電大微積分初步考試小抄【最新完整版小抄】中央電大?？啤段⒎e分初步》考試小抄

1、電大微積分初步考試精品小抄一、填空題函數(shù)的定義域是（，5）50 5 1 ，已知，則= 若，則微分方程的階數(shù)是三階 6.函數(shù)的定義域是（-2，-1）u（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0帶入x）9.或10.微分方程的特解為 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函數(shù)的定義域是12.若函數(shù),在處連續(xù)，則1 (在處連續(xù)) （無窮小量x有界函數(shù)）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ，

2、 14. sin x+c15.微分方程的階數(shù)為 三階 16.函數(shù)的定義域是（2,3）u（3，）17.1/218.已知，則=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的階數(shù)為 四階 二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）函數(shù)的間斷點(diǎn)是（）分母無意義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)下列結(jié)論中（在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo)）正確可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無意義的點(diǎn)上 如果等式，則（ ）下列微分方程中，（）是線性微分方程 6.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（奇函數(shù)）7.當(dāng)（2 ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).8.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是（） 9.以下等式正確的是（）10.下列微分方程中

3、為可分離變量方程的是（）11.設(shè)，則（）12.若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(，但)是錯(cuò)誤的 13.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）14.(）15.下列微分方程中為可分離變量方程的是（）16.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）17.當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).18.函數(shù)在區(qū)間是（先單調(diào)下降再單調(diào)上升）19.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3）20.微分方程的特解為（）三、計(jì)算題計(jì)算極限解:設(shè)，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx計(jì)算不定積分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2co

4、s計(jì)算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計(jì)算極限6.設(shè)，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計(jì)算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計(jì)算定積分解：u=x,=9.計(jì)算極限10.設(shè)，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計(jì)算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計(jì)算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.計(jì)算極限解：14.設(shè)，求解：() , , , )15.計(jì)算不定積

5、分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計(jì)算定積分解： u=x , , 四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？解：設(shè)水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h= 所以s(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為s（2）10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料

6、最省？ 設(shè)長方形一邊長為x，s=216 另一邊長為216/x總材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時(shí)，用料最省. 欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。吭O(shè)底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面邊長為4， h=2設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓

7、柱體的體積最大。解：設(shè)矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以ad為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑x，高60-xv=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時(shí)，vmax三、計(jì)算題計(jì)算極限解:設(shè)，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx計(jì)算不定積分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos計(jì)算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計(jì)算極限6.設(shè)，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計(jì)算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計(jì)算定積分解：u=x,=9.計(jì)

8、算極限10.設(shè)，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計(jì)算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計(jì)算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.計(jì)算極限解：14.設(shè)，求解：() , , , )15.計(jì)算不定積分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計(jì)算定積分解： u=x , , 四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？

9、解：設(shè)水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h= 所以s(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為s（2）10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長方形一邊長為x，s=216 另一邊長為216/x總材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時(shí)，用料最省. 欲做一個(gè)底

10、為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。吭O(shè)底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面邊長為4， h=2設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以ad為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑x，高60-xv=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時(shí)，vmax作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是 答案：

11、 2函數(shù)的定義域是 答案： 3.函數(shù)的定義域是 答案： 4.函數(shù)，則 答案： 5函數(shù)，則 答案： 6函數(shù)，則 答案： 7函數(shù)的間斷點(diǎn)是 答案： 8. 答案： 1 9若，則 答案： 2 10若，則 答案： 1.5； 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：ba奇函數(shù) b偶函數(shù)c非奇非偶函數(shù) d既奇又偶函數(shù)2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：aa奇函數(shù) b偶函數(shù)c非奇非偶函數(shù) d既奇又偶函數(shù) 3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對稱答案：da b軸c軸 d坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（c ）a b c d 5函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篸a b c且 d且 6函數(shù)的定義域是（）答案：da b

