計(jì)算機(jī)圖形學(xué)_第七章_幾何變換

1、Lecture 7 幾何變換幾何變換 概述概述 在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，通常需要將畫(huà)出的圖形平移到某一在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，通常需要將畫(huà)出的圖形平移到某一 位置，或改變圖形的大小和形狀，或利用已有圖形生成位置，或改變圖形的大小和形狀，或利用已有圖形生成 復(fù)雜圖形，這種圖形處理的過(guò)程就是圖形的幾何變換，復(fù)雜圖形，這種圖形處理的過(guò)程就是圖形的幾何變換， 簡(jiǎn)稱圖形變換。簡(jiǎn)稱圖形變換。 二維圖形和三維圖形都可以進(jìn)行圖形變換。圖形變換通二維圖形和三維圖形都可以進(jìn)行圖形變換。圖形變換通 常采用矩陣的方法，圖形所做的變換不同其變換矩陣也常采用矩陣的方法，圖形所做的變換不同其變換矩陣也 不同。變換的實(shí)質(zhì)是對(duì)由圖形上各點(diǎn)

2、的坐標(biāo)組成的矩陣不同。變換的實(shí)質(zhì)是對(duì)由圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)組成的矩陣 進(jìn)行運(yùn)算，因此在討論各種具體圖形幾何變換時(shí)，可以進(jìn)行運(yùn)算，因此在討論各種具體圖形幾何變換時(shí)，可以 歸結(jié)為一個(gè)點(diǎn)的變換。歸結(jié)為一個(gè)點(diǎn)的變換。 7.1 二維基本變換二維基本變換 二維基本變換包括：二維基本變換包括： 平移平移 比例比例 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 7.1.1 平移變換平移變換 平移是一物體從一個(gè)位置到另一位置所作的直線移動(dòng)。平移是一物體從一個(gè)位置到另一位置所作的直線移動(dòng)。 如果要把一個(gè)位于的點(diǎn)移到新位置時(shí)，只要在原坐標(biāo)上如果要把一個(gè)位于的點(diǎn)移到新位置時(shí)，只要在原坐標(biāo)上 加上平移距離加上平移距離Tx及及Ty即可即可 平移變換平移變換 表

3、示成數(shù)學(xué)形式：表示成數(shù)學(xué)形式： 表示成向量形式：表示成向量形式： 可以用矩陣相加來(lái)表示可以用矩陣相加來(lái)表示P點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移 計(jì)為：計(jì)為： y x Tyy Txx x P y x P y x y T T T x y Txx Tyy PPT 7.1.2 比例變換比例變換 用來(lái)改變一物體大小的變換稱為比例變換（縮放變換）用來(lái)改變一物體大小的變換稱為比例變換（縮放變換） 。如果要對(duì)一個(gè)多邊形進(jìn)行比例變換，那么可把各頂點(diǎn)。如果要對(duì)一個(gè)多邊形進(jìn)行比例變換，那么可把各頂點(diǎn) 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x，y）均乘以比例因子）均乘以比例因子Sx、Sy，以產(chǎn)生變換后，以產(chǎn)生變換后 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x，y） 比例變換比例變

4、換 表示成數(shù)學(xué)形式：表示成數(shù)學(xué)形式： 如果令如果令 則比例變換可以表示成以下的矩陣形式：則比例變換可以表示成以下的矩陣形式： 記為：記為： x y xSx ySy 0 0 x y S S S 0 0 x y Sxx Syy PS P 7.1.3 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 物體上的各點(diǎn)繞一固定點(diǎn)沿圓周路徑作轉(zhuǎn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)變物體上的各點(diǎn)繞一固定點(diǎn)沿圓周路徑作轉(zhuǎn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)變 換。我們可用旋轉(zhuǎn)角表示旋轉(zhuǎn)量的大小。換。我們可用旋轉(zhuǎn)角表示旋轉(zhuǎn)量的大小。 一個(gè)點(diǎn)由位置（一個(gè)點(diǎn)由位置（x、y）旋轉(zhuǎn)到（）旋轉(zhuǎn)到（xy）如下圖所示，）如下圖所示，為為 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角 。 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 由圖可得到如下三角關(guān)系式：由圖可得到

5、如下三角關(guān)系式： 則相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換公式如下：則相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換公式如下： os()cos cossinsin cossin xrcrr xy sin()cos sinsincos sincos yrrr xy cossin cossin xxy yyx 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 如果令如果令 則有則有 記為記為 sin sincos cos R cossin sincos xx yy cossin cossin xxy yyx PR P 7.2 二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示 可以看出，平移變換的處理方法與其他兩種變換的形可以看出，平移變換的處理方法與其他兩種變

