期權(quán)的定價(jià)課件

1、第九章第九章 期權(quán)定價(jià)期權(quán)定價(jià) 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 第一節(jié)期權(quán)價(jià)格的特性 第二節(jié)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ) 第三節(jié)布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 第四節(jié)二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型 第一節(jié)第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的特性期權(quán)價(jià)格的特性 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 期權(quán)價(jià)格的影響因素 期權(quán)價(jià)格的上限 期權(quán)價(jià)格的下限 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 期權(quán)價(jià)格曲線的形狀 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值 期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值（IntrinsicValue）是指多方行 使期權(quán)時(shí)可以獲得的收益的現(xiàn)值。 歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為(ST-X)的現(xiàn)值。無 收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在

2、價(jià)值等于S-Xe-r(T- t),而有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于 S-D-Xe-r(T-t)。 無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格等于歐式看漲期 權(quán)價(jià)格,其內(nèi)在價(jià)值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益 資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值也等于S-D-Xe- r(T-t)。 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe-r(T-t)- S，有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為Xe- r(T-t)+D-S。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等 于X-S，有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于 X+D-S。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)低于協(xié)議價(jià)格時(shí)，期權(quán)多方是 不會行使期權(quán)的，因此期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值應(yīng)大于 等于0。 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在

3、價(jià)值 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有 效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動為期權(quán)持有者帶來收 益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià) 格的波動率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。 此外，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值還受期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的影 響。以無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)為例，當(dāng)S=Xe-r(T-t) 時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大。當(dāng)S-Xe-r(T-t)的絕對 值增大時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是遞減的，如圖 13.1所示。 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格 期權(quán)的有效期 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動率 無風(fēng)險(xiǎn)利率 標(biāo)的資產(chǎn)的收益 期權(quán)價(jià)格的影響因素期權(quán)價(jià)格的影響因素 看漲期權(quán)價(jià)格

4、的上限 在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會超過標(biāo)的 資產(chǎn)的價(jià)格。因此，對于美式和歐式看漲期 權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都是看漲期權(quán)價(jià)格的 上限： 其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式 看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。 cSCS和 期權(quán)價(jià)格的上限期權(quán)價(jià)格的上限 看跌期權(quán)價(jià)格的上限 美式看跌期權(quán)多頭執(zhí)行期權(quán)的最高價(jià)值為協(xié)議價(jià)格 X，因此，美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X： 由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日（T時(shí)刻）執(zhí)行， 在T時(shí)刻，其最高價(jià)值為X，因此，歐式看跌期權(quán)價(jià) 格（p）不能超過X的現(xiàn)值： 其中，r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí) 刻。 PX ()r T t pXe 期權(quán)價(jià)格的上限期權(quán)價(jià)格的

5、上限 無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 為推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格下限，考慮如下兩個(gè)組合 組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金； 組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 T時(shí)刻： 組合A的價(jià)值為： 而組合B的價(jià)值為ST。 max(,) T SX ()r Tt Xe 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格的下限 由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也 應(yīng)大于等于組合B，即:c+Xe-r(T-t)S 所以cS-Xe-r(T-t) 由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看 漲期權(quán)價(jià)格下限為 () max,0 r T t cSXe max(,) TT SXS 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格的下限 有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 只要將上述組

6、合A的現(xiàn)金改為+D，并 經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式 看漲期權(quán)價(jià)格的下限為： () max,0 r T t cSDXe ()r T t Xe 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格的下限 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 考慮以下兩種組合： 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合D：金額為的現(xiàn)金 在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X） 組合D的現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合D的 價(jià)值為X。 由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合 C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即： () () r T t r T t pSXe pXeS ()r T t Xe 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格

