圓的培優(yōu)專題含解答

1、圓的培優(yōu)專題1 與圓有關的角度計算一運用輔助圓求角度1、如圖， ABC 內有一點 D, DA = DB = DC，若 / DAB = 20，/ DAC = 30 ,1貝U 乙 BDC =. ( BDC = 2- BAC = 100 )2、如圖，AE = BE = DE = BC = DC,若.C= 100，則.BAD =. ( 50 )3、如圖，四邊形 ABCD 中，AB = AC = AD , . CBD = 20 , . BDC = 30，貝U乙 BAD =.(三 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 + 60 = 100*)A第1題第2題第3題解題策略：通過添加輔助圓，把問題

2、轉化成同弧所對的圓周角與圓心角問題，思維更明朗!4、如圖，口 ABCD中，點E為AB、BC的垂直平分線的交點，若 D = 60 ,貝U 乙 AEC =. ( AEC = 2 B = 2 D = 120 )5、 如圖，O 是四邊形 ABCD 內一點，OA = OB = OC, ABC = ADC = 70 ,貝U DAO + DCO =.(所求=360 - Z ADC 乙 AOC = 150 )6、如圖，四邊形 ABCD 中， ACB = ADB = 90 , - ADC = 25，則 ABC =(ABC = ADC = 25 )第4題BD解題策略：第6題有兩個直角三角形共斜邊，由直角所對的弦為

3、直徑，易得到ACBD共圓.運用圓周角和圓心角相互轉化求角度7、如圖，AB為O O的直徑，C為AB的中點,D為半圓AB上一點，則 ADC =8、如圖，AB為O O的直徑,CD過OA的中點E并垂直于OA，則乙ABC =9、如圖，AB為O O的直徑,BC =3AC，則.ABC =解題策略：以弧去尋找同弧所對的圓周角與圓心角是解決這類問題的捷徑！10、如圖，AB為O O的直徑，點C、D在O O上， BAC = 50，則 ADC =11、 如圖，O O 的半徑為 1,弦 AB = #2，弦 AC = -.3，則 BOC =.12、 如圖，PAB、PCD是O O的兩條割線，PAB過圓心O,若AC=CD ,

4、 - P= 30 ,貝,BDC =.（設.ADC = x，即可展開解決問題）第10題解題策略：在連接半徑時，時常會伴隨出現(xiàn)特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個關鍵點！圓的四接四邊形的外角等于內對角，是一個非常好用的一個重要性質!圓的培優(yōu)專題2與垂徑定理有關的計算1、如圖，AB是O O的弦，OD_AB，垂足為 C,交O O于點D，點E在O O上，若乙BED=30 , O O的半徑為4，則弦AB的長是.略解： OD_AB,. AB = 2AC，且.ACO = 90 , . BED = 30 , . AOC = 2 BED = 60 . OAC = 30

5、, OC=- OA = 2,則 AC = 2.3，因此 AB = 4.3 .2、如圖，弦 AB垂直于O O的直徑CD , OA = 5, AB = 6,貝U BC =.1略解：直徑 CD _ 弦 AB , AE = BE =1 AB=3略解：如圖，過點 O作OE_AB , OF_CD，連接 OB , OD.則 BE = 2 AB = 4, DF = CD = 3,且 OB = OD = 2 . 5OE = （2、5）2 -42 =2 , OF = .（2、.5）2 -3211又AB _CD，則四邊形 OEPF是矩形，則 OP= ,22 -（.后）2 = .154、如圖，在O O內，如果 OA

6、= 8, AB = 12, A = B = 60，則O O的半徑為略解：如圖，過點 O作OD _ AB，連接OB,則AD = | AB = 4，因此，BD = 8, OD = 4.3 OB = （4.3）2 8247.圓的培優(yōu)專題3圓與全等三角形5、如圖，正 ABC 內接于O O, D 是O O 上一點，.DCA = 15 , CD = 10,貝U BC =略解：如圖，連接 OC, OD，則.ODC = . OCD/ ABC 為等邊三角形，則OCA = OCE = 30 ,.ODC = OCD = 45 OCD是等腰三角形，則 OC = 5 2過點O作OE _ BC ,貝V BC = 2CE

