8.7-二重積分PPT課件

1、2021/6/71 一、一、二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 二、二重積分的計算二、二重積分的計算 第七節(jié)第七節(jié) 二重積分二重積分 2021/6/72 1、引例、引例 柱體體積柱體體積= = 底面積底面積高高 特點：平頂特點：平頂. 柱體體積柱體體積= =？ 特點：曲頂特點：曲頂. . ),(yxfz D 一、一、二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 2021/6/73 解法：解法：類似定積分 解決問題的思想 1）曲頂柱體的體積）曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體： 0),(yxfz 底：底： xOy 面上的閉區(qū)域 D 頂：頂： 連續(xù)曲面 側面：側面：以 D 的邊界為準線 , 母線平行于

2、 z 軸的柱面 求其體積. “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” D ),(yxfz 播放播放 2021/6/74 分析：分析： 但從某點的某個充分小鄰域局部范圍內來看 z0， 由(x,y)的連續(xù)性知， 從整個定義域來看“高是變化的”； 即高可“看成”不變； 此時在此鄰域內對應的曲頂柱體體積就近似 于平頂柱體之體積； 故整個曲頂柱體之體積就近似于全部小平頂 柱體的體積之和. 2021/6/75 x y z o ),(:yxfzS i ( ,) ii 2021/6/76 D ),(yxfz 1)“大化小” 用任意曲線網分D為 n 個區(qū)域 n , 21 以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個 2)“

3、常代變” 在每個 k , ),( kk 3)“近似和” n k k VV 1 n k kkk f 1 ),( ),( kk f ),2, 1(),(nkfV kkkk 則中任取一點 小曲頂柱體 k ),( kk 2021/6/77 4)“取極限” k 定義的直徑為 kk ,PPPP 2121 max)( 令)(max 1 k nk n k kkk fV 1 0 ),(lim ),(yxfz ),( kk f k ),( kk 2021/6/78 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/79

4、求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/710 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/711 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/712 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/

5、713 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極分割、求和、取極 限限”的方法，如下動畫演示：的方法，如下動畫演示： 2021/6/714 2）平面薄片的質量）平面薄片的質量 有一個平面薄片, 在 xOy 平面上占有區(qū)域 D , ,),(Cyx計算該薄片的質量 M .度為 ),(),(常數若yx 設D 的面積為 , 則 M 若若),(yx非常數 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求極限” 解決. 1)“大化小” 用任意曲線網分D 為 n 個小區(qū)域, 21n 相應把薄片也分為小塊. D y x O 2021/6/715 y x 2)“常代變” 中任取一點 k

6、在每個),( kk 3)“近似和” n k k MM 1 n k kkk 1 ),( 4)“取極限” )(max 1 k nk 令 n k kkk M 1 0 ),(lim k ),( kk ),2, 1(),(nkM kkkk 則第 k 小塊的質量 O 2021/6/716 兩個問題的共性共性： (1) 解決問題的步驟相同 (2) 所求量的結構式相同 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” n k kkk fV 1 0 ),(lim n k kkk M 1 0 ),(lim 曲頂柱體體積： 平面薄片的質量： 2021/6/717 2、二重積分的定義及可積性、二重積分的定義及可積性 定義：定

7、義：),(yxf設 將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nk k 任取一點,),( kkk 若存在一個常數 I , 使 n k kkk fI 1 0 ),(lim 可積可積, ),(yxf則稱 D yxfd),( ),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分. 稱為積分變量yx, 積分和 D yxfd),( 積分域被積函數 積分表達式 面積元素 記作記作 是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數, 2021/6/718 對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明： 二重積分的幾何意義：二重積分的幾何意義： 當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積 當被積