7、的下限 由于期權(quán)價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐 式看跌期權(quán)價(jià)格下限為： () max,0 r T t pXeS 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格的下限 有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 只要將上述組合D的現(xiàn)金改為+D， 就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下 限為： 從以上分析可以看出，歐式期權(quán)的下限實(shí) 際上就是其內(nèi)在價(jià)值。 () max,0 r T t pDXeS ()r Tt Xe 期權(quán)價(jià)格的下限期權(quán)價(jià)格的下限 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的 標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時(shí)間價(jià)值總是 為正的，因此可以直觀地判斷提前執(zhí)行是不明智的。 為了

8、精確地推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論，考慮如下兩個(gè)組合： 組合A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為的 現(xiàn)金 組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn) T時(shí)刻組合A的價(jià)值為max（ST，X），而組合B的價(jià) 值為ST，可見組合A在T時(shí)刻的價(jià)值一定大于等于組 合B。即如果不提前執(zhí)行，組合A的價(jià)值一定大于等 于組合B。 ()r T t Xe 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 若在時(shí)刻提前執(zhí)行，則此時(shí)組合A的價(jià)值為： ，而組合B的價(jià)值為。 由于因此 即：若提前執(zhí)行美式期權(quán)，組合A的價(jià)值將小于組 合B。 比較兩種情況可得：提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲 期權(quán)是不明智的。因此，同一種無收益資產(chǎn)的美式 看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是相同的

9、，即： C=c 可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限： ()r T SXXe S ,0Tr ( )r T t XeX () max,0 r T t CSXe 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 看跌期權(quán) 為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)是否合理， 考察如下兩種組合： 組合A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合B：金額為的現(xiàn)金 若不提前執(zhí)行，則到T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為max（X， ST），組合B的價(jià)值為X，組合A的價(jià)值大于等于組 合B。 若在時(shí)刻提前執(zhí)行，則組合A的價(jià)值為X，組合B的 價(jià)值為Xe-(T-)，因此組合A的價(jià)值也高于組合B。 ()r T t Xe 提前執(zhí)行

10、美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 因此，是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)， 主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（X-S）、無風(fēng)險(xiǎn)利率水 平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低， 或者r較高時(shí)，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才 可能是有利的。 由于美式期權(quán)可提前執(zhí)行，因此其下限為： PXS 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 看漲期權(quán) 由于在無收益的情況下，不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期 權(quán)，據(jù)此可知：在有收益情況下，只有在除權(quán)前的 瞬時(shí)時(shí)刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才有可能最優(yōu)。 先考察在最后一個(gè)除權(quán)日（tn）提前執(zhí)行的條件。 如果在tn時(shí)刻提前執(zhí)行，

11、則期權(quán)多方獲得Sn-X的收 益。如不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將由于除權(quán)降 到Sn-Dn。 在tn時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值（Cn） () max,0 n r T t nnnn CcSDXe 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 因此，如果 即：則在tn提前執(zhí)行是不明智的。 相反，如果，則在tn提前執(zhí)行有 可能是合理的。實(shí)際上，只有當(dāng)tn時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià) 格足夠大時(shí)，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。 同樣，在ti時(shí)刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲 期權(quán)條件是： 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的 美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限 為： () n r T t nnn SDXe

12、SX () 1 n r T t n DXe () 1 n r T t n DXe 1 () 1 ii r tt i DXe () max,0 r T t CcSDXe 提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 看跌期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)意味著自己放 棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可 能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。 通過同樣的分析，可以得出美式看跌期權(quán)不能提前 執(zhí)行的條件是： 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下 限為： 1 () () 1 1 ii n r tt i r T t n DXe DXe max(,0)PDXS 提前執(zhí)行美式期權(quán)的

13、合理性提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)格曲線如下圖所示。 有收益資產(chǎn)看漲期權(quán)價(jià)格曲線與上圖類似，只是把Xe- r(T-t)換成Xe-r(T-t)+D即可。 期權(quán)價(jià)格曲線的形狀期權(quán)價(jià)格曲線的形狀 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格曲線如下圖所示 有收益資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格曲線與上圖相似，只是把 換為即可。 ()r T t Xe ()r T t DXe 期權(quán)價(jià)格曲線的形狀期權(quán)價(jià)格曲線的形狀 無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線 對有收益美式看跌期權(quán)價(jià)格曲線，只是把X換成D+X。 期權(quán)價(jià)格曲線的形狀期權(quán)價(jià)格曲線的形狀 無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 考慮如下兩個(gè)組合： 組合A：一份歐式看漲期

