考點(diǎn)03 利用函數(shù)的圖像探究函數(shù)的性質(zhì)（1）（解析版）[共10頁]

1、考點(diǎn)03 利用函數(shù)的圖像探究函數(shù)的性質(zhì)（1）【知識(shí)框圖】【自主熱身,歸納提煉】1、(2017蘇州暑假測(cè)試） 若函數(shù)的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【參考答案】 解析 作出函數(shù)的圖象,易知當(dāng)時(shí),要使的值域?yàn)?由圖可知,顯然且,即2、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 已知函數(shù)f(x)(x(1,2),則函數(shù)yf(x1)的值域?yàn)開【參考答案】0,2)解法1 由于平移不改變值域,故只需要研究原函數(shù)的值域畫出函數(shù)f(x)|2x2|的圖像由下圖易得值域?yàn)?,2)解法2 因?yàn)閤(1,2),所以2x,2x2,所以|2x2|0,2)因?yàn)閥f(x1)是由f(x)向右平移1個(gè)單位得到的,所以值域不變,所以yf(x1)的值域?yàn)?

2、,2)3、(2017蘇錫常鎮(zhèn)二模）已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【參考答案】(1,2解法1 問題轉(zhuǎn)化為g(x)0,即方程f(x)2x有三個(gè)不同的解,即或解得或或因?yàn)榉匠蘤(x)2x有三個(gè)不同的解,所以解得1m2.解法2 由題意知函數(shù)g(x)畫出函數(shù)y42x和yx22x3的圖像,可知函數(shù)g(x)的三個(gè)零點(diǎn)為3,1,2,因此可判斷m在1與2之間當(dāng)m1時(shí),圖像不含點(diǎn)(1,0),不合題意；當(dāng)m2時(shí),圖像包含點(diǎn)(2,0),符合題意所以10時(shí),要使它們有四個(gè)大眾點(diǎn),則需ykx1與y(x1)有一個(gè)大眾點(diǎn),此時(shí)kx1,即方程kx2x20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,

3、從而18k0,解得k；當(dāng)k0時(shí),根據(jù)對(duì)稱性可得k.從而滿足條件的k的取值范圍是. 本題會(huì)忽視當(dāng)直線與y相切時(shí),其實(shí)就是有四個(gè)交點(diǎn)處理動(dòng)直線與曲線交點(diǎn)時(shí)要注意兩個(gè)特殊情形：一是過端點(diǎn),二是相切的時(shí)候5、(2017南京學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù)f(x)當(dāng)x(,m時(shí),f(x)的取值范圍為16,),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_參考答案：2,8解析： 由于f(x)的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性及相關(guān)的性質(zhì),然后根據(jù)f(x)的取值范圍為16,),求出它的值等于16時(shí)的x的值,借助于函數(shù)f(x)的圖像來對(duì)m的取值范圍進(jìn)行確定當(dāng)x0時(shí),f(x)12xx3,所以f(x)123x2.令f(x)

4、0,則x2(正值舍去),所以當(dāng)x(,2)時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(2,0時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在x0時(shí)的極小值為f(2)16.當(dāng)x0時(shí),f(x)2x單調(diào)遞減,f(0)0,f(8)16,因此,根據(jù)f(x)的圖像可得m2,8解后反思 根據(jù)函數(shù)的解析式來得到函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),然后由此畫出函數(shù)的圖像,借助于函數(shù)的圖像可以有效地進(jìn)行解題,這就是數(shù)形結(jié)合的魅力6、(2017南京、鹽城二模） 若函數(shù)f(x)x2mcosxm23m8有唯一零點(diǎn),則滿足條件的實(shí)數(shù)m組成的集合為_. 參考答案. 2思路點(diǎn)撥 首先判斷f(x)是偶函數(shù),而偶函數(shù)有唯一零點(diǎn)時(shí),零點(diǎn)只能是x0

