向量與線性方程組（經(jīng)典實用）

1、向量與線性方程組向量與線性方程組 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的求解線性方程組的求解第二章第二章向量與線性方程組向量與線性方程組向量與線性方程組向量與線性方程組 引例引例 一個方程對應(yīng)一組數(shù)一個方程對應(yīng)一組數(shù)1 12212,nnna xa xa xba aa b矩陣的一行對應(yīng)一組數(shù)矩陣的一行對應(yīng)一組數(shù)線性方程組可對應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對應(yīng)一組數(shù)組。線性方程組可對應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對應(yīng)一組數(shù)組。向量的定義向量的定義由由n個數(shù)個數(shù)12,na aa組成的組成的有序數(shù)組有序數(shù)組12(,)na aa稱為一個稱為一個 n 維行向量維行向量，記作，記

2、作12(,)na aa，其中，其中稱為向量稱為向量ia的第的第i個個分量分量（或（或坐標(biāo)坐標(biāo)）。）。如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。為列向量。12naaa實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。向量與線性方程組幾個概念幾個概念1、同維向量同維向量：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。2、相等向量相等向量：如果向量：如果向量 與與 是同維向量，而且對應(yīng)是同維向量，而且對應(yīng) 的分量相等，則稱向量的分量相等，則稱向量 與與 相等。相等。3、零向量零向量：

3、分量都是：分量都是0的向量稱為零向量，記作的向量稱為零向量，記作O。4、負向量負向量：稱向量：稱向量 為向量為向量 的負向量，記作的負向量，記作 。12,naaa12,na aa12,n 5、向量組向量組：如果：如果n個向量個向量 是同維向量，則稱為是同維向量，則稱為 向量組向量組 12,n 向量與線性方程組向量的線性運算向量的線性運算1、向量的加減法、向量的加減法，稱向量，稱向量設(shè)設(shè)1212, , =,nna aab bb，則稱向量，則稱向量1122,nnab abab為向量為向量 與向量與向量 的的和向和向量量，記作，記作1122,nnab abab為向量為向量 與向量與向量 的的差向量差

4、向量，記作，記作 。2、數(shù)乘向量、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算線性運算。12(,), ,na aaR設(shè)向量設(shè)向量則稱向量則稱向量12(,)naaa為數(shù)為數(shù) 與向量與向量 的數(shù)稱向量，記作的數(shù)稱向量，記作 向量與線性方程組向量線性運算的運算律向量線性運算的運算律1 （）交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律2 （ ） （）（）(4) ()O O（3）(8) () (5) 1(6) ()()() (7) （）=向量與線性方程組例例1 210 11334 設(shè)向量（ ， ， ） ， （， ， ），求 343 2104113 63 04 412 1071

5、2 ， ， ， ， ， ，解解 練習(xí)練習(xí)：已知：已知 ，求，求 3,5,7,9 ,1,5,2,0 , 解解 4,0, 5, 9 向量與線性方程組11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1） 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb則方程組有則方程組有向量形式向量形式 線性方程組的向量表達式線性方程組的向量表達式 若記若記 線性方程組線性方程組 j即為系數(shù)矩陣的第即為系數(shù)矩陣的第 列列 j向量與線性方程組向量與線性方程組 向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系解解 設(shè)設(shè)1122kk則則1

6、21122122512382613kkkkkkkk所以所以122線性組合的概念線性組合的概念：設(shè)有同維向量：設(shè)有同維向量 ，如果存在，如果存在一組數(shù)一組數(shù) ，使得，使得 成立，成立，則稱向量則稱向量 可由向量組可由向量組 線性表示，或稱向量線性表示，或稱向量 是向量組是向量組 的線性組合。的線性組合。12,n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（， ， ），（2,3,6）, =（5,8,13），設(shè)設(shè)判斷向量判斷向量 能否由向量組能否由向量組 線性表示？如果可以，求出線性表示？如果可以，求出表達式。表達式。12，1122nnxxx小結(jié)：小結(jié)： 可由向量組可由向

