解完題目回頭看

1、解完題目回頭看不論是平時(shí)的練習(xí)，還是參加考試、競(jìng)賽，我們解題的目的都是檢驗(yàn)自己運(yùn)用知識(shí)的能力，開(kāi)發(fā)智力，增長(zhǎng)才干。因此，解完題目如能做到及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)、多提新的問(wèn)題、努力找出最佳解法，有助于我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的理解和運(yùn)用，從而提高解題能力。一、 分析錯(cuò)誤原因?qū)﹀e(cuò)誤的解答，要能夠認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因。搞清楚是理解題意有誤、還是計(jì)算錯(cuò)誤，是考慮問(wèn)題不全面、還是解題思路有問(wèn)題。認(rèn)真反思，吸取教訓(xùn)，你離成功就不遠(yuǎn)了。例1 甲乙兩車(chē)同時(shí)從a、b兩地相向開(kāi)出，甲車(chē)行完全程需要5小時(shí)，乙車(chē)行完全程需要6小時(shí)。兩車(chē)在距中點(diǎn)18千米處相遇。a、b兩地全程是多少千米？分析：已知兩車(chē)行完全程的時(shí)間，可以得到兩車(chē)行相

2、同路程的時(shí)間比。又因?yàn)樵诼烦桃欢ǖ那闆r下，時(shí)間與速度成反比關(guān)系，于是可得到兩車(chē)的速度比。根據(jù)速度之比就可以確定兩車(chē)的相遇點(diǎn)了。解答：甲乙兩車(chē)的速度比為：65?？梢詫⑷炭醋?1份，相遇時(shí)甲車(chē)行了6份，乙車(chē)行了5份。由題意可知，18千米相當(dāng)于這樣的（6-5）2=0.5份。因此，a、b兩地全程為180.511=396（千米）。說(shuō)明：此例題容易誤解為18（6-5）11。錯(cuò)誤原因是將18千米誤認(rèn)為是相遇時(shí)甲比乙多走的1份。畫(huà)線(xiàn)段圖幫助理解題意可以避免此類(lèi)錯(cuò)誤。例2 真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面連續(xù)n個(gè)數(shù)字之和是2020，求m的值。分析：分母為7的真分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)部分的數(shù)字以“1、4、2、

3、8、5、7”這6個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)周期，只是次序不同。如，。顯然，求出最后一個(gè)循環(huán)周期的情形，即可求得m的值。解答：由2020（1+4+2+8+5+7）=202027=7422可知，最后一個(gè)循環(huán)周期中數(shù)字和少了27-22=5。這說(shuō)明最后一個(gè)不完整的循環(huán)周期有以下兩種可能：一種是“71428”，另一種是“2857”。對(duì)于前一種，m=5，對(duì)于后一種，m=2。因此，本題中m的值應(yīng)為2或5。說(shuō)明：此例題容易丟解。原因是考慮問(wèn)題不夠全面。例3 如圖1，等腰直角三角形abc，直角邊長(zhǎng)1分米，將b點(diǎn)固定順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，如圖2，求斜邊ac在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積。分析：ac邊上每一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的軌跡均為一段弧，

4、半徑最長(zhǎng)的顯然是a、c兩點(diǎn)的軌跡，而最短的則是過(guò)b點(diǎn)的ac邊垂線(xiàn)的垂足d的軌跡，其間的部分即為所求。解答：由上面分析可知，所求面積即為圖3中陰影部分。顯然，陰影由大等腰直角三角形內(nèi)、外的兩部分組成，可以由半圓面積中減去大等腰直角三角形面積求得外面的一部分（兩個(gè)弓形）。里面的一部分初看上去似乎不太容易求，但對(duì)于圖4來(lái)說(shuō)，若已知正方形面積求陰影面積是很容易的，本題中此部分陰影相當(dāng)于圖4中陰影部分的。因此， （平方分米）即斜邊ac在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為0.6775平方分米。說(shuō)明：此例題容易誤解為即只求出大等腰直角三角形外兩個(gè)弓形的面積。錯(cuò)誤原因是只考慮了旋轉(zhuǎn)的開(kāi)始和結(jié)束時(shí)ac邊的位置，而忽視了中間

