概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一部份習(xí)題第一章概率論基本概念一、填空題1設(shè)A，B, C為3事件，則這3事件中恰有2個(gè)事件發(fā)生可表示為 。2、 設(shè) P(A) =0.1,P(A _ B) =0.3，且 A 與 B互不相容，則 P(B)二。3、口袋中有4只白球，2只紅球，從中隨機(jī)抽取 3只，則取得2只白球，1只紅球的概率為。4、 某人射擊的命中率為 0.7，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)射擊 5次，則恰有2次命中的概率為 5、某市有50%的住戶訂晚報(bào)，有 60%的住戶訂日?qǐng)?bào)，有 80%的住戶訂這兩種報(bào)紙中的一種，則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的百分比為 。6、設(shè) A，B 為兩事件，P(A) =0.7, P(AB) =0.3，貝U P(A B

2、)二。7、 同時(shí)拋擲3枚均勻硬幣，恰有 1個(gè)正面的概率為 。8、設(shè) A，B 為兩事件，P(A) =0.5, P(A B) =0.2，貝U P(AB)二。9、 10個(gè)球中只有1個(gè)為紅球，不放回地取球，每次1個(gè)，則第5次才取得紅球的概率為。10、 將一骰子獨(dú)立地拋擲 2次，以X和Y分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，AX Y=10lB =Y ，則 P(B | A)二。11、設(shè)代B是兩事件，則A,B的差事件為。12、設(shè) A,B,C 構(gòu)成一完備事件組， 且 P(A) = 0.5,P(B)二 0.7,則 P(C)二_，P(AB) =_13、 設(shè)A與B為互不相容的兩事件，P(B) 0,則P(A|B)二。14、 設(shè)A與

3、B為相互獨(dú)立的兩事件，且P(A) =0.7,P(B) =0.4，則P(AB)二。15、設(shè)代 B 是兩事件，P(A) =0.9, P(AB) =0.36,則 P(AB)二。16、 設(shè) 代B是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P(A) = 0.2,P(B) =0.4,則P(A B)二。17、設(shè) A, B 是兩事件，如果 A 二 B ,且 P(A) =0.7, P(B) =0.2 ,則 P(A| B)二1 1 1 18、設(shè) P(A) , P(B) ,P(A B) ，則 P(A B)二。34219、 假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%, 30%, 10%。從中隨機(jī)取一件，結(jié)果不是三等品，則為一等品的概率為 20

4、、 將n個(gè)球隨機(jī)地放入 n個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子空的概率為 。二、選擇題1、設(shè)P(AB) =0，則下列成立的是()A和B不相容 A和B獨(dú)立 P(A)二0orP(B) = 0 P(A - B)二P(A)2、 設(shè)A, B,C是三個(gè)兩兩不相容的事件，且P(A) =P(B) =P(C) =a，貝U a的最大值為()1/2 1 1/31/43、 設(shè)A和B為2個(gè)隨機(jī)事件，且有 P(C | AB) =1 ,則下列結(jié)論正確的是() P(C) - P(A) P(B) -1 P(C P(A) - P(B) -1P(C)=P(AB)P(C)=P(A B)4、卜列命題不成立的是() A B =AB B A B =

5、 A B(AB)(AB)八 A B= B A5、 設(shè) 代B為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P(A) 0,P(B) 0，則有 () P(A)=1-P(B) P(A|B)=0 P(A| B) =1 - P(A) P(A|B)二P(B)6、設(shè) 代B為兩個(gè)對(duì)立的事件， P(A) 0, P(B) 0,則不成立的是 () P(A)=1-P(B) P(A|B)=0 P(A| B) = 0 P(AB) =17、設(shè) 代B為事件，P(A B) = P(A) P(B) 0,則有 (A和B不相容 A和B獨(dú)立 A和B相互對(duì)立 P(A - B)二 P(A)8、設(shè) 代B為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P(A) 0,P(B) 0，貝U P(A

6、B)為() P(A) P(B) 1 -P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 1 - P(AB)9、設(shè) 代B為兩事件，且 P(A) =0.3，則當(dāng)下面條件(A與B獨(dú)立 A與B互不相容A與B對(duì)立10、設(shè)代B為兩事件，則(A B)(A B)表示()成立時(shí)，有P(B) =0.7A不包含B必然事件不可能事件A與B恰有一個(gè)發(fā)生A與B不同時(shí)發(fā)生11、每次試驗(yàn)失敗的概率為p(0 ： p : 1)，則在3次重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為10個(gè)小朋友，每人一球，則最后三個(gè)分)(色)匸)10 10CC2Cw( ) 3(1-P) (1-P)3 1-P3 c3(1-p)p212、10個(gè)球中有3個(gè)紅球7個(gè)綠球，隨機(jī)地分