7、=第5題第6題6、如圖，O O的直徑AB = 4, C為AB的中點，E為OB上一點， AEC = 60 , CE的延長線交O O于點D，貝y CD =略解：如圖，連接 OC,貝U OC= 2/ C 為 AB 的中點，貝y OC_AB，又 AEC = 60 , OCE= 301如圖，過點 O 作 OF_CD，貝U OF= 2 OC= 1, CF =7、如圖，A地測得臺風中心在城正西方向300千米的B處,并以每小時1 7千米的速度沿北偏東 60的BF方向移 動，距臺風中心200千米范圍內是受臺風影響的區(qū)域問：A地是否受到這次臺風的影響？若受到影響，請求 出受影響的時間？解：如圖，過點 A作AC _

8、 BF交于點C,1乙ABF = 30 ，貝U AC = 2 AB = 150： 200，因此 A地會受到這次臺風影響;如圖，以A為圓心200千米為半徑作O A交BF于D、E兩點，連接AD ,則 DE = 2CD = 2 2002 -1502 =100 7 ,所以受影響的時間為1ooC“1o、7 =10 （時），連接DED1、如圖，O O的直徑AB = 10,弦AC = 6, - ACB的平分線交O O于D,求CD的長. 解：如圖，連接 AB , BD，在CB的延長線上截取 BE = AC又匚 CAD = Z EBD , AC = BE ACD = BCD , AD = BD CAD EBD (

9、 SAS) CD = DE , . ADC = . BDE/ AB 為O O 的直徑，則.ACB = . ADB = 90 BC = JO2 62 =8 ; ADC +. CDB = . CDB +. BDE = 90 ，即.CDE = 90 CDE是等腰直角三角形且 CE= 14, CD = 7 22、如圖，AB是O O的直徑，C是半圓的中點，M、D分別是CB及AB延長線上一點，且MA = MD，若 CM = x 2，求 BD 的長.A解：如圖，連接 AC,貝U AC = BC, . C = 90，即 ABC是等腰直角三角形過點 M 作 MN / AD，則 NMA = MAD則厶CMN也是等

10、腰直角三角形，則 MN =2 CM = 2 / ANC = Z MBD = 135 ,又 MA = MD . D = . NMA = . MAD AMN 也厶 BMD (AAS )BD = MN = 23、如圖，AB為O O的直徑，點N是半圓的中點，點 C為AN上一點，NC = 3 .求BC AC的值.在BC上截取BD = AC，連接DN解：如圖，連接 AN，BN，則 ABN是等腰直角三角形/ AN = BN , - CAN = DBN , AC = BD ACN 也厶 BDN ( SAS) CN = DN , CNA = DNB ,厶CND = Z CNA + Z AND = Z ADN +

11、乙DNB = 90 ，即 CND是等腰直角三角形 CD =邁 NC = . 6 , BC AC = BC BD = CD = .64、如圖，點A、B、C為O O上三點，AC =BC，點M為BC上一點，CE_ AM于E,AE = 5, ME = 3,求 BM 的長.解：如圖，在 AM上截取 AN = BM，連接CN , CM./ AC = BC , AC = BC,又 / A = Z B ACN BCM (SAS) CN = CM，又 CE_AM NE = ME = 3,BM = AN = AE NE = 25、如圖，在O O中，P為BAC的中點，PD_CD , CD交O O于A，若AC = 3

12、, AD = 1 , 求AB的長.解：如圖，連接 BP、CP,貝U BP= CP, . B = . C過點P作PE _AB于點E，又PD_CD BEP = CDP BEP也厶 CDP (AAS )BE = CD = 3+1 = 4, PE= PD連接 AP,貝 U Rt AEP 也 Rt ADP ( HL ),貝 U AE = AD = 1 AB = AE+BE = 56、如圖，AB 是 O 的直徑，MN 是弦，AE _ MN 于 E, BF _ MN 于 F, AB = 10, MN = 8.求BF AE的值.解: v AE _MN , BF _MN，貝U AE / BF，/ A = Z B

13、如圖，延長EO交BF于點G,貝U AOE = BOG , AO = BO AOE BOG (AAS ),貝U OE = OG過點 O 作 OHMN , FG = 2OH , HN = 4連接 ON，貝U ON = 5, OH = 52 -43，貝U BG AE = FG = 6.1、如圖，O O是厶BCN的外接圓，弦 AC_BC，點N是AB的中點，.BNC = 60 ,亠 BN +求BC的值解：如圖，連接 AB，貝U AB為直徑， BNA = 90 BN =又 / BAC = BNC = 60 , BC = 3AB ,2BN _6BC =(方法2，過點B作BD _ CN，即可求解)連接AN，則

