211-離散型隨機(jī)變量及其分布列(一)

1、2.1.1離散型隨機(jī)變量 及其分布列（一） 復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)引入： 1、什么是隨機(jī)事件？什么是基本事件？、什么是隨機(jī)事件？什么是基本事件？ 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做 隨機(jī)事件。試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件。隨機(jī)事件。試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件。 2、什么是隨機(jī)試驗(yàn)？、什么是隨機(jī)試驗(yàn)？ 凡是對(duì)現(xiàn)象或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，都稱之為試驗(yàn)。凡是對(duì)現(xiàn)象或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，都稱之為試驗(yàn)。 (1)試驗(yàn)可以在相同的情形下試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)重復(fù)進(jìn)行；進(jìn)行； (2)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是明確明確的，并且的，并且不只一

2、個(gè)不只一個(gè)； (3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)可能結(jié)果中的一個(gè)， 但在一次試驗(yàn)之前卻但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定不能肯定這次這次試驗(yàn)試驗(yàn)的的結(jié)果結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn) 哪一個(gè)哪一個(gè) 新課引入: 1:某人射擊一次,可能出現(xiàn): 2:某次產(chǎn)品檢查,在可能含有次品的 100 件產(chǎn)品中， 任意抽取 4 件， 那么其中含有次品可能是: 0件，1件，2件，3件，4件. 即,可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由: 0, 1, 2, 3, 4 表示. 命中 0 環(huán),命中 1環(huán), ,命中 10 環(huán)等結(jié)果. 即,可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由: 0, 1, ,10 表示. 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示

3、，（或 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量），那么這樣的變量 叫做隨機(jī)變量 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能 肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以用一個(gè)數(shù)來(lái)表示； 在上面例子中，隨機(jī)試驗(yàn)有下列特點(diǎn): 隨機(jī)變量常用字母X、Y、等表示。 1. 隨機(jī)變量 試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有結(jié)果； 例如: 在問(wèn)題1中:某人射擊一次,命中的環(huán)數(shù)為. =0,表示命中 0 環(huán); =1,表示命中 1 環(huán); =10,表示命中 10 環(huán); 在問(wèn)題2中:產(chǎn)品檢查任意抽取 4件, 含有的次品數(shù)為; =0,表示含有 0 個(gè)次品; =1,表示含有 1 個(gè)次品; =2,表示含有 2 個(gè)次

4、品; =4,表示含有 4 個(gè)次品; 思思考考擲擲一一枚枚骰骰子子, ,出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù) 可可以以用用數(shù)數(shù)字字1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4, ,5 5, ,6 6來(lái)來(lái)表表示示, ,那那 么么擲擲一一枚枚硬硬幣幣的的結(jié)結(jié)果果是是否否也也可可 以以用用數(shù)數(shù)字字來(lái)來(lái)表表示示呢呢? ? 擲擲一一枚枚硬硬幣幣, ,可可能能出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面向向上上、 反反面面向向上上兩兩種種結(jié)結(jié)果果. .雖雖然然這這個(gè)個(gè)隨隨 機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的結(jié)結(jié)果果不不具具數(shù)數(shù)量量性性質(zhì)質(zhì), ,但但 我我們們可可以以用用數(shù)數(shù)1 1和和0 0分分別別表表示示正正 面面向向上上和和反反面面向向上上( (圖圖2 2. .1 1

5、- -1 1) ). . 1正面向上正面向上 0反面向上反面向上 11.2圖圖 ?果果嗎嗎 兩兩個(gè)個(gè)試試驗(yàn)驗(yàn)的的結(jié)結(jié) 的的數(shù)數(shù)來(lái)來(lái)表表示示這這 還還可可以以用用其其他他 7 問(wèn)題： 1、對(duì)于上述試驗(yàn)，可以定義不同的隨機(jī)變量來(lái)表示 這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果嗎？ 2、在擲骰子試驗(yàn)中，如果我們僅關(guān)心擲出的點(diǎn)數(shù)是 否為偶數(shù)，應(yīng)如何定義隨機(jī)變量？ Y= 0,擲出奇數(shù)點(diǎn) 1,擲出偶數(shù)點(diǎn) 3、任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？ 本質(zhì)是建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 思思考考隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和函函數(shù)數(shù)有有類(lèi)類(lèi)似似的的地地方方嗎嗎? ? 說(shuō)明說(shuō)明 (1)任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果我們可以進(jìn)行數(shù)量化；任何一個(gè)隨