7、給 到球的小朋友中恰有一個(gè)得到紅球的概率為(13、設(shè) P(A) =0.8, P(B) =0.7, P(A| B) =0.8，則下列結(jié)論成立的是()15、擲2顆骰子，記點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為p，貝U p為(1/21/4 1/18 1/36A與B獨(dú)立A與B互不相容B 二 AP(A B) = P(A) P(B)14、設(shè)代B,C為三事件，正確的是()P(AB) =1 -P(AB)P(A B)二 P(A) - P(B) 1P(ABC) =1 -P(ABC)P(A _ B) = P(BA)16、已知A, B兩事件的概率都是1/2,則下列結(jié)論成立的是（P(A B) =1 P(AB) =1 P(AB)二 P(A

8、B) P(AB) = 1217、A, B, C為相互獨(dú)立事件，0 ： P（C） :：: 1，則下列4對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是（）A B與C A-B與C AB與CAC與C18、對(duì)于兩事件 代B，與A B = B不等價(jià)的是（ AB = AB =19、對(duì)于概率不為零且互不相容的兩事件代B，則下列結(jié)論正確的是（A與B互不相容A與B相容 P(AB)二 P(A)P(B) P(A - B)二 P(A)三、計(jì)算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有 100個(gè)，其中有5個(gè)次品。從中取 30個(gè)進(jìn)行檢查，求次品 數(shù)不多于1個(gè)的概率。2、 某人有5把形狀近似的鑰匙， 其中有2把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第 三次才打

9、開房門的概率。3、 某種燈泡使用1000小時(shí)以上的概率為 0.2,求3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后至多有 1 個(gè)壞的概率。4、 甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由各機(jī)床加工的百分比分別為45%，35%，20%。各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85%，90%，88%，將加工的零件混在一起，從中隨機(jī)抽取一件，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取1個(gè)進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品，問是由哪臺(tái)機(jī)床加工的可能性最大。6、某人買了代B, C三種不同的獎(jiǎng)券各一張，已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率分別為 0.03,0.01,0.02 ;并且各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)則此人一定賺錢，求此人賺錢的概率。7、 教師在出

10、考題時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目占60%，學(xué)生答卷時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為 95%，平時(shí)沒有練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為30%。求答對(duì)而平時(shí)沒有練習(xí)過的概率8、有兩張電影票，3人依次抽簽得票。求每個(gè)人抽到電影票的概率。9、 有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第 1個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第 2個(gè)人抽的 結(jié)果去猜測(cè)第1個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第 2個(gè)人抽到電影票，問第 1個(gè)人抽到電影票的 概率。10、一批產(chǎn)品的次品率為 0.1,現(xiàn)任取3個(gè)產(chǎn)品，問3個(gè)產(chǎn)品中有幾個(gè)次品的概率的可能性11、有5個(gè)除顏色外完全相同的球，其中三個(gè)白色，兩個(gè)紅色。從中任取兩個(gè)，（1）求這兩個(gè)球顏色相同的概率；（

11、2）兩球中至少有一紅球的概率。12、設(shè) 代B是兩個(gè)事件，用文字表示下列事件：A B,B, AB, AB。13、 從1100這100個(gè)自然數(shù)中任取1個(gè)，求（1）取到奇數(shù)的概率；（2）取到的數(shù)能被 3 整除的概率；（3）取到的數(shù)能被 6整除的偶數(shù)。14、對(duì)次品率為 5%的某箱燈泡進(jìn)行檢查，檢查時(shí)，從中任取一個(gè)，如果是次品，就認(rèn)為 這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個(gè)進(jìn)行檢查，檢查過的產(chǎn)品不放回， 如此進(jìn)行五次。如果 5個(gè)燈泡都是合格品，則認(rèn)為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有 100個(gè)，求這箱燈泡被接受的概率。15、 某人有5把形狀近似的鑰匙，其中只有1把能打開他辦公室的門，如果他一把

12、一把地用鑰匙試著開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了 3次才能打開他辦公室的門的概率；（2）他試了 5次才能打開他辦公室的門的概率16、 10個(gè)塑料球中有3個(gè)黑色，7個(gè)白色，今從中任取 2個(gè)，求已知其中一個(gè)是黑色的條 件下，另一個(gè)也是黑色的概率。17、裝有10個(gè)白球，5個(gè)黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測(cè)丟失的球是 什么顏色，隨機(jī)地從罐中摸出兩個(gè)球，結(jié)果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設(shè)有三只外形完全相同的盒子，1號(hào)盒中裝有14個(gè)黑球，6個(gè)白球；H號(hào)盒中裝有5個(gè)黑球,25個(gè)白球；川號(hào)盒中裝有 8個(gè)黑球，42個(gè)白球?，F(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一盒，再 從中任取一球，求（1）取