12、c d 7設(shè)，則（ ）答案：ca b c d 8下列各函數(shù)對中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：d a， b，c， d 9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（ ）答案：c.a b c d 10當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 答案：ba0 b1 c d 11當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：da0 b1 c d 12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）答案：aa b c d無間斷點(diǎn)三、解答題（每小題7分，共56分）計(jì)算極限 解 2計(jì)算極限 解 3. 解：原式4計(jì)算極限 解 5計(jì)算極限 解 6.計(jì)算極限 解 7計(jì)算極限 解 8計(jì)算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案：2曲線在點(diǎn)的切線方程是 答案：

13、 3曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間是（ ）答案：da單調(diào)增加 b單調(diào)減少 c先增后減 d先減后增2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：c.a極值點(diǎn)b最值點(diǎn) c駐點(diǎn)d 間斷點(diǎn)3若，則=（ ） 答案：c a. 2 b. 1 c. -1 d. 2 4設(shè)，則（ ） 答案：b a b c d5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：d a b c d 6

14、曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：c a b c d7若，則（ ）答案：c a b c d 8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案c a b c d 9下列結(jié)論中（ a ）不正確 答案：c a在處連續(xù)，則一定在處可微. b在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). c可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. d若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的. 10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 答案：b a函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 b，但 c函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) d函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：basinx be x cx 2 d3 x1

15、2.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：a ax0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn) c若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) d使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 或 2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求. 解 或5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對方程兩邊同時(shí)對x求微分，得 6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解原方程可化為， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時(shí)對求微分，得 .8設(shè)，求解：方程兩邊同時(shí)對求微分，得 一、填空題（每小題2分

16、，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： （c為任意常數(shù)）或 2若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： 或 3若，則 答案：或4若，則 答案： 或 5若，則答案： 6若，則 答案： 7答案：8 答案： 9若，則答案： 10若，則 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：aa b c d3若，則（ ）. 答案：aa. b. c. d. 4若，則（ ）. 答案：a a. b. c. d. 5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：aa b c d 6（ ）答案：aa. b. c. d. 7=（ ） 答案：c a b c d 8如果等式，則（） 答案ba. b. c. d.

17、三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設(shè)矩形的一邊厘米，則厘米，當(dāng)它沿直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).此時(shí)答：當(dāng)矩形的邊長分別為20厘米和40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大. 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最?。?2. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是

18、圍墻的長度為令得易知，當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值即最小值，此時(shí)答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解為 . 答案：1或9微分方程的通解為 . 答案：或10微分方程的階數(shù)為 答案：2或4二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ ）答案

19、：aay = x2 + 3 by = x2 + 4 c d 2若= 2，則k =（ ） 答案：a a1 b-1 c0 d 3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：a a b c d 4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）答案：d5（ ）答案：da0 b c d6下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d 7下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：d a b c d9微分方程的通解為（ ）答案：c a b c d10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：ba. ； b. ； c. ； d. 三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）1 解 或2

20、 解 3 解 利用分部積分法 4 5 6求微分方程滿足初始條件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是 答案： 2函數(shù)的定義域是 答案： 3.函數(shù)的定義域是 答案： 4.函數(shù)，則 答案： 5函數(shù)，則 答案： 6函數(shù)，則 答案： 7函數(shù)的間斷點(diǎn)是 答案： 8. 答案： 1 9若，則 答案： 2 10若，則 答案： 1.5； 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：ba奇函數(shù) b偶函數(shù)c非奇非偶函數(shù) d既奇又偶函數(shù)2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：aa奇函數(shù)

21、 b偶函數(shù)c非奇非偶函數(shù) d既奇又偶函數(shù) 3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對稱答案：da b軸c軸 d坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（c ）a b c d 5函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篸a b c且 d且 6函數(shù)的定義域是（）答案：da bc d 7設(shè)，則（ ）答案：ca b c d 8下列各函數(shù)對中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：d a， b，c， d 9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（ ）答案：c.a b c d 10當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 答案：ba0 b1 c d 11當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：da0 b1 c d 12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）答案：aa b c d無間斷點(diǎn)三、解答題（每小題7