6、換的形 式不一樣，但我們希望能夠用一種一致的或同類的方法式不一樣，但我們希望能夠用一種一致的或同類的方法 來(lái)處理這三種變換，使得這三種基本變換能很容易地結(jié)來(lái)處理這三種變換，使得這三種基本變換能很容易地結(jié) 合在一起，形成各種復(fù)雜的組合變換。為了解決這個(gè)問(wèn)合在一起，形成各種復(fù)雜的組合變換。為了解決這個(gè)問(wèn) 題，引入齊次坐標(biāo)這一概念。題，引入齊次坐標(biāo)這一概念。 基本思想基本思想:把一個(gè)把一個(gè)n維空間的幾何問(wèn)題維空間的幾何問(wèn)題, 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到n+1維空間維空間 中去解決。即用一個(gè)有中去解決。即用一個(gè)有n+1個(gè)分量的向量去表示一個(gè)有個(gè)分量的向量去表示一個(gè)有n 個(gè)分量的向量。個(gè)分量的向量。 進(jìn)一步分析知，平

7、移變換是對(duì)常數(shù)項(xiàng)的變換，而比例進(jìn)一步分析知，平移變換是對(duì)常數(shù)項(xiàng)的變換，而比例 和旋轉(zhuǎn)則是對(duì)和旋轉(zhuǎn)則是對(duì)x和和y項(xiàng)的變換。項(xiàng)的變換。 二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示 如果我們既要對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行變換，也要對(duì)如果我們既要對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行變換，也要對(duì)x和和y項(xiàng)進(jìn)行變項(xiàng)進(jìn)行變 換，我們進(jìn)行如何的處理呢？換，我們進(jìn)行如何的處理呢？ 觀察如下的表達(dá)式：觀察如下的表達(dá)式： 則有：則有：x=a1x+ a2y+ a3c y=b1x+ b2y+ b3c c=c1x+ c2y+ c3c c y x ccc bbb aaa c y x 321 321 321 二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示二維幾何變換的齊次

8、坐標(biāo)表示 如果我們令：如果我們令： a1=1,a2=0,a3=Tx b1=0,b2=1,b3=Ty c1=0,c2=0,c3=1，c=1 則有：則有：x=x+ Tx y=y+ Ty 1=1 上兩式正好是坐標(biāo)的平移變換。上兩式正好是坐標(biāo)的平移變換。 二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示 使用這種表示方法，坐標(biāo)的平移變換可以表示為：使用這種表示方法，坐標(biāo)的平移變換可以表示為： 平移變換的矩陣形式縮寫(xiě)：平移變換的矩陣形式縮寫(xiě)： 這樣，我們就把矩陣的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣的乘法運(yùn)算這樣，我們就把矩陣的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣的乘法運(yùn)算 ，我們使用的這種表達(dá)坐標(biāo)的方法就叫，我們使用的這種表達(dá)坐標(biāo)的

9、方法就叫齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示。 (x,y)表達(dá)為表達(dá)為(hx,hy,h),當(dāng)當(dāng)h=1時(shí)稱為時(shí)稱為規(guī)格化齊次坐標(biāo)規(guī)格化齊次坐標(biāo)。 10 01 10011 x y xTx yTy (, ) xy PT TTP 二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示 使用使用規(guī)格化齊次坐標(biāo)，我們可以表示另外兩種變換：規(guī)格化齊次坐標(biāo)，我們可以表示另外兩種變換： 比例比例變換的矩陣形式變換的矩陣形式 ： 縮寫(xiě)為縮寫(xiě)為 ： 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)變換的矩陣形式變換的矩陣形式 ： 縮寫(xiě)為縮寫(xiě)為 ： 00 00 10011 x y xSx ySy () xy PS SSP， cos-sin0 sincos0 10011

10、xx yy ( )PRP 7.2.3 其他變換其他變換 反射變換反射變換 ：反射是用來(lái)產(chǎn)生物體的鏡象的一種變換。物反射是用來(lái)產(chǎn)生物體的鏡象的一種變換。物 體的鏡象一般是相對(duì)于一對(duì)稱軸生成的體的鏡象一般是相對(duì)于一對(duì)稱軸生成的 。 關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換 關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換 關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱變換軸對(duì)稱變換 關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中軸的對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中 ，Sx=1，Sy= -1，如圖所示，其變換矩陣為：，如圖所示，其變換矩陣為： 100 010 001 x RF 關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱變

11、換軸對(duì)稱變換 關(guān)于關(guān)于y軸的對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中軸的對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中 ，Sx=-1，Sy=1，如圖所示，其變換矩陣為：，如圖所示，其變換矩陣為： 100 010 001 y RF 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換 關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中，軸對(duì)稱變換，是一種特殊形式的縮放變換，其中， Sx=-1，Sy= -1，如圖所示，其變換矩陣為：，如圖所示，其變換矩陣為： 100 010 001 O RF 錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換 這種變換可使物體產(chǎn)生變形，即物體產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)或稱為錯(cuò)這種變換可使物體產(chǎn)生變形，即物體產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)或稱為錯(cuò) 切

