第3章 機器人運動學

1、1 第三章第三章 機器人運動學機器人運動學 第一節(jié)第一節(jié) 概述概述 第二節(jié)第二節(jié) 機器人的運動學基本問題機器人的運動學基本問題 第三節(jié)第三節(jié) 機器人的雅可比矩陣機器人的雅可比矩陣 2 第一節(jié)第一節(jié) 概述概述 常見的機器人運動學問題可歸納如下：常見的機器人運動學問題可歸納如下： 1 1對一給定的機器人，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)對一給定的機器人，已知桿件幾何參數(shù)和關(guān) 節(jié)角矢量求機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標節(jié)角矢量求機器人末端執(zhí)行器相對于參考坐標 系的位置和姿態(tài)。系的位置和姿態(tài)。 2 2已知機器人桿件的幾何參數(shù)，給定機器人末已知機器人桿件的幾何參數(shù)，給定機器人末 端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿

2、態(tài)端執(zhí)行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(tài) ( (位姿位姿) )，機器人能否使其末端執(zhí)行器達到這個，機器人能否使其末端執(zhí)行器達到這個 預期的位姿？如能達到，那么機器人有幾種不預期的位姿？如能達到，那么機器人有幾種不 同形態(tài)可滿足同樣的條件同形態(tài)可滿足同樣的條件? ? 3 第一個問題常稱為運動學正問題第一個問題常稱為運動學正問題( (直接問題直接問題);); 第二個問題常稱為運動學逆問題第二個問題常稱為運動學逆問題( (解臂形問題解臂形問題) )。 這兩個問題是機器人運動學中的基本問題。這兩個問題是機器人運動學中的基本問題。 4 第二節(jié)第二節(jié) 機器人運動學的基本問題機器人運動學的基本問題 一、運

3、動學基本問題一、運動學基本問題 圖圖3 31 1所示為所示為2 2自由度機器人手部的連桿機構(gòu)自由度機器人手部的連桿機構(gòu)。 5 圖中的連桿機構(gòu)是兩桿件通過轉(zhuǎn)動副聯(lián)接的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，圖中的連桿機構(gòu)是兩桿件通過轉(zhuǎn)動副聯(lián)接的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)， 通過確定連桿長度，以及關(guān)節(jié)角，可以定義該連桿機構(gòu)。通過確定連桿長度，以及關(guān)節(jié)角，可以定義該連桿機構(gòu)。 在分析機器人的末端手爪的運動時，若把作業(yè)看作主要依靠在分析機器人的末端手爪的運動時，若把作業(yè)看作主要依靠 機器人手爪來實現(xiàn)的，則應考慮手爪的位置（圖中點的位機器人手爪來實現(xiàn)的，則應考慮手爪的位置（圖中點的位 置）。一般場合中，手爪置）。一般場合中，手爪 姿勢也表示手指位置。

4、從姿勢也表示手指位置。從 幾何學的觀點來處理這個幾何學的觀點來處理這個 手指位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)手指位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān) 系稱為運動學（系稱為運動學（KinematicsKinematics）。）。 6 引入向量分別表示手爪位置和關(guān)節(jié)變量，引入向量分別表示手爪位置和關(guān)節(jié)變量， 因此，利用上述兩個向量來描述一下因此，利用上述兩個向量來描述一下 這個這個2 2自由度機器人的運動學問題。自由度機器人的運動學問題。 手爪位置的各分量，按幾何學可表示為：手爪位置的各分量，按幾何學可表示為： x r y 1 2 11212 coscos()xLL 11212 sinsin()yLL (3-1) (3-2) 7

5、 用向量表示這個關(guān)系式，其一般可表示為用向量表示這個關(guān)系式，其一般可表示為 式中式中 表示向量函數(shù)。已知機器人的關(guān)節(jié)變量表示向量函數(shù)。已知機器人的關(guān)節(jié)變量 ， 求其手爪位置的運動學問題稱為正運動學（求其手爪位置的運動學問題稱為正運動學（direct direct kinematicskinematics）。該公式被稱為運動方程式。如果，）。該公式被稱為運動方程式。如果， 給定機器人的手爪位置，求為了到達這個預定的位給定機器人的手爪位置，求為了到達這個預定的位 置，機器人的關(guān)節(jié)變量的運動學問題稱為逆運動學置，機器人的關(guān)節(jié)變量的運動學問題稱為逆運動學 （inverse kinematicsinve