8、函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值 （函數在區(qū)域函數在區(qū)域D上可積，積分值僅與積分區(qū)域和上可積，積分值僅與積分區(qū)域和 被積函數有關，與劃分的方式和點的選取無關被積函數有關，與劃分的方式和點的選取無關） 2021/6/719 D yxfVd),( 引例1中曲頂柱體體積： D yxMd),( 引例2中平面薄板的質量： 如果 在D上可積,),(yxf 元素d也常記作,ddyx二重積分記作 .dd),( D yxyxf , kkk yx 這時分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標軸的直線來劃 D yxyxfdd),( D yxyxdd),( y xO

9、 2021/6/720 二重積分存在定理：二重積分存在定理： 若函數),(yxf ),(yxf 定理定理2.2.),(yxf 上可在則Dyxf),( 定理定理1.1. 在D上可積可積. 限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù), 積積. . 在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 則 若有界函數在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yx yx yxf 22 ),(在 D： 10 x 10 y 上二重積分存在； yx yxf 1 ),(但在D 上 二重積分不存在. y 1 x 1 D O 2021/6/721 3、二重積分的性質、二重積分的性質 D yxfkd),(. 1( k 為常數) D yxgyxfd),(),

10、(. 2 ( , )d D f x y ),( 2121 無公共內點DDDDD D yxfkd),( DD yxgyxfd),(d),( 21 d),(d),( DD yxfyxf 3.(區(qū)域可加性) 11 ( , ) ( , ) nn iiii ii DD k f x y dkf x y d 推廣： (以下總假定涉及的函數在D上是可積的) 線線 性性 性性 質質 2021/6/722 特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxf D yxfd),( 則 D yxfd),( D yxd),( 5. (單調性單調性) ),(yxf, ),(yx D yxfd),( 設設),(min),(ma

11、xyxfmyxfM DD D 的面積為 , Myxfm D d),( 則有 若在D上 6.(6.(估值定理估值定理) ) , 1),(. 4yxfD上若在 DD dd1 為D 的面積, 則 2021/6/723 7.(二重積分的中值定理) ),(yxf設函數 ,),(D ),(),(fdyxf D 證證 ：由性質6可知, ),(maxd),( 1 ),(minyxfyxfyxf D D D 由連續(xù)函數介值定理, 至少有一點D),( D yxff d),( 1 ),( ),(d),(fyxf D 在閉區(qū)域D上 為D 的面積, 則至少存在一點使 使 連續(xù), 因此 幾何意義：幾何意義：在閉區(qū)域D上以

12、曲面z=(x,y)為頂的曲頂柱體之體積, 等于區(qū)域D上某一點(,)的函數值為高的平頂柱體之體積. 2021/6/724 例例1. 比較下列積分的大小： d)(,d)( 32 DD yxyx 其中 2) 1()2( : 22 yxD 解：解： 積分域 D 的邊界為圓周 1 yx 3 32 )()(yxyx 2) 1()2( 22 yx 它在與 x 軸的交點 (1,0) 處與直線.1相切 yx , 1 yx 從而 d)(d)( 32 DD yxyx 而域 D 位于直線的上方, 故在 D 上 1 y 2 x 1 O D 2021/6/725 例例2. 估計下列積分之值 10: coscos100 d

13、d 22 yxD yx yx I D 解：解： D 的面積為200)210( 2 由于 yx 22 coscos100 1 積分性質積分性質5 5 100 200 I 102 200 即 1.96 I 2 10 10 1010 D 100 1 102 1 x y O 2021/6/726 例例3. 判斷積分yxyx yx dd1 4 3 22 22 的正負號. 解：解： 分積分域為, 321 DDD則 原式 =yxyx D dd1 1 3 22 yxyx D dd1 2 3 22 yxyx D dd1 3 3 22 1 dd D yxyx D dd13 3 3 )34(2 3 2 3 D 3