5、.解析：f(x)是偶函數(shù),若f(x)有唯一零點(diǎn),故f(0)0,由f(0)0,得m22m80,解得m2或m4.當(dāng)m2時(shí),f(x)x22cosx2x24sin2,有唯一零點(diǎn)x0；當(dāng)m4時(shí),f(x)x24cosx4.因?yàn)閒(2)4cos20,f()280,所以在(2,)內(nèi)也有零點(diǎn),不合題意解后反思 因?yàn)閒(0)0只是偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)的必要條件,所以檢驗(yàn)是必須的說明不充分常用舉反例的方法【問題探究,開拓思維】題型一、運(yùn)用圖像研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥：運(yùn)用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的零點(diǎn)問題的關(guān)鍵要正確做出函數(shù)的圖像,觀察圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由于參考答案依賴于圖像因此,要正確規(guī)范的做出圖像,該標(biāo)的關(guān)鍵的點(diǎn)

6、、線要標(biāo)出,另外有時(shí)為了更好地作圖也要多對(duì)函數(shù)進(jìn)行調(diào)整,變成常見的函數(shù)。1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間2,4)上則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【參考答案】. 5【解析】因?yàn)閒(x4)f(x),可得f(x)是周期為4的奇函數(shù),先畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4)上的圖像,根據(jù)奇函數(shù)和周期為4,可以畫出f(x)在R上的圖像,由yf(x)log5| x|0,得f(x)log5| x|,分別畫出yf(x)和ylog5|x|的圖像,如下圖,由f(5)f(1)1,而log551,f(3)f(1)1,log5|3|1,可以得到兩個(gè)圖像有5個(gè)交點(diǎn),所以零點(diǎn)

7、的個(gè)數(shù)為5. 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,以及函數(shù)的奇偶性和周期性,考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想,函數(shù)的零數(shù)問題,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來處理,其中能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖像并能靈活地運(yùn)用圖像,找到臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)【變式1】(2017南通期末） 已知函數(shù)f(x)是定義在1,)上的函數(shù),且f(x)則函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_【參考答案】11【解析】解法1 由題意得當(dāng)1x2時(shí),f(x)設(shè)x2n1,2n)(nN*),則1,2),又f(x)f,當(dāng)時(shí),則x2n1,32n2,所以f(x)f,所以2xf(x)32x30,整理得x222n2x322n40

8、.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2,所以x32n2；當(dāng)時(shí),則x(32n2,2n),所以f(x)f,所以2xf(x)32x30,整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n),所以無解綜上所述,x32n2.由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.解法2 由題意得當(dāng)x2n1,2n)時(shí),因?yàn)閒(x)f,所以f(x)maxf.令g(x).當(dāng)x2n1時(shí),g(x)g,所以當(dāng)x2n1,2n)時(shí),x2n1為y2xf(x)3的一個(gè)零點(diǎn)下面證明：當(dāng)x2n1,2n)時(shí),y2xf(x)3只有一個(gè)

9、零點(diǎn)當(dāng)x2n1,32n2時(shí),yf(x)單調(diào)遞增,yg(x)單調(diào)遞減,f(32n2)g(32n2),所以x2n1,32n2時(shí),有一零點(diǎn)x32n2；當(dāng)x(32n2,2n)時(shí),yf(x),k1f(x),g(x),k2g(x),所以k1k2.又因?yàn)閒(32n2)g(32n2),所以當(dāng)x2n1,2n)時(shí),y2xf(x)3只有一個(gè)零點(diǎn)由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間(1,2 015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.解法3 分別作出函數(shù)yf(x)與y的圖像,如圖,交點(diǎn)在x1,x23,x36,xn32n2處取得由x32n2(1,2 015),得n11,所以函數(shù)y2xf(x)3在區(qū)間

10、(1,2 015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.【變式2】（2017年江蘇試卷） 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間0,1)上,f(x)其中集合D,則方程f(x)lgx0的解的個(gè)數(shù)是_【參考答案】 8【解析】首先f(x)0,1),所以方程f(x)lgx的解x01,10)由圖像可知,在9,10)上方程無解,方程在1,9)上的整數(shù)解只有x1.再按xkD和xkD兩種情況,討論f(x)lgx在(k,k1)上的解,其中k1,2,8.若xkD,且x(k,k1),其中k1,2,3,8,設(shè)xk,nN*且n2.則方程為lg,即10(n1)2n2,這樣的n不存在若xkD,且x(k,k1),其中k1,2,8,則方