6、rse kinematics）。其運動方程式可以通過）。其運動方程式可以通過 以下分析得到。以下分析得到。 ( )rf f (3-3) 8 如圖所示，根據(jù)圖中描述的幾何學關(guān)系，可得如圖所示，根據(jù)圖中描述的幾何學關(guān)系，可得 2 22 1 122 sin arctan()arctan() cos Ly xLL 2222 12 12 () arccos 2 xyLL L L 式中式中 (3-4) (3-5) (3-6) 9 同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表 示為示為 1 ( )fr 如圖所示，機器人到達給定的手爪位置如圖所示，機器人到達給定的手爪位

7、置 r 有兩個姿態(tài)滿足要求，即圖中的有兩個姿態(tài)滿足要求，即圖中的 也是也是 其解。其解。 這時這時 和和 變成為另外的值。變成為另外的值。 即逆運動學的解不是惟一的，即逆運動學的解不是惟一的， 可以有多個解?？梢杂卸鄠€解。 1 2 (3-7) 10 二、機器人位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系二、機器人位置與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系 1 1表示方法表示方法 以手爪位置與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系為例，以手爪位置與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系為例， 要想正確表示機器人的手爪位置和姿態(tài)，就要要想正確表示機器人的手爪位置和姿態(tài)，就要 首先建立坐標系，如圖首先建立坐標系，如圖3 33 3所示，應分別定義所示，應分別定義 固定機器人的基座和手爪

8、的坐標系，這樣才能固定機器人的基座和手爪的坐標系，這樣才能 很好地描述它們之間的位置和姿態(tài)之間的關(guān)系。很好地描述它們之間的位置和姿態(tài)之間的關(guān)系。 11 圖圖3 33 3 基準坐標系和手爪坐標系基準坐標系和手爪坐標系 基準坐標系基準坐標系,固定在基座上固定在基座上 B E 手爪坐標系手爪坐標系 ，固定在手爪上，固定在手爪上 12 2姿態(tài)的變換矩陣姿態(tài)的變換矩陣 如圖如圖3 34 4所示，給出原點重合的兩坐標系所示，給出原點重合的兩坐標系 () AAAA OX Y () BBBB OX Y 則假設點則假設點 P 的位置的位置p 向量的向量的 分量在兩坐標系中分別表示分量在兩坐標系中分別表示 為為

9、A x A A y p p p B x B B y p p p 13 則從則從 向向 的變換為：的變換為： A BAT AAT xxx BABA A BAT AAT yyy pepe ppRp pepe A p B p AT x B A AT y e R e 其中：其中： 它是從它是從 坐標向坐標進行位置向坐標向坐標進行位置向 量姿態(tài)變換量姿態(tài)變換 的矩陣，稱為姿態(tài)變換矩陣（或旋轉(zhuǎn)矩陣）。的矩陣，稱為姿態(tài)變換矩陣（或旋轉(zhuǎn)矩陣）。 B 14 為了加深印象，現(xiàn)在分析如圖為了加深印象，現(xiàn)在分析如圖3 35 5所示坐標所示坐標 系系 ，它是將，它是將 圍繞圍繞 Z Z軸沿正方向旋軸沿正方向旋 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角

10、 后構(gòu)成的坐標系。后構(gòu)成的坐標系。 pp 21 100 0cossin 0sincos 222 ZYXO 111 ZYXO 圖圖35 兩個坐標系的旋轉(zhuǎn)坐標變換兩個坐標系的旋轉(zhuǎn)坐標變換 因此，在坐標系因此，在坐標系 上表示的坐標上表示的坐標 與在將坐標系與在將坐標系 繞繞Z Z軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角軸沿正方向旋轉(zhuǎn)角得到的坐標系得到的坐標系 上表示的上表示的 坐標坐標 之間，存在下列關(guān)系式：之間，存在下列關(guān)系式： p 1 111 ZYXO 222 ZYXO p 2 pp 21 100 0cossin 0sincos 15 由上面知從由上面知從 坐標系向坐標系坐標系向坐標系 的坐標變換矩陣為：的坐標變換矩