14、2 D 1 1 D 0)21 ( 3 猜想結果為負 但不好估計. 舍去此項 y x O 2021/6/727 x y O 8. 設函數),(yxf D 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),( D yxf 0d),( D yxf 當區(qū)域關于 y 軸對稱, 函數關于變量 x 有奇偶性時, 仍 1 D 在 D 上 d),(2 1 D yxf 在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關于x 軸對稱, 則 則 有類似結果. 在第一象限部分, 則有1:, 22 1 yxDD 為圓域例如 D yxyxdd)( 22 D yxyxdd)( 1 dd)(4

15、22 D yxyx 0 D 2021/6/728 性質8的幾何意義： x y z x y z 2021/6/729 9. 設函數),(yxf d),( D yxf( , )d D f y x 在閉區(qū)域上連續(xù),域D 具有輪換對稱性, 則 ，則有 22 ,:1D xy例如 2 d d D xxy 22 1 ()d d 2 D xyxy 2 d d D yxy ,xyx若域D 具有輪換對稱性輪換對稱性： D則 的形狀不變（邊界曲線方程相同）。 2021/6/730 yyxfx x x b a d),(d )( )( 2 1 x b a d 4、曲頂柱體體積的計算、曲頂柱體體積的計算 設曲頂柱的底為

16、bxa xyx yxD )()( ),( 21 任取, , 0 bax 平面 0 xx 故曲頂柱體體積為 D yxfVd),( yyxfxA x x d),()( )( )( 00 02 01 截面積為 yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xxAd )( 截柱體的 )( 2 xy )( 1 xy 0 x ),(yxfz z x y ab D O 記作記作 2021/6/731 y d c d dycyxyyxD),()(),( 21 同樣, 曲頂柱的底為 則其體積可按如下兩次積分計算 D yxfVd),( xyxf y y d),( )( )( 2 1 xyxf y y d

17、),( )( )( 2 1 d c yd O y d c x )( 2 yx )( 1 yx y 記作記作 2021/6/732 例例4. 求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積. 解：解： 設兩個直圓柱方程為 , 222 Ryx 利用對稱性, 考慮第一卦限部分, 其曲頂柱體的頂為 則所求體積為 yxxRV D dd8 22 22 0 d xR y xxR R d)(8 0 22 3 3 16 R 222 Rzx 22 xRz 0 0 :),( 22 Rx xRy Dyx xxR R d8 0 22 222 Ryx 222 Rzx D x y z R RO 2021/6/733 O y )

18、( 1 yx )( 2 yx x d c 且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數 bxa xyx D )()( : 21 D yxyxfdd),( yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X - 型區(qū)域 則 O )( 1 xy )( 2 xy xb y D a x 若D為Y - 型區(qū)域 dyc yxy D )()( : 21 y xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxyxfdd),(則 二、利用直角坐標計算二重積分二、利用直角坐標計算二重積分 2021/6/734 當被積函數 ),(yxf 2 ),(

19、),( ),( yxfyxf yxf 2 ),(),(yxfyxf ),( 1 yxf),( 2 yxf均非負均非負 DD yxyxfyxyxfdd),(dd),( 1 在D上變號變號時, 因此上面討論的累次積分法仍然有效. 由于 D yxyxfdd),( 2 2021/6/735 x y O x y D O 說明：說明： (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域, D yxyxfdd),( 為計算方便,可選擇恰當的積分次序選擇恰當的積分次序. )( 2 xy b a )( 1 yx )( 2 yx d c 則 x )( 1 xy y yyxf x x d),( )( )( 2

20、 1 b a xd xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd (2) 若積分域較復雜,可將它分成若干 2 D 1 D 3 D X - 型域或Y - 型域, 321 DDDD 則 2021/6/736 特殊地,若區(qū)域D是一矩形：axb,cyd, ( , ) ( , )( , ) bddb acca D f x y ddxf x y dydyf x y dx x y O d c ab 也就是說，積分區(qū)域D是一矩形時,其積分次序可交換. 則二重積分 2021/6/737 12 22 12 (1)解 Idxxydy 這是先對y再對x 的累次積分. 2 1 23 1 2 1 3 x