22、分，共56分）計(jì)算極限 解 2計(jì)算極限 解 3. 解：原式4計(jì)算極限 解 5計(jì)算極限 解 6.計(jì)算極限 解 7計(jì)算極限 解 8計(jì)算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案：2曲線在點(diǎn)的切線方程是 答案： 3曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間是（ ）答案：da單調(diào)增加 b單調(diào)減少 c先增后減 d先減后增2滿足方程的

23、點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：c.a極值點(diǎn)b最值點(diǎn) c駐點(diǎn)d 間斷點(diǎn)3若，則=（ ） 答案：c a. 2 b. 1 c. -1 d. 2 4設(shè)，則（ ） 答案：b a b c d5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：d a b c d 6曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：c a b c d7若，則（ ）答案：c a b c d 8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案c a b c d 9下列結(jié)論中（ a ）不正確 答案：c a在處連續(xù)，則一定在處可微. b在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). c可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. d若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的. 10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

24、，則( )是錯(cuò)誤的 答案：b a函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 b，但 c函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) d函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：basinx be x cx 2 d3 x12.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：a ax0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0 bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn) c若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) d使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 或 2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求. 解 或5設(shè)是由方

25、程確定的隱函數(shù)，求. 解 對方程兩邊同時(shí)對x求微分，得 6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解原方程可化為， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時(shí)對求微分，得 .8設(shè)，求解：方程兩邊同時(shí)對求微分，得 一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： （c為任意常數(shù)）或 2若的一個(gè)原函數(shù)為，則 。 答案： 或 3若，則 答案：或4若，則 答案： 或 5若，則答案： 6若，則 答案： 7答案：8 答案： 9若，則答案： 10若，則 答案： 二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：aa b c d3若，則（ ）. 答案：aa. b. c. d. 4

26、若，則（ ）. 答案：a a. b. c. d. 5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：aa b c d 6（ ）答案：aa. b. c. d. 7=（ ） 答案：c a b c d 8如果等式，則（） 答案ba. b. c. d. 三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設(shè)矩形的一邊厘米，則厘米，當(dāng)它沿直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).此時(shí)答：當(dāng)矩形的邊長分別為20厘

27、米和40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大. 2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是圍墻的長度為令得易知，當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值即最小值，此時(shí)答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省. 五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6 .

28、答案：07=答案： 8微分方程的特解為 . 答案：1或9微分方程的通解為 . 答案：或10微分方程的階數(shù)為 答案：2或4二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（ ）答案：aay = x2 + 3 by = x2 + 4 c d 2若= 2，則k =（ ） 答案：a a1 b-1 c0 d 3下列定積分中積分值為0的是（ ） 答案：a a b c d 4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）答案：d5（ ）答案：da0 b c d6下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d 7下列無窮積分收斂的是（）答案：ba b c d8下列微分方程中

29、，（ ）是線性微分方程答案：d a b c d9微分方程的通解為（ ）答案：c a b c d10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：ba. ； b. ； c. ； d. 三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部積分法 4 5 6求微分方程滿足初始條件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運(yùn)動規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時(shí)若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對

30、于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計(jì)算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成。1函數(shù)及其圖形本節(jié)中的不少內(nèi)容讀者在初等數(shù)學(xué)及中學(xué)物理課中已學(xué)過了，現(xiàn)在我們只是把它們聯(lián)系起來復(fù)習(xí)一下。11函數(shù) 自變量和因變量 絕對常量和任意常量在數(shù)學(xué)中函數(shù)的功能是這樣定義的：有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量x和y，如果每當(dāng)變量x取定了某個(gè)數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定y的對應(yīng)值，我們就稱y是x的函數(shù)，并記作y=f（x）， （a1

