學(xué)好數(shù)學(xué),從課本例題做起

1、學(xué)好數(shù)學(xué),從課本例題做起 【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能，而課本例題大多具有典型性、啟發(fā)性、指導(dǎo)性，是理解概念、鞏固概念、培養(yǎng)掌握基本技能、啟迪應(yīng)用基本方法、深化拓寬基本思想的好素材。所以要學(xué)好數(shù)學(xué)，就得從課本例題做起。 【關(guān)鍵詞】基礎(chǔ)知識(shí)；基本技能；基本方法 培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力是目前我國教育改革實(shí)施素質(zhì)教育的重要任務(wù)之一，它要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中持之以恒地認(rèn)真鉆研教材，合理創(chuàng)設(shè)問題情景，加強(qiáng)思維訓(xùn)練，并積極探索規(guī)律，改進(jìn)教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)過程。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能恰當(dāng)?shù)匕盐諅魇谥R(shí)與增減能力的關(guān)系，運(yùn)用靈活的教學(xué)方法，充分發(fā)揮課本的功能，就可以事半功倍，

2、提高課堂效果。波利亞認(rèn)為：“一個(gè)有責(zé)任的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)覺題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力?！倍n本例題大多具有典型性、啟發(fā)性、指導(dǎo)性，是理解概念、鞏固概念、培養(yǎng)掌握基本技能、啟迪應(yīng)用基本方法、深化拓寬基本思想的好素材。因此，教學(xué)中若能借“題”發(fā)揮，小“題”大作，進(jìn)行多角度、全方位、深層次的思維發(fā)散，則可大大激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，激起智慧火花，這才能達(dá)到我們的教學(xué)目的。那又是如何實(shí)施呢？下面以全日制普通高級(jí)中學(xué)教科學(xué)（必修本）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）里的例題為例，談?wù)劷虒W(xué)中如何處理教材中

3、的例題，并從以下的幾方面入手： 1 掌握例題通性，擴(kuò)大戰(zhàn)果，培養(yǎng)思維的流暢性 在例題教學(xué)中，讓學(xué)生掌握通性通法應(yīng)該是教學(xué)的重點(diǎn)，所謂通法就是具有較大遷移價(jià)值的方法，本例題及各變題的一種通法是運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。 課本例題（p112例3）梯子的最高一級(jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110 cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列。計(jì)算中間各級(jí)的寬度。 解：用an表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，有 a1=33，a12=110，n=12 由通項(xiàng)公式，得 a12=a1+（12-1）d 即 110=33+11d 解得 d=7 因此，a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54

4、，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82， a9=89，a10=96，a11=103 總結(jié)：要求公差d，只須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)即可。 變式一，在a和b（ab）兩數(shù)之間插入幾個(gè)數(shù)，使他們與a，b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（ ） a. b-an； b. b-an+1； c. a+bn+1； d. b-an+2 分析：這題相當(dāng)于已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，故運(yùn)用通項(xiàng)公式即可求公差d。 解：設(shè)組成的等差數(shù)列為（an），公差為d，則a1=a，an+2=b，項(xiàng)數(shù)共有n+2項(xiàng)，由通項(xiàng)公式，得 an+2=a1+（n+2-1）d 即b=a+（n+1）d 解得 d=b-an+1 變式2，過圓x2+y2=1

5、0x內(nèi)一點(diǎn)（5，3）有k條弦的長度組成等差數(shù)列，且最小弦長為數(shù)的首項(xiàng)a1，最大弦長為數(shù)列的末項(xiàng)ak，若公差d13，12， 則k的取值不可能是（ ） a. 4； b. 5； c. 6； d. 7 分析：已知首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)為k，則d可表示出來。 解：可求過（5，3）的最短弦長為8，最長弦長為10， ak-a1=2，且（k-1）d=2 k=2d+15，7， k4， 故選a 所以，我們只要掌握課本例題的通性和通法，就可以解決很多類似的題目，進(jìn)一步提高解題思維的流暢性。 2 掌握課本例題的啟發(fā)性，多角度地探索問題 在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生全面、深入、創(chuàng)造性地研究例題，多角度地看問題，使學(xué)生在探索中掌握知

6、識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻地理解知識(shí)，鞏固知識(shí)并靈活地運(yùn)用知識(shí)，可為培養(yǎng)學(xué)生的順向思維和逆向思維打下基礎(chǔ)。 在這本書中，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性它是這么定義的：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閕： 如果對(duì)于屬于定義域i內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f（x1）時(shí)，那么就說f（x）在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)；反過來，我們會(huì)知道：對(duì)于函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閕的某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增（或減）函數(shù)；且f（x1）x2） 課本例題p83例2，比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小 （1）iog23.4，iog28.5 （2）log0.31.8，log0.32.7 （3）loga5.1，loga5.9（a0，a1） 解：（

7、1）考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x，因?yàn)樗牡讛?shù)21，所以在（0，+）上是增函數(shù) 又3.4 log23.4 （2）考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log0.3x，因?yàn)樗牡讛?shù)為0.3，即0 又1.8 log0.31.8log0.32.7 （3）先判斷函數(shù)的增減性，然后才能根據(jù)自變量的大小去確定函數(shù)值的大小。又a未確定，故先進(jìn)行討論： 當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax在（0，+）上是增函數(shù)，于是loga5.1loga5.9 當(dāng)0loga5.9 反過來，若給出函數(shù)值的大小，我們又如何確定自變量的大小呢？ 變式一，已知下列不等式，比較正數(shù)m、n的大?。?（1）log3m （2）log0.3mlog0.3n （3）logam

8、0，a1） 解：（1）考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x，因?yàn)?1，所以y=log3x在（0，+）上是增函數(shù)，于是 m （2）考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log0.3x因?yàn)? m （3）對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性決定于對(duì)數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1，而已知條件中并未明確指出底數(shù)a與1哪個(gè)大，因此需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論： 當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax在（0，+）上是增函數(shù)，于是 m 當(dāng)0 mn 有時(shí)，題目會(huì)換一種角度考我們，我們也要認(rèn)真探索，研究，題目類型與出題目的，是以哪種角度哪種形式出給我們，例如 變式二，已知函數(shù)f（x）=loga1+x1-x（a0，a1） （1）求f（x）的定義域 （2）求當(dāng)f（x）0時(shí)的x的取值范圍 解

9、：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域知 1+x 1-x0 解這個(gè)分式不等式， -1 故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?l，1） （2）loga1+x1-x0，loga1+x1-xloga1 當(dāng)a1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的的單調(diào)性知 1+x 1-x1 解得 0 對(duì)由（1）知，x 故對(duì)于a1時(shí)，當(dāng)0 f（x）0 當(dāng)0 1+x 1-x 解得 x1 又由（1）知，-1 故對(duì)于0 f（x）0 變式3，已知y=log12x ，求當(dāng)f（2x-3） 解：f（x）=log12x是減函數(shù)，f（2x-3） 2x-36-x 2x-30 6-x0 解得 x3 x12 即3 x 故：x的取值范圍是3 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要抓住課本的例題不放，讓學(xué)生掌握課本例題的同時(shí)，多提出一些與此有關(guān)的問題或結(jié)論，這才達(dá)到以本為本的效果，并提高和更好的激發(fā)學(xué)生的思維能力。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家、教育家奧加涅在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法中指出：“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)功能，發(fā)展其教育功能的可能性從解本題到轉(zhuǎn)向獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些