11、陣為： 111 ZYXO 222 ZYXO 100 0cossin 0sincos 2 1 R 16 因為上述變換是把某一坐標系上表示的坐標，因為上述變換是把某一坐標系上表示的坐標， 表示到另一坐標系中，因此有時也稱它為坐標變表示到另一坐標系中，因此有時也稱它為坐標變 換。在該例子中是從換。在該例子中是從 坐標系向坐標系坐標系向坐標系 的坐標變換，由于坐標系的坐標變換，由于坐標系 是是 圍繞圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角后構(gòu)成的坐標系，則該角后構(gòu)成的坐標系，則該 坐標變換矩陣也可用坐標變換矩陣也可用 來表示來表示 111 ZYXO 222 ZYXO 222 ZYXO 111 ZYXO )( z R 10

12、0 0cossin 0sincos )( 2 1 RRz 17 同理，上述例子中，當考慮圍繞著同理，上述例子中，當考慮圍繞著 x軸旋轉(zhuǎn)時（設軸旋轉(zhuǎn)時（設 其旋轉(zhuǎn)量其旋轉(zhuǎn)量為），可得到如下關(guān)系式：為），可得到如下關(guān)系式： ppRp x 221 cossin0 sincos0 001 )( 另外，當圍繞著軸另外，當圍繞著軸y y旋轉(zhuǎn)時（設其旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)時（設其旋轉(zhuǎn)量為），可表示為），可表示 為如下關(guān)系式為如下關(guān)系式 ppRp y 221 cos0sin 010 sin0cos )( 18 可以驗證可以驗證 該矩陣為單位矩陣式中該矩陣為單位矩陣式中* *表示表示 x x、y y 、z z中的任中的任

13、何一個。所以有下列等式成立何一個。所以有下列等式成立 在分析機器人運動時，當只用圍繞一個軸旋轉(zhuǎn)在分析機器人運動時，當只用圍繞一個軸旋轉(zhuǎn) 不能表示時，可以通過圍繞幾個軸同時旋轉(zhuǎn)的不能表示時，可以通過圍繞幾個軸同時旋轉(zhuǎn)的 組合方式進行表示。組合方式進行表示。 )( x R )( y R )( z R 均滿足均滿足 100 010 001 )()( T RR x T RR)()( 1 19 3 3齊次變換齊次變換 前面討論了機器人在進行旋轉(zhuǎn)運動前面討論了機器人在進行旋轉(zhuǎn)運動 時的坐標變換，一般來說，機器人的運時的坐標變換，一般來說，機器人的運 動不僅是旋轉(zhuǎn)運動，有時要做平行移動，動不僅是旋轉(zhuǎn)運動，有

14、時要做平行移動， 或以上兩種運動的合成，因此也應考慮或以上兩種運動的合成，因此也應考慮 平移運動時的坐標變換，即齊次變換。平移運動時的坐標變換，即齊次變換。 20 現(xiàn)在來看下圖的兩個坐標系，現(xiàn)在來看下圖的兩個坐標系，坐標系坐標系 是將坐標系是將坐標系 單獨地平行移動單獨地平行移動 后，再后，再 進行適當?shù)匦D(zhuǎn)得到的坐標系。進行適當?shù)匦D(zhuǎn)得到的坐標系。 2222 ZYXO 1111 ZYXO 0 p 21 這時，某一點這時，某一點P其在坐標系其在坐標系 和和 上的坐標分別為上的坐標分別為p 1 、p2 ，可以認為，可以認為 p 1 是由是由p2 旋轉(zhuǎn)而進行坐標變換后，即乘以旋轉(zhuǎn)坐標變換旋轉(zhuǎn)而進行

15、坐標變換后，即乘以旋轉(zhuǎn)坐標變換 R， 在加上表示平移的向量在加上表示平移的向量 p0而得到的，因此可寫出而得到的，因此可寫出 下列表達式：下列表達式： 1111 ZYXO 2222 ZYXO 021 pRpp 22 因旋轉(zhuǎn)而進行的坐標變換，與因平移而進因旋轉(zhuǎn)而進行的坐標變換，與因平移而進 行的坐標變換，可以用一個坐標變換矩陣來表行的坐標變換，可以用一個坐標變換矩陣來表 示，記為示，記為A ，稱這個矩陣，稱這個矩陣 A為齊次坐標變換矩為齊次坐標變換矩 陣，或簡稱為坐標變換矩陣，表示為：陣，或簡稱為坐標變換矩陣，表示為： 10 0 pR A 23 三、機器人的運動學的一般表示三、機器人的運動學的一