7、量組線性表示線性表示 線性方程組線性方程組 有解有解12n， ，向量與線性方程組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因為因為121000nOO 12n， ，12,nk kk1122nnkkko12n， ，設(shè)有向量組設(shè)有向量組 ，如果存在一組，如果存在一組不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) ，使得，使得 成立，則稱成立，則稱向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)，否則，稱向量組，否則，稱向量組 線性無關(guān)。即線性無關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 全為零時全為零時， 才成立，則稱向量組才成立，則稱向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。12n， ，11

8、22nnkkkO12n， ，12,nk kk兩個向量線性相關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量成比例。兩個向量線性相關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量成比例。 向量與線性方程組1210 0001000 0 0n， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1證明證明例例3證明下列向量組線性無關(guān)。證明下列向量組線性無關(guān)。 1 122nnkkko設(shè)設(shè) 120 00nkkk（ ， ， ， ）（ ， ， ， ）則則 12 0nkkk所以所以 12n， ， ，所以向量組所以向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 12n， ， ，稱向量組稱向量組 為為n維向量空間維向量空間的的單位坐標(biāo)向量組單位坐標(biāo)向量組。 任何一個任何一個n維向量維向

9、量 都可由向量組都可由向量組 線性表示，線性表示，12,na aa12n， ， ，12naaa12n向量與線性方程組例例4 討論向量組討論向量組12112 210 2151， ， ， ， ， ， ，342 0 313110 41， ， ， ， ， ， ，的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解解 設(shè)設(shè)112233440kkkk則則134124123123412342020230254030kkkkkkkkkkkkkkkkk利用矩陣的初等變換，可求得利用矩陣的初等變換，可求得12342, 1, 0kkkk 注：有無窮多組解注：有無窮多組解可見，向量組可見，向量組線性相關(guān)線性相關(guān)齊次線性方程組齊次線性方程組有非

10、零解有非零解12,n 11220nnxxx所以向量組所以向量組 線性相關(guān)。線性相關(guān)。 1234, 向量與線性方程組練習(xí)練習(xí) 判斷向量組的線性相關(guān)性判斷向量組的線性相關(guān)性 1232,1, 1, 1 ,0,3, 2,0 ,2,4, 3, 1 解解 設(shè)設(shè) 1122330kkk則有則有 13123123132203402300kkkkkkkkkk因為因為 1231,1,1kkk 是方程組的一組非零解是方程組的一組非零解 所以所以 123, 線性相關(guān)線性相關(guān)向量與線性方程組證明證明例例5 已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)，證明：向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。123，122331，112

11、2233310kkk設(shè)設(shè) 1311222330kkkkkk（）（）（）則則 123，因為因為 線性無關(guān)線性無關(guān) 323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量組所以向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 向量與線性方程組例例6 設(shè)設(shè)123, 線性無關(guān)，又線性無關(guān)，又312323，試證明，試證明123, 線性相關(guān)線性相關(guān)11232232,證明證明 設(shè)設(shè)1122330kkk則有則2)()(23)0kkkkkkkk 因為因為123, 線性無關(guān)線性無關(guān) 所以有所以有13123123200230kkkkkkkk由于由于1021110213所以所

12、以123,k k k不全為零不全為零 所以所以123, 線性相關(guān)線性相關(guān) 事實上，可取事實上，可取 1232,1,1kkk 向量與線性方程組證明證明 因為向量組因為向量組12m， ，線性相關(guān)線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)所以存在一組不全為零的數(shù)mkkk,21，使得，使得02211kkkkmm則則0k否則，若否則，若0k則由則由m,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，可推得可推得021mkkk于是向量組于是向量組12m， ，線性無關(guān)線性無關(guān)這與已知矛盾，所以這與已知矛盾，所以0k12m， ，定理定理 若向量組若向量組 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量 可由向量組可由向