5、的旋轉(zhuǎn)過(guò)程。例4 a、b、c、d、e五人小組分工合作解決一項(xiàng)要求20分鐘完成的任務(wù)，但至完成時(shí)多用了2分鐘。事后總結(jié)時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)若將a、e分擔(dān)的工作互換，全組的工作就能夠按規(guī)定時(shí)間完成；當(dāng)時(shí)若將b、d分擔(dān)的工作互換，全組的工作就能提高效率。那么，當(dāng)時(shí)若將a、e分擔(dān)的工作互換，同時(shí)將b、d分擔(dān)的工作也互換，全組就可以比規(guī)定時(shí)間提前幾分鐘完成任務(wù)？分析：全組完成此項(xiàng)任務(wù)的實(shí)際工作效率是，若將a、e分擔(dān)的工作互換，全組的工作效率就是，再求出若同時(shí)將b、d分擔(dān)的工作也互換全組的工作效率，就可求得工作時(shí)間。解答：若將a、e分擔(dān)的工作互換，同時(shí)將b、d分擔(dān)的工作也互換，全組的工作效率應(yīng)為全組完成任務(wù)的時(shí)間

6、則為（分）比規(guī)定的時(shí)間提前了（分）所以，當(dāng)時(shí)若將a、e分擔(dān)的工作互換，同時(shí)將b、d分擔(dān)的工作也互換，全組就可以比規(guī)定時(shí)間提前分完成任務(wù)。說(shuō)明：此例題易誤解為（分）。錯(cuò)誤原因是理解題意有誤。題中a與e和b與d分別互換工作使全組工作效率提高都是針對(duì)“當(dāng)時(shí)”（即全組工作效率為時(shí)）而言的。實(shí)際上，交換崗位的人只是通過(guò)互相影響對(duì)方的工作效率而使全組工作效率發(fā)生變化，對(duì)其它人的工作效率不會(huì)產(chǎn)生影響。否則，就需要更多的已知條件，應(yīng)用更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決了。二、 提出新的問(wèn)題對(duì)于一些熟悉的、典型的題目，應(yīng)該能夠引申開(kāi)來(lái)，想一想還能提什么樣的問(wèn)題，反過(guò)來(lái)提問(wèn)行不行，。這樣做有利于舉一反三，是事半功倍的好方法

7、。例如，同學(xué)們一定很熟悉1+2+3+99+100或23+24+25+66+67+68這樣的連續(xù)自然數(shù)求和問(wèn)題，我們可以考慮反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：如果已知一個(gè)自然數(shù)，判斷它能否表示成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的形式，如果能，是哪些連續(xù)自然數(shù)之和？請(qǐng)看下面的例子：例5 2002能否表示成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，有幾種不同的表示方法？分析：如果2002能夠拆成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的形式，那么只需求出這些連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)和最小的一個(gè)是幾，就可以找出相應(yīng)的拆法。為此設(shè)2002可以拆成個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，最小的一個(gè)為。則有：將個(gè)合并起來(lái)就有：也就是： 或者： 即： 觀察上式，不難發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)結(jié)論：與的奇偶性相反（因

8、為必為奇數(shù)，如果是奇數(shù)，則是偶數(shù)；如果是偶數(shù)，則是奇數(shù)）；（因?yàn)?，所以+1）。也就是說(shuō)，如果4004可以表示為一奇、一偶兩個(gè)因數(shù)（4004的約數(shù)且奇數(shù)不能是1）相乘的形式，就可以找到相應(yīng)的一組與的值。4004有幾種這樣的表示形式，就有幾組不同的與的值與之相對(duì)應(yīng)。解答：根據(jù)以上分析，除1外它的奇約數(shù)有7、11、13、711、713、1113、71113七個(gè)，相應(yīng)的則有： 分別解得： 這樣，說(shuō)明2002可以表示成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的形式，且有七種不同的表示方法，分別是： 說(shuō)明：（1）實(shí)際上，由于4004的奇約數(shù)與2002的奇約數(shù)情況完全相同，所以也可以說(shuō)：2002有幾個(gè)不同的奇約數(shù)（1除外），

9、就有幾種不同的表示為若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的方法。推廣到一般情形，對(duì)于一個(gè)自然數(shù)n，如果有個(gè)不同的奇約數(shù)（1除外），n就有種不同的表示為若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的方法；（2）對(duì)于2002，我們還可以提另外的問(wèn)題。如2002能否表示成若干個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和？2002能否表示成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和？如果能，有幾種不同的表示方法？請(qǐng)你試著分析一下，給出解答。再請(qǐng)看下面這樣一個(gè)熟悉的問(wèn)題：例6 1100這100個(gè)自然數(shù)，按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谝粋€(gè)圓圈周?chē)?。?開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行如下操作，保留1，劃去2；保留3，劃去4；，如此每隔一個(gè)數(shù)，劃去一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)是幾？分析：我們先從簡(jiǎn)單情況研究