13、到的球?yàn)楹谏虻母怕?；?）如果取到的球?yàn)楹谏颍笏侨∽訧號(hào)盒的概率。19、 三種型號(hào)的圓珠筆桿放在一起，其中I型的有4支，n型的有5支，川型的有6支；這三種型號(hào)的圓珠筆帽也放在一起，其中I型的有5個(gè)，n型的有7個(gè)，川型的有8個(gè)?，F(xiàn)在任意取一個(gè)筆桿和一個(gè)筆帽，求恰好能配套的概率。20、 有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第 1個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第 2個(gè)人抽 的結(jié)果去猜測(cè)第1個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第 2個(gè)人抽到電影票，問第 1個(gè)人抽到電影票 的概率。21、 甲、乙、丙、丁 4人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為0.2,0.3,0.4,0.7, 求此密碼能譯出的概率是多少。22

14、、 袋中10個(gè)白球，5個(gè)黃球，10個(gè)紅球，從中取1個(gè)，已知不是白球，求是黃球的概率。23、設(shè)每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率相同，已知3次試驗(yàn)中 A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27 , 求事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床獨(dú)立工作，由1個(gè)人看管，某段時(shí)間甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床不需看 管的概率分別為 0.9， 0.8， 0.85，求在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床因無(wú)人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有 100件，對(duì)其進(jìn)行檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是：在被檢查的 4 件產(chǎn) 品中至少有 1 件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有 5%是廢品，問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入 4 個(gè)杯子中，

15、求杯子中球的個(gè)數(shù)的最大值為2 的概率。27、甲、乙 2班共有 70名同學(xué)，其中女同學(xué) 40名，設(shè)甲班有 30 名同學(xué)，而女同學(xué) 15名， 求碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到女同學(xué)的概率。28、一幢 10 層的樓房中的一架電梯，在底層登上7 位乘客。 電梯在每一層都停， 乘客在第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2位及 2 位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動(dòng)物由出生到 20 歲的概率為 0.8，活到 25 歲的概率為 0.4，問現(xiàn)在 20歲的動(dòng)物活 到 25 歲的概率為多少？30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標(biāo)的概率為0.6，現(xiàn)有若干門高射炮同時(shí)發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以

16、99%以上的概率擊中目標(biāo)，問至少需要配置幾門高射炮？31、電路由電池 A 與 2 個(gè)并聯(lián)的電池 B 和 C 串聯(lián)而成，設(shè)電池 A，B，C 損壞的概率分別 為 0.2 ，0.3 ， 0.3，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中 10 個(gè)白球， 5 個(gè)黃球， 從中不放回地取 3 次，試求取出的球?yàn)橥伾那虻母怕省?3、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時(shí)射擊的命中率為 0.6，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某 段時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為 0.2，當(dāng)甲河流泛濫時(shí)乙河流泛濫的概率為 0.3，

17、求（ 1）該時(shí)期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；（2）當(dāng)乙河流泛濫時(shí)甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙 3 人同向飛機(jī)射擊。擊中飛機(jī)的概率分別為0.4， 0.5， 0.7。如果有 1 人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2，如果有 2 人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6，如果有3 人擊中，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。36、一射手命中 10環(huán)的概率為 0.7，命中 9 環(huán)的概率為 0.3，求該射手 3發(fā)子彈得到不小于 29 環(huán)的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率0.4，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對(duì)甲更有利

18、。39、有 2500人參加人壽保險(xiǎn)， 每年初每人向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)費(fèi)12元。 若在一年內(nèi)死亡，則其家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 2000 元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是0.002，求保險(xiǎn)公司獲利不少于 10000 元的概率。40、在 12名學(xué)生中有 8 名優(yōu)等生，從中任取 9 名，求有 5名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為 K 型 50%， L 型 30%，M 型 20%，對(duì)應(yīng)治愈率為 0.7，0.8， 0.9，一患者已治愈，問他屬于 L 型的概率？42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2， 0.4， 0.4，乘火車遲到的概率為 0.5、乘輪船遲到的概率為 0.2

19、、乘飛機(jī)不會(huì)遲到。問這個(gè)人遲到的概率；又如果他 遲到，問他乘輪船的概率是多少？43、一對(duì)骰子拋擲 25次，問出現(xiàn)雙 6和不出現(xiàn)雙 6 的概率哪個(gè)大？44、 一副撲克(52張),從中任取13張，求至少有一張“ A”的概率？45、據(jù)以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6，孩子得病下母親得病的概率為0.5，母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機(jī)地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過3次的概 率；若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù)，此概率是多少？47、 某場(chǎng)戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊(duì)參加，每支部隊(duì)能按時(shí)