14、BN = AN，則 ABN是等腰直角三角形2、如圖，O O的弦AC _BD，且AC = BD，若AD = 2.2，求O O半徑.解：如圖，作直徑 AE，連接DE,則N ADE = 90 又 AC 丄 BD，則 N ADB + N DAC = N ADB + N EDB = 90 N DAC =厶 EDB，則 CD = BE , DE = BC ,/ AC = BD, AC = CD，貝y AD = BC = DE AD = DE，即 ADE是等腰直角三角形 AE = J2AD = 4，即O O的半徑為2 3、如圖，AB為O O的直徑，C為O O上一點，D為CB延長線上一點，且 Z CAD =

15、45ACE AB 于點 E, DF AB 于點 F.(1)求證：CE = EF; (2 )若 DF = 2, EF = 4，求 AC.(1)證：T AB 為O O 的直徑，.CAD = 45 ,則厶ACD是等腰直角三角形，即 AC = DC又 CE AB，則 CAE = ECB如圖，過點C作CG垂直DF的延長線于點 G 又 CE AB , DFAB，則四邊形 CEFG 是矩形，.AEC = DGC = 90 EF = CG, CE / DG，則 ECB = CDG = CAE ACE 也厶 DCG (AAS ),貝U CE = CG = EF(2)略解：AC = CD =EH = AH = 1

16、 AE=44、如圖，AB為O O的直徑，CD_AB于點D, CD交AE于點F, AC二CE .(1) 求證：AF = CF;(2) 若O O的半徑為5, AE = 8,求EF的長(1 )證：如圖，延長 CD交O O于點G,連接AC直徑 AB _CG，貝y AG =AC =CE . CAE = ACG，貝U AF = CF(2)解：如圖，連接 OC交AE于點H，則OC_AE ,OH =52 - 42 =3，貝U CH = 5- 3= 2設 HF = x，貝U CF= AF = 4- x22233則 x 2 =(4 - x) , x ，即 HF =2 211 EF =25、如圖，在O O中，直徑

17、CD 弦AB于E, AM BC于M，交CD于N，連接 AD.(1)求證：AD = AN ;A(2)若 AB = 4.2 , ON = 1,求O O 的半徑.(1) 證：T CD _AB , AM _BCC + CNM = - C+ B = 90匚 B = Z CNM ,又 B = D, - AND = CNM D = AND，即 AD = AN(2) 解：直徑 CD _ 弦 AB，貝U AE = 2、2又 AN = AD，貝U NE = ED如圖，連接 OA，設OE = x，貝U NE = ED = x 1OA = OD = 2x 1 x2(2、2)2 =(2x 1)2，則 x =1 O O的

18、半徑OA = 311、在O O 中，弦 AB _CD 于 E,求證：/ AOD + 乙 BOC =證：如圖，連接AC,/ AB _CD，則.CAB +. ACD = 90又.AOD = 2 ACD , . BOC = 2. BAC . AOD + . BOC = 180 .2 2 22、在O O中，弦AB _CD于點E,若O O的半徑為R，求證：AC + BD = 4R .證： AB _ CD，則.CAB + . ACD = 90如圖，作直徑 AM，連接CM則三 ACM = Z ACD + Z DCM = 90 CAB = Z DCM , CM = BD2 2/ AC2+ CM2= AM AC

19、2+ BD2= 4R2 3、在O O中，弦AB _CD于點E,若點 M為AC的中點，求證 ME _ BD.證：如圖，連接 ME，并延長交BD于點F AB _CD，且點M為AC的中點 ME為RtAAEC斜邊上的中線 AM = ME乙 A = AEM = BEF又 B = C, A + C= 90 BEF + B= 90 ，即 BFE = 90 ME BD.4、證:5、證:在O O中，弦 AB _CD于點E,若 ON _ BD于N，求證：ON = AC.2如圖，作直徑 BF，連接DF,貝U DF _ BD，又 ON _ BD ,ON / FD，又 OB = OF1 ON = - DF2連接 AF，