10、，歸納出問(wèn)題的規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律解題。如果圓周上有2個(gè)數(shù)1、2，最后剩下1；如果有3個(gè)數(shù)1、2、3，最后剩3；如果有4個(gè)數(shù)1、2、3、4，最后剩1；如果有5個(gè)數(shù)15，最后剩的是3；如果有6個(gè)數(shù)16，最后剩的是5；如果有7個(gè)數(shù)17，最后剩的是7；如果有8個(gè)數(shù)18，最后剩的是1。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓周上數(shù)的個(gè)數(shù)是2、4、8時(shí)，最后剩的都是1（操作的起始數(shù)）。這是為什么呢？以8個(gè)數(shù)為例，操作一圈，劃去2，4，6，8，就相當(dāng)于從1開(kāi)始，還有4個(gè)數(shù)的情況，4個(gè)數(shù)時(shí)，從1開(kāi)始，操作一圈，又劃去2個(gè)，還剩從1開(kāi)始的兩個(gè)數(shù)，劃去1以外的數(shù)，最后剩1。顯然，圓周上數(shù)的個(gè)數(shù)是16、32、64、2n時(shí)，最后剩的都是起始數(shù)1。

11、當(dāng)圓周上數(shù)的個(gè)數(shù)是3時(shí)，劃去2，就剩2個(gè)數(shù)，最后應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)3；數(shù)的個(gè)數(shù)是5時(shí)，劃去2，剩4個(gè)數(shù)，最后應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)3。根據(jù)以上規(guī)律，如果有18個(gè)數(shù)，劃去2、4，剩下16個(gè)數(shù)，再劃下去，最后還應(yīng)剩下一步操作的起始數(shù)5。就是說(shuō)，劃去若干個(gè)數(shù)后，當(dāng)剩下的數(shù)的個(gè)數(shù)恰好是2n 時(shí)，下一步操作的起始數(shù)就是最后一個(gè)剩下的數(shù)。解答：根據(jù)以上分析，由于64=26，128=27，2610027，100-64=36，也就是說(shuō)，要剩26個(gè)數(shù)，需要?jiǎng)澣?6個(gè)數(shù)，按題意，最后劃去的數(shù)是362=72，下一步操作的起始數(shù)是73，那么最后剩的就應(yīng)該是73。說(shuō)明：（1）本例是由著名的約瑟夫斯問(wèn)題改編的。對(duì)于“

12、把1n這n個(gè)自然數(shù)，按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谝粋€(gè)圓圈周?chē)?。?開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行如下操作，保留1，劃去2；保留3，劃去4；，如此每隔一個(gè)數(shù)，劃去一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)x是幾？”這樣的題目，我們可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論： 若2kn2k+1，k是自然數(shù)，最后剩下的一個(gè)數(shù)x=（n-2k）2+1。（2）我們還可以提出一些新的問(wèn)題，如： 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個(gè)數(shù)是11，那么開(kāi)始時(shí)圓周上至少有多少個(gè)數(shù)？ 按原題操作規(guī)則，如果最后剩下的一個(gè)數(shù)是11，且開(kāi)始時(shí)圓周上的數(shù)不少于500個(gè)，那么開(kāi)始時(shí)至少有多少個(gè)數(shù)？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開(kāi)始，劃去1，保留2；劃去3，保留4；，轉(zhuǎn)

13、圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)是幾？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開(kāi)始，保留1、2，劃去3；保留4、5，劃去6；，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)是幾？ 將原題的操作規(guī)則改為“從1開(kāi)始，劃去1，保留2、 3；劃去4，保留5、 6；，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)是幾？請(qǐng)你再提出一些新問(wèn)題，與上面幾個(gè)問(wèn)題一起當(dāng)作練習(xí)題來(lái)完成吧！下面的例題很容易看出是在某種操作類(lèi)問(wèn)題基礎(chǔ)上反過(guò)來(lái)提出的：例7 一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓周，在每個(gè)分點(diǎn)標(biāo)上質(zhì)數(shù)p；第二次操作將兩個(gè)半圓周分別分成兩個(gè)相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰兩數(shù)和的；第三次操作將四個(gè)圓周分別分成兩個(gè)相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰兩數(shù)和的；如