31、）其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個(gè)函數(shù)記號，它表示y和x數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。有時(shí)把y=f（x）也記作y=y（x）。如果在同一個(gè)問題中遇到幾個(gè)不同形式的函數(shù)，我們也可以用其它字母作為函數(shù)記號，如j（x）、（x）等等。常見的函數(shù)可以用公式來表達(dá)，例如ex等等。在函數(shù)的表達(dá)式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面切問題中出現(xiàn)時(shí)數(shù)值都是確定不變的，這類常量叫做絕對常量；另一類如a、b、c等，它們的數(shù)值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用拉丁字母中最前面幾個(gè)（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個(gè)（x、y、z）代表變量。當(dāng)y=f（x）的具體形式給定后，我們就可以確定與

32、自變量的任一特定值x0相對應(yīng)的函數(shù)值f（x0）。例如：（1）若y=f（x）=3+2x，則當(dāng)x=-2時(shí)y=f（-2）=3+2（-2）=-1一般地說，當(dāng)x=x0時(shí)，y=f（x0）=3+2x012函數(shù)的圖形在解析幾何學(xué)和物理學(xué)中經(jīng)常用平面上的曲線來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種方法對于我們直觀地了解一個(gè)函數(shù)的特征是很有幫助的。作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標(biāo)系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數(shù)值）y=f（x）這樣一來，把坐標(biāo)為（x，y）且滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）的那些點(diǎn)連接起來的軌跡就構(gòu)成一條曲線，它描繪出函數(shù)的面貌。圖a-1便是上面舉的第一個(gè)例子y=f（x）=3+2x的圖形，其中p1，p

33、2，p3，p4，p5各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點(diǎn)連接成一根直線。圖a-2是第二個(gè)例子各點(diǎn)連接成雙曲線的一支。13物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例反映任何一個(gè)物理規(guī)律的公式都是表達(dá)變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系的。下面我們舉幾個(gè)例子。（1）勻速直線運(yùn)動公式s=s0vt， （a2）此式表達(dá)了物體作勻速直線運(yùn)動時(shí)的位置s隨時(shí)間t變化的規(guī)律，在這里t相當(dāng)于自變量x，s相當(dāng)于因變量y，s是t的函數(shù)。因此我們記作s=s（t）s0vt， （a3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)，v對于每個(gè)勻速直線運(yùn)動有一定的值，但對于不同的勻速直線運(yùn)動可以取

34、不同的值。圖a-3是這個(gè)函數(shù)的圖形，它是一根傾斜的直線。下面我們將看到，它的斜率等于v（2）勻變速直線運(yùn)動公式v=v0at， （a5）兩式中s和v是因變量，它們都是自變量t的函數(shù)，因此我們記作vv（t）v0tat （a7）圖a-4a、4b分別是兩個(gè)函數(shù)的圖形，其中一個(gè)是拋物線，一個(gè)是直線。（a6）和（a7）式是勻變速直線運(yùn)動的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它們的數(shù)值要根據(jù)討論的問題來具體化。例如在討論自由落體問題時(shí)，如果把坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在開始運(yùn)動的地方，則s00，v00，ag9.8ms2，這時(shí)（a6）和（a7）式具有如下形式：vv（t）gt （a9）這里的g可看作是

35、絕對常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律pvc （a10）上式表達(dá)了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，壓強(qiáng)p和體積v之間的函數(shù)關(guān)系，式中的c是任意常量。我們可以選擇v為自變量，p為因變量，這樣，（a10）式就可寫作它的圖形和圖a-2是一樣的，只不過圖中的x、y應(yīng)換成v、p在（a10）式中我們也可以選擇p為自變量，v為因變量，這樣它就應(yīng)寫成由此可見，在一個(gè)公式中自變量和因變量往往是相對的。（4）歐姆定律uir （a13）當(dāng)我們討論一段導(dǎo)線中的電流i這樣隨著外加電壓u而改變的問題時(shí)，u是自變量，i是因變量，r是常量。這時(shí)，（a13）式應(yīng)寫作即i與u成正比。應(yīng)當(dāng)指出，任意常量與變量之間的界