12、。常用的兩種錯(cuò)切變換是沿切。常用的兩種錯(cuò)切變換是沿x向或沿向或沿y向錯(cuò)切變換。向錯(cuò)切變換。 沿沿x方向關(guān)于方向關(guān)于y軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 沿沿y方向關(guān)于方向關(guān)于x軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 沿沿x方向關(guān)于方向關(guān)于y軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 在下圖中，對(duì)矩形在下圖中，對(duì)矩形ABCD沿沿x軸方向進(jìn)行錯(cuò)切變換，得到軸方向進(jìn)行錯(cuò)切變換，得到 矩形矩形ABCD。錯(cuò)切的角度為。錯(cuò)切的角度為，令，令shx=tan假定點(diǎn)假定點(diǎn)(x, y) 經(jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)椋ń?jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)椋▁, y），由下圖可知：），由下圖可知： 從而沿從而沿x方向關(guān)于方向關(guān)于y軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 的變換矩陣為：的變換矩陣為： x xxy sh yy 10 ()0

13、10 001 x yx sh SHsh 沿沿y方向關(guān)于方向關(guān)于x軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 在下圖中，對(duì)矩形在下圖中，對(duì)矩形ABCD沿沿y軸方向進(jìn)行錯(cuò)切變換，得到軸方向進(jìn)行錯(cuò)切變換，得到 矩形矩形ABCD。錯(cuò)切的角度為。錯(cuò)切的角度為，令，令shy=tan，假定點(diǎn)，假定點(diǎn)(x, y)經(jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)椋ń?jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)椋▁, y），由下圖可知），由下圖可知: 從而沿從而沿y方向關(guān)于方向關(guān)于x軸的錯(cuò)切軸的錯(cuò)切 的變換矩陣為：的變換矩陣為： y xx yyx sh 100 ()10 001 xyy SHshsh 7.2.4 二維幾何變換的一般形式二維幾何變換的一般形式 設(shè)圖形上一點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)圖形上一點(diǎn)的坐標(biāo)為P

14、(x,y)，經(jīng)過(guò)二維幾何變換后的坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)二維幾何變換后的坐標(biāo)為 P(x, y)，變換矩陣一般可寫(xiě)為：，變換矩陣一般可寫(xiě)為： 即：即： 這樣的變換在數(shù)學(xué)上稱為這樣的變換在數(shù)學(xué)上稱為仿射變換仿射變換(Affine Transformation)。前。前 面介紹的幾種變換都是仿射變換的特例。面介紹的幾種變換都是仿射變換的特例。 10011 xabcx ydefy xaxbyc ydxeyf 7.3 組合變換組合變換 任意一個(gè)變換序列均可表示為一個(gè)組合變換矩陣。組合任意一個(gè)變換序列均可表示為一個(gè)組合變換矩陣。組合 變換矩陣可由基本變換矩陣的乘積求得。由若干基本變變換矩陣可由基本變換矩陣的乘積求得。

15、由若干基本變 換矩陣相乘求得組合變換矩陣的方法稱為換矩陣相乘求得組合變換矩陣的方法稱為矩陣的級(jí)聯(lián)矩陣的級(jí)聯(lián)。 單個(gè)基本變換的組合變換單個(gè)基本變換的組合變換 多個(gè)基本變換的組合變換多個(gè)基本變換的組合變換 7.3.1 單個(gè)基本變換的組合變換單個(gè)基本變換的組合變換 組合平移變換組合平移變換 對(duì)一物體連續(xù)平移兩次，假定兩次平移的距離為（對(duì)一物體連續(xù)平移兩次，假定兩次平移的距離為（Tx1， Ty1）及（）及（Tx2，Ty2），則），則 由此可計(jì)算出組合矩陣為：由此可計(jì)算出組合矩陣為： 上式表明，進(jìn)行連續(xù)兩次平移，實(shí)際上是把平移距離相上式表明，進(jìn)行連續(xù)兩次平移，實(shí)際上是把平移距離相 加，即加，即 2211

16、 2211 (,) (,) (,)(,) xyxy xyxy PT TTT TTP T TTT TTP 2112 2112 101010 010101 001001001 xxxx yyyy TTTT TTTT 22111212 (, )(, )(, ) xyxyxxyy T TTT TTT TTTT 1212 (,) xxyy PT TTTTP 組合比例變換組合比例變換 作用于點(diǎn)作用于點(diǎn)P的兩次連續(xù)的比例變換的變換矩陣為：的兩次連續(xù)的比例變換的變換矩陣為： 即：即： 連續(xù)進(jìn)行兩次比例變換，實(shí)際上是把相應(yīng)的比例因子相連續(xù)進(jìn)行兩次比例變換，實(shí)際上是把相應(yīng)的比例因子相 乘。乘。 2112 2112

17、 000000 000000 001001001 xxxx yyyy SSSS SSSS 22111212 (, )(, )(, ) xyxyxxyy S SSS SSS SSSS 組合旋轉(zhuǎn)變換組合旋轉(zhuǎn)變換 連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的組合變換矩陣可用下式表示連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)的組合變換矩陣可用下式表示 與組合平移的情況相似，連續(xù)旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是把旋轉(zhuǎn)角相與組合平移的情況相似，連續(xù)旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是把旋轉(zhuǎn)角相 加。加。 2112 ()( )()RRR 7.3.2 多個(gè)基本變換的組合變換多個(gè)基本變換的組合變換 相對(duì)于任一固定點(diǎn)的比例變換相對(duì)于任一固定點(diǎn)的比例變換 首先把圖形及固定點(diǎn)一起平移，使固定點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)上；然后把圖形