16、般表示 前面所介紹的是任意兩個坐標系之間的坐標前面所介紹的是任意兩個坐標系之間的坐標 變換，我們知道，機器人一般是有多個關(guān)節(jié)組成變換，我們知道，機器人一般是有多個關(guān)節(jié)組成 的，各關(guān)節(jié)之間的坐標變換可以通過坐標變換相的，各關(guān)節(jié)之間的坐標變換可以通過坐標變換相 乘后，結(jié)合在一起進行求解。如前所述，可以把乘后，結(jié)合在一起進行求解。如前所述，可以把 機器人的運動模型看作是一系列由關(guān)節(jié)連接起來機器人的運動模型看作是一系列由關(guān)節(jié)連接起來 的連桿機構(gòu)。一般機器人具有個自由度，為了分的連桿機構(gòu)。一般機器人具有個自由度，為了分 析其運動，可將上述方法擴展一下。析其運動，可將上述方法擴展一下。 24 通常把描述一

17、個連桿與下一個連桿間相對關(guān)系通常把描述一個連桿與下一個連桿間相對關(guān)系 的齊次變換稱為的齊次變換稱為A矩陣。一個矩陣。一個A矩陣就是一個矩陣就是一個 描述連桿坐標系間相對平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。描述連桿坐標系間相對平移和旋轉(zhuǎn)的齊次變換。 如果用如果用 表示第一個連桿在基系的位置和姿表示第一個連桿在基系的位置和姿 態(tài)，態(tài)， 表示第二個連桿相對第一個連桿的位置表示第二個連桿相對第一個連桿的位置 和姿態(tài)，那么第二個連桿在基系的位置和姿態(tài)和姿態(tài)，那么第二個連桿在基系的位置和姿態(tài) 可由下列矩陣的乘積求得可由下列矩陣的乘積求得 0 1 A 1 2 A 1 2 0 12 AAT 25 同理，若同理，若 表示第三

18、個連桿相對第二個連桿表示第三個連桿相對第二個連桿 的位置和姿態(tài)，那么第三個連桿在基系的位置的位置和姿態(tài)，那么第三個連桿在基系的位置 和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得和姿態(tài)可由下列矩陣的乘積求得 2 3 A 2 3 1 2 0 13 AAAT 26 于是，對于六連桿的機器人，有下列矩陣于是，對于六連桿的機器人，有下列矩陣 成立成立 一般，每個連桿有一個自由度，則六連桿組成的一般，每個連桿有一個自由度，則六連桿組成的 機器人具有六個自由度，并能在其運動范圍內(nèi)任機器人具有六個自由度，并能在其運動范圍內(nèi)任 意定位與定向。其中，三個自由度用于規(guī)定位置，意定位與定向。其中，三個自由度用于規(guī)定位置， 另外三個自

19、由度用來規(guī)定姿態(tài)。所以，表示了機另外三個自由度用來規(guī)定姿態(tài)。所以，表示了機 器人的位置和姿態(tài)。器人的位置和姿態(tài)。 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2 0 16 AAAAAAT 27 對于具有對于具有n個關(guān)節(jié)的機器人，若設坐標系個關(guān)節(jié)的機器人，若設坐標系 為固定在指尖上的坐標系時，則從坐標系為固定在指尖上的坐標系時，則從坐標系 到基準坐標系到基準坐標系 的坐標變換矩陣的坐標變換矩陣T可由下可由下 式給出：式給出： T 不僅是從不僅是從 坐標系到坐標系坐標系到坐標系 的坐標變換，而且同時還可以解釋為在基準坐標的坐標變換，而且同時還可以解釋為在基準坐標 系系 上看到的表示指尖位置和方向的矩上看到

20、的表示指尖位置和方向的矩 陣。陣。 nnnn zyxO nnnn zyxO 0000 zyxO 12 3 1 2 0 1 n nn AAAAT nnnn zyxO 0000 zyxO 0000 zyxO 28 四、機器人運動問題的示例四、機器人運動問題的示例 1機器人正運動學問題機器人正運動學問題 機器人正運動學問題就是求機器人運動學機器人正運動學問題就是求機器人運動學 的正解（的正解（forward kinematics），即在給定），即在給定 組成運動副的相鄰連桿的相對位置情況下，確組成運動副的相鄰連桿的相對位置情況下，確 定機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。通過上述定機器人末端執(zhí)行器的位置和