14、此進(jìn)行了n次操作后，圓周上所有已標(biāo)數(shù)的總和為11130。求n和p的值各為多少？分析：本題不宜采用上例“從簡(jiǎn)單情況入手”的分析方法。我們直接來(lái)考慮第k次（k=1、2、3、n）操作后與第k-1次操作后圓周上所有已標(biāo)數(shù)總和之間的關(guān)系。設(shè)第k次操作后圓周上所有已標(biāo)數(shù)總和為sk，由題意可知，第k次操作新產(chǎn)生一些分點(diǎn)，這些分點(diǎn)上所標(biāo)數(shù)均為相鄰兩數(shù)之和的，所以這些新產(chǎn)生的分點(diǎn)上所標(biāo)數(shù)之和是上一次（即第k-1次）操作后圓周上所有已標(biāo)數(shù)總和（即sk-1）的2倍的。由此得到sk與sk-1之間的關(guān)系為：即： 下面我們用遞推的方法來(lái)求得sn與s1之間的關(guān)系：解答：由上面分析知：由題意知： 因此： 由題意可得： 即：

15、上式中，因p為質(zhì)數(shù)，所以p的值只可能為：2、3、5、7、53。經(jīng)驗(yàn)證，僅當(dāng)p=3時(shí)，其余質(zhì)因數(shù)可表示為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：（253）（357）=106105=（n+2）(n+1)顯然，此時(shí)n=104。所以，本題中n與p的值分別為104、3。說(shuō)明：在本例的分析中，我們直接由某次操作后與上一次操作后圓周上所有已標(biāo)數(shù)總和間的關(guān)系入手，進(jìn)而得出第n次操作后與第1次操作后圓周上所有已標(biāo)數(shù)總和間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決。這是一種特殊的歸納方法，通常稱(chēng)做遞推。三、 尋求最佳解法許多競(jìng)賽題的解法不止一種。努力尋求多種解法，不僅可以找到適合自己的最佳解法，還可以拓寬思路，使我們的思維能力、解決問(wèn)題能力得到鍛煉。

16、例8 正方形abcd內(nèi)部有2001個(gè)點(diǎn)，以這2001個(gè)點(diǎn)和四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)做三角形的頂點(diǎn)，最多可以剪下多少個(gè)小三角形？共需剪多少刀？分析：從簡(jiǎn)單情況入手分析，若正方形內(nèi)部只有1個(gè)點(diǎn)，顯然最多可剪下4個(gè)三角形、共需剪4刀（如圖1）；若正方形內(nèi)部只有2個(gè)點(diǎn)，此時(shí)新增加的1個(gè)點(diǎn)必在已有的4個(gè)三角形的某一個(gè)內(nèi)部，這樣就可以剪3刀破壞掉這個(gè)三角形剪成3個(gè)三角形，即增加2個(gè)三角形、增加3刀（如圖2）；于是容易發(fā)現(xiàn)，每增加一個(gè)點(diǎn)，剪下的三角形個(gè)數(shù)增加2、刀數(shù)增加3。解答：由以上分析可知，最多可以剪下小三角形的個(gè)數(shù)為4+2（2001-1）=4004共需剪的刀數(shù)為4+3（2001-1）=6004。說(shuō)明：對(duì)本例我

17、們還可以從整體的角度來(lái)進(jìn)行分析。會(huì)聚于正方形內(nèi)每一點(diǎn)的所有角度數(shù)之和是360o，正方形4個(gè)內(nèi)角度數(shù)也是360o，因此所有剪下的三角形內(nèi)角度數(shù)之和為360o2001+360o，而一個(gè)三角形內(nèi)角和為180o，所以剪下的三角形個(gè)數(shù)是；每剪1刀產(chǎn)生2條邊，正方形本身的4條邊是不用剪的，而每個(gè)三角形有3條邊，所以共需剪的刀數(shù)為。當(dāng)然，今后學(xué)習(xí)了歐拉定理，還可以有更簡(jiǎn)捷的解法。例9 1100這100個(gè)自然數(shù)，按順時(shí)針?lè)较蛞来闻帕性谝粋€(gè)圓圈周?chē)?。?開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行如下操作，劃去1，保留2；劃去3，保留4，如此每劃去一個(gè)數(shù)，隔過(guò)一個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。那么最后剩下的一個(gè)數(shù)是幾？分析：本例實(shí)際上是例6后面說(shuō)明