18、首先把圖形及固定點(diǎn)一起平移，使固定點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)上；然后把圖形 相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行比例變換；最后把圖形及固定點(diǎn)一起平移，使固定點(diǎn)又相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行比例變換；最后把圖形及固定點(diǎn)一起平移，使固定點(diǎn)又 回到原來(lái)位置?；氐皆瓉?lái)位置。 相對(duì)于任一固定點(diǎn)的比例變換相對(duì)于任一固定點(diǎn)的比例變換 此變換序列可表示為：此變換序列可表示為： 其中變換矩陣為：其中變換矩陣為： (,) Axy PSSSP (,)(,)(,)(,) 100010 010001 001001001 0(1) 0(1) 001 AxyAAxyAA AxA AyA xAx yAy SS ST xyS S STxy xSx ySy SxS SyS O

19、PENGL程序中的變換順序程序中的變換順序 glMatrixMode(GL_MODELVIEW); /指定當(dāng)前操作矩陣類型指定當(dāng)前操作矩陣類型 glLoadIdentity(); /設(shè)置當(dāng)前操作矩陣為單位矩陣設(shè)置當(dāng)前操作矩陣為單位矩陣 glMultMatrix(TT(XA,YA); /用當(dāng)前矩陣乘以函數(shù)所提供矩陣用當(dāng)前矩陣乘以函數(shù)所提供矩陣 glMultMatrix(TS(Sx,Sy); glMultMatrix(TT(-XA,-YA); glBegin(GL_POINTS); glVertex3f(x,y,x); glEnd(); 圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 下圖所示的

20、為圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)下圖所示的為圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)A（xA，yA）旋轉(zhuǎn)時(shí)，由一變換序列得到一）旋轉(zhuǎn)時(shí)，由一變換序列得到一 組合矩陣的過(guò)程。首先，把物體平移，使基準(zhǔn)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，然后組合矩陣的過(guò)程。首先，把物體平移，使基準(zhǔn)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，然后 ，把物體繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，最后，把物體平移，使基準(zhǔn)點(diǎn)回到原來(lái)位置。，把物體繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，最后，把物體平移，使基準(zhǔn)點(diǎn)回到原來(lái)位置。 圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任一基準(zhǔn)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 此變換序列可以用以下矩陣的乘積表示：此變換序列可以用以下矩陣的乘積表示： ( )( ,)( )(,) 1 0cossin0 1 0 0 1sincos0 0 1 0 01001 0 01

21、cossin(1 cos )sin sincos(1 cos )sin 001 AAAAA AA AA AA AA RT x yRTxy xx yy xy yx 關(guān)于任意軸的對(duì)稱變換關(guān)于任意軸的對(duì)稱變換 以任一直線以任一直線l為對(duì)稱軸的對(duì)稱變換可以用變換合成的方法按如下步驟建立為對(duì)稱軸的對(duì)稱變換可以用變換合成的方法按如下步驟建立 。 平移使平移使l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，記變換為過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，記變換為T1，圖形，圖形A被變換到被變換到A1。 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，使角，使l和和ox軸重合，記變換為軸重合，記變換為R1，圖形，圖形Al被變換到被變換到A2。 求圖形求圖形A關(guān)于關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形軸的對(duì)稱圖形A3，記變換為

22、，記變換為RFx。 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-角，記變換為角，記變換為R2，圖形，圖形A3被變換到被變換到A4。 平移使平移使l回到其原先的位置，記變換為回到其原先的位置，記變換為T2，圖形，圖形A4被變換到被變換到As。As即為即為 A關(guān)于關(guān)于l的對(duì)稱圖形。的對(duì)稱圖形。 總的變換為：總的變換為： 2211x T RRF R T 變換矩陣的級(jí)聯(lián)特性變換矩陣的級(jí)聯(lián)特性 矩陣相乘是符合結(jié)合律的，即在求矩陣相乘是符合結(jié)合律的，即在求A、B、C三個(gè)矩陣的三個(gè)矩陣的 積時(shí)，可以先把積時(shí)，可以先把A及及B相乘，也可以先把相乘，也可以先把B及及C相乘，即相乘，即 但矩陣相乘是不符合交換律的，即一般矩陣積但矩陣相乘是不符合交

23、換律的，即一般矩陣積AB與與BA 不相等。這樣，如果我們要對(duì)一物體進(jìn)行平移及旋轉(zhuǎn)變不相等。這樣，如果我們要對(duì)一物體進(jìn)行平移及旋轉(zhuǎn)變 換，則要特別注意矩陣級(jí)聯(lián)的次序。采用不同的變換次換，則要特別注意矩陣級(jí)聯(lián)的次序。采用不同的變換次 序，其最后結(jié)果是不一樣的。序，其最后結(jié)果是不一樣的。 )()(CBACBACBA 7.4 三維幾何變換三維幾何變換 三維圖形的平移，三維圖形的平移，比例及旋轉(zhuǎn)比例及旋轉(zhuǎn)變換是對(duì)二維變換的擴(kuò)展變換是對(duì)二維變換的擴(kuò)展 三維三維旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一般不能直接由二維變換擴(kuò)展得到，因?yàn)槿S一般不能直接由二維變換擴(kuò)展得到，因?yàn)槿S 旋轉(zhuǎn)可圍繞空間任何方位的軸進(jìn)行。旋轉(zhuǎn)可圍繞空間任何方位的軸