13、量組 線性表示，而且表示方法惟一。線性表示，而且表示方法惟一。12m， ，12m， ，向量與線性方程組于是于是11221()mmkkkk 假設(shè)另有表達式假設(shè)另有表達式1122mmlll則可得則可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于由于m,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以), 2 , 1( mikklii且表示方法唯一且表示方法唯一所以所以 可由向量組可由向量組 線性表示，線性表示，12m， ，所以所以 可由向量組可由向量組 線性表示。線性表示。12m， ，向量與線性方程組定理定理 向量組向量組n,21線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條件的充分必要條件 是該向量組中是該向量組中至少

14、有一個至少有一個向量可由其余的向量組線性向量可由其余的向量組線性 表示。表示。證明證明 因為向量組因為向量組 n,21線性相關(guān)線性相關(guān) 所以存在不全為零的數(shù)所以存在不全為零的數(shù)12,nk kk使得使得 11220nnkkk不妨設(shè)不妨設(shè)10k 于是有于是有1223311()nnkkkk 反過來，若有反過來，若有23,n 1可由可由線性表示線性表示 12233mmlll則有則有223310mmlll所以所以n,21線性相關(guān)線性相關(guān) 向量與線性方程組例例7 設(shè)設(shè)21231,1,1 ,1,1,1 ,1,1,1,1, , 試問試問為何值時，為何值時，可由可由123, 線性表示，且表示線性表示，且表示方法

15、唯一？方法唯一？解解 設(shè)設(shè)112233xxx則有則有12312321231111xxxxxxxxx（*）因為因為可由可由123, 線性表示，且表示方法唯一線性表示，且表示方法唯一所以，方程組（所以，方程組（*）只有唯一的一組解）只有唯一的一組解所以有所以有1111110111解得解得03 且向量與線性方程組小結(jié)小結(jié)：齊次線性方程組齊次線性方程組11220nnxxx有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組11220nnxxx只有零解只有零解12,n 線性相關(guān)線性相關(guān)向量組向量組（1）向量組向量組12,n 線性無關(guān)線性無關(guān)（2）(3) 向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示12,n

16、線性方程組線性方程組 有解有解1122nnxxx向量與線性方程組向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理 1、單個非零向量是線性無關(guān)的。、單個非零向量是線性無關(guān)的。 2、兩個向量線性相關(guān)兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是對應(yīng)分量成比例對應(yīng)分量成比例。 3、增加向量，不改變向量組線性相關(guān)；減少向量，不改變、增加向量，不改變向量組線性相關(guān)；減少向量，不改變 向量組線性無關(guān)。即向量組線性無關(guān)。即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)， 則部分無關(guān)。則部分無關(guān)。4、增加分量，不改變向量組線性無關(guān)；減少分量，不改變向、增加分量，不改變向量組線

17、性無關(guān)；減少分量，不改變向 量組線性相關(guān)。即量組線性相關(guān)。即低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，則低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，則 低維相關(guān)低維相關(guān)。5、n+1 個個 n 維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。個數(shù)大于維數(shù)的向量組是線性相關(guān)的。個數(shù)大于維數(shù)的向量組是線性相關(guān)的。 向量與線性方程組向量與線性方程組矩陣的矩陣的K階子式的概念階子式的概念 從矩陣從矩陣A中中任取任取K行行K列列，其交叉位置上的元素，其交叉位置上的元素保持相對位保持相對位置不變置不變，而構(gòu)成的，而構(gòu)成的K階行列式階行列式，稱之為矩陣，稱之為矩陣A的一個的一個K階子式階子式。如如 130602

18、74A則矩陣則矩陣A共有共有 個二階子式。它們是：個二階子式。它們是： 246C 113202D 210707D 316404D 4302127D 536024D 6064274D 向量與線性方程組矩陣的秩的概念矩陣的秩的概念 矩陣矩陣A中所有中所有不為零的子式不為零的子式的的最高階數(shù)最高階數(shù)，稱為，稱為矩陣矩陣A的秩的秩，記作記作 R(A) 或或 r(A)。 顯然，如果顯然，如果 R(A)=r，則，則 A 中中至少至少有一個有一個 r 階子式階子式不等于零不等于零，所有高于所有高于 r 階的子式都為零階的子式都為零。例如例如 123221344A因為因為 0A 122022 所以所以 ( )