20、貝U AF _ AB，又 CD _ AB AF / CD AC = FD，貝y AC = FD1 ON = AC2在O O 中，弦 AB _CD 于點 E,若 AC = BD , ON _ BD 于 N , OM _ AC 于 M.(1) 求證：ME/ON ;(2) 求證：四邊形 OMEN為菱形.(1)如圖，延長 ME交OD于點FTOM _AC，則點M為AC的中點AB丄CD,貝U ME為Rt ACE的斜邊上中線 AM = EM,C . A = AEM = BEF 又 B = C, A + C = 90 B + BEF = 90 ，則 BFE = 90 MF _BD，又 ON _BD MF /

21、ON(2)由(1)知 MF / ON，同理可證 OM / NE ,四邊形OMEN是平行四邊形 / AC = BD , OM = ON 四邊形OMEN為菱形.圓的培優(yōu)專題6圓與內角（外角）平分線一圓與內角平分線問題往往與線段和有關，實質是對角互補的基本圖形1、如圖，O O ABC的外接圓，弦 CD平分/ ACB，乙ACB = 90 .求證：CA + CB =、一 2 CD.證：如圖，在 CA的延長線上截取 AE = BC,連/ CD 平分.ACB， AD = BD又.DAE = . DBC，AE = BC DAE DBC ( SAS) CD = DE，又 ACD = 45DE，AD，BD CDE

22、是等腰直角三角形，則 CA + CB = CE = ； 2 CD.2、如圖，O OABC的外接圓，弦CD 平分 / ACB，ACB =120，求CA+CBCD的值.解：如圖，在 CA的延長線上截取 AE = BC，連DE，AD，BD/ CD 平分 ACB， AD = BD 又.DAE = DBC，AE = BC DAE DBC ( SAS) CD = DE，又/ ACD = 60 CDE是等邊三角形“ CA+CBCD = CE = CA + BC，即一CD= 13、如圖，過0、M（1,1）的動圓O交y軸、x軸于點 解：如圖，過點 M作ME _ y軸，MF _ X軸，連 AM、由M （1，1）知

23、：四邊形 OFME是正方形.OE = OF = 4，EM = FM，又 MBF = MAE， AEM BFM （AAS ），貝U AE = BF OA + OB = AE + OE+ OF BF = 8.AC BC = CD =2 PC.圓中的外角問題往往與線段的差有關4、如圖，O O為厶ABC的外接圓，弦 CP平分 ABC的外角乙ACQ，乙ACB = 90 . 求證：（1） PA 二 PB ；（2）AC BC=2 PC.證：（1）如圖，連接 AP,則.PCQ= . PAB又.PCQ = PCA，則.PAB = PCA PA 二 PB（2）連接 BP，由（1）得，PA= PB在AC上截取 AD

24、 = BC,連PD,又.PAD = . P PAD PBC （ SAS）,貝 U PD= PC又.PCD = 45，則 PCD是等腰直角三角形，5、如圖，O O ABC的外接圓，弦 CP平分 ABC的外角.ACQ , - ACB = 120 .亠 BC AC求飛廠的值.解：如圖，在 BC上截取 BD = AC，連 AP、BP、DP PCB = PCQ= PBA AP = BP,又.CAP = DBP CAPDBP又也 ACB = 120 ,BC AC _ CDPC = PC(SAS),貝U CP= DP乙 PCD = 30 ,6、如圖，A （4,0） , B（0,4） , O O1經過A、B、

25、O三點，點這P為OA上動點（異于0、A）,PB PA 求po的值解：如圖，在BP上截取BC = AP A (4,0) , B(0, 4)，則 OA = OB = 4又/ OAP = Z OBC OAPOBC (SAS) OC = OP，且 N COP = AOB = 90 :則 PBp0PA = pO = 2 .圓的培優(yōu)專題9與切線有關的角度計算12A4B-Wr-6第4題第2題第3題（設元，列方程）第1題切線與一個圓答案：1、70 ； 2、20 ； 3、80 ； 4、120 ； 5、130 ； 6、458、如圖，O 01和。2交于A、B兩點，且點 01在O 02上，若 D = 110，則.C

26、=9、如圖，O O1和0 02外切于D, AB過點D，右A0 2D = 100 , C為優(yōu)弧BD上任一點，如圖,如圖,3、如圖,第6題第9題貝DCB =答案：7、140 ； & 40 ; 9、50 （過點D作兩圓的切線）AD切O 0于A , BC為直徑，若 乙ACB = 20，則/ CAD =AP切O 0于P, PB過圓心，B在O 0上，若.ABP =PA、PB為O 0的切線，C為ACB上一點，若乙BCA = 50，則乙APB =5、如圖，點 0是厶ABC的內切圓的的圓心，若6、如圖，PA切O 0于A，若PA= AB , PD平分第5題則大圓的BC的度數(shù)為第7題第8題35 ，則.APB =如圖