14、權(quán)加上金額為的現(xiàn)金 組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期 權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán) 不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值，即： 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系。 它表明歐式看漲期權(quán)的價(jià)值可根據(jù)相同協(xié)議價(jià)格和到期日的歐 式看跌期權(quán)的價(jià)值推導(dǎo)出來，反之亦然。 如果上式不成立，則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。套利活動將最終促 使上式成立。 ()r T t Xe ()r T t cXepS 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)

15、關(guān)系 在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，只要把前面組合A中 的現(xiàn)金改為+D，就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式 看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系： ()r T t cDXepS ()r T t Xe 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 由于Pp，可得： 對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此： 為了推出C和P更嚴(yán)密的關(guān)系，考慮以下兩個(gè)組合： 組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金 組合B：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 如果美式期權(quán)沒有提前執(zhí)行，則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值 為max(ST,X)，而此時(shí)組合A的價(jià)值為。因此組合A的 價(jià)值

16、大于組合B。 如果美式期權(quán)在時(shí)刻提前執(zhí)行，則在時(shí)刻，組合 B的價(jià)值為X，而此時(shí)組合A的價(jià)值大于等于X。因此 組合A的價(jià)值也大于組合B。 ()r T t PcXeS ()r T t PCXeS ()r T t CPSXe 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 也就是說，無論美式組合是否提前執(zhí)行，組合A的價(jià)值都高于 組合B，因此在t時(shí)刻，組合A的價(jià)值也應(yīng)高于組合B，即： C+XP+S 由于c=C，因此， C+XP+S C-PS-X 我們可得： 由于美式期權(quán)可能提前執(zhí)行，因此不能得到美式看漲期權(quán)和 看跌期權(quán)的精確平價(jià)關(guān)系，但可以得出結(jié)論：無收益美式期 權(quán)必須符合上述不等式

17、。 ()r T t SXCPSXe 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系 只要把組合A的現(xiàn)金改為D+X，就可得到有收益資 產(chǎn)美式期權(quán)必須遵守的不等式： S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t） 看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 第二節(jié)第二節(jié) 期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ)期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ) 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 普通布朗運(yùn)動 證券價(jià)格的變化過程 伊藤過程和伊藤引理 證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪（EFFam

18、a）提出了效率市場假說，該 假說認(rèn)為 投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬； 證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格 能完全反映全部信息； 市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平， 而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動是相互獨(dú)立的，或稱隨機(jī)的，因 此效率市場假說又稱隨機(jī)漫步理論。 效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。 效率市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對此進(jìn) 行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體 符合弱式效率市場假說。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov StochasticProcess）來表述。 所謂隨機(jī)過程是指某變量的值以某種

19、不確定的方式隨 時(shí)間變化的過程。根據(jù)時(shí)間是否連續(xù)，隨機(jī)過程可分 為離散時(shí)間隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程，前者是指 變量只能在某些分離的時(shí)間點(diǎn)上變化的過程，后者指 變量可以在連續(xù)的時(shí)間段變化的過程。根據(jù)變量取值 范圍是否連續(xù)劃分，隨機(jī)過程可分為離散變量隨機(jī)過 程和連續(xù)變量隨機(jī)過程，前者指變量只能取某些離散 值，而后者指變量可以在某一范圍內(nèi)取任意值。 馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。在這個(gè)過 程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量 過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的 預(yù)測無關(guān)。 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表變