21、姿態(tài)。通過上述 分析可知，運動學正解可用一個反映此相對關(guān)分析可知，運動學正解可用一個反映此相對關(guān) 系的變換矩陣來表示，這里一般是指開式鏈的系的變換矩陣來表示，這里一般是指開式鏈的 機器人結(jié)構(gòu)。機器人結(jié)構(gòu)。 29 以一個以一個6自由度的機器人為例，如圖所示，自由度的機器人為例，如圖所示， 在該機器人中，除第在該機器人中，除第3個關(guān)節(jié)為平移關(guān)節(jié)外，個關(guān)節(jié)為平移關(guān)節(jié)外， 其余均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。其余均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。 30 對于這個機器人，根據(jù)圖中表示的坐標系對于這個機器人，根據(jù)圖中表示的坐標系 為基準坐標系，正運動學問題就是求該機器人末端為基準坐標系，正運動學問題就是求該機器人末端 手指關(guān)節(jié)手指關(guān)節(jié)6的位置

22、和姿態(tài)，也就是在基準坐標系上看的位置和姿態(tài)，也就是在基準坐標系上看 關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)6，因此找出由，因此找出由 到到 的坐的坐 標變換矩陣標變換矩陣T即可。即可。也就是表示這個機器人的末也就是表示這個機器人的末 端指尖的位置和方向，可以由下式給出：端指尖的位置和方向，可以由下式給出： 0000 zyxO 6666 zyxO 0000 zyxO )()()()()()( 6 5 65 4 54 3 43 2 32 1 21 0 1 AAAdAAAT 31 其中其中 1000 010 0cos0sin 0sin0cos )( 0 11 11 1 0 1 l A 1000 010 0cos0sin 0sin

23、0cos )( 1 22 22 2 1 2 l A 32 1000 100 0010 0001 )( 3 3 2 3 d dA 1000 0010 0cos0sin 0sin0cos )( 44 44 4 3 4 A 1000 0010 0cos0sin 0sin0cos )( 55 55 5 4 5 A 1000 0010 0cos0sin 0sin0cos )( 44 44 4 3 4 A 33 1000 0010 0cos0sin 0sin0cos )( 55 55 5 4 5 A 1000 100 00cossin 00sincos )( 2 66 66 6 5 6 l A 34 上式

24、即為該上式即為該6自由度機器人的運動學正解。對于自由度機器人的運動學正解。對于 不同類型的機器人，其坐標變換矩陣的形式不同，不同類型的機器人，其坐標變換矩陣的形式不同， 要根據(jù)實際結(jié)構(gòu)求得。要根據(jù)實際結(jié)構(gòu)求得。 35 2 2機器人逆運動學機器人逆運動學 機器人的逆解問題比較復雜，為了說明問題，下面機器人的逆解問題比較復雜，為了說明問題，下面 先以先以2自由度的機器人為例。自由度的機器人為例。 如圖所示，已知機器人末端的坐標值如圖所示，已知機器人末端的坐標值 （x,y） ，試利用，試利用 x,y表示表示 2 2 36 根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知： )cos(cos 21211 llx )sin(si

25、n 21211 lly （338） （339） 37 聯(lián)立求解上述兩方程，可分別求出聯(lián)立求解上述兩方程，可分別求出 的表達式。的表達式。 21, 221 2 2 2 1 22 cos2llllyx 因此可進一步得到：因此可進一步得到： ) 2 (cos 21 2 2 2 1 22 1 2 ll llyx 將該式代入前面的幾何表達式就可求出的將該式代入前面的幾何表達式就可求出的 表達式。表達式。 1 38 從機器人的手爪末端位置姿態(tài)出發(fā)，從機器人的手爪末端位置姿態(tài)出發(fā)， 可以求出機器人對應的各關(guān)節(jié)的角度?？梢郧蟪鰴C器人對應的各關(guān)節(jié)的角度。 該例的機器人是屬于平面多關(guān)節(jié)機器人，該例的機器人是屬于平