27、，PA、PB為O 0的切線，C為AB上一點,若 BCA = 150，則.APB =乙 BAC = 80 ，則乙 B0C =切線與兩個圓7、如圖，兩同心圓的圓心為 0,大圓的弦 AB、AC分別切小圓于D、E,小圓的DE的度數(shù)為110 ,-APB 交 AB 于 D，則 ADP =1、 如圖，在O O的內接 ACB中，乙ABC = 30 , AC的延長線與過點 D的切線BD交于點 D，若O O 的半徑為 1，BD/OC，貝U CD =.(CD =-y )2、如圖 ABC內接于O O, AB = BC,過點A的切線與OC的延長線交于 D, BAC = 75 ,CD = .3，貝y AD =.(AD =

28、 3) 3、如圖，O O BCD的外接圓，過點 C的切線交BD的延長線于 A, - ACB = 75 ,ABC = 45，則 DB 的值為.（=、2 ）4、 如圖，AB為O O的直徑，弦 DC交AB于E,過C作O O的切線交 DB的延長線于 M ,若 AB = 4, ADC = 45 , M = 75，則 CD =.( CD = 2 3 )5、如圖，等邊 ABC內接于O O, BD切O O于B, AD BD于D , AD交O O于E,O O的半徑為1,貝U AE =. (AE = 1)6、如圖， ABC中， C= 90 , BC = 5,O O與ABC的三邊相切于 D、E、F,若O O的半徑為

29、2,則厶ABC的周長為. ( C= 30)7、如圖， ABC 中， C = 90 , AC = 12, BC = 16,點 O 在 AB 上，O O 與 BC 相切于 D,連接 AD，貝U BD =.（示：過 D 作 DE _ AB，設 CD = DE = x , BD = 10）解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設元，構建勾股定理列方程圓的培優(yōu)專題9圓的切線與垂徑定理1、如圖，AB為O O的直徑，C為AE的中點，CD丄BE于D(1) 判斷DC與O O的位置關系，并說明理由；(2) 若DC = 3,0 O的半徑為5，求DE的長.解：(1) DC是O O的切線，理由如下：如圖，連接 OC

30、, BC，則 N ABC = Z CBD = Z OCB OC / BD，又 CD 丄 BE OC _ CD，又OC為O O的半徑 DC是O O的切線(2)如圖，過 O作OF_BD，則四邊形 OFDC是矩形，且 BE = EF - OF= CD = 3， DF = OC = 5，EF= BF = - 52 -32 4， DE = DF EF= 12、如圖，AB為O O的直徑，D是BC的中點，DE_AC交AC的延長線于E，O O的切線 BF交AD的延長線于點F.(1) 求證：DE為O O的切線；(2) 若DE = 3，O O的半徑為5，求DF的長(1)證：顯然， CAD = OAD = ODA

31、OD / AE，又 DE _ AC， OD _ DE，又OD為O O半徑 DE為O O的切線(2 )解：如圖，過點 O作OG_AC，貝U OGDE是矩形，即 OG = DE = 3，DE = OD = 5 AG =52 -32 =4，貝U AE = 5 + 4= 9, 9232 = 3.10連接 BD，則 BD AD， BD = ,102 -(3 一 10)2 10設 DF = X，則 X2 ( 10)2 = BF =(X 3 10)2 -102， DF = X = 0 .圓的培優(yōu)專題10 圓的切線與勾股定理3、如圖，四邊形 ABCD內接于O O, BD是O O的直徑，AE _ CD于E, D

32、A平分.BDE.(1) 求證：AE是O O的切線；(2) 若 AE = 2, DE = 1,求 CD 的長.(1 )證：如圖，連接 0A，則.ADE =. ADO = . OAD OA / CD , 又 AE _ CD OA _ AE，又OA為O O的半徑 AE是O O的切線(2)解：如圖，過點 O作OF丄CD,貝U CD = 2DF，且四邊形OFEA是矩形EF = OA = OD，OF = AE = 2 設 DF = X，貝V OD = EF= X 1 X22= (x 1)2， x =1.5 CD = 2CF = 2x =34、如圖，AE 是O O 的直徑，DF BO O 于 B，AD _