20、量z在 時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的具有兩個(gè)特征： 特征1：和的關(guān)系滿足 特征2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。 從特征1可知，本身也具有正態(tài)分布特征，其均值為0， 標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。 從特征2可知，標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動符合馬爾可夫過程，因此 是馬爾可夫過程的一種特殊形式。 tt t t z z zt t tz z 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 考察遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的變量z在一段較長時(shí)間T中的 變化情形。用z(T)z(0)表示變量z在T中的變化量，它 可被看作是在N個(gè)長度為t的小的時(shí)間間隔中z的變化 總量，其中N=T/t，因此： 其中i(i=1，2，N）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣 值。從特征2

21、可知，是相互獨(dú)立的，因此z(T)-z(0)也具 有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為Nt=T，標(biāo)準(zhǔn)差 為。 1 ( )(0) N i i z Tzt T 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 由此可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特征： 在任意長度的時(shí)間間隔T中，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的變 量的變化值具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。 對于相互獨(dú)立的正態(tài)分布，方差具有可加性，而標(biāo) 準(zhǔn)差不具有可加性。 當(dāng)0時(shí)，就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動： t T dzdt 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 引入兩個(gè)概念：漂移率、方差率 漂移率（DriftRate）是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。 方差率（VarianceRate）是指單位時(shí)間的方差。 標(biāo)準(zhǔn)

22、布朗運(yùn)動的漂移率為0，方差率為1.0。漂移率為0 意味著在未來任意時(shí)刻z的均值都等于它的當(dāng)前值。方 差率為1.0意味著在一段長度為T的時(shí)間段后，z的方差 為1.0T。 令漂移率的期望值為a，方差率的期望值為b2，就可得 到變量x的普通布朗運(yùn)動： dxadtbdz 普通布朗運(yùn)動普通布朗運(yùn)動 普通布朗運(yùn)動普通布朗運(yùn)動 在短時(shí)間后，x值的變化值為： 因此，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn) 差為 ，方差為 。 在任意時(shí)間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征， 其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為b2T。 xa tbt a t bt 2 bt b T 證券價(jià)格的變化過程可以用普遍布朗運(yùn)動來描述。但由

23、于投資者關(guān)心的是證券價(jià)格的變動幅度而不是變動的絕 對值，因此可以用證券價(jià)格比例的方式來定義證券價(jià)格 的布朗運(yùn)動： 其中S表示證券價(jià)格，表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù) 復(fù)利計(jì)算的預(yù)期收益率，表示證券收益率單位時(shí)間的 方差，表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，即證券價(jià) 格的波動率（Volatility），dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。 d S d td z S 2 證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程 證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程 可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為： 則可得： 衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率是無關(guān)的。 相反，證券價(jià)格的波動率對于衍生證券的定價(jià)則是相 當(dāng)重要的。 由于比例變化不

24、具有可加性，因此不能象以前一樣推 導(dǎo)出在任意時(shí)間長度T后證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差 為。 t S tt S (,) S tt S T 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量X 的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，可得到 伊藤過程（ItoProcess）： 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，a、b是變量x和t的函 數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 伊藤引理。在伊藤過程的基礎(chǔ)上，伊藤進(jìn)一步推導(dǎo)出： 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如 下過程： ( , )( , )dxa x t dtb x t dz 2 2 2 1 () 2 GGGG dGab dtb xtxx 伊藤

25、過程和伊藤引理伊藤過程和伊藤引理 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化： 衍生證券的價(jià)格是標(biāo)的證券價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)。根 據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程： 比較上述兩式可知：衍生證券價(jià)格G和標(biāo)的證券價(jià)格S 都受同一個(gè)基本的不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對于 以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。 dSSdtSdz 2 22 2 1 () 2 GGGG dGSS dtSdz StSS 伊藤過程和伊藤引理伊藤過程和伊藤引理 可用伊藤引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù)lnS變化所遵循 的隨機(jī)過程。 令，可得出證券價(jià)格對數(shù)G所遵循的隨機(jī)過 程為： 令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t 時(shí)刻的證券價(jià)