21、yyydx 1 2 1 2864 (4). 33 xdx 21 22 21 (1)或者 Idyxydx 1 2 32 2 1 1 3 xy xxdy 2 2 2 864 (2). 33 ydy 要固定要固定x為常數為常數. 注意：對注意：對y積分時積分時 這是先對x再對y 的累次積分. 要固定要固定y為常數為常數. 注意：對注意：對x積分時積分時 22 5 (1),例例計計算算 D Ixydxdy : 11, 22.其中 為矩形Dxy 2021/6/738 12 1 2 2 1 d y 例例6. 計算,d D yxI其中D 是直線 y1, x2及 yx 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X

22、 - 型區(qū)域, 則 :D I 2 1 d xyyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9 1 2 2 1 x yx 解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則 :D I xyx d 2 1 d y y yx 2 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 1 x y 2 xy 1 21 x 2 xy 21 y xy x y O 2021/6/739 例例7. 計算 ,d D yx其中D 是拋物線xy 2 所圍成的閉區(qū)域. 解：解：為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分, :D xyx d D yxd 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y

23、y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 D xy 2 2 xy 2 1 4 O y x 2 2 yxy 21y 2 y 2y 2 xy 及直線 則 2021/6/740 綜上所述，二重積分的計算就是分別對變量x和y 1、先畫出積分區(qū)域D的圖形（包括求出若干邊界 曲線的交點坐標)； 作兩次定積分的計算，步驟步驟如下： 2、選擇積分次序和確定積分上、下限； 3、計算兩次定積分. 二重積分二重積分累次積分累次積分 2021/6/741 積分次序積分次序的選擇原則的選擇原則： 1 1、函數原則、函數原則： 保證兩次定積分的原

24、函數能夠求出； 2 2、區(qū)域原則、區(qū)域原則： X-型區(qū)域先對y積分，Y-型區(qū)域先對x積分； 3 3、分塊原則、分塊原則： 使積分區(qū)域分塊數最少. 確定確定積分上、下限積分上、下限的原則：的原則： 1 1、上、下限均為常數：將區(qū)域投影到相應的數軸將區(qū)域投影到相應的數軸 上得積分區(qū)間上得積分區(qū)間； 2 2、上下限或為常量，或為后積分變量的函數： （1 1）域內劃條線）域內劃條線（平行于坐標軸且與其正方向同向） （2 2）先交為下限）先交為下限 （3 3）后交為上限）后交為上限 2021/6/742 例例8. 計算 ,dd sin D yx x x 其中D 是直線 ,0,yxy 所圍成的閉區(qū)域. O

25、x y D x xy 解：解：由被積函數可知, 因此取D 為X - 型域 0 0 : x xy D D yx x x dd sin x y 0 d 0 dsinxx 0 cos x 2 0 d sin x x x x 先對 x 積分不行, 并請同學們注意：凡遇 22 sin ,sin,cos, x dxx dxx dx x 1 , ln x dx e dx x 22 , xx edxedx 等不能用初等函數表示 的積分,均須更換積分次序。 2021/6/743 說明：說明：有些二重積分為了積分方便, 還需交換積分順序. 211 0 9 .例例計計算算 y x dxedy 解： x y O1 1

26、 由題意知其X型區(qū)域為： (Y型區(qū)域) 1 01 xy x 0 01 xy y 2 11 0 y x dxedy 無法直接計算出結果,故須改變積分次序. 2 1 00 y y dyedx 2 1 0 y yedy 1 1 (1). 2 e 2021/6/744 22 1 111 0 0 () yy xx x edyxdedy 221111 00 () yy xx dxedyedy dx 21 0 0 x xedx 21 2 0 1 2 x edx 2 1 0 1 2 x e 我們曾利用分部積分公式計算過,令 21 , y x uedy vx ，則有 1 11 22 e 2021/6/745 2