24、進(jìn)行。 三維幾何變換方程也可以用變換矩陣表示。任何一個(gè)變?nèi)S幾何變換方程也可以用變換矩陣表示。任何一個(gè)變 換序列均可用一個(gè)矩陣表示，此矩陣是把序列中的各個(gè)換序列均可用一個(gè)矩陣表示，此矩陣是把序列中的各個(gè) 矩陣級(jí)聯(lián)到一起而得到的矩陣級(jí)聯(lián)到一起而得到的 . 對(duì)于三維空間點(diǎn)需要用對(duì)于三維空間點(diǎn)需要用4個(gè)數(shù)來(lái)表示，而相應(yīng)的變換矩個(gè)數(shù)來(lái)表示，而相應(yīng)的變換矩 陣是陣是44階矩陣。階矩陣。 7.4.1 三維坐標(biāo)系的建立三維坐標(biāo)系的建立 右手坐標(biāo)系右手坐標(biāo)系 :伸出右手，當(dāng)用大姆指指向伸出右手，當(dāng)用大姆指指向x軸的正方向，食指指向軸的正方向，食指指向y軸的正軸的正 方向，則與手心垂直的中指方向就是方向，則與手

25、心垂直的中指方向就是z軸正向。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，兩種軸正向。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，兩種 坐標(biāo)系都可以使用。坐標(biāo)系都可以使用。 右手坐標(biāo)系為大多數(shù)人所熟悉，因此在討論圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常使用右右手坐標(biāo)系為大多數(shù)人所熟悉，因此在討論圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常使用右 手坐標(biāo)系。本課程中沒(méi)有指明時(shí)，均指右手坐標(biāo)系。手坐標(biāo)系。本課程中沒(méi)有指明時(shí)，均指右手坐標(biāo)系。 7.4.2 三維圖形幾何變換三維圖形幾何變換 三維幾何變換也可利用齊次坐標(biāo)的概念，變換可以用一三維幾何變換也可利用齊次坐標(biāo)的概念，變換可以用一 個(gè)個(gè)44的變換矩陣來(lái)表示。設(shè)三維空間中的點(diǎn)的變換矩陣來(lái)表示。設(shè)三維空間中的點(diǎn)P(x,y,z)， 其規(guī)格化齊次坐標(biāo)為

26、其規(guī)格化齊次坐標(biāo)為(x,y,z,1) 。 若變換矩陣為若變換矩陣為T，T為為44的矩陣，則變換后的點(diǎn)的矩陣，則變換后的點(diǎn)P=TP 。 平移變換平移變換 在用三維齊次坐標(biāo)表示時(shí)，把一個(gè)點(diǎn)由位置（在用三維齊次坐標(biāo)表示時(shí)，把一個(gè)點(diǎn)由位置（x，y，z） 平移至位置（平移至位置（x，y，z）可用以下矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)：）可用以下矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)： 所示的矩陣表達(dá)式與以下三式等效：所示的矩陣表達(dá)式與以下三式等效： 100 010 001 100011 x y z xTx yTy zTz x y z x = x+T y = y+T z = z+T 比例變換比例變換 設(shè)空間一點(diǎn)設(shè)空間一點(diǎn)P（x，y，z）以原點(diǎn)為中心，在

27、三根軸上分）以原點(diǎn)為中心，在三根軸上分 別放大或縮小別放大或縮小Sx、Sy，Sz倍，變換矩陣為：倍，變換矩陣為： 000 000 (,) 000 0001 xx yy xyz zz S S S S S S S 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 三維空間的旋轉(zhuǎn)：三維空間的旋轉(zhuǎn)： 繞繞x軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 繞繞y軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 繞繞z軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 繞空間一條任意軸的旋轉(zhuǎn)繞空間一條任意軸的旋轉(zhuǎn) 繞繞x軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P (x，y，z)繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角到角到P (x，y，z )時(shí)，點(diǎn)的時(shí)，點(diǎn)的x 坐標(biāo)值不變坐標(biāo)值不變 ,則有：則有： 變換矩陣為：變換矩陣為： cossin sincos xx yyz

28、 zyz 1000 0cossin0 ( ) 0sincos0 0001 x R 繞繞y軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P (x，y，z)繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角到角到P (x，y，z )時(shí)，點(diǎn)的時(shí)，點(diǎn)的y 坐標(biāo)值不變坐標(biāo)值不變 ，則有：，則有： 變換矩陣為：變換矩陣為： cossin sincos xxz yy zxz cos0sin0 0100 ( ) sin0cos0 0001 y R 繞繞z軸的旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn) 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P (x，y，z)繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角到角到P (x，y，z )時(shí)，點(diǎn)的時(shí)，點(diǎn)的z 坐標(biāo)值不變坐標(biāo)值不變 ，則有：，則有： 變換矩陣為：變換矩陣為： cossin sincos xx