18、（2）中的第3個(gè)問(wèn)題。我們當(dāng)然可以象解決例6一樣，從簡(jiǎn)單情況入手研究，找出規(guī)律再解題。但是，仔細(xì)審題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果我們把1看作最后一個(gè)數(shù)，也就是把2看作最初的起始數(shù)（第1個(gè)數(shù)），那么本例就轉(zhuǎn)化為與例6完全相同的題目了。只不過(guò)對(duì)本例來(lái)說(shuō)，每個(gè)數(shù)的編號(hào)都提前了一（如2是第1個(gè)數(shù)、3是第2個(gè)數(shù)）。解答：例6的結(jié)果是73，結(jié)合以上分析知，本例中最后剩下的一個(gè)數(shù)應(yīng)為72。說(shuō)明：轉(zhuǎn)化是常用的一種數(shù)學(xué)方法，它可以把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題，巧妙的借助已知來(lái)求未知。例10 某學(xué)校有1036名學(xué)生，開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)學(xué)校給每位同學(xué)買(mǎi)了一瓶汽水。由于商店規(guī)定每5個(gè)空瓶可以換一瓶汽水，所以同學(xué)們用空瓶又換了一些汽水喝。他們最多可

19、以再換到多少瓶汽水喝？分析：開(kāi)始有1036個(gè)空瓶，第一次可換回汽水10365=207瓶，還余下1個(gè)空瓶，第二次則可換回汽水（207+1）5=41瓶，還余下3個(gè)空瓶，直到不能再換為止，將每次換回的汽水瓶數(shù)相加，即可求得問(wèn)題答案。解答： 因?yàn)?0365=2071 （207+1）5=413 （41+3）5=84 （8+4）5=22最后還剩下2+2=4（個(gè)）空瓶，可以與商店暫借一個(gè)空瓶，換回1瓶汽水，喝完后再還回1個(gè)空瓶。這樣，一共可以再換到207+41+8+2+1=259（瓶）汽水喝。說(shuō)明：這樣的算法合情合理，但解題之后回頭再看，卻覺(jué)得有些煩瑣。題目中關(guān)鍵的一個(gè)條件是“每5個(gè)空瓶可以換一瓶汽水”，這

20、句話(huà)的意思可以用下面等式來(lái)表明：5個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+一個(gè)瓶?jī)?nèi)的汽水也就是說(shuō)： 4個(gè)空瓶=一個(gè)瓶?jī)?nèi)的汽水這說(shuō)明一瓶汽水（不含瓶）的價(jià)值相當(dāng)于4個(gè)空瓶，換句話(huà)說(shuō)，1個(gè)空瓶的價(jià)值相當(dāng)于瓶汽水（不含瓶）。于是，由開(kāi)始有1036個(gè)空瓶可知，共可以再喝到汽水：1036=259（瓶） 由此可見(jiàn)，認(rèn)真審題，透徹分析，抓住問(wèn)題本質(zhì)，就有可能會(huì)發(fā)現(xiàn)更加簡(jiǎn)捷的解題方法。練習(xí)題1、兩地間的距離是950米。甲、乙兩人同時(shí)由地出發(fā)往返鍛煉.甲步行每分鐘走40米,乙跑步每分鐘行150米,40分后停止運(yùn)動(dòng)。甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距地最近,距離是多少米？2某工程隊(duì)承建一項(xiàng)工程，要用12天完成。如果只讓其中的甲、乙兩個(gè)小隊(duì)交

21、換一下工作內(nèi)容，那么全工程就要推遲3天完成；如果讓其中甲、乙兩個(gè)小隊(duì)交換一下工作內(nèi)容的同時(shí)，也讓丙、丁兩個(gè)小隊(duì)交換工作內(nèi)容，仍然可以按期完成全工程。如果只讓丙、丁兩個(gè)小隊(duì)交換工作內(nèi)容，那么可以使全工程提前幾天完成？3三角形abc是等邊三角形，邊長(zhǎng)是10cm。像下圖那樣，使三角形abc以a點(diǎn)為中心向右旋轉(zhuǎn)30，得到等邊三角形ab1c1。那么五邊形abb1cc1的面積是多少平方厘米？4在圓周上標(biāo)出一些數(shù)，第一次先把圓周二等分，在兩個(gè)等分點(diǎn)上標(biāo)出和；第二次把兩段半圓弧分別二等分，在等分點(diǎn)上標(biāo)出相鄰兩個(gè)等分點(diǎn)上的數(shù)之和；當(dāng)?shù)诎舜螛?biāo)完數(shù)后，圓周上所有以標(biāo)的數(shù)之總和是多少？ 5某學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，打算發(fā)給1991名學(xué)生每人一瓶汽水，由于商店規(guī)定每7個(gè)空瓶可以換一瓶汽水，所以不必買(mǎi)1991瓶，但是至少要買(mǎi)多少瓶？6一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓周，在每個(gè)分點(diǎn)標(biāo)上質(zhì)數(shù)p；第二次將兩個(gè)半圓周分別分成兩個(gè)相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相鄰兩數(shù)和的；第三次將四個(gè)圓周分別分成兩個(gè)相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)標(biāo)上相