27、 例例10. 交換下列積分順序 2 2 8 0 22 2 2 0 2 0 d),(dd),(d x x yyxfxyyxfxI 解：解： 積分域由兩部分組成 , 20 0 : 2 2 1 1 x xy D 8 22 yx 2 D 22 y x O 2 222 80 : 2 2 x xy D 21 DDD將 :D 視為Y - 型區(qū)域 , 則 2 82yxy 20 y D yxyxfIdd),( 2 8 2 d),( y y xyxf 2 0 dy 1 D 2 2 1 xy 2021/6/746 例例11. 計算,dd)1ln( 2 yxyyxI D 其中D 由 ,4 2 xy1,3xxy所圍成.

28、 O y x1 2 4xy xy3 2 D 1 D 1x 解：解：令)1ln(),( 2 yyxyxf 21 DDD(如圖所示) 顯然, 1上 在D ),(),(yxfyxf , 2上 在 D),(),(yxfyxf yxyyxI D dd)1ln( 1 2 0yxyyx D dd)1ln( 2 2 4 2021/6/747 二重積分的定義二重積分的定義 二重積分的性質二重積分的性質 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義 （曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積） （和式的極限）（和式的極限） 小結小結 二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式 （在積分中要正確選擇（在積分中要正

29、確選擇積分次序積分次序） .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf Y型型 X型型 2021/6/748 思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進行比較，將二重積分定義與定積分定義進行比較， 找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處. 2021/6/749 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限 值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不 同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為同的是定積分的

30、積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為 定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分 區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域 上的二元函數上的二元函數 思考題解答思考題解答 2021/6/750 設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設設Adxxf 1 0 )(， 求求 11 0 )()( x dyyfxfdx. 思考題思考題 2021/6/751 1 )( x dyyf不不能能直直接接積積出出,改改變變積積分分次次序序. 令令 11 0 )()( x dyyfxfdxI, 思考題解答思考題解答 則原式則原式 y dxyf

31、xfdy 0 1 0 )()(. ,)()( 0 1 0 x dyyfdxxf 2021/6/752 故故 11 0 )()(2 x dyyfdxxfI x dyyfdxxf 0 1 0 )()( )()()( 1 0 1 0 dyyfdxxf x x .)()( 2 1 0 1 0 Adyyfdxxf 2021/6/753 三、利用極坐標計算二重積分三、利用極坐標計算二重積分 O x kkk rr kkkkkk rrsin,cos 對應有 在極坐標系下, 用同心圓 r =常數 則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積 k kkkkk rrrr)( 2 1 ),2, 1(nk k 在 k ),(

32、 kk r k kk k rr k kk r 2 2 1 內取點 kkk rr 2 2 1 )( 及射線 =常數, 分劃區(qū)域D 為 kk r k r k r k O 2021/6/754 kkkkkkk n k rrrrf )sin,cos(lim 1 0 kk n k k f ),(lim 1 0 D yxfd),( ddrr 即 D rrf)sin,cos( d r rd dr d O 2021/6/755 D )( 1 r )( 2 r O x )( )( 2 1 d)sin,cos( rrrrf 1、設 , )()( : 21 r D 則 D rrrrfdd)sin,cos( d )(

33、 1 r )( 2 r O x D A o D )(r .)sin,cos( )( 0 rdrrrfd , ).(0 r D rdrdrrf )sin,cos( 2、設區(qū)域D如圖 2021/6/756 )(r D O x 3、 設 20 )(0 : r D D rrrrfdd)sin,cos( )( 0 d)sin,cos( rrrrf 2 0 d 此時若 f 1 則可求得D 的面積 d)( 2 1 2 0 2 D d )(r D O x 適用范圍:當二重積分的積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標 表示比較方便(如D為圓形、環(huán)形、扇形等)且被積函 數用極坐標變量 r,表示比較簡單，如：被積函數為 22