29、y yxy zz cossin0 0 sincos0 0 ( ) 0010 000 1 z R 反射變換反射變換 如果要對(duì)于如果要對(duì)于x y平面進(jìn)行變換，此變換實(shí)際上是改變平面進(jìn)行變換，此變換實(shí)際上是改變z坐標(biāo)坐標(biāo) 的符號(hào)而保持的符號(hào)而保持x、y坐標(biāo)不變，一點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)不變，一點(diǎn)相對(duì)于x y平面反射變平面反射變 換矩陣為：換矩陣為： 同樣可定義相對(duì)于同樣可定義相對(duì)于y z平面或平面或x z平面進(jìn)行變換的矩陣平面進(jìn)行變換的矩陣 : 1000 0100 0010 0001 xy RF 1000 0100 0010 0001 yz RF 1000 0100 0010 0001 zx RF 錯(cuò)切變換錯(cuò)

30、切變換 三維錯(cuò)切變換是指對(duì)定義一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值中的兩個(gè)三維錯(cuò)切變換是指對(duì)定義一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值中的兩個(gè) 進(jìn)行變換，使三維形體發(fā)生錯(cuò)切變形的變換進(jìn)行變換，使三維形體發(fā)生錯(cuò)切變形的變換 . 下面是以下面是以z軸為依賴軸（軸為依賴軸（z值不變）產(chǎn)生三維錯(cuò)切的變換值不變）產(chǎn)生三維錯(cuò)切的變換 矩陣矩陣 : 100 010 (,) 0010 0001 x y zxy sh sh SHsh sh 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 在給定旋轉(zhuǎn)軸的特征及旋轉(zhuǎn)角之后，可用以下在給定旋轉(zhuǎn)軸的特征及旋轉(zhuǎn)角之后，可用以下5步完成對(duì)步完成對(duì) 任意軸的旋轉(zhuǎn)：任意軸的旋轉(zhuǎn)： 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。平移物體使

31、旋轉(zhuǎn)軸通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。 旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某一坐標(biāo)軸重合。旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某一坐標(biāo)軸重合。 進(jìn)行規(guī)定的旋轉(zhuǎn)。進(jìn)行規(guī)定的旋轉(zhuǎn)。 進(jìn)行反旋轉(zhuǎn)使放置軸回到原來(lái)的方位。進(jìn)行反旋轉(zhuǎn)使放置軸回到原來(lái)的方位。 進(jìn)行反平移使旋轉(zhuǎn)軸回到原來(lái)的位置。進(jìn)行反平移使旋轉(zhuǎn)軸回到原來(lái)的位置。 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 首先，假定旋轉(zhuǎn)軸用兩點(diǎn)定義首先，假定旋轉(zhuǎn)軸用兩點(diǎn)定義P1(x1,y1,z1) 和和P2(x2,y2,z2)， 由此兩點(diǎn)定義一向量：由此兩點(diǎn)定義一向量： 用此向量可求得沿旋轉(zhuǎn)軸的單位向量：用此向量可求得沿旋轉(zhuǎn)軸的單位向量： 用以下平移矩陣可把物體平移使旋轉(zhuǎn)軸通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)：用以下平移矩陣可把物體

32、平移使旋轉(zhuǎn)軸通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)： ),( 121212 zzyyxxV ) , ,(cba V V u 1 1 111 1 100 010 (,) 001 0001 x y Txyz z 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 要使旋轉(zhuǎn)軸與要使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合，可通過(guò)以下兩步實(shí)現(xiàn)，首先，圍軸重合，可通過(guò)以下兩步實(shí)現(xiàn)，首先，圍 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)使向量軸旋轉(zhuǎn)使向量u轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到xz平面中；然后圍繞平面中；然后圍繞y軸旋轉(zhuǎn)使軸旋轉(zhuǎn)使u 與與z軸重合。軸重合。 首先確定使首先確定使u轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到xz平面所需的旋轉(zhuǎn)角的正弦及余弦值。平面所需的旋轉(zhuǎn)角的正弦及余弦值。 cos z z u uc u ud 22 = (+ )

33、dbc d b sin 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 上面已由的各個(gè)分量確定了及的值，由此可得到繞上面已由的各個(gè)分量確定了及的值，由此可得到繞x軸的軸的 旋轉(zhuǎn)矩陣為：旋轉(zhuǎn)矩陣為： 1000 0/0 0/0 0001 )( dcdb dbdc Rx 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 下面確定把下面確定把xz平面中的單位向量圍繞軸旋轉(zhuǎn)到正軸的變平面中的單位向量圍繞軸旋轉(zhuǎn)到正軸的變 換矩陣。換矩陣。 因此首先確定因此首先確定 的的sin和和cos值：值： sin =a, cos =d 由此可得到繞由此可得到繞y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為：軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為： 1000 00 0010 00 )(

