7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsY niii 聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：可得： 80 ub x x x u x x x x x x x x x x x x n n nnn k k k 2 1 n1q1112)1q(11q 2q 1q q 2 1 2q 1q 1 1 1 2 1 2 1 cccccc y

56、 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 01 由由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：可得狀態(tài)空間描述為： 81 xn xq+1 x11x12 x1q y(t)u(t) + + + + -1 1 -q+1 q+1 -n n -1 1 -1 1 c11 c12 c1q cq+1 cn 11 x 12 x q1 x 1q x n x 82 1.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù) 1）SISO系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(s)描述，描述，W(s)是一是一 個元素；個元素； 2）MIMO系統(tǒng)，多個輸入對多個輸出，故引入系統(tǒng)，多個輸入對多個輸出，故引入 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣W(s) ，W

57、(s)是一個矩陣，可以表是一個矩陣，可以表 征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響； 83 狀態(tài)空間描述：狀態(tài)空間描述： DuCxy BuAx x 根據(jù)傳遞函數(shù)定義，對上式進(jìn)行拉氏變換，并令根據(jù)傳遞函數(shù)定義，對上式進(jìn)行拉氏變換，并令 ，得式：，得式： 0) 0( 0 xx )()()( )()()( sDUsCXsY sBUsAXssX 整理上式得：整理上式得： )()()( 1 sUDBAsICsY 84 mrmm r r DBAsIC sU sY s WWW WWW WWW )( )( )( )(W 21 22221 11211 1 注意矩陣求逆注意矩陣求逆 定義傳遞函數(shù)矩

58、陣：定義傳遞函數(shù)矩陣： 1）dim(W(s)=mr，其中，其中dim()表示表示的維數(shù)。的維數(shù)。 m是輸出維數(shù)，是輸出維數(shù)，r是輸入維數(shù)。是輸入維數(shù)。 )( )( )(W sU sY s j i ij 2）W(s)的每個元素的含義：的每個元素的含義： 表示第表示第i個輸出中，由第個輸出中，由第j個輸入變量所引起個輸入變量所引起 的輸出和第的輸出和第j個輸入變量間的傳遞關(guān)系。個輸入變量間的傳遞關(guān)系。 3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對應(yīng)的）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對應(yīng)的W(s)是相同的。是相同的。 mrmm r r DBAsIC sU sY s WWW WWW WWW )( )( )(

59、)(W 21 22221 11211 1 注意矩陣求逆注意矩陣求逆 定義傳遞函數(shù)矩陣：定義傳遞函數(shù)矩陣： 85 求由求由 所表述系統(tǒng)的所表述系統(tǒng)的W(s) 112 011 20 12 01 6116 100 010 CBA， )det( )( )( 1 AsI AsIadj AsI 根據(jù)矩陣求逆公式：根據(jù)矩陣求逆公式： 由傳遞函數(shù)矩陣公式得：由傳遞函數(shù)矩陣公式得： 20 12 01 6116 10 01 112 011 )()(W 1 1 s s s DBAsICs 86 2 2 23 1 6116 )6(6 16116 6116 1 6116 10 01 sss sss sss sss s

60、s s 求得：求得： 求得傳遞函數(shù)陣為：求得傳遞函數(shù)陣為： 1417352564 43294 6116 1 )(W 22 22 23 ssss ssss sss s 87 1.6 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號、輸完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號、輸 出量等都是離散信息；出量等都是離散信息； 局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對象所傳送的信局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對象所傳送的信 號、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送號、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送 處理離散信號，這時，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才