前n個(gè)自然數(shù)的平方和及證明

1、-作者xxxx-日期xxxx前n個(gè)自然數(shù)的平方和及證明【精品文檔】帕斯卡與前n個(gè)自然數(shù)的平方和十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.191662.8.19）想出了一個(gè)新的很妙的方法能求出前n個(gè)自然數(shù)的平方和。這個(gè)方法是這樣的：利用和的立方公式，我們有（n1）3n33n23n1，移項(xiàng)可得（n1）3 n33n23n1，此式對(duì)于任何自然數(shù)n都成立。依次把n1,2，3，n1，n代入上式可得23 13312311，33 23322321，43 33332331，n3（n1）33（n1）23（n1）1，（n1）3 n33n23n1，把這n個(gè)等式的左邊與右邊對(duì)應(yīng)相加，則n個(gè)等式的左邊

2、各項(xiàng)兩兩相消，最后只剩下（n1）3 1；而n個(gè)等式的右邊各項(xiàng)，我們把它們按三列相加，提取公因數(shù)后，第一列出現(xiàn)我們所要計(jì)算的前n個(gè)自然數(shù)的平方和，第二列出現(xiàn)我們?cè)谏弦欢我呀?jīng)算過(guò)的前n個(gè)自然數(shù)的和，第三列是n個(gè)1。因而我們得到（n1）3 13Snn，現(xiàn)在這里Sn1222n2。對(duì)這個(gè)結(jié)果進(jìn)行恒等變形可得n33n23n3Snn，2n36n26n6Sn3n23n2n移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)可得6Sn2n33n2nn（n1）（2n1），Snn（n1）（2n1），即122232n2n（n1）（2n1）。這個(gè)方法把所要計(jì)算的前n個(gè)自然數(shù)的平方和與已知的前n個(gè)自然數(shù)的和及其它一些已知量通過(guò)一個(gè)方程聯(lián)系起來(lái)，然后解方程求

3、出所希望得到的公式，確實(shí)是很妙的。前n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和公式的最新證明方法袁志紅關(guān)于前n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和：的證明方法很多，這里不再一一列舉了.為了讓小學(xué)生掌握住這個(gè)公式，我現(xiàn)在用一種比較合適的方法，方便孩子們理解和掌握，同時(shí)發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法教學(xué)效果很好.我們先來(lái)計(jì)算：=11+22+33，即1個(gè)1與2個(gè)2與3個(gè)3的和。為此我們把這些數(shù)排列成下面等邊三角形的形狀的數(shù)表： 12 2 3 3 3把這個(gè)等邊三角形數(shù)表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到數(shù)表： 33 2 3 2 1 再把數(shù)表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到數(shù)表： 32 3 1 2 3觀(guān)察、三個(gè)數(shù)表對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字，看看它們之間有什么規(guī)律？不難發(fā)現(xiàn)：最頂層的三個(gè)數(shù)

4、字是：1、3、3；第二行左側(cè)三個(gè)數(shù)字是：2、3、2；第二行右側(cè)三個(gè)數(shù)字是：2、2、3；第三行最左側(cè)三個(gè)數(shù)字是：3、3、1；第三行中間三個(gè)數(shù)字是：3、2、2；第三行最右側(cè)三個(gè)數(shù)字是：3、1、3.通過(guò)簡(jiǎn)單地計(jì)算發(fā)現(xiàn)，上面每一組數(shù)字之和都是7.每個(gè)數(shù)表都是6個(gè)位置，所以三個(gè)數(shù)表數(shù)字之和：共6個(gè)7，而這三個(gè)數(shù)表的數(shù)字都是一樣的（因?yàn)槎际切D(zhuǎn)得到的，只是改變了位置關(guān)系，數(shù)字不變），所以每個(gè)數(shù)表數(shù)字之和為：673.而數(shù)表中數(shù)字的個(gè)數(shù)可以這樣計(jì)算：第一行排1個(gè)數(shù)，第二行排2個(gè)數(shù)；第三行排3個(gè)數(shù)，所以共排了：1+2+3=6個(gè)數(shù)字。所以=（1+23）3（3+1）6；同理也可以采用上面的方法推導(dǎo)出來(lái)： 1 2 2 3 3 3 n n n nn n n n n n順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度，得到： n n n-1 n n-1 n-2 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 4 3 2 1把數(shù)表再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度，得到： n n-1 n n-2 n-1 n n-3 n-2 n-1 n 1 2 3 n-1 n三個(gè)數(shù)表對(duì)應(yīng)位置數(shù)字之和都是：1+n+n=2n+1,每個(gè)數(shù)表共排數(shù)字：1+2+3+4+n=n(n+1)2,