20、趕到的概率為，若只有一支部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為0.4 ;若兩部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊(duì)未能按時(shí)趕到則必?cái)?。欲達(dá)0.9以上的概率取勝，求:-的最低值。48、 工人看管三臺(tái)設(shè)備，在1小時(shí)內(nèi)每臺(tái)設(shè)備不需要看管的概率均為0.8，求(1) 三臺(tái)設(shè)備均不需要看管的概率；(2) 至少有一臺(tái)設(shè)備需要看管的概率；(3) 三臺(tái)設(shè)備均需要看管的概率。四、證明題1、 假設(shè)我們擲兩次骰子，并定義事件A二“第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)” ，B二“第二次擲得奇 數(shù)點(diǎn)”，C二“兩次都擲奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”，證明A，B，C兩兩獨(dú)立，但 A，B，C不 相互獨(dú)立。2、設(shè)每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率p,(0 ： p 1)，An = “ n次獨(dú)立重

21、復(fù)試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次A ”證明1n3、設(shè) X b(n, p)，證明 EX 二 np, DX 二 np(1 - p)4、證明，如果 P(A| B) P(A)，則 P(B | A) P(B)P(A| B)-5、當(dāng) P(A) =a, P(B) =b 時(shí)，證明: 6、證明：P(A) 0,則 P(B|A)_1-PBP(A)7、設(shè)A,B,C三事件相互獨(dú)立，則 A B, AB與C相互獨(dú)立。8、設(shè) AiA，i =1,2,3，貝U P(A) - P(A1) P(A2) P(A3) -29、已知A1, A2同時(shí)發(fā)生，則 A發(fā)生，證明P(A) - P(A) P(A2)T10、 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人依次抽簽參

22、加考試，證明3人抽到難簽的概率相等。11、 設(shè) A，B 為兩事件，證明P(B - A)二 P(B) - P(AB)12、證明如果 A與B獨(dú)立，則 A與B獨(dú)立、A與B獨(dú)立、A與B獨(dú)立13、 如果P(A) 0，證明 A與 B獨(dú)立的充分必要條件是 P(B|A)=P(B)第二章隨機(jī)變量及其分布一、填空題,k1、設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為P(X二k)=a (k= 0,1,2)，. 0，則a=。k!2、 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為1/3的0 1分布，則X的分布函數(shù)為=3、設(shè)隨機(jī)變量 X N(1,4), P(X _ aH 12，貝U a =。a4、 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為P(X =k) (k=1,2_N),

23、7,則a=。N5、 設(shè)隨機(jī)變量 X服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y = X 10、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為f (x)=ke的密度函數(shù)為 。(X)i 06、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f (x)二ke 8(-： x ；：)，則k =。7、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 X N(1,4),則Y =2X -1 。若 P(X 乞 x2) =1 一 ,P(X x1 H : , x1 : x2，則 P(x1 X 乞 x2)=9、設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x)二a2 a3a b一 1 乞 x ： 21 x 2x _2P(X =2)二1，則 a -2k 二 ,P(：X 乞2) =, P(X =

24、2) =。11、 設(shè)5個(gè)晶體管中有2個(gè)次品，3個(gè)正品，如果每次從中任取1個(gè)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試后的產(chǎn)品不放回，直到把2個(gè)次品都找到為止，設(shè)X為需要進(jìn)行測(cè)試的次數(shù)，則P(X = 3) =。12、 設(shè)F (x)為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若P(a ： X : b) = F (b) - F (a)，則 P(X 二b)二。13、一顆均勻骰子重復(fù)擲 10次，設(shè)X表示點(diǎn)3出現(xiàn)的次數(shù)，則X的分布律P(X =k) =14、設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且 P(X乞0.29) = 0.75，Y = 1 - X，且P(Y乞k) = 0.25，貝 y k =。15、 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 POISSON 分布，且 P(X =1

25、) = P(X = 2)，則 P(X _1)=。16、連續(xù)型隨機(jī)變量 X為f (x)1.(x2 _4x 4)2 e:cf (x)dx 二 f (x)dx，則 c 二c一-:17、設(shè)F,x), F2(x)為分布函數(shù),a10, a2 0 , a1F1(x) a2F2(x)為分布函數(shù)，則a * a?=。x 018、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)2Ax0 蘭 xc6，貝U A =.1X A 619、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度1f (x) = e我，則X的分布函數(shù)為2220、若隨機(jī)變量 X N(1,0.5 )，則2X的密度函數(shù)f (x) =、選擇題1、若函數(shù)f (x)是一隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)，則()1