33、DF 于 D，EF _ DF 于 F.(1) 求證：EF + AD = AE ;(2) 若EF = 1，DF = 4,求四邊形 ADFE的周長.(1 )證：如圖，連接 CE,則四邊形CDFE是矩形連接OB交CE于點G,/ DF是O O的切線 OB _ DF , OB _CEBG = CD = EF, OG / AC，又 AO = OE AC = 2OG EF + AD = AC + CD + EF= 2OG+ 2BG = 2OB = AE.(2)解：顯然 CE = DF = 4, CD = EF = 1設 AC = x，貝U AD = X 1 , AE = X 22 2 2 X 4 =(X 2

34、)，貝y X =3，貝y AC = 3, AD = 4, AE = 5 四邊形CDFE的周長為14.1、如圖，已知點 A是O O上一點，半徑 0C的延長線與過點 A的直線交于點 B, OC = BC,1AC = - OB.2(1)求證：AB是O 0的切線；(2 )若ACD = 45 , 0C = 2,求弦CD的長.(1) 證：T OC = 0B ,1 AC為OAB的OB邊上的中線，又 AC = - OB2 OAB是直角三角形，且 OAB = 90，又 AB是O O的切線(2) 解：顯然，OA = OC =人。，即厶OAC是等邊三角形乙 AOC = 60，/ D = 30如圖，過點A作AE _

35、CD于點E, ACD = 45 , AEC是等腰直角三角形， AE = CE =AC = OC = 2 , DE = - 3 AE = 62 22、如圖，PA、PB 切O O 于 A、B,點 M 在 PB 上，且 OM /AP , MN _ AP 于 N.(1)求證：OM = AN ; (2)若O O的半徑r =3 , PA = 9，求OM的長.(1 )證：如圖，連接 OA ,T PA為O O的切線， OA _ AP，又 MN _ AP OA / MN，又 OM /AP ,四邊形 OANM 是矩形，即 OM = AN(2 )解：如圖，連接 OB,t PB、PA為O O的切線 OBM = MNP

36、 = 90 , PB = PA= 9 / OM/AP,. OMB = P,又 OB = OA = MN , OBM MNP (AAS ) OM = PM，貝U 32 + OM2=( 9 - OM ) 2,. OM = 53、如圖，AB為O O的直徑，半徑 0C_ AB , D為AB延長線上一點，過 D作O O的切線,E為切點，連接 CE交AB于F.(1)求證：DE = DF ; (2)連接 AE,若 0F= 1 , BF = 3,求 DE 的長.(1 )證：如圖，連接 0E/ PE為O 0的切線， 0E _ DE，又 0C _ AB / C + Z CFO=乙 0EF+ / DEF = 90

37、又.C = 0CF, CFO= DFE厶 DEF = Z DFE , DE = DF(2)解：顯然， 0E= 0B = 0F + BF = 4設 BD = x，貝U DE = DF = x 3 , 0D = x 42 2 2 (x 3)4 = (x 4) , x = 4.5 DE = 7.54、如圖，正方形 ABC0的頂點分別在 y軸、x軸上，以AB為弦的O M與x軸相切于F, 已知A (0,8)，求圓心M的坐標.解：如圖，連接 FM交延長交AB于點ETO M與x軸相切，即 OC是O M的切線 EF _OC,又四邊形ABCO是正方形 EF _AB ,又 A ( 0, 8)即 AB = EM =

38、 OA = 8 AE = 4設 MF = AM = x，貝U EM = 8 x 42(8-X)2 =X2 , X = 5，即 MF = 5點M的坐標為（一4, 5）圓的培優(yōu)專題11 圓的切線與全等三角形1、如圖，BD為O O的直徑，A為BC的中點，AD交BC于E,過D作O O的切線，交BC的延長線于 F. (1)求證：DF = EF; (2)若AE = 2, DE = 4，求DB的長.(1 )證：如圖，連接 AB/ BD為O O的直徑，DF為O O的切線 . BAD = . BDF = 90 . ABC +. AEB = . ADB + . FDE = 90 又乙 ABC = Z ADB，乙

39、AEB = Z DEF / DFE = Z DEF , DE = EF(2)解：如圖，過點 F 作 FG_ED，貝U EG = GD = 2 = AE ,又.BAE = FGE = 90 , AEB = GEF , ABE GFE (ASA ), BE = EF,即卩DE為R BDF的斜邊上中線DF = EF = DE = 4, BF = 8，貝U BD = 4.32、如圖，AB為O O的直徑，C、D為O O的一點，OC_AD , CF _ DB于F.(1)求證：CF為O O的切線；(2)若BF = 1 , DB = 3,求O O的半徑.(1) 證：T AB為O O的直徑 DF _ AD，又

