傅立葉變換及圖像的頻域處理

1、傅立葉變換及圖像的頻域處理一、實驗?zāi)康?、理解離散傅立葉變換的基本原理；2、掌握應(yīng)用 MATLAB語言進行FFT及逆變換的方法；3、 熟悉圖像在頻域中處理方法，應(yīng)用MATLAB語言作簡單的低通濾波器。二、實驗原理1傅立葉變換的基本知識在圖像處理的廣泛應(yīng)用領(lǐng)域中，傅立葉變換起著非常重要的作用，具體表現(xiàn)在包括圖 像分析、圖像增強及圖像壓縮等方面。假設(shè)f (x, y)是一個離散空間中的二維函數(shù)，則該函數(shù)的二維傅立葉變換的定義如下:M JN JF(p,q)=2； f (m,n)e_l(1/M)pme_j(I/N)qnp=0,1 M-1 q=0,1 N-1(6.1)m =0 n z0M JN d或F(e

2、，2)八 f (m, n)1mej 2np=0,1 M-1q=0,1 N-1( 6.2)m n 離散傅立葉反變換的定義如下:f (m, n)二1MNM 4 N j(2 二/M)pm j(2 二/N)qnF ( p, q)eem=0,1 M-1p =0 q z0n=0,1 N-1 (6.3)F (p, q)稱為f (m, n)的離散傅立葉變換系數(shù)。這個式子表明，函數(shù)f (m, n)可以用無數(shù)個不同頻率的復(fù)指數(shù)信號和表示，而在頻率(w1, w2)處的復(fù)指數(shù)信號的幅度和相位是 F ( w1, w2)。例如，函數(shù)f (m, n)在一個矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)值為1,而在其他區(qū)域為 0，如圖所示。ftD711S了

3、簡便起見，假設(shè)f (m, n)為一個連續(xù)函數(shù)，則 f (m, n)的傅立葉變換的幅度值(即F（ 12）顯示為網(wǎng)格圖，如圖所示。將傅立葉變換的結(jié)果進行可視化的另一種方法是用圖像的方式顯示變換結(jié)果的對數(shù)幅 值 log | F （1,國2），如圖所示。幾種簡單函數(shù)的傅立葉變換的頻譜可以直觀的表示為圖所示的樣子。2、MATLAB提供的快速傅立葉變換函數(shù)(1) fft2fft2函數(shù)用于計算二維快速傅立葉變換，其語法格式為：B = fft2(I)B = fft2(I)返回圖像I的二維fft變換矩陣，輸入圖像I和輸出圖像B大小相同。 例如，計算圖像的二維傅立葉變換，并顯示其幅值的結(jié)果，如圖所示，其命令格式如

4、下load imdemos satur n2imshow(satur n2)B = fftshift(fft2(saturn2);imshow(log(abs(B), , notruesize)00(2) fftshiftMATLAB提供的fftshift函數(shù)用于將變換后的圖像頻譜中心從矩陣的原點移到矩陣的中心，其語法格式為：B = fftshift(I)對于矩陣I, B = fftshift(I)將I的一、三象限和二、四象限進行互換。(3) ifft2ifft2函數(shù)用于計算圖像的二維傅立葉反變換，其語法格式為：B = ifftn (I)B = ifftn(I)返回圖像I的二維傅立葉反變換矩陣

5、，輸入圖像I和輸出圖像B大小相同。其語法格式含義與fft2函數(shù)的語法格式相同，可以參考 fft2函數(shù)的說明。3、簡單低通濾波器的設(shè)計一個圖像經(jīng)過傅立葉變換后，就從空域變到了頻域，因此我們可以用信號處理中對于 頻域信號的處理方法對一幅圖像進行處理。比如對圖像進行低通濾波等。一個二維的理想低通濾波器(ILPF)，它的傳遞函數(shù)由下式確定:廣1H(u,v)= “若D(u,v)乞 D。 若 D(u,v) D0(6.4)0式中DO是一個規(guī)定的非負的量，稱為截止頻率，雖然在計算機中必定能夠模擬一個銳截止 頻率的理想低通濾波器，但它們不能用電子元件來實現(xiàn)。實際中比較常用的低通濾波器有： 巴特沃思(Butter