26、f (x)的定義域?yàn)?,1f (x)值域?yàn)?,1f (x)非負(fù) f (x)在R連續(xù)2、如果F(x)是(),則F(x) 定不可以為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。非負(fù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)有界函數(shù)3、下面的數(shù)列中，能成為一隨機(jī)變量的分布律的是（單調(diào)減少函數(shù)）H(k =0,1,2,)(k =1,2,)丄(k =0,1,2,)k!k!2k1牙(k1,-2,)4、F面的函數(shù)中，能成為一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是（si nx f (x) = *3兀 x 2其他sin x3兀 x 2其他5、6、7、COSX3兀 x 2其他 u(x) = * COSX3兀 x 2其他設(shè)隨機(jī)變量XN（0,1），:：（x）為其分布函數(shù)，P（X

27、 x）門（1：）：.：（1尸）,i ：* (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為P（X二k）= b，k（k =1,2,），則=（ - 0的實(shí)數(shù) b 1* . 111設(shè)隨機(jī)變量X N（二2），則二增大時(shí),P（| X -亠卜:二）是（單調(diào)增大單調(diào)減少保持不變?cè)鰷p不定設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度f(wàn) （x），分布函數(shù)F（x） , f （x）為關(guān)于y軸對(duì)稱，則有（） F(-a) =1 -F(a) F(-a)二1 -F(a) F(-a)二 F(a) F(-a) =2F(a) -1210、要使f(x) = 1cosxi 0是密度函數(shù)，則G為（；_ 1叮一 2,2兀1_2,211、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為f (x)二1

28、2 二(1 X )=2X的密度函數(shù)為32 -2_ 3- 13 -a1忌=-a1 :,a2 a1,a2a15555229、設(shè)F1 （x）, F2（x）為分布函數(shù),a1F,x）-a2F2（x）為分布函數(shù)，則下列成立的是（121廠-二(1 4x2)1 2(1 x )412、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，密度 f (x)，則( P(X=x)=O F(x)=P(X x) F(x) =P(X =x) f (x) =P(X =x)13、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為x 0 ： x 三 1f (x) = 2x 1 x 蘭2，貝y P(X 1.5)=(0 其他 0.75 0.8751.5(2-x)dx01.

29、5(2-x)dx114、設(shè)隨機(jī)變量 X N(1,1)，分布函數(shù)為F(x)，密度f(wàn)(x)，則有() P(X：0)=P(X 0) f(x) = f(-x) P(X：1)=P(X 1) F(x)=F(-x)三、計(jì)算題1、10個(gè)燈泡中有2個(gè)是壞的，從中任取 3個(gè)，用隨機(jī)變量描述這一試驗(yàn)結(jié)果，并寫出這 個(gè)隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個(gè)燈泡中至少有兩個(gè)好燈泡的概率。2、 罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球?yàn)橹?。用X表示 抽取的次數(shù)，求 X的分布律，并計(jì)算 ： X遼3。3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X =k)(k =1,2，)，試求A的值。k(k +1)4、已知離散型隨機(jī)變

30、量X的分布律為X-2-10121/51/61/51/1511/30(1)求 P(T ： X ：1)；(2) 求Y = X2的分布律;(3) 求X的分布函數(shù)。5、已知離散型隨機(jī)變量 X的分布律為P(X =k) =C：pk(1 - p)4*，且P(X-1)=596、 對(duì)某一目標(biāo)射擊，直到擊中時(shí)為止。如果每次射擊的命中率為p，求射擊次數(shù) X的分 布律。17、已知離散型隨機(jī)變量 X的分布律為P(X =k) k，其中k =1,2，求Y=Si n X的分布律。遼丿8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為：F(x) = A Barctanx|x|：1|x|_1求： 常數(shù)A, B (2) X的概率密度。9、已知隨

31、機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)系數(shù)A ；f 11(2) X落入一一，一啲概率； 22丿(3) X的分布函數(shù)。10、某車間有20部同型號(hào)機(jī)床，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.8,若假定各機(jī)床是否開動(dòng)是獨(dú)立的，每部機(jī)床開動(dòng)時(shí)所消耗的電能為15個(gè)單位，求這個(gè)車間消耗的電能不少于270個(gè)單位的概率。211、設(shè)隨機(jī)變量X U(0,2)，求Y=X的分布。14、設(shè)球的直徑(單位：mm) X U (10,11)，求球的體積的概率密度。12、設(shè)測(cè)量誤差X的密度函數(shù)為(X/)測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30的概率； 測(cè)量3次，每次測(cè)量獨(dú)立，求至少有1次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30的概率。13、在下列兩種情形下，求方程 t2 Xt，

