極限運(yùn)算法則07278PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則07278 xxx xx xx 000 11 lim sinlimlimsin0 注意公式使用的條件！ xxx xxxxxx lim1limlim10 第1頁(yè)/共22頁(yè) ,lim,limByAx n n n n 則有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(時(shí)且當(dāng)Byn B A y x n n n lim BA BA 提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理也成立。 第2頁(yè)/共22頁(yè) 未定式(7種) 在 x 的某一趨近過(guò)程時(shí)，如果函數(shù)f(x), g(x)有 ( )0, ( )0,f xg x 1. ( ), ( )

2、,f xg x 2. ( )0, ( ),f xg x 3. ( )1, ( ),f xg x 5. ( ), ( )0,f xg x 6. ( )0, ( )0,f xg x 7. ( ), ( ),f xg x 4. 稱 是 未定式 ( ) lim ( ) x f x g x 某量 0 0 稱 是 未定式 ( ) lim ( ) x f x g x 某量 稱 是 未定式 lim( ) ( ) x f x g x 某量 0 稱 是 未定式 ( ) lim( ) g x x f x 某量 1 稱 是 未定式 0 稱 是 未定式 0 0 稱 是 未定式 ( ) lim( )g x x f x 某

3、量 ( ) lim( )g x x f x 某量 lim ( )( ) x f xg x 某量 第3頁(yè)/共22頁(yè) 解 )53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx 5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 例1 53 1 lim 2 3 2 xx x x 判斷未定式？ 第4頁(yè)/共22頁(yè) 小結(jié) : n nn axaxa 1 0100 ).( 0 xf )( )( 0 0 xQ x

4、P ).( 0 xf 2. 設(shè) , 且 ( ) ( ) ( ) P x f x Q x 0 ()0,Q x 若 , 0 ()0Q x 1. 設(shè) 1 01 ( ), nn n f xa xa xa n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 )lim()lim()(lim 000 則有 )(lim )(lim )(lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx 則有 則商的法則不能應(yīng)用. 第5頁(yè)/共22頁(yè) 解)32(lim 2 1 xx x , 0 商的法則不能 用 )14(lim 1 x x 又又, 03 14 32 lim 2 1 x xx x . 0 3 0 由無(wú)窮小與無(wú)

5、窮大的關(guān)系,得 . 32 14 lim 2 1 xx x x 例2 求 32 14 lim 2 1 xx x x 第6頁(yè)/共22頁(yè) x = 3 時(shí)分母為 0 ! 3 1 lim 3 x x x 例3. 9 34 lim 2 2 3 x xx x )3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2 3 1 分解因式， 約去零因子 0 0 型： 第7頁(yè)/共22頁(yè) 例4 求 ) 1 3 1 1 (lim 3 1 xx x 3 1 13 lim() 11 x xx 解 2 2 1 2 lim (1)(1) x xx xxx 2 1 2 lim 1 x x xx 1 例5 求 nm x x

6、 n m x ,lim 1 1 1 解 原 式 )( )( lim 11 11 21 21 1 xxxx xxxx nn mm x 12 12 1 1 lim 1 mm nn x xxx xxx 為正整數(shù). m n 2 2 1 13 lim (1)(1) x xx xxx 通分； 約去零因子 型： 第8頁(yè)/共22頁(yè) 時(shí), 分子分母的極限都是無(wú)窮 大32 32 235 lim 541 x xx xx . 5 2 例5 求 145 532 lim 23 23 xx xx x 解型）型）（ 3 3 35 2 lim 41 5 x xx xx x 小結(jié) : 當(dāng) 和 為非負(fù)整數(shù)時(shí)有 00 0,0,abm

7、n 利用無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系, 然后再求極限. 1 01 1 01 lim mm m nn x n a xa xa b xb xb 0 0 , a b 當(dāng),nm 0,當(dāng),nm , 當(dāng) ,nm 常以自變量的最高次冪除分子和分母, 第9頁(yè)/共22頁(yè) 解是是無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n 222 1321 lim() n n nnn 2 2 2 1 lim n nn n 11lim n 先變形再求極限. 例6 求 ) 1231 (lim 222 n n nn n 2 1321 lim n n n （） 第10頁(yè)/共22頁(yè) 解 . 0 sin lim x x x 例7 求 x x x