40、OC _ AD OC / DF，又 CF DB OC _ CF，又OC為O O的半徑 CF為O O的切線(2) 解：如圖，過點 C作CE_BD于點E,貝U BE = DE = 1.5, EF= 2.5 又 OC CF, CF EF 四邊形OCFE是矩形 O O 有半徑 OC = EF= 2.53、如圖，以O O的弦AB為邊向圓外作正方形(2)過D作DM切O O于M，若AB = 2,(1 )證：如圖，連接 OA、OB，貝U OA = OBABCD. (1)求證：OC = OD;DM = 2匹, 求O O的半徑.四邊形ABCD是正方形 AD = BC , DAB = CBA = 90乙 OAD =

41、 OBC OAD OBC (SAS) OC = OD(2)解：如圖，連接 OM、BD，貝U OM _ DM ,且 BD =、2 AB = 2 2 = DM又 OM = OB , OD = OD , ODM ODB (SSS) OB _ BD，又.ABD = 45 - OAB = 45，即 OAB是等腰直角三角形 OA = AB = -/224、如圖，在 ABC中，AC = BC, ACB = 90，以BC為直徑的O O交AB于D._、BD=3S BCM，求 CE .(1)求證：AD = BD ;(2)弦 CE 交 BD 于 M,若 Sabc(1)略證：連接CD，則CD _ AB厶 ACB =

42、90 AD = BD又 AC = BC,(2)解：如圖，連接 BE，過A作AN _CE于N ,T S ABC =3S_BCM , ACM - 2S BCM AN =2BE乙 CAN = BCE, AC = BC,乙 ANC = ANC CEB ( AAS ) BE = CN , CE= AN乙CEBril設 CN = BE = x，貝V CE = AN = BE = 2x , BC = . 5x , AB = 、2 BC = v10x，即vToBD = xBD _10 CE = 丁2圓的培優(yōu)專題13 圓的切線與等腰三角形1、如圖，在 ABC中，AB = AC，以AB為直徑的O O與邊BC交于D

43、，與邊 AC交于E,過D作DF _ AC于F.(1)求證：DF為O O的切線；(2)若DE = . 5 , AB = 5,求AE的長.(1 )證：如圖，連接 AD , OD ,/ AB為O O的直徑， AD _BC，又 AB = AC , OA = OB . EAD = . DAB = . ADO OD / AC，又 DF _ AC OD _ DF，又OD為O O的直徑 DF為O O的切線(2)解：TEAD = Z DAB , BD = DE =、5，又 AB = 5, AD = . 5( .;5). 5/ DF X AC = AD X CD , DF = 2, CF= EF = ( .5)5

44、-22=1 , AE = 5 2= 32、如圖，在 ABC中，AB = AC，以邊AB為直徑作O O,交BC于D，過D作DE _ AE.(1) 求證：DE是O O的切線；(2)連接。6若 CAB = 120，求DC的值.(1 )證：如圖，連接 AD , OD，貝U AD _BC又 AB = AC , CD = BD，又 AO = OB OD / AC，又 DE _ AE OD DF , DE 是O O 的切線；(2)解：如圖，過點 O作OF_ BD于F,貝U BD =/ AB = AC，/ CAB = 120 ,B = 30 設 OF= X，貝U BF = 、3x , OB = 2x , AC

45、 = AB = 4x , CD = BD = 2.3x，貝U CF= 3 3x 2114由勾股定理，得 OC = 2、7x，由面積法，得 DE =，3x , DC圓的培優(yōu)專題13 圓與三角形的內心3、如圖，AB = AC，點0在AB上，O O過點B,分別交 BC于D、AB于E, DF _ AC.(1) 證：DF為O O的切線；(2)若AC切O O于G,O O的半徑為3, CF = 1，求AC.(1 )證：如圖，連接 OD ,T AB = AC, OB = OD二乙 B = . C= / ODB OD / AC，又 DF _ AC OD _ DF，又OD為O O的半徑 DF為O O的切線(2)

46、解：如圖，連接 OG,T AC為O O的切線 OG_AC，又 OD_DF , DF_AC, OG= OD四邊形 ODFG是正方形，即 OB = OG = GF = 3設 AG = x，貝U AB = AC = x 4，貝U AO = x 1 X2 33 =(X 1)2 , X =4，貝U AC = 84、如圖，CD是O O的弦，A為CD的中點，E為CD延長線上一點，EG BO O于G.(1)求證：KG = GE; (2)若 AC / EG, 至=3 , AK = 2 10，求O O 的半徑. CK 5GE(1 )證：如圖，連接 OG, OA交CD于點FA為CD的中點，EG是O O的切線 OA

47、_ CD , OG _ GE匚 OAG + Z AKF = Z OGA + Z EGK又 OAG = OGA , AKF = EKG乙 EGK = Z EKG KG = GE(2) 解：T AC / EG, / CAK = Z EGK，又/ EGK = Z EKG = Z CKA / CAK = CKA , CA = CK設 CK = CA = 5x，貝V DK = 3x , CD = 8x , CF = 4x , EG = X AF = . (5x)2 - (4x)2 =3x在 Rt AFK 中，(3x)2 X2 二(2、10)2 , X =2 CE = 8, AE = 6,設O O 的半徑

48、為 R,貝U R2= 82+( R 6) 2 , R=1、如圖，AB是O O的直徑，AC =CE，點M為BC上一點，且 CM = AC.(1)求證：M ABE的內心；(2)若O O的半徑為 (1 )證：如圖，連接 CE,貝U AC = CE= CM . CME = CEM , CEA = . CBE . CBE + BEM = CEA + AEM匚 AEM = Z BEM，又/ ABC = Z CBE點MABE的內心.(2)解：如圖，過點 M作MN _ BE于點N，則MN5, AE = 8，求 BEM的面積.ABE的內切圓的半徑/ AB = 10, AE = 8，貝U BE = . 10? -

49、8? =66+810 MN =2 ,21 BME的面積為一X 6 X 2= 6.2a+bc abMN = 22 a +b +c/ BC為直徑，AD平分/ BACOM的長.2、如圖，O O ABC的外接圓,BC為直徑，AD平分 BAC點M是厶ABC的內心.(1)求證：BC = V2 DM ; (2)若 DM = 5yf2 , AB = 8,求(1 )證：如圖，連接 BD , CD , BD = CD , - BDC = 90 , BC = 2 CD 連接 CM，則 N ACM = N BCM，/ DAC =乙 BCD N DMC =厶 ACM + N DAC =乙 BCM + 乂 BCD =厶

50、DCM , DM = CD，即 BC = .2 DM(2)解：顯然，BC = .2 DM = 10, AB = 8，貝U AC = 6，且乙 MAE = 45如圖，過 M作ME BC于點N，作 MF AC于點F,貝U ME = MF = AF = 2CF = CE= 4,貝V OE= 1 OM = - 2212 = $5.3、如圖，AB為O O的直徑，C為O O上一點，D是BC的中點，DE _ AB于E, I是厶ABD的內心，DI的延長線交O O于N.(1)求證：DE是O O的切線；(2)若DE = 4, CE = 2，求O O的半徑和IN的長.(1) 證：T D是BC的中點，0A = OD

51、. CAD = DAO = ADO 0D / AE，又 DE _ AB OD _ DE，又0D為O 0的半徑 DE是O 0的切線.(2) 解：如圖，過點 0作0F_AC，貝U AF = CF/ DE _ AB , 0D _ DEN設O 0的半徑為R,貝U 0A = 0D = EF = R,AF = CF = R 2(R 2) 2 + 42 = R2,： R= 5, AB = 10,如圖，連接 BI , AN , BN，貝U IN = BN = AN = 5,24、如圖，在 ABC中，AB = AC , I是厶ABC的內心，O 0交AB于E, BE為O 0的直徑.(1)求證：AI與O 0相切；(2)若BC = 6, AB = 5,求O 0的半徑.(1 )證：如圖，延長 AI交BC于點D，貝U AD _ BC,連接 0I，則 0IB = 0BI = 0BD 0I / BC，又 AD _ BC AD _ 01，又0I為O 0的半徑 AI與O 0相切(2)顯然 BD = 3, AB = 5,貝U AD = 4如圖，過點I 作 IF AB 于點 F,貝U BF = BD = 3, AF = 2,IF= ID ,四邊形 0DEF是矩形，貝U 0F = DE = 4設 IF = ID = X，貝H AI = 4