32、1 = 0有實(shí)根的概率。(1) X 等可能取 1,2, 3, 4, 5,6;(2) X U(1,6)f(X)： e跖，求40+2 兀15、已知離散型隨機(jī)變量X只取-1, 0, 1,. 2，相應(yīng)的概率為13572a4a 8a 16a求a的值并計(jì)算P（| X匸1| X -0）xa1oo16、設(shè)某種電子管的壽命 X的密度函數(shù)f（x）=x2R XE100（1）若1個(gè)電子管在使用150小時(shí)后仍完好，那么該電子管使用時(shí)間少于200小時(shí)的概率是多少？（2）若1個(gè)電子系統(tǒng)中裝有 3個(gè)獨(dú)立工件的這種電子管， 在使用150小時(shí)后恰有1個(gè)損 壞的概率是多少。17、 設(shè)鉆頭的壽命（即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以

33、米為單位）服從指數(shù)分布，鉆頭平均壽命為1000米，現(xiàn)要打一口深度為 2000米的井，求（1）只需一根鉆頭的概率；（2）恰好用兩根鉆頭的概率。18、 某公共汽車站從上午7時(shí)起第15分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達(dá)此汽車站的時(shí)間X是7時(shí)至7時(shí)30分的均勻分布，試求乘客在車站等候（1）不超過15分鐘的概率；（2）超過10分鐘的概率。19、 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.1,生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)重新進(jìn)行調(diào)整，問在兩次調(diào)整之間能以 0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少？20、 設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION分布，每個(gè)顧客購(gòu)買某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該物品是

34、相互獨(dú)立的，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種物品人數(shù)的分布律。21、 設(shè)每頁(yè)書上的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)從一本有500個(gè)印刷錯(cuò)誤的500頁(yè)的書 上隨機(jī)地取5頁(yè)，求這5頁(yè)各頁(yè)上的錯(cuò)誤都不超過 2個(gè)的概率。22、 已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X服從參數(shù)為2的泊松分布，而港口的設(shè)備一天只能為 三只油船服務(wù)，如果一天中到達(dá)的油船超過三只，超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求：（1）這一天必須有油船轉(zhuǎn)走的概率；（2） 設(shè)備增加到多少，才能使每天到達(dá)港口的油船有90%可以得到服務(wù)。（3）每天到達(dá)港口油船的最可能只數(shù)。23、 某實(shí)驗(yàn)室有12臺(tái)電腦，各臺(tái)電腦開機(jī)與關(guān)機(jī)是相互獨(dú)立的，如果每臺(tái)電腦開機(jī)占總工 作時(shí)間的3/4

35、，試求在工作時(shí)間任一時(shí)刻關(guān)機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)超過兩臺(tái)的概率以及最有可能有 幾臺(tái)電腦同時(shí)開機(jī)。24、設(shè)有各耗電7.5KW的車床10臺(tái)，每臺(tái)車床使用情況是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)車床每小時(shí)平均開車12分鐘，為這10臺(tái)車床配電設(shè)備的容量是55KW，試求該配電設(shè)備超載的概率。25、 一臺(tái)電子設(shè)備內(nèi)裝有 5個(gè)某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位：小時(shí)） 服從指數(shù)分布，且平均壽命為1000小時(shí)。如果有一個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為95%兩個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為70%若兩個(gè)以上電子管損壞，則設(shè)備不能正常工作。 求這臺(tái)電子設(shè)備在正常工作1000小時(shí)后仍能正常工作的概率 （各電子管工作相互

36、獨(dú)立）。26、 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以 mm Hg計(jì)）服從N（110,122）。在該地區(qū)任選一 18歲的女青年，測(cè)量她的血壓Xo（ 1）求PX乞105= P100 ： X 20?；（2）確定最小的 x,使 P X _ 0）0x蘭0求（1）常數(shù) A, B 的值；（2） P（-1：X 1）30、有一個(gè)半徑為2米的圓盤形靶子，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)均能中靶，如以X表示擊中點(diǎn)與靶心的距離，求X的分布函數(shù)和密度函數(shù)。x| 1 VX 231、 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)fx（x） =卄小 ，求Y = X2+1的密度函數(shù)。i 0 其他32、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X

37、% 呀0.20.10.7求隨機(jī)變量丫二SinX的分布函數(shù)。33、已知10個(gè)元件中有7個(gè)合格品和3個(gè)次品，每次隨機(jī)地抽取1個(gè)測(cè)試，測(cè)試后不放回,34、已知X的分布函數(shù)為Fx(x)=O1312231x _2求Y= Sin=X I的分布函數(shù)。l 6丿35、 設(shè)某產(chǎn)品的壽命T服從N(160,；2)的正態(tài)分布，若要求壽命低于120小時(shí)的概率不超過0.1,試問應(yīng)控制 匚在什么范圍內(nèi)，并問壽命超過210小時(shí)的概率在什么范圍內(nèi)？36、 某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎(jiǎng)，并決定對(duì)每月生產(chǎn)額最高的5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎(jiǎng)， 已知每人每月生產(chǎn)額 X N(4000,602)，試問高產(chǎn)獎(jiǎng)發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少?37、在長(zhǎng)為