8、sin lim 例8 設(shè) 01 01 )( 2 xx xx xf ， ， , 求 )(lim 0 xf x . 當(dāng) 時(shí), x 為無(wú)窮小. 1 x 而 是有界函 數(shù). sin x y ox 1 xy 1 1 2 xy 解 0 lim(1) x x , 1 0 lim( ) x f x , 1 左右極限存在且相等, 0 lim( ) x f x 2 0 lim(1) x x 兩個(gè)單側(cè)極限為 是函數(shù)的分段點(diǎn), 0 x 0 lim( )1. x f x 故 第11頁(yè)/共22頁(yè) 定理 (復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 若 (1) 0 lim( ), xx xa 且在 的某去心鄰域內(nèi) 0 x( ),uxa (2

9、) lim( ), ua f uA 當(dāng) 時(shí) , 則 0 xx 復(fù)合函數(shù) 的極限存在, 且 ( )fx 0 lim ( ) xx fx 0 lim ( ) xx fx lim( ) ua f u )(lim 0 xa xx 意義： ( )ux 令 lim( ). ua f uA 第12頁(yè)/共22頁(yè) 例9 求 x xx x 11 lim 0 解 先分子有理化,再求極限. 0 11 lim x xx x 0 ( 11)( 11) lim ( 11) x xxxx xxx 0 2 lim ( 11) x x xxx 1 練習(xí) 求 anan n ),(lim 為常數(shù). 0 0 型： 第13頁(yè)/共22頁(yè)

10、練習(xí) 求 .sinsinlimxx x 1 解 原式 11 lim 2sincos 22 x xxxx 11 2 lim sincos 22(1) x xx xx 0 第14頁(yè)/共22頁(yè) 22 .lim11 n nnn 例例 2222 22 1111 =lim 11 解解:原:原式式 n nnnnn nn 22 22 11 =lim 11 n nnn nn 22 2 =lim 11 n n nn 22 2 =lim 11 11 n nn 2 =1 1 01 0 0 型： 0 0 化成 或 型 第15頁(yè)/共22頁(yè) 解.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x .1 0 0 后后再再求求

11、極極限限 窮窮小小因因子子型型）先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)（ x )1)(3( )1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 練習(xí) 求 32 1 lim 2 2 1 xx x x 第16頁(yè)/共22頁(yè) 1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論; 2、極限求法總結(jié) 0 0 0 1）因式分解消去公因式 2）含有根號(hào)的，有理化 1）除以最高次項(xiàng) 2）含有根號(hào)的，有理化 1）化成上面的二種未定式 2）含有根號(hào)的，有理化 1）通分，化成上面的三種未定式 2）含有根號(hào)的，有理化 3. 特殊的一種方法：無(wú)窮小的性質(zhì) 第17頁(yè)/共22

12、頁(yè) ._ 1 sinlim5 2 0 x x x 、 ._ 3 3 lim1 3 2 x x x 、 ._ 1 1 lim2 3 1 x x x 、 ._) 11 2)( 1 1(lim3 2 xxx x 、 ._ 5 )3)(2)(1( lim4 3 n nnn n 、 ._ cos lim6 xx x ee x 、 一、填空 第18頁(yè)/共22頁(yè) ._ 23 24 lim7 2 24 0 xx xxx x 、 ._ )12( )23()32( lim8 50 3020 x xx x 、 ) 2 1 . 4 1 2 1 1(lim1 n n 、 h xhx h 22 0 )( lim2 、 ) 1 3 1 1 (lim3 3 1 xx x 、 二、求下列極限 第19頁(yè)/共22頁(yè) 3 8 2 31 lim4 x x x 、 )(lim5xxxx x 、 14 12 lim6 x x x 、 2 lim7 1 nm nm xxx xx 、 第