[數(shù)學(xué)精品論文]漫談數(shù)學(xué)開放題

1、漫談數(shù)學(xué)開放題 開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)。現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計(jì)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)中缺乏主動(dòng)參與的過(guò)程。那么在教材還沒(méi)有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來(lái)？我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開放”。 一、開放意識(shí)的形成 學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過(guò)渡到社會(huì)人、使社會(huì)人更好地服務(wù)于社會(huì)，由于社會(huì)時(shí)刻在發(fā)生著變化，因此，一個(gè)良好的社會(huì)人必需具備適應(yīng)社會(huì)變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問(wèn)題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，

2、學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問(wèn)題、提出解決問(wèn)題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動(dòng)的、封閉的意識(shí)，為了使數(shù)學(xué)適應(yīng)時(shí)代的需要，我們選擇了數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)切入口，開放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個(gè)性化，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。關(guān)于開放題目前尚無(wú)確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，增強(qiáng)問(wèn)題的探索性以及解決問(wèn)題過(guò)程中的多角度思考，對(duì)命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題。近兩年高考題中也出現(xiàn)了開放題的“影子”，如1998年第（19）題：“關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+/3)(xr)，有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x

3、2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-/6):y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-/6，0）對(duì)稱；y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-/6對(duì)稱。其中正確的命題是（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）”顯然高中代數(shù)上冊(cè)第184頁(yè)例4“作函數(shù)y=3sin(2x+/3)的簡(jiǎn)圖。”可作為其原型。學(xué)生如果明白這些道理就會(huì)產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題開放的需求，逐步形成自覺(jué)的開放意識(shí)。又如2000年理19文20題 函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)取值范圍問(wèn)題（既有條件開放又有結(jié)論的開放，條件上，對(duì)，是選擇，還是選擇？選擇前者則得，以后的道路荊棘叢生，而選擇后者則有，以后的道路一片光明；結(jié)論開放體現(xiàn)在結(jié)論分為兩段，一段上可使函

4、數(shù)單調(diào)，另一段上不單調(diào)，且證明不單調(diào)的方法是尋找反例）；從數(shù)學(xué)考試中引進(jìn)一定的結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景的問(wèn)題和開放性問(wèn)題，已引起了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的極大關(guān)注，開放題的研究已成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)熱點(diǎn)。 二、開放問(wèn)題的構(gòu)建 有了開放的意識(shí)，加上方法指導(dǎo)，開放才會(huì)成為可能。開放問(wèn)題的構(gòu)建主要從兩個(gè)方面進(jìn)行，其一是問(wèn)題本身的開放而獲得新問(wèn)題，其二是問(wèn)題解法的開放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式： 例1已知,并且求證（高中代數(shù)下冊(cè)第12頁(yè)例7）除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問(wèn)題的角度，或同時(shí)對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合

5、，可獲得如下思路：兩點(diǎn)（b,a）、(-m,-m)的連線的斜率大于兩點(diǎn)（b,a）、(0,0)的連線的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。 例2用實(shí)際例子說(shuō)明所表示的意義給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度出發(fā)給出實(shí)例。1.x表示時(shí)間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10/s的初速度作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為2m/s2，5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以-2m/

6、s2的加速度作勻減速運(yùn)動(dòng)，直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。 2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來(lái)之時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服飾開始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過(guò)去，平均每周削價(jià)2元，直到20周末該服飾不再銷售。 函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實(shí)例開始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往較少考慮實(shí)際意義，本題旨在通過(guò)學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問(wèn)題理解上的開放。例3由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。（高中平面解析幾何復(fù)習(xí)參考題二第11題）（答案：

7、x2/4+y2=1） 問(wèn)題本身開放：先從問(wèn)題中分解出一些主要“組件”，如：a、“圓x2+y2=4”；b、“x軸”；c、“線段中點(diǎn)”等。然后對(duì)這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問(wèn)題。 對(duì)a而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件a（大小或形狀或位置）就可使問(wèn)題向三個(gè)方向延伸。 如改變位置，將a寫成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問(wèn)題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理

8、由。 簡(jiǎn)解：解方程組得 y=0 或y=2b/3 當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4， （1）若b2，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)； （2）若b=2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； （3）若 -2b2，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)y=2b/3時(shí),x2+b2/9=4， （1）若b6，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)； （2）若b=6，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； （3）若-6b6，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當(dāng)b6時(shí)沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)b=6時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-6b-2或b=0或2b6時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b=2時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-2b0或0b6時(shí)，圓x2+(y-b)2=4上的點(diǎn)

9、到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這個(gè)問(wèn)題的解決是對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。對(duì)b而言，它是一條特殊的直線，通過(guò)對(duì)其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問(wèn)題；而c是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其推廣到一般，若對(duì)由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)以往的一些會(huì)考、高考試題。三開放問(wèn)題的探索開放的行為給上面三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識(shí)的回歸。開放的過(guò)程說(shuō)白了就是探索的過(guò)程。以下以拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題為例來(lái)看開放問(wèn)題的探索。例4已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)f的直線與拋物線相交于a（x1，y1），b（x1，y）兩點(diǎn)，p（x0，y0）是線段ab的中點(diǎn)；拋物線的準(zhǔn)線為l，分別過(guò)點(diǎn)a、b、p作x軸的平行線，依次交l于m、n、q，連接fm、fn、fq、aq和bq（如圖）（1） 試盡可能地找出：（a） 點(diǎn)a、b、p的縱、橫6個(gè)坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系；（b） 圖中各線段的垂直關(guān)系.（2） 如果允許引輔助線，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？分析與解（1）（a）點(diǎn)a、b、p的6個(gè)坐標(biāo)x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關(guān)系： “