38、1的線段隨機(jī)地選取一點(diǎn)，短的一段與長(zhǎng)的一段之比小于1/4的概率是多少?38、設(shè)X的分布密度為2xfx(X)-： 2i0X (0,二)x (0,二)求Y =SinX的密度函數(shù)。139、設(shè)X的分布密度為fX(x)e4x|2求(1)Y =X2(2)Y X |( 3)Y =1 n | X | 的概率密度。四、證明題1、 設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，證明：當(dāng) x1 x2時(shí)，有F(xJZF(x2)2、證明：若X服從參數(shù)為-的指數(shù)分布，則 P(X r s| X s) =P(X r)3、 證明：X服從a,b上均勻分布，則 丫二cX d也服從均勻分布。4、 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)Fx(x)為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函

39、數(shù)，則 Y=FX(X)服從均勻分布。5、 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布密度f(wàn)(x)，分布函數(shù)F(x)， f(x)為關(guān)于y軸對(duì)稱，證明：1 a對(duì)于任意正數(shù) a有 F(-a)=1-F(a)f(x)dx6、 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布密度f(wàn) (x)，分布函數(shù)F(x)， f (x)為關(guān)于y軸對(duì)稱，證明：對(duì)于任意正數(shù)a有 P(| X |：a) =2F(a)-17、設(shè)f(x), g(x)是兩個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，證明：對(duì)于任意正數(shù)：(0 ： 1),有:f(x) (1 - - )g(x)是某一隨機(jī)變量的密度函數(shù)。第三章多維隨機(jī)變量及其分布、填空題1、因?yàn)槎瘮?shù) F(x,y)=x y ：0不滿足x y _0，所以F(x,

40、 y)不是某一個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。2、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為P(Y =1| X =2)=XY12311/163/81/1621/121/61/4O3、設(shè)X和Y是獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布密度函數(shù)為fx(x)=丿10 _ x ： 10 其他，fY(y) = *則(X,Y)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為若X和Y獨(dú)立，則a=4、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY12311/61/91/1821/3ab,b=o5、設(shè)X1 N(1,2),X2 N(0,3),X3N(2,1)，且三個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則P(0 乞 2Xi 3X2 X3 乞 6) = 56、若隨機(jī)變量 X b(2, p),Y b(4, p)

41、，且 P(X _1) ，則 P(Y_1) =9C -Cx4y)ce7、設(shè)(X ,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)= x _0,y _ 0其他8、設(shè)(X,Y)區(qū)域D上服從均勻分布，其中D是由x軸，y軸及直線y=2xT所圍成的011區(qū)域，則P(X ,Y 廠82349、設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且 P(X_0,Y_0)，P(X _0) =P(Y _0)：則 Pmax( X,Y) _ 0亠。110、 設(shè)相互獨(dú)立的 X和Y具有同一分布律，且 P(X =0) = P(X =1)，則隨機(jī)變量2Z = max 儀Y的分布律為111、 設(shè)相互獨(dú)立的 X和Y具有同一分布律，且 P(X =0) =P(X =1)

42、，則隨機(jī)變量2Z = min k ,丫的分布律為。112、設(shè)平面區(qū)域 D由曲線y 及直線y=0,x = 1,x=e2，(X,Y)區(qū)域D上服從x均勻分布，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度在x二2處的值為。113、設(shè)相互獨(dú)立的 X和Y具有同一分布，且 XN(0,)，則Z二X-Y。2二、選擇題 min Fx (x), Fy(x)1 - 1 _Fx(x)】1 -Fy(x)】1、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，分布函數(shù)為Fx(x), FY(y)，則m( X,Y)的分布函數(shù)為() Fx(x) Fy(x) ma乂 Fx (x), Fy(x)2、設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，且 XN(0,2),YN(1,4)，則下列各式

43、成立的是()1 P(X Y 豈0)=21 P(X Y _1)=21 P(X -Y 0)=21 P(X -Y _1)=23、設(shè)隨機(jī)變量X , Y相互獨(dú)立,N(0,1)，丫N(0,1)，則X Y的密度函數(shù)為(丄e手2 :丄e2兀x2 -y244、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立且同分布,P(X二-1) = P(X =1) =0.5，則下列結(jié)論正確的是( P(X =Y) =0.5 P(X 二Y) =111 P(X Y =0) P(X -Y =0)=445、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X 2 2Nl1 ),Y NCf )，則 x -丫 為(6、N( j2,二12 V)N( j2,二12 -打)設(shè)(X,Y)的聯(lián)

