7.3 復數的三角表示-新教材2019-2020學年高一數學人教A版必修第二冊同步教學課件

1、一、復數的三角表示式 1.思考 (1)復數a+bi(a,bR)與復平面內的點和向量是如何一一對應的? 提示根據復平面的建立原則,復數a+bi與復平面內的點Z(a,b)是 一一對應的,與平面向量 =(a,b)也是一一對應的. (2)若角的頂點在坐標原點,始邊在x軸非負半軸上,已知終邊上 一點P(x,y),如何表示角的三角函數? (3)終邊相同的角有什么關系? 提示終邊相同的角相差2的整數倍. 2.填空 (1)一般地,任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(cos +isin )的形 式.其中,r是復數z的模;是以x軸的非負半軸為始邊,向量 所在 射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復數z=a+bi的

2、輻角.r(cos +isin ) 叫做復數z=a+bi的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū) 分開來,a+bi叫做復數的代數表示式,簡稱代數形式. (2)任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值,且這些值相差 2的整數倍.我們規(guī)定在02范圍內的輻角的值為輻角的 (3)兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等. 3.做一做 (1)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤 的打“”. 復數0的輻角一定是0.() 一個給定的復數,其輻角也是唯一確定的.() 復數i的輻角可以為- .() 答案: (2)將下列復數表示為三角形式 -5i-102-2i 二、復數三角形式乘法法

3、則與幾何意義 1.思考 兩個角1,2的和的正弦、余弦公式是什么? 提示cos(1+2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2,sin(1+2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2. 2.填空 (1)已知z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),則 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2). 這就是說,兩個復數相乘,積的模等于各復數的模的積,積的輻角 等于各復數的輻角的和. (2)復數乘法的幾何意義 3.做一做 三、復數三角形式除法法則與幾何意義 1.思考 3.做一做 復數的三角形式復數的三角形式 例例1將下列復數表示成三角形式.

4、 (1)5i(2)8(3)-3-3i(4)-1+ i 分析先確定模長及輻角主值,再寫成三角形式. 反思感悟反思感悟 復數的代數形式z=a+bi化為復數三角形式的一般步 驟是: 寫出復數的三角形式. 變式訓練變式訓練1將下列復數中代數形式的表示成三角形式,三角形式 的表示成代數形式. 復數三角形式的乘法運算復數三角形式的乘法運算 例例2計算下列各式 分析利用復數三角形式的乘法法則計算即可. 反思感悟反思感悟 兩個復數三角形式乘法的法則可簡記為:模數相乘,輻 角相加,并且可以作以下推廣: (1)有限個復數相乘,結論亦成立. 即z1z2zn=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin

5、 2)rn(cos n+isin n)=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n). (2)當z1=z2=zn=z時,即r1=r2=rn=r,1=2=n=,有 zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),這就是復數三角形式的乘 方法則,即:模數乘方,輻角n倍. 變式訓練變式訓練2計算下列各式 復數三角形式的除法運算復數三角形式的除法運算 例例3計算下列各式 反思感悟反思感悟 進行兩個復數的三角形式除法運算時,將模對應相除 當模,用被除數輻角減去除數的輻角當做商的輻角,即可得兩個復 數的除法結果. 變式訓練變式訓練3計算下列各式 數形結合思想求復數的模長及輻角范圍 典例典例若zC,|z-2|1,求|z|的最大、最小值和arg z范圍. 分析結合條件及特點,本題可用數形結合思想求解. 解:由|z-2|1,知z的軌跡為復平面上以(2,0)為圓心,1為半徑的圓面 (包括圓周),|z|表示圓面上任一點到原點的距離. 顯然1|z|3,|z|max=3,|z|min=1, 另設圓的兩條切線為OA,OB,A,B為切點, 由|CA|=1,|OC|=2知AOC=BOC= , 說明:本題在求解|z|的最大、最小值時,也可用代數形式,如下:設 復數z=x+yi(x,yR), 則由|z-2|1得(x-2)2+y21,x2+y24x-