11、程為xklgx.記g(x)xlgxk,則g(x)110,所以g(x)在(k,k1)上遞增因?yàn)間(k)lgk,g(k1)1lg(k1)0,所以在(1,2)內(nèi)無解,當(dāng)k2,3,8時(shí),在x(k,k1)內(nèi)各恰有一解,共有7解與類似,可證這些解都是無理數(shù),從而滿足xkD.綜上所述,方程共有8解【變式3】（2014年江蘇高考題）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)于任意的x0,),滿足f(x2)f(x)若當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)|x2x1|,則函數(shù)yf(x)1在區(qū)間2,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_參考答案：7解析：作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖),則它與直線y1在2,4上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為函數(shù)yf(x)1在2,4的

12、零點(diǎn)的個(gè)數(shù),由圖像觀察知共有7個(gè)交點(diǎn),從而函數(shù)yf(x)1在2,4上的零點(diǎn)有7個(gè)【關(guān)聯(lián)1】 已知函數(shù)f(x)當(dāng)x0,100時(shí),關(guān)于x的方程f(x)x的所有解的和為_【參考答案】10 000思路點(diǎn)撥 注意到方程f(x)x的解可以看做函數(shù)yf(x)與yx的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo),同時(shí),注意到f(x)f(x1)1具有“周期性”的特點(diǎn),由此可作出的圖像,由圖像來得到解的規(guī)律,進(jìn)而得到所有解的和分別作出函數(shù)yf(x)與yx的圖像(如圖)當(dāng)x0,1)時(shí),令f(x)(x1)22(x1)1x,即x2x0,此時(shí)兩根之和為1；由圖可知,當(dāng)x1,2),x2,3)時(shí),它們的兩個(gè)根的和組成公差為2的等差數(shù)列,從而當(dāng)x0,10

13、0時(shí),所有的解的和為10 000.題型二 、根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的范圍知識(shí)點(diǎn)撥：求解函數(shù)的零點(diǎn)問題的填空題,其基本策略是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法來加以解決,在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí),一般地會(huì)將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題來加以解決,此時(shí),為了方便起見,轉(zhuǎn)化后的兩個(gè)函數(shù),其中一個(gè)是不含參數(shù)的函數(shù),另一個(gè)是含有參數(shù)的函數(shù),即轉(zhuǎn)化為“一靜一動(dòng)”兩個(gè)函數(shù),這樣,通過研究“動(dòng)”函數(shù)的圖像與“靜”函數(shù)的圖像的相對(duì)位置關(guān)系就可以得到問題的解例1、(2019通州、海門、啟東期末） 函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【參考答案】 【解析】 注意到x1時(shí),f(x)x22ax的零點(diǎn)是可求的

14、,即x0(舍去)或x2a,為此,就需要對(duì)2a是否小于1來進(jìn)行討論,若2a大于或等于1,則需要x1時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn),從而通過數(shù)形結(jié)合的方式來加以研究；若2a小于1,則需要x1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),從而通過數(shù)形結(jié)合的方式來加以研究,進(jìn)而得到問題的參考答案由x22ax0得x0或x2a,因?yàn)閤1,所以x0不合題意(1)當(dāng)2a1,即a0不滿足條件,故不成立若yxa與yex相交(如圖2),此時(shí)要有兩個(gè)交點(diǎn),必需,解得1a1,即a時(shí),如圖3,此時(shí)只可能有一個(gè)交點(diǎn),故不成立綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式1】、1、(2019揚(yáng)州期末）已知函數(shù)f(x)a3|xa|有且僅有三個(gè)零點(diǎn),并且這三個(gè)零點(diǎn)組成等差