26、格，ST表示T時(shí)刻的證券價(jià)格，則在Tt 期間G的變化為： lnST-lnS 這意味著： 根據(jù)正態(tài)分布的特性，從上式可以得到： lnGS 2 () 2 d Gd td z 2 2 lnln ()(), T SSTtTt 2 2 ln ln()(), T SSTtTt 證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程 這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與成比例， 這說明證券價(jià)格對數(shù)的不確定性（用標(biāo)準(zhǔn)差表示）。 lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與未來時(shí)間的長度的平方根成正比，這就 解決了前面所說的證券價(jià)格比例變化的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間 不成正比的問題。 根據(jù)上式和對數(shù)正態(tài)分布的特性可知，ST的期望值 為：。這與作

27、為預(yù)期收益率的定義 相符。 ST的方差為: () () Tt T E SSe 2 () 22() var()1 Tt Tt T SS ee 證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程 第三節(jié)第三節(jié) 布萊克布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 布萊克舒爾斯微分方程 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式 布萊克布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 推導(dǎo)布萊克舒爾斯微分方程需要用到如下假設(shè)： 證券價(jià)格遵循幾何布朗過程，即和為常數(shù)； 允許賣空標(biāo)的證券； 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利

28、機(jī)會； 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動也是連續(xù)的； 在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與衍生證券價(jià)格變化過程： 構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券 多頭的組合。 用代表該投資組合的價(jià)值，則： SStSz 2 22 2 1 () 2 ffff fSStS z StSS f s fS f S 布萊克布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 布萊克布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為： 在沒有套利機(jī)會的條件下 ： 代入 和 ，則可得布萊克舒爾斯微分分程 ： f s fS rt fS 2 22 2 1 2 fff rSSrf tSS 布萊克舒爾斯微

29、分分程適用于其價(jià)格取決 于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。 需要注意的是，當(dāng)S和t變化時(shí)， 的值也會變 化，因此上述投資組合的價(jià)值并不是永遠(yuǎn)無風(fēng) 險(xiǎn)的，它只是在一個(gè)很短的時(shí)間間隔中才是無 風(fēng)險(xiǎn)的。在一個(gè)較長時(shí)間中，要保持該投資組 合無風(fēng)險(xiǎn)，必須根據(jù) 的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo) 的證券的數(shù)量。當(dāng)然，推導(dǎo)布萊克舒爾斯 微分方程并不要求調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量，因?yàn)?它只關(guān)心 中的變化。 f s t f s 布萊克布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 根據(jù)微分方程,取決于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券 預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。 表明無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生 影響。 由此，

30、可以利用布萊克舒爾斯微分方程所揭示的 這一特性，作出一個(gè)可以簡化推導(dǎo)工作的簡單假設(shè)： 在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻） 的期望值為： 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將 此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： 對上式右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 其中， max(, 0) T ESX () max(,0) r T t T ceESX () 12 ()() r Tt cSN dXeN d 2 1 2 21 ln( /)(/2)() ln( /)(/2)(

31、) S XrTt d Tt S XrTt ddTt Tt 布萊克布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 布萊克布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 例：設(shè)某股票在最近3個(gè)月沒有股利發(fā)放，其當(dāng)前價(jià)格 為100美元，股票價(jià)格的波動率為30%，3個(gè)月無風(fēng)險(xiǎn) 利率的年利率為8%。求：協(xié)議價(jià)格為90美元的該股票 的歐式看漲期權(quán)價(jià)格。 已知：X=90,S=100,=0.3,r=0.08,T=3/12 將上述數(shù)據(jù)代入公式，可得: d1=0.9107,d2=0.7607,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù) 表可得： N(d1)=0.8188,N(d2)=0.7766 根據(jù)期權(quán)定價(jià)可是可得：c=13.37美

32、元 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系,可得: SN(d1)是Asset-or-notingcalloption的價(jià)值,-e-rTXN(d2)是X 份cash-or-nothing看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說ST 大于X的概率，Xe-r(T-t)N(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn) 值。SN(d1)是得到ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1) 就是股票的市值,-e-rTXN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的 價(jià)值。 )( 1 dN () 21 ()() r T t pXeNdSNd 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 在收益已知情況下，可以