6、機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果我們可以進(jìn)行數(shù)量化； (2)同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,可以賦不同的數(shù)值可以賦不同的數(shù)值. 隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和函函數(shù)數(shù)都都是是一一種種映映射射, ,隨隨機(jī)機(jī)變變量量把把隨隨 機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的結(jié)結(jié)果果映映為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), ,函函數(shù)數(shù)把把實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)映映為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù). . 在在這這兩兩種種映映射射之之間間, ,試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果的的范范圍圍相相當(dāng)當(dāng)于于函函 數(shù)數(shù)的的定定義義域域. .我我們們把把隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的取取值值范范圍圍叫叫做做 隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的值值域域. . 產(chǎn)產(chǎn) 數(shù)數(shù)將將隨隨著著結(jié)結(jié)變變變變 個(gè)個(gè)隨隨變變 例例如如, ,在在含含有有1 10 0件件次次品品的的

7、1 10 00 0件件品品中中, ,任任意意抽抽出出4 4件件, , 可可能能含含有有的的次次品品件件X X抽抽取取果果的的化化而而 化化, ,是是一一機(jī)機(jī)量量, ,其其值值域域是是 0 0, ,1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4 . . 利利用用隨隨機(jī)機(jī)變變量量可可以以表表達(dá)達(dá)一一些些事事件件. .例例如如 X X = =0 0 表表示示 抽抽出出0 0件件次次品品 , , X X = = 4 4 表表示示 抽抽出出4 4件件次次品品 等等. .你你能能 說(shuō)說(shuō)出出 X X 3 3 在在這這里里表表示示什什么么事事件件嗎嗎? ? 抽抽出出3 3件件以以上上 次次品品 又又如如何何用用X

8、 X表表示示呢呢? ? ).iablevar randomdiscrete( , 稱為稱為 機(jī)變量機(jī)變量列出的隨列出的隨一一所有取值可以一所有取值可以一 離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 . ,0,1, 10;24 , 0,1,2,. X Y 離散型隨機(jī)變量的例子很多 例如某人 射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)是離散型 隨機(jī)變量 它的所有可能取值為 某網(wǎng)頁(yè)在小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù) 也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 它的所有取 值為 .個(gè)個(gè)值值 變變量量只只取取有有限限這這里里研研究究的的離離散散型型隨隨機(jī)機(jī) 取值是有取值是有 限還是無(wú)限還是無(wú) 限呢？限呢？ ?X是離散型隨機(jī)變量嗎是離散型隨機(jī)變量嗎電燈泡的壽命電燈泡的壽命

9、思考思考 .X, X 不不是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量所所以以數(shù)數(shù)不不能能一一一一列列出出 非非負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)的的可可能能取取值值是是任任何何一一個(gè)個(gè)電電燈燈泡泡的的壽壽命命 : ,1000 ,. , 下下的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量 那那么么就就可可以以定定義義如如小小時(shí)時(shí)使使用用壽壽命命是是否否超超過(guò)過(guò) 的的如如果果我我們們僅僅關(guān)關(guān)心心電電燈燈泡泡例例如如地地定定義義隨隨機(jī)機(jī)變變量量 恰恰當(dāng)當(dāng)需需要要根根據(jù)據(jù)所所關(guān)關(guān)心心的的問(wèn)問(wèn)題題在在研研究究隨隨機(jī)機(jī)現(xiàn)現(xiàn)象象時(shí)時(shí) 與與電電燈燈泡壽泡壽命命X X相相比比較較, ,隨隨機(jī)機(jī)變變量量Y Y的的構(gòu)構(gòu)造造更更簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單單, ,它只它只取取兩兩個(gè)個(gè)不同不同的的值

10、值0 0和1,是和1,是一一個(gè)個(gè)離離散型隨散型隨 機(jī)機(jī)變變量量, ,研研究究起來(lái)起來(lái)更加更加容易容易. . Y .1000,1 ;1000,0 小時(shí)小時(shí)壽命壽命 小時(shí)小時(shí)壽命壽命 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型離散型 隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切 值，這樣的隨機(jī)變量叫做值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量. . 問(wèn)題問(wèn)題 某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)某林場(chǎng)樹(shù)木最高達(dá)30m,30m,那么這個(gè)林場(chǎng)的樹(shù)木高度的那么這個(gè)林場(chǎng)的樹(shù)木高度的 情況有那些情況有

11、那些? ? (0(0，3030內(nèi)的一切值內(nèi)的一切值 可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值 12 注注3 3： 若若 是隨機(jī)變量，則是隨機(jī)變量，則 （其中（其中a、b是常數(shù)）也是隨機(jī)變量是常數(shù)）也是隨機(jī)變量 ba 注注1 1：隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型 隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 注注2 2：某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)，某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具備數(shù)量性質(zhì)， 但仍可以用數(shù)量來(lái)表示它。但仍可以用數(shù)量來(lái)表示它。 說(shuō)明說(shuō)明: 隨機(jī)變量即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí) 數(shù)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 例例1、(1) 下期下期中華達(dá)人中華達(dá)人節(jié)目中過(guò)關(guān)的人數(shù)節(jié)目中過(guò)關(guān)的