15、數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為_【參考答案】 或1【解析】 函數(shù)f(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn),通常轉(zhuǎn)化為方程f(x)0有三相異實(shí)根,再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),這兩個(gè)新函數(shù)如何構(gòu)建是關(guān)鍵,通常的原則是：一是兩個(gè)新函數(shù)圖像是常見初等函數(shù)圖像,二是一個(gè)函數(shù)圖像是定的,另一個(gè)函數(shù)圖像是動(dòng)的,三是參數(shù)放在直線型中,即定曲線動(dòng)直線,這樣便于解決問題,基于這三點(diǎn),所以構(gòu)造的是函數(shù)y3與y|xa|a的圖像有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn),再通過分類討論的思想方法和三個(gè)零點(diǎn)組成等差數(shù)列建立關(guān)于a的方程,從而求得a的值 注意所研究的函數(shù)為分段函數(shù)f(x)因此,分別來研究每一段中的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),由于函數(shù)分為兩段,因此,只有兩

16、種可能,一段為兩個(gè)零點(diǎn),另一段為一個(gè)零點(diǎn)另外,注意到當(dāng)xa時(shí),函數(shù)為f(x)x3不含參數(shù),可以直接求解,因此需對(duì)這兩個(gè)零點(diǎn)是否在解法1由f(x)a3|xa|0,得3|xa|a,原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y3與y|xa|a圖像有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn),設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2,x3,且x1x20.如圖1所示,圖1)由解得x21,x34.又三個(gè)零點(diǎn)組成等差數(shù)列,則x2,得x16,則有3(6)2a,解得a符合題意(2)a0,但a0,則a滿足題意解法2因?yàn)閒(x)所以由f(x)x30得x1或4.(1)若1a,即a1時(shí),由于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),且成等差數(shù)列,所以,另一個(gè)零點(diǎn)x01,故24x0,從而

17、x06,故632a0,解得a,滿足條件；(2)若1a,即a1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)x32a(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2(x10,而a0)相切時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)即為切點(diǎn)(1,0),ky1,故函數(shù)f(x)與直線ykxk至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍為(1,),即關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(1,)解后反思 本題旨在考查將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題從而運(yùn)用函數(shù)與方程思想【變式3】(2018南京學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù)f(x)若存在唯一的整數(shù)x,使得0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【參考答案】. 0,23,8 從形的角度來看,代數(shù)式“”表示了點(diǎn)(0

18、,a)與點(diǎn)(x,f(x)連線的斜率,因此,“存在唯一的整數(shù)x,使得0成立”等價(jià)于“存在唯一一個(gè)整點(diǎn)(0,a)與點(diǎn)(x,f(x)連線的斜率大于0.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,易知,點(diǎn)A(1,3),B(1,2),C(2,0),D(2,8)當(dāng)a0時(shí),則點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)C,以及點(diǎn)A連線的斜率都大于0,故不符；當(dāng)0a2時(shí),則僅有點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)A連線的斜率大于0,故符合；當(dāng)2a8時(shí),則點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)B,以及點(diǎn)D連線的斜率都大于0,故不符綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,23,8 一般地,對(duì)于以下結(jié)構(gòu)的問題需要注意其式子的幾何意義：(1)表示兩點(diǎn)間的距離或向量的模；(2)k表示過點(diǎn)(a,b)與(x,y)

19、的直線的斜率；(3)AxBy與直線AxByC0的截距有關(guān)；(4)P(cos,sin)表示單位圓x2y21上的任意一點(diǎn)；(5)a2abb2與余弦定理有關(guān),在解題過程中可以利用這些式子的幾何意義達(dá)到簡(jiǎn)化不等式來求解或證明的目的【變式4】(2019宿遷期末）已知函數(shù)f(x) 如果函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_. 【參考答案】 (1,0) 函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn),表示函數(shù)yf(x),yk(x3)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),所以關(guān)鍵是畫出函數(shù)yf(x)的圖像,將函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,2)上的圖像每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)2倍,就得到了yf(x)在區(qū)間2,4)上的圖像,將函數(shù)yf(x)在區(qū)間2,4)上的圖像每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都伸長(zhǎng)2倍,就得到了yf(x)在區(qū)間4,8)上的圖像,依次類推,然后考察兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線的斜率函數(shù)g(x)f(x)k(x3)恰有2個(gè)不