36、限也不是絕對的。例如，當(dāng)我們討論串聯(lián)電路中電壓在各電阻元件上分配問題時(shí)，由于通過各元件的電流是一樣的，（a13）式中的電流i成了常量，而r是自變量，u是因變量，于是uu（r）ir， （a15）即u與r成正比。但是，當(dāng)我們討論并聯(lián)電路中電流在各分支里的分配問題時(shí)，由于各分支兩端具有共同的電壓，（a13）式中的u就成了常量，而r為自變量，i是因變量，于是即i與r成反比?？傊總€(gè)物理公式都反映了一些物理量之間的函數(shù)關(guān)系，但是其中哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，哪些是常量，有時(shí)公式本身反映不出來，需要根據(jù)我們所要討論的問題來具體分析。2導(dǎo)數(shù)21極限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0（記作xx0）時(shí)，函數(shù)

37、f（x）的數(shù)值無限趨近某一確定的數(shù)值a，則a叫做xx0時(shí)函數(shù)f（x）的極限值，并記作（a17）式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit（極限）”一詞的縮寫，（a17）式讀作“當(dāng)x趨近x0時(shí)，f（x）的極限值等于a”。極限是微積分中的一個(gè)最基本的概念，它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個(gè)概念下一個(gè)普遍而嚴(yán)格的定義，只通過一個(gè)特例來說明它的意義?？紤]下面這個(gè)函數(shù)：這里除x1外，計(jì)算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有困難的。例如當(dāng)?shù)侨魡杧1時(shí)函數(shù)值f（1）？我們就會發(fā)現(xiàn)，這時(shí)（a18）式的說是沒有意義的。所以表達(dá)式（a18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時(shí)的函數(shù)值來。下表列出了當(dāng)x

38、的值從小于1和大于1兩方面趨于1時(shí)f（x）值的變化情況：表a-1 x與f（x）的變化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003從上表可以看出，x值無論從哪邊趨近1時(shí)，分子分母的比值都趨于一個(gè)確定的數(shù)值5，這便是x1時(shí)f（x）的極限值。其實(shí)計(jì)算f（x）值的極限無需這樣麻煩，我們只

39、要將（a18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去：即可看出，x趨于1時(shí)函數(shù)f（x）的數(shù)值趨于3125。所以根據(jù)函數(shù)極限的定義， 22幾個(gè)物理學(xué)中的實(shí)例 （1）瞬時(shí)速度當(dāng)一個(gè)物體作任意直線運(yùn)動時(shí)，它的位置可用它到某個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離s來描述。在運(yùn)動過程中s是隨時(shí)間t變化的，也就是說，s是t的函數(shù)：ss（t）函數(shù)s（t）告訴我們的是這個(gè)物體什么時(shí)刻到達(dá)什么地方。形象一些說，假如物體是一列火車，則函數(shù)s（t）就是它的一張“旅行時(shí)刻表”。但是，在實(shí)際中往往不滿足于一張“時(shí)刻表”，我們還需要知道物體運(yùn)動快慢的程度，即速度或速率的概念。

40、例如，當(dāng)車輛駛過繁華的街道或橋梁時(shí)，為了安全，對它的速率就要有一定的限制；一個(gè)上拋體（如高射炮彈）能夠達(dá)到怎樣的高度，也與它的初始速率有關(guān)，等等。為了建立速率的概念，我們就要研究在一段時(shí)間間隔里物體位置的改變情況。假設(shè)我們考慮的是從tt0到tt1的一段時(shí)間間隔，則這間隔的大小為tt1-t0根據(jù)s和t的函數(shù)關(guān)系s（t）可知，在t0和t1t0+t兩個(gè)時(shí)刻，s的數(shù)值分別為s（t0）和s（t1）s（t0+t），即在t0到t1這段時(shí)間間隔里s改變了ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同樣大小的時(shí)間間隔t里，若s的改變量s小，就表明物體運(yùn)動得慢， 舉例來說，對于勻變速直線運(yùn)動，根據(jù)（a4）式有所以體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)速率v，即對于勻變速直線運(yùn)動來說，這就是我們熟悉的勻變速直線運(yùn)動的