34、 da ad Ry 圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圍繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 用上述變換矩陣，可使旋轉(zhuǎn)軸與用上述變換矩陣，可使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合。然后，按給定軸重合。然后，按給定 的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)角繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，此旋轉(zhuǎn)矩陣為：軸旋轉(zhuǎn)，此旋轉(zhuǎn)矩陣為： 為完成繞任意軸的旋轉(zhuǎn)，最后要把旋轉(zhuǎn)軸變換回原來(lái)位為完成繞任意軸的旋轉(zhuǎn)，最后要把旋轉(zhuǎn)軸變換回原來(lái)位 置。這樣，圍繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為以下七置。這樣，圍繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為以下七 個(gè)獨(dú)立變換的組合：個(gè)獨(dú)立變換的組合： 1000 0100 00cossin 00sincos )( z R 111 111 ( )( ,)()()( ) ( )( )(,

35、) xyz yx RT x y zRRR RRTxyz 三維幾何變換的一般形式三維幾何變換的一般形式 設(shè)圖形上一點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)圖形上一點(diǎn)的坐標(biāo)為P (x，y，z)，經(jīng)過(guò)二維幾何變換，經(jīng)過(guò)二維幾何變換 后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P (x，y，z )，變換矩陣一般可寫(xiě)為：，變換矩陣一般可寫(xiě)為： 即即 100011 xabcdx yefghy zijklz xaxbyczd yexfygzh zixjykzl 三維幾何變換的一般形式三維幾何變換的一般形式 我們可以得到以下結(jié)論：我們可以得到以下結(jié)論： 的作用是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)等變的作用是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)等變 換。換。 的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換

36、。的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換。 abc efg ijk d h l 7.4.3 三維坐標(biāo)系變換三維坐標(biāo)系變換 實(shí)現(xiàn)圖形變換可采用實(shí)現(xiàn)圖形變換可采用兩種思想兩種思想: 第一種就是在同一個(gè)坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等第一種就是在同一個(gè)坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等 變換，變換后的圖形與變換前的圖形在同一個(gè)坐標(biāo)系中變換，變換后的圖形與變換前的圖形在同一個(gè)坐標(biāo)系中. 另一種等效的方法是把變換看成是坐標(biāo)系的變動(dòng)，變換另一種等效的方法是把變換看成是坐標(biāo)系的變動(dòng)，變換 前和變換后的圖形在不同的坐標(biāo)系中。前和變換后的圖形在不同的坐標(biāo)系中。 三維坐標(biāo)系變換三維坐標(biāo)系變換 假定有兩個(gè)坐標(biāo)系假定有兩個(gè)坐標(biāo)系Oxyz

37、和，其中在坐標(biāo)系和，其中在坐標(biāo)系Oxyz中，中， 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 。 分別為三個(gè)單位向量（分別為三個(gè)單位向量（ux，uy，uz），（），（vx，vy，vz）和（）和（nx，ny ，nz），現(xiàn)在用變換合成的方法將坐標(biāo)系），現(xiàn)在用變換合成的方法將坐標(biāo)系Oxyz中的圖形變換到坐標(biāo)系中中的圖形變換到坐標(biāo)系中 去（見(jiàn)下圖）：去（見(jiàn)下圖）： 三維坐標(biāo)系變換三維坐標(biāo)系變換 變換步驟如下：變換步驟如下： 平移使平移使 落于原點(diǎn)落于原點(diǎn)O，變換為，變換為 ； 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)角度軸旋轉(zhuǎn)角度x，使，使n軸落于軸落于xOz平面，變換為平面，變換為Rx(x) ； 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)角度軸旋轉(zhuǎn)角度y，使，使n軸與軸與z軸同向且

38、重合，變換為軸同向且重合，變換為 Ry(y)； 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)角度軸旋轉(zhuǎn)角度z，使，使u軸和軸和x軸同向且重合，變換為軸同向且重合，變換為 Rz(z)。 三維坐標(biāo)系變換三維坐標(biāo)系變換 則變換矩陣為：則變換矩陣為： 其實(shí)，由線性代數(shù)知識(shí)可知，從坐標(biāo)系其實(shí)，由線性代數(shù)知識(shí)可知，從坐標(biāo)系Oxyz到的正交變到的正交變 換為：換為： 所以上述矩陣變換，所以上述矩陣變換， 可以表示為：可以表示為： ( )( )( )(,) xyz xyzuvnzzyyxx MRRRT OOO 0 0 0 0001 xyz xyz xyz uuu vvv R nvv 0 0 (,) 0 0001 xyz xyz xyz xy

39、zuvn xyz uuu vvv MTOOO nvv 從三維空間到二維平面從三維空間到二維平面 在真實(shí)世界里，所有的物體都在真實(shí)世界里，所有的物體都 是三維的。但是，這些三維物體是三維的。但是，這些三維物體 在計(jì)算機(jī)世界中卻必須以二維平在計(jì)算機(jī)世界中卻必須以二維平 面物體的形式表現(xiàn)出來(lái)。那么，面物體的形式表現(xiàn)出來(lái)。那么， 這些物體是怎樣從三維變換到二這些物體是怎樣從三維變換到二 維的呢？下面我們采用相機(jī)維的呢？下面我們采用相機(jī) (Camera)模擬的方式來(lái)講述模擬的方式來(lái)講述 這個(gè)概念這個(gè)概念 從三維空間到二維平面從三維空間到二維平面 從三維空間到二維平面，就如同用相機(jī)拍照一樣，通常都要經(jīng)歷從