26、面多關(guān)節(jié)機器人， 對于一般的機械手來講，其求解過程比對于一般的機械手來講，其求解過程比 較復雜，往往其解不是唯一的。請有興較復雜，往往其解不是唯一的。請有興 趣的愛好者參考相關(guān)的文獻書籍。趣的愛好者參考相關(guān)的文獻書籍。 39 第三節(jié)第三節(jié) 機器人的雅可比矩陣機器人的雅可比矩陣 一、雅可比矩陣的定義一、雅可比矩陣的定義 前面討論了機器人的指尖位置和方向與前面討論了機器人的指尖位置和方向與 各關(guān)節(jié)的變化位置之間的關(guān)系。在本節(jié)各關(guān)節(jié)的變化位置之間的關(guān)系。在本節(jié) 將進一步討論指尖的速度與各關(guān)節(jié)的速將進一步討論指尖的速度與各關(guān)節(jié)的速 度（轉(zhuǎn)動或平移）之間的關(guān)系。度（轉(zhuǎn)動或平移）之間的關(guān)系。 考慮機械手的

27、手爪位置考慮機械手的手爪位置r和關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)變量的的 關(guān)系用正運動學方程表示如下：關(guān)系用正運動學方程表示如下： 40 假定這里考慮的是假定這里考慮的是 )(fr 1 21 , m T m Rrrrr 1 21 , n T m R 的一般情況，并設手爪位置包含表示姿態(tài)的變量，的一般情況，并設手爪位置包含表示姿態(tài)的變量， 以及關(guān)節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。以及關(guān)節(jié)變量由回轉(zhuǎn)角和平移組合而成的情況。 （355） 41 若用每個分量表示，則變?yōu)槿粲妹總€分量表示，則變?yōu)?在在 的情況下，將變?yōu)槭肿ξ恢玫年P(guān)節(jié)變量的情況下，將變?yōu)槭肿ξ恢玫年P(guān)節(jié)變量 有無限個解的冗余機器人。而工業(yè)上常用的多有無限個

28、解的冗余機器人。而工業(yè)上常用的多 關(guān)節(jié)機器人手臂，通常用于作業(yè)的所需手爪應關(guān)節(jié)機器人手臂，通常用于作業(yè)的所需手爪應 有有3個位置變量和個位置變量和3個姿態(tài)變量，總計個姿態(tài)變量，總計6個變量。個變量。 而且由于不采用冗余機器人結(jié)構(gòu)，所以而且由于不采用冗余機器人結(jié)構(gòu)，所以 ),( 21njj fr ), 2 , 1(mj mn 6 mn 42 將式（355）的兩邊對時間微分，可得 到下式 Jr （357） 其中 nm n mm n T R ff ff f J 1 1 1 1 )( （358） 43 稱稱 為雅可比矩陣（為雅可比矩陣（Jacobian matrix）。若）。若 在式（在式（357）的

29、兩邊乘以微小時間）的兩邊乘以微小時間 ，則可，則可 得到得到 J dt Jddr （359） 該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關(guān)系的關(guān)系式。該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關(guān)系的關(guān)系式。 44 二、與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣二、與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣 現(xiàn)在設基準坐標系為現(xiàn)在設基準坐標系為 ，固定于指尖，固定于指尖 的坐標系為的坐標系為 ，在，在 上表示的上表示的 的坐標為的坐標為 ，則，則 可以表示如下：可以表示如下： 0000 zyxO eeee zyxO 0000 zyxO e O e P e P )( 1 0 0 0 qfTP e （360） 45 這時，指尖的平移速度可以寫成：這時

30、，指尖的平移速度可以寫成： qJ dt dq J dt dq dq df dt dP v LL e （361） 式中，式中， ，其中，其中 是關(guān)節(jié)的數(shù)目。這是關(guān)節(jié)的數(shù)目。這 里的里的 稱為與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣。稱為與平移速度相關(guān)的雅可比矩陣。 T n qqq),( 1 n L J 46 下面以下面以2自由度機械手為例，如前面圖自由度機械手為例，如前面圖32所所 示的示的2自由度機械手的雅可比矩陣。前面已推自由度機械手的雅可比矩陣。前面已推 導過，該機器人的指尖位置可以表示為導過，該機器人的指尖位置可以表示為 )cos(cos 21211 llx )sin(sin 21211 lly 47