44、合密度函數(shù)為獨(dú)立同分布7、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)9、2 2 N (叫-2,二1 - 2 )N(丄1 - J,；)2 V)宀宀1則X與Y為(其他獨(dú)立不同分布不獨(dú)立同分布X,Y相互獨(dú)立，且均服從(0,1)均勻分布,隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立同分布，則不獨(dú)立 獨(dú)立 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為不獨(dú)立也不同分布則下列中服從均勻分布的是X2X -YX Y和 X -Y不相關(guān)相關(guān)30Y0101/4b1a1/4已知事件X =0?與事件fx Y =1 相互獨(dú)立，則a,b值為(-,- a=3,b= -,- a=,b=63883644二、計(jì)算題1、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)22(V x

45、)(1 y )(-二：x ： 二，-：:：y . r)求: (1)系數(shù)A；(2)P(X , Y) D,其中D為由直線y=x ,x=1,及x軸圍成的三角形區(qū)域。X321P1/41/42/42、設(shè)隨機(jī)變量 X, Y相互獨(dú)立，且 X, Y的分布律如下表:Y123P2/51/51/5求：(X, Y)的聯(lián)合分布律；(2) Z = 2X + Y的分布律；(3) U=X Y的分布律。3、甲、乙兩人約定晚上在某處見面，但沒有說好具體時(shí)間，已知甲、乙到達(dá)該處的時(shí)間分別為隨機(jī)變量 X和Y，且甲到達(dá)的時(shí)間均勻分布在6時(shí)至8時(shí)之間；而乙到達(dá)的時(shí)間均勻分布在7時(shí)至10時(shí)之間。已知(X, Y)的聯(lián)合概率密度為：f (x,

46、 y)=6蘭x蘭8,7蘭y蘭10求先到一人等候?qū)Ψ讲怀^10分鐘的概率。0其他4、設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立，且 X U(1,2),Y U (1,3)，求方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率。方程：t2 2Xt Y =05、一口袋中有4個(gè)球，標(biāo)有1, 2, 3, 4。從中任取1個(gè)，不放回，再?gòu)拇腥稳?個(gè)球,以X和Y表示第一、二次取得的球的數(shù)字，求X、Y的聯(lián)合分布。6、設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立,X N(f2) , YU(t.二)，求 X Y 的分布。7、隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為1F(x,yrarctan x 十 一 arctan y、2 Af (x, y) = *:x ： 1,0 ： y ：

47、 1 其他求邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。8、設(shè)二維隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為求(1)聯(lián)合分布函數(shù);（2）邊緣密度函數(shù)；（3）P（X Y ：1）9、 甲、乙兩人獨(dú)立地進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為 0.2,乙的命中率為0.5,以X和Y表示甲和乙的命中次數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布。10、已知隨機(jī)變量 X和Y的分布律為（1） X和Y的聯(lián)合分布；（2）X和Y是否獨(dú)立。電子儀器由兩部件構(gòu)成，以 數(shù)為11、X和Y表示兩部件的壽命，已知X和Y的聯(lián)合分布函0.5 y_Q.5x1 -e -eex y)x 0, y 0其他（1） X和Y是否獨(dú)立；（2）12、設(shè)隨機(jī)變量 X和Y獨(dú)立,求兩部件的壽命都超過100小時(shí)

48、的概率。其概率密度分別為fx(X)= *1 0 x 0,L19、設(shè)X和Y獨(dú)立，fX(x)0其他fY(y) =求Z二X Y的概率密度求Z =min(X,Y)的概率密度。-y0by0y 0其他y 0其他20、設(shè)X和Y獨(dú)立聯(lián)合密度為f (x, y)4xy00 * 10 八1求聯(lián)合分布函數(shù)。其他四、證明題1、 證明：若 X 二(J,Y 二(2)，且兩隨機(jī)變量獨(dú)立，則 X Y：(2)2、 證明：若 X N(0,1),Y N(0,1)，且兩隨機(jī)變量獨(dú)立，則X Y N(0,2)3、證明：若隨機(jī)變量 X以概率1取常數(shù)c，則它與任何隨機(jī)變量 Y相互獨(dú)立。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、設(shè)隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望為，均方差為匚 0,則當(dāng)a =，b=時(shí),2、 設(shè) X 與 Y 獨(dú)立，且 EX 二 EY =0, DX 二 DY = 1，貝U E(X 2Y)2 二。ax 十 b0 x 113、 設(shè)