40、三維空間到二維平面，就如同用相機(jī)拍照一樣，通常都要經(jīng)歷 以下幾個(gè)步驟：以下幾個(gè)步驟： 第一步，將相機(jī)置于三角架上，讓它對(duì)準(zhǔn)三維景物第一步，將相機(jī)置于三角架上，讓它對(duì)準(zhǔn)三維景物 第二步，將三維物體放在適當(dāng)?shù)奈恢茫Ｐ妥儞Q，第二步，將三維物體放在適當(dāng)?shù)奈恢茫Ｐ妥儞Q，Modeling Transformation ）；）； 第三步，選擇相機(jī)鏡頭并調(diào)焦，使三維物體投影在二維膠片上第三步，選擇相機(jī)鏡頭并調(diào)焦，使三維物體投影在二維膠片上 （投影變換，（投影變換，Projection Transformation ）；）； 第四步，決定二維像片的大?。ㄒ暱谧儞Q，第四步，決定二維像片的大?。ㄒ暱谧儞Q，Vie

41、wport Transformation ）。）。 視點(diǎn)方向：相機(jī)初始方向都指向視點(diǎn)方向：相機(jī)初始方向都指向Z負(fù)軸負(fù)軸 glFrustum 投影函數(shù)投影函數(shù) 這個(gè)函數(shù)原型為：這個(gè)函數(shù)原型為：void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far); 它創(chuàng)建一個(gè)透視視景體。其操作是創(chuàng)建一個(gè)透視投影矩陣，并且用這個(gè)它創(chuàng)建一個(gè)透視視景體。其操作是創(chuàng)建一個(gè)透視投影矩陣，并且用這個(gè) 矩陣乘以當(dāng)前矩陣。這個(gè)函數(shù)的參數(shù)只定義近裁剪平面的左下角點(diǎn)和右矩陣乘以當(dāng)前矩陣。

42、這個(gè)函數(shù)的參數(shù)只定義近裁剪平面的左下角點(diǎn)和右 上角點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)，即上角點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)，即(left,bottom,-near)和和(right,top,-near)； near和和far表示離視點(diǎn)的遠(yuǎn)近，它們總為正值。表示離視點(diǎn)的遠(yuǎn)近，它們總為正值。 矩陣函數(shù)解釋矩陣函數(shù)解釋 void glLoadMatrixfd(const TYPE *m) 設(shè)置當(dāng)前矩陣中的元素值。函數(shù)參數(shù)設(shè)置當(dāng)前矩陣中的元素值。函數(shù)參數(shù)*m是一個(gè)指向是一個(gè)指向16個(gè)個(gè) 元素元素(m0,m1,.,m15)的指針，的指針， 這這16個(gè)元素就是當(dāng)前矩陣個(gè)元素就是當(dāng)前矩陣 M 中的元素，其排中的元素，其排 列方式如列方式如

43、 下：下： 151173 141062 13951 12840 mmmm mmmm mmmm mmmm M 矩陣函數(shù)解釋矩陣函數(shù)解釋 void glMultMatrixfd(const TYPE *m) 用當(dāng)前矩陣去乘用當(dāng)前矩陣去乘*m所指定的矩陣，并將結(jié)果存放于所指定的矩陣，并將結(jié)果存放于*m 中。當(dāng)前矩陣可以是用中。當(dāng)前矩陣可以是用glLoadMatrix()指定的矩陣，也指定的矩陣，也 可以是其它矩陣變換函數(shù)的綜合結(jié)果?？梢允瞧渌仃囎儞Q函數(shù)的綜合結(jié)果。 void glLoadIdentity(void) 功能：設(shè)置當(dāng)前操作矩陣為單位矩陣功能：設(shè)置當(dāng)前操作矩陣為單位矩陣(當(dāng)前矩陣即為以后當(dāng)前矩陣即為以后 圖形變換所要使用的矩陣圖形變換所要使用的矩陣)。 幾何變換函數(shù)幾何變換函數(shù) 當(dāng)幾何變換時(shí)，調(diào)用當(dāng)幾何變換時(shí)，調(diào)用OpenGL的三個(gè)變換函數(shù)的三個(gè)變換函數(shù) glTranslate*() glRotate*() glScale*() 實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于產(chǎn)生了一個(gè)平移、旋轉(zhuǎn)和比例矩陣，然后實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于產(chǎn)生了一個(gè)平移、旋轉(zhuǎn)和比例矩陣，然后 調(diào)用調(diào)用glMultMatrix()與當(dāng)前矩陣相乘。與當(dāng)前矩陣相乘。 平移函數(shù)平移函數(shù) 平移變換函數(shù)如下：平移變換函數(shù)如下： void