19、2R A 如果如果 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 R(A) min (m,n)。特別當(dāng)特別當(dāng) R(A)=m 時，稱矩陣時，稱矩陣 A 為為行滿秩行滿秩；當(dāng)；當(dāng) R(A)=n 時，稱矩時，稱矩陣陣 A 為為列滿秩列滿秩；當(dāng)；當(dāng) R(A)=m=n 時，稱矩陣時，稱矩陣 A 為為滿秩矩陣滿秩矩陣。向量與線性方程組定理推論 任意m個n維的向量線性相關(guān)m*n矩陣A的m個行向量線性相關(guān)的重要條件是R(A)m定理 矩陣矩陣A的秩為的充要條件是的秩為的充要條件是A中存在中存在r個個行向量線性無關(guān)，且任意行向量線性無關(guān)，且任意r+1個行向量個行向量(如如果存在）線性相關(guān)果存在）線性相關(guān)n個n維的向量線性無關(guān)

20、的充要條件是他們組成的矩陣的行列式不等于零推論m個n維向量線性相關(guān)的充要條件是由他 們組成的m*n矩陣的秩為m(mn)推論向量與線性方程組 行階梯矩陣，行最簡單矩陣 設(shè)A為m*n的矩陣，若A為行階梯，滿足下列三個條件 （1）a11,a22，ann以下的元素全為零 (2)每一行的每一個非零元前面的 零元個數(shù)大與前一行的這種零元的個數(shù) （3）如果某一行的元全為零，則以下額 所有行的元全為零 非零行的每一個零元為1，且這些非零元1所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣稱為行最簡單矩陣。向量與線性方程組21032031250004300000B12012023210009800000B行階梯矩陣的秩等于

21、非零行的個數(shù)，行最簡單行矩陣的秩等與1的個數(shù)向量與線性方程組利用矩陣的初等變換求矩陣的秩利用矩陣的初等變換求矩陣的秩 矩陣的初等變換不改變行列式是否為零的性質(zhì)。所以有：矩陣的初等變換不改變行列式是否為零的性質(zhì)。所以有： 定理定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。 例例 求矩陣的秩求矩陣的秩 010211211344A解解 將矩陣作初等變換將矩陣作初等變換 3112324112111210102010213440465112101020063rrrrrrA 所以所以 R(A)=3 行階梯形行階梯形 向量與線性方程組課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：123(1) 221343A1200

22、1213(2) 00243612B利用矩陣的初等變換求下列矩陣的秩利用矩陣的初等變換求下列矩陣的秩答案：答案： ( )3R A ( )3R B 問題：矩陣問題：矩陣 B 中是否所有的三階子式都不為零？中是否所有的三階子式都不為零？ 向量與線性方程組向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組 如果向量組如果向量組 的部分組的部分組 滿足滿足（1） 線性無關(guān)線性無關(guān)；（；（2）任意增加一個任意增加一個向量向量（如果存在的話），（如果存在的話），向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)。則稱向量組則稱向量組 為向量組為向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極大無關(guān)組極大無關(guān)組。12,n 12

23、,riii 12,riiij j12,riii 12,riii 12,n 例如：向量組例如：向量組 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0123, 13, 線性相關(guān)，線性相關(guān)， 線性無關(guān)。線性無關(guān)。向量組向量組 是向量組是向量組 的一個極大無關(guān)組。的一個極大無關(guān)組。13, 123, 向量組向量組 也是向量組也是向量組 的一個極大無關(guān)組。的一個極大無關(guān)組。23,123, 可見，一個向量組的極大無關(guān)組可以不是惟一的?？梢?，一個向量組的極大無關(guān)組可以不是惟一的。 向量與線性方程組向量組的秩向量組的秩 向量組向量組 的的極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)，稱為稱為向