12、人數(shù) ； (2)某網(wǎng)站中歌曲某網(wǎng)站中歌曲愛(ài)我中華愛(ài)我中華一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)為 ； (3)一天內(nèi)的溫度為一天內(nèi)的溫度為 ； (4)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得分，未擊中目標(biāo)得0分，分， 用用 表示該射手在一次射擊中的得分。上述問(wèn)題中的表示該射手在一次射擊中的得分。上述問(wèn)題中的 是離散型隨機(jī)變量的是（是離散型隨機(jī)變量的是（ ） A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4) B 寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值. （1）從）從10張已編號(hào)的卡片（從張已

13、編號(hào)的卡片（從1號(hào)到號(hào)到10號(hào)）中號(hào)）中 任取任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)張，被取出的卡片的號(hào)數(shù) （2）一個(gè)袋中裝有）一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和個(gè)白球和5個(gè)黑球，從個(gè)黑球，從 中任取中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù)個(gè)，其中所含白球數(shù) （3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和 （4）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)）接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù) （5）某一自動(dòng)裝置無(wú)故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間）某一自動(dòng)裝置無(wú)故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間 （6）江西九江市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在）江西九江市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29這一范這一范 圍變化，該水位站所測(cè)水位圍變化，該水位站所測(cè)水位 （1

14、、2、3、n、） （2、3、4、12） （取內(nèi)的一切值）（取內(nèi)的一切值）,0 （取內(nèi)的一切值）（取內(nèi)的一切值） 0, 29 （1、2、3、10） （0、1、2、3） 離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型 1.1.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是( )( ) (A)兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和 (B)兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù) (C)第一次減去第二次的點(diǎn)數(shù)差 (D)拋擲的次數(shù) D 2、把一枚硬幣先后拋擲兩次，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面得、把一枚硬幣先后拋擲兩次，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面得5分，出分，出 現(xiàn)兩個(gè)反面得現(xiàn)兩個(gè)反面得-3分，其他結(jié)果得分，其他結(jié)果得0分，用分，用X表示得分的分值，表

15、示得分的分值， 列表寫(xiě)出可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的列表寫(xiě)出可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的X值。值。 3、寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值、寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值 所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果： （1）從一個(gè)裝有編號(hào)為）從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到號(hào)到10號(hào)的號(hào)的10個(gè)球的袋中，任取個(gè)球的袋中，任取1球，球， 被取出的球的編號(hào)為被取出的球的編號(hào)為X； （2）一個(gè)袋中裝有）一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取個(gè)個(gè)白球，從中任取個(gè)4球，其中球，其中 所含紅球的個(gè)數(shù)為所含紅球的個(gè)數(shù)為X； （3）投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為）投擲兩枚骰子，

16、所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)為，所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)為 Y。 思考思考 拋擲一枚骰子，所得的點(diǎn)數(shù)有哪些值？取每個(gè)拋擲一枚骰子，所得的點(diǎn)數(shù)有哪些值？取每個(gè) 值的概率是多少？值的概率是多少？ 解：解： 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 )4(P )2(P ) 3(P )5(P )6(P 6 1 ) 1(P 則 P 126543 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 求出了的每一個(gè)取值的概率求出了的每一個(gè)取值的概率 列出了隨機(jī)變量的所有取值列出了隨機(jī)變量的所有取值 的取值有的取值有1、2、3、4、5、6 取每一個(gè)值取每一個(gè)值 的概率的概率 123 , in x xxxx x1x

17、2xixn pp1p2pipn 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量 的概率分布列，簡(jiǎn)稱的概率分布列，簡(jiǎn)稱 的分布列的分布列 （probability distribution series） 則稱表則稱表 (1,2, ) i x in () ii Pxp 1.設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為可能取的值為 離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量的分布列 2.有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式 表示表示 的分布列。的分布列。 ()(1,2, ) ii Pxp in 3.概率分布還經(jīng)常用圖象來(lái)表示概率分布還經(jīng)常用圖象來(lái)表示. O 1 2 3 4 5 6 7 8 p 0.1 0.2 (1)離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了由這個(gè)隨機(jī)離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了由這個(gè)隨機(jī) 變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象。變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象。 (2)函數(shù)可以用解析式、表格或圖象表示，離散型隨函數(shù)可以用解析式、表格或圖象表示，離散型隨 機(jī)變量可以用分布列、等式或圖象來(lái)表示。機(jī)變量可以用分布列、等式或圖象來(lái)表示。 可以看出可以看出 的取值的取值 范圍范圍1,2,3,4,5,6， 它取每一個(gè)值的概它取每一個(gè)值的概 率都是率都是 。 1 6 例如：拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為例如：拋擲兩枚骰子，點(diǎn)