34、 (), xy fxyff yx 2021/6/757 思考：思考：下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點, 答案：答案： ;0) 1 ( 試問 的變化范圍是什么? (1)(2) 2 2 )2( )(r D y xO )(r D y xO 2021/6/758 例例12. 計算計算,dde 22 D yx yx其中其中.: 222 ayxD 解：解： 在極坐標系下, 20 0 : ar D 原式 D rr a r de 0 2 a r 0 2 e 2 1 2 )e1( 2 a 2 e x 的原函數不是初等函數, 故本題無法用直角 2 e r ddrr 2 0 d 由于 故 坐標計算

35、. 2021/6/759 注注. .利用上題可得一個在概率論與數理統(tǒng)計及工程上 非常有用的反常積分公式 2 de 0 2 x x 事實上, 2 22 R ddeyx yx yx yx dede 22 2 0 de4 2 x x 22 222 limed xy a xya xdy 故式成立. )e1 (lim 2 a a 2 22 R ddeyx yx 又 2021/6/760 例例13. 求球體求球體 2222 4azyx被圓柱面被圓柱面 xayx2 22 )0( a所截得的所截得的( (含在柱面內的含在柱面內的) )立體的體積立體的體積. . 解：解：設 由立體的對稱性可知 2 0,cos2

36、0:arD dd44 22 rrraV D 2 0 d4 cos2 0 22 d4 a rrra d)sin1 ( 3 32 2 0 33 a ) 3 2 2 ( 3 32 3 a x y a2 D O 2 cosra x y z a2 O 2021/6/761 x y O 3 2 6 1 sin4 r yxyx D dd)( 22 sin4 sin2 2 drrr)3 2 (15 yyx4 22 yyx2 22 03 yx 例例14. 計算計算其中D 為由圓 所圍成的 ,dd)( 22 yxyx D ,2 22 yyx yyx4 22 03 xy及直線, 03yx 解：解： 平面閉區(qū)域. 0

37、3 xy sin2 r 2 4 3 6 d D 2021/6/762 小小 結結 1. 二重積分的定義 D yxfd),( iii n i f ),(lim 1 0 )dd(dyx 2. 二重積分的性質(與定積分性質相似) 3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法 2021/6/763 4. 二重積分化為累次積分的方法 1）直角坐標系情形：）直角坐標系情形： 若積分區(qū)域為 )()(,),( 21 xyyxybxayxD 則 )( )( 2 1 d),(dd),( xy xy b aD yyxfxyxf 若積分區(qū)域為 )()(,),( 21 yxxyxdycyxD 則 )( )( 2 1 d),(dd

38、),( yx yx d cD xyxfyyxf )( 1 xyy )( 2 xyy x y ba D O x y )( 1 yxx D d c )( 2 yxx O 2021/6/764 )()(,),( 21 rrD DD rrfyxf)sin,cos(d),(則 )( )( 2 1 d)sin,cos(d rrrrf 2）極坐標系情形：）極坐標系情形： ddrr D )( 1 r )( 2 r Ox 若積分區(qū)域為 2021/6/765 3）計算步驟及注意事項）計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便 域邊界應盡量多為坐標線 被積函數關于坐標變量易分離

39、積分域分塊要少 累次積好算為妙 圖示法 不等式 ( 先積一條線, 后掃積分域 ) 充分利用對稱性 應用換元公式 2021/6/766 被積函數相同, 且非負, 思考與練習思考與練習 yxyxI yx dd 1 1 22 yxyxI yx dd 1 2 yxyxIdd 1 1 1 1 3 解：解： 321 ,III 由它們的積分域范圍可知 312 III 1 1 x y O 1. 比較下列積分值的大小關系： 2021/6/767 2. 設D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則 ,d 3 1 D xyI,d 32 2 D xyI D xyId 3 2 1 3 的大小順序為 ( ) .)(;)( ;)(;)( 213123 312321 IIIDIIIC IIIBIIIA 提示： 因 0 y 1, 故; 2 1