24、量組的秩向量組的秩。記作。記作12,n 12,nR 例如：向量組例如：向量組 1231,1,2,3 ,2,2,4,6 ,1,0,4,0的秩為的秩為 2 。 12,nRn 如果如果向量組的秩小于向量組所含向量的個數(shù)向量組的秩小于向量組所含向量的個數(shù)，即，即 ，則向量組，則向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)。12,n 矩陣矩陣A的秩的秩 = 矩陣矩陣A的行向量組的秩的行向量組的秩 = 矩陣矩陣A的列向量組的秩的列向量組的秩 可利用矩陣的初等變換判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量可利用矩陣的初等變換判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量組的秩及極大無關(guān)組。組的秩及極大無關(guān)組。 12,nRn 如果如果向量組的秩等于向量組所

25、含向量的個數(shù)向量組的秩等于向量組所含向量的個數(shù)，即，即 ，則向量組，則向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。12,n 向量與線性方程組例例1 判別下列向量組的線性相關(guān)性判別下列向量組的線性相關(guān)性 12311,0,2,1 ,3,4,0, 2 ,1,4,4,0 解解 令令102134021440A102110211021340204610461144004610000 123,23RR A 因為因為123, 所以所以線性相關(guān)。線性相關(guān)。向量與線性方程組例例2 判別下列向量組的線性相關(guān)性判別下列向量組的線性相關(guān)性 12321,1,3, 4,2,0, 1,1,3,1,3, 2TTT解解：令：令1134201131

26、32A1134027902610A213123rrrr 3,R A 因為因為所以所以123,線性無關(guān)。線性無關(guān)。11340279001132rr向量與線性方程組向量組的等價關(guān)系向量組的等價關(guān)系 如果向量組如果向量組A： 中的每一個向量可由向量中的每一個向量可由向量組組B： 線性表示，同時，向量組線性表示，同時，向量組B中的每一中的每一個向量可由向量組個向量可由向量組A線性表示，則稱線性表示，則稱向量組向量組A與向量組與向量組B等價等價。12,n 12,m 定理：等價向量組的秩相等。定理：等價向量組的秩相等。 一個向量組和它的任意一個極大無關(guān)組是等價的。一個向量組和它的任意一個極大無關(guān)組是等價的

27、。 等價向量組的性質(zhì)等價向量組的性質(zhì)（1）反身性：向量組）反身性：向量組A與自身等價；與自身等價；（2）對稱性：如果向量組）對稱性：如果向量組A與與B等價，則向量組等價，則向量組B 與與A等價；等價；（3）傳遞性：如果）傳遞性：如果A與與B等價，等價，B與與C等價，則等價，則A與與C等價。等價。 若矩陣若矩陣A 矩陣矩陣B，則矩陣，則矩陣A的的行向量組行向量組與與矩陣矩陣B的行向量組的行向量組等價等價；行初等變換行初等變換 若矩陣若矩陣A 矩陣矩陣B，則矩陣，則矩陣A的的列向量組列向量組與與矩陣矩陣B的列向量組的列向量組等價等價；列初等變換列初等變換 向量與線性方程組例例3 求下列向量組的一個

28、極大無關(guān)組求下列向量組的一個極大無關(guān)組12341,2,0,1 ,0,1,0,1 ,1,3,0,2 ,1,2,1,1解法解法1：作矩陣：作矩陣31241rrrrr123124112010101000000101234120101011302121 1A1241312120101010010000034rr記作記作1234B向量與線性方程組1234A例例3 求下列向量組的一個極大無關(guān)組求下列向量組的一個極大無關(guān)組12341201 ,01011302 ,121 1解法解法1：. . . . . .1241312120101010010000034rr記作記作1234B所以所以123124, 與與等價

29、，故有相同的秩。等價，故有相同的秩。因為因為123124, 是由是由經(jīng)初等行變換而得，經(jīng)初等行變換而得，顯然顯然123, 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 所以所以124, 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 3,R AR B又又所以所以124, 是一極大無關(guān)組。是一極大無關(guān)組。向量與線性方程組練習(xí)練習(xí) 求向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示求向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示 余下的向量。余下的向量。123451,1,2,3 ,1, 1,1,1 ,1,3,3,5 ,4, 2,5,6 ,3, 1, 5, 7 解解 構(gòu)成矩陣，令構(gòu)成矩陣，令 1234511231111133542563157A12131415111230212021206364021232