31、 則與這個機器人的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣，則與這個機器人的平移速度相關(guān)的雅可比矩陣， 可以下列形式給出：可以下列形式給出： )cos()cos(cos )sin()sin(sin 21221211 21221211 21 21 lll lll yy xx J L （363） 48 現(xiàn)在，我們來討論一下現(xiàn)在，我們來討論一下 的各列向量的幾何學意的各列向量的幾何學意 義，即在義，即在 時，考慮時，考慮 ， 的幾何學的幾何學 意義。根據(jù)式（意義。根據(jù)式（363），）， 是在時是在時 ，也就，也就 是第是第2關(guān)節(jié)固定時，僅在第關(guān)節(jié)固定時，僅在第1關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下， 指尖平移速度在基

32、準坐標系上表示出的向量。指尖平移速度在基準坐標系上表示出的向量。 同樣，同樣， 是第是第1關(guān)節(jié)固定時，僅在第關(guān)節(jié)固定時，僅在第2關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動 的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出 的向量。的向量。 L J ),( 21LLL JJJ 1L J 2L J 1L J0 2 2L J 49 因此，當用圖表示因此，當用圖表示 和和 時，就變成了時，就變成了 如圖所示的情況。如圖所示的情況。 11 L J 22 L J 圖圖39 和和 的幾何學說明的幾何學說明 11 L J 22 L J 50 三、與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩陣三、與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩

33、陣 一般來講，指尖的旋轉(zhuǎn)速度表示方法，有以下一般來講，指尖的旋轉(zhuǎn)速度表示方法，有以下 兩種類型：兩種類型： 1考慮由表示指尖方向的三變量組合（例如為考慮由表示指尖方向的三變量組合（例如為 歐拉角）構(gòu)成向量歐拉角）構(gòu)成向量 ，然后由它對時間的微分，然后由它對時間的微分 進行表示的一種方法。進行表示的一種方法。 2以基準坐標系的各坐標軸作為旋轉(zhuǎn)軸，以分以基準坐標系的各坐標軸作為旋轉(zhuǎn)軸，以分 別圍繞各旋轉(zhuǎn)軸的角速度作為分量構(gòu)成向量別圍繞各旋轉(zhuǎn)軸的角速度作為分量構(gòu)成向量 ， 然后用然后用 進行表示的方法。進行表示的方法。 51 在第二種表示方法中，可以把在第二種表示方法中，可以把 解釋為在基準解釋為在

34、基準 坐標系上，圍繞坐標系上，圍繞x軸，軸，y軸和軸和 z軸的旋轉(zhuǎn)速度的軸的旋轉(zhuǎn)速度的 合成，因為物理意義明確。這時，公式合成，因為物理意義明確。這時，公式 qJ A （364） 其中矩陣其中矩陣JA稱為與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩陣。稱為與旋轉(zhuǎn)速度相關(guān)的雅可比矩陣。 52 四、雅可比矩陣的計算方法四、雅可比矩陣的計算方法 考慮一般情況，如六維向量，它可以指尖的平考慮一般情況，如六維向量，它可以指尖的平 移速度和旋轉(zhuǎn)速度作為其向量的分量，即移速度和旋轉(zhuǎn)速度作為其向量的分量，即 v p （365） 這時，若采用這時，若采用 和和 表示機器人的雅可比表示機器人的雅可比 矩陣，則表示矩陣，則表示 L J A J q J J qJp A L （366） 53 這里，為了計算雅可比矩陣中的各分量，需對進這里，為了計算雅可比矩陣中的各分量，需對進 一步作下列分割一步作下列分割 式中，式中，n為機器人的關(guān)節(jié)數(shù)，為機器人的關(guān)節(jié)數(shù)， 和和 分別表示分別表示 和和 的第個列向量。而的第個列向量。而 和和 則分別表則分別表 示只有第示只有第i個關(guān)節(jié)以速度個關(guān)節(jié)以速度 運行，其他的關(guān)節(jié)運行，其他的關(guān)節(jié) 都固定時的指尖平移速度向量和旋轉(zhuǎn)速度向量。都固定時的指尖平移速度向量和旋轉(zhuǎn)速度向量。 221 21 JJJ JJJ J AA Ln