6、worth )濾波器、指數(shù)濾波器(ELPF)、梯形低通濾波器等。在實驗中我們設(shè)計一個理想的低通濾波器。設(shè)計理想的低通濾波器由其定義可知只要設(shè)計一個與頻域圖像大小完全相同的矩陣。在某一個域值內(nèi)該矩陣的值為1其余為0即可。例：若圖像的大小為 128*128，則可以這樣設(shè)計一個低通濾波器：H=zeros(128);H(32:96, 32:96)=1;%此處的范圍是人為取定的，可以根據(jù)需要更改。若圖像矩陣I的傅立葉變換是 B(已經(jīng)用fftshift將頻譜中心移至矩陣的中心 )，則對這幅 圖像做低通濾波，再做傅立葉逆變換命令為LOWPASS=B.* H; %此處變換后的矩陣為LOWPASS，另注意這兒是

7、矩陣的點乘。C=ifft2(LOWPASS);imshow(abs(C)嫁圏掃 使立葉按幅頻說 位相譜扼幅逆變撿蠱榨逆變鞋言接埜現(xiàn)逆孌換低通瀝濾底通謔浪三、實驗要求1、 讀取圖像eight.tif，顯示這幅圖像，對圖像作傅立葉變換，顯示頻域振幅圖像。2、 設(shè)計一個簡單的理想低通濾波器(截止頻率自選)，對圖像作頻域低通濾波，再作反變換，觀察不同的截止頻率下反變換后的圖像與原圖像的區(qū)別。3、 設(shè)計一個簡單的理想高通濾波器(截止頻率自選)，對圖像作頻域低通濾波，再作反變換，觀察不同的截止頻率下反變換后的圖像與原圖像的區(qū)別。1 參考代碼實現(xiàn)：I=imread( eight.tif ); %讀入原圖像文

8、件imshow(I); fftI=fft2(I); sfftI=fftshift(fftI); RR=real(sfftI); II=imag(sfftI);%顯示原圖像%二維離散傅立葉變換%直流分量移到頻譜中心%取傅立葉變換的實部%取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR.A2+II.A2);% 計算頻譜幅值A(chǔ)= (A-min(min(A) ) /(max(max(A)-min(min(A)*225;%歸一化figure; imshow(A);%設(shè)定窗口%顯示原圖像的頻譜 2理想低通濾波器參考代碼實現(xiàn)：I = imread( eight.tif );f1,f2 = freqspace(size(

9、I), meshgrid );Hd = ones(size(I);r = sqrt(f1.A2 + f2.A2);%0.1Hd(r0.1) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd; -Ya=ifftshift(Ya);Ia01=ifft2(Ya);%0.2Hd(r0.2) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd; Ya=ifftshift(Ya);Ia02=ifft2(Ya);%0.5Hd(r0.5) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd;Ya=if

10、ftshift(Ya);Ia05=ifft2(Ya);r=0.1)r=0.2)r=0.5)subplot(2,2,1),imshow(I),title( 原圖像 ) subplot(2,2,2),imshow(uint8(Ia01),title( subplot(2,2,3),imshow(uint8(Ia02),title( subplot(2,2,4),imshow(uint8(Ia05),title(3. 理想高通濾波器參考代碼實現(xiàn)：I = imread(eight.tif);f1,f2 = freqspace(size(I), meshgrid);Hd = ones(size(I);r = sqrt(f1.A2 + f2.A2);%0.1Hd(r0.1) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd;Ya=ifftshift(Ya);Ia01=ifft2(Ya);%0.2Hd(r0.2) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd;Ya=ifftshift(Ya);Ia02=ifft2(Ya);%0.5Hd(r0.5) = 0;Y=fft2(double(I);Y=fftshift(Y);Ya=Y.*Hd;Ya=ifftshift(Ya);r=0.1 )r=0